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1. Variables Aleatorias Continuas
Definici´on 1. Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribuci´on de probabilidad o funci´on de densidad de probabilidad de X es una funci´on f (x) tal que para dos n´umeros cualesquiera a y b con a ≤ b,
P (a ≤ X ≤ b) =
∫ (^) b
a
f (x)dx
Es decir, la probabilidad de que X asuma un valor en el intervalo [a, b] es el ´area sobre este intervalo y bajo la gr´afica de la funci´on de densidad, como se ilustra en la figura. La gr´afica de f(x) a menudo se conoce como curva de densidad.
Para que f (x) sea una funci´on de densidad de probabilidad, debe satisfacer las dos condiciones siguientes:
f (x) ≥ 0 para todos los valores qur toma la variable aleatoria x.
∞ f^ (x)dx^ = 1
Nota: El ´area bajo una curva de densidad situada sobre cualquier valor ´unico es cero:
P (X = c) =
∫ (^) c
c
f (x)dx = 0
El hecho de que P (X = c) = 0 cuando X es continua tiene una importante consecuencia pr´actica:
P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b)
Definici´on 2. La funci´on de distribuci´on acumulativa F (x) de una variable alea- toria continua X se define para todo n´umero x como
F (X) = P (X ≤ x) =
∫ (^) x
−∞
f (y)dy
Con cada x, F (x) es el ´area bajo la curva de densidad a la izquierda de x.
Propiedad 1. Sea X una variable aleatoria continua con funci´on de densidad de pro- babilidad f (x) y funci´on de distribuci´on acumulativa F (x). Entonces con cualquier n´umero a, P (X > a) = 1 − F (a)
y para dos n´umeros cualesquiera a y b con a < b.
P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a)
Definici´on 3. Si X es una variable aleatoria continua con funci´on de densidad de probabilidad f (x) y funci´on de distribuci´on acumulativa F (x), entonces con cada x hace posible que la derivada F ′(x) exista, F ′(x) = f (x).
1.1. Valores Esperados
Definici´on 4. El valor esperado o valor medio de una variable aleatoria continua X con funci´on de densidad de probabilidad f (x) es:
μx = E[X] =
−∞
xf (x) dx
Definici´on 5. Si X es una variable aleatoria continua con funci´on de densidad de probabilidad f (x) y h(X) es cualquier funci´on de X, entonces
E[h(x)] = μh(x) =
−∞
h(x)f (x) dx
NOTA: Las mismas propiedades para el valor esperado y para la varianza, en variables aleatorias discretas, se heredan tambi´en para las variables aleatorias continuas.
Ejemplo 3. Un escolar llega al paradero de su bus a las 6 am en punto, sabiendo que el bus llega en alg´un momento, distribuido uniformemente entre las 6:00 y las 6:20 am. Cu´al es la probabilidad de que el escolar tenga que esperar m´as de 5 minutos?. Si a las 6:10 am no ha pasado el bus todav´ıa, cu´al es la probabilidad de que el escolar tenga que esperar por lo menos 5 minutos m´as?
3. Distribuci´on Exponencial
A seguir la funci´on de densidad de la variable aleatoria exponencial:
f (x) =
λe−λx^ para 0 <= x < ∞; 0 en otro caso.
- X es la variable aleatoria que se˜nala el tiempo transcurrido entre dos sucesos de la misma naturaleza.
- Existe relaci´on de este fen´omeno con el proceso Poisson ya que los sucessos mencio- nados en la distribuci´on exponencial son del tipo Poisson. Por lo tanto λ es el mismo par´ametro en las distribuciones.
- La distribuci´on exponencial no tiene memoria, es decir, los eventos futuros no depen- den de los ocurridos en el pasado:
P (X > t + s/X > t) = P (X > s)parat < s.
3.1. Propiedades de la Distribuci´on Exponencial
Si X∼ Exp(λ) entonces:
E[X] =
λ
; V (x) = E[X^2 ] − (E[X])^2 = (^) λ^12
Ejercicios
1- La duraci´on X, en horas, de cierto componente tiene una distribuci´on exponencial de media 100 horas. Calcular la probabilidad de que el componente dure por lo menos 200 horas.
2- El personal de la compa˜n´ıa Onda S.L. usa una Terminal para realizar sus pedidos internacionales. Si el tiempo que cada comercial gasta en una sesi´on en la Terminal tiene una distribuci´on exponencial con media 36 minutos, encontrar: a) Probabilidad de que un comercial utilice la Terminal 30 minutos o menos. b) Si un comercial ha estado 30 minutos en la Terminal, ¿Cu´al es la probabilidad de que pase al menos una hora m´as en la Terminal?. c) El 90 % de las sesiones terminan en menos de R minutos. ¿Cu´anto vale R?
4. Distribuci´on GAMMA
La distribuci´on Gamma se emplea, de manera extensa, en muchas ´areas:
- Intervalos de tiempo entre dos fallas consecutivas del motor de un avi´on.
- Intervalos de tiempo entre las llegadas de clientes.
- Problemas de tr´afico en l´ıneas telef´onicas.
- Tiempo de falla de un sistema de α componentes, cada uno falla con frecuencia λ.
Definici´on 7. Se dice que una variable aleatoria X tiene distribuci´on Gamma de par´ametros α > 0 e λ > 0, si su funci´on de densidad est´a dada por:
f (x) =
λ Γ(α)
e−λx(λx)α−^1 para 0 <= x < ∞; 0 caso contrario.
Γ(α) =
0
xα−^1 e−xdx
El orden de los par´ametros es importante ya que α es el par´ametro de forma, en tanto que λ es el par´ametro de escala.
4.1. Propiedades de la Distribuci´on Gamma
Si X∼ gamma(α,λ) entonces:
E[X] = αλ
V (x) = E[X^2 ] − (E[X])^2 = (^) λα 2
mX (t) = ( (^) λλ−t )α
Observaci´on: Cuando α = 1 se tiene la distribuci´on exponen-
cial.
Ejercicio 1. En cierta ciudad el consumo diario de energ´ıa el´ectrica, en millones de Ki- lovatios por hora, puede considerarse como una v.a con distribuci´on Gamma de par´ame- tros α = 3 y λ = 0,5. La planta de energ´ıa de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora. Cu´al es la probabilidad de que este abastecimiento sea: a) Insuficiente en un dia cualquiera? b) Se consumen entre 3 y 8 millones de KW/Hora. c) Encuentre E[X] y Var(X).
Ejercicio 2. El tiempo en horas que semanalmente requiere una m´aquina para mante- nimiento es una variablealeatoria con distribuci´on gamma con par´ametros α = 3, λ = 2
6. Distribuci´on Normal
La distribuci´on normal o Gausiana es indudablemente la m´as importante y de ma- yor uso de todas las distribuciones continuas de probabilidad. Es la piedra angular en la aplicaci´on de la inferencia estad´ıstica para el an´alisis de datos, puesto que las distribuciones de muchas estad´ısticas muestrales tienden hacia la distribuci´on normal conforme crece el tama˜no de muestra. La apariencia gr´afica de la distribuci´on normal es una curva simetrica con forma de campana, que se extiende sin limite tanto en la direcci´on positiva como en la negativa.
Definici´on 9. Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una Distribuci´on Normal con par´ametros μ y σ (o μ y σ^2 ), donde −∞ < μ < ∞ y σ > 0, si la funci´on de densidad de probabilidad de X es:
f (x; μ, σ) =
2 πσ
e−(x−μ)
(^2) /(2σ (^2) ) − ∞ < x < ∞
El enunciado de que X est´a normalmente distribuida con los par´ametros μ y σ^2 a menudo se abrevia como X ∼ N (μ, σ^2 ). Propiedades Supongamos que la variable X sigue una distribuci´on normal cuyos par´ametros son μ y σ^2. En ese caso, se cumplen las siguientes propiedades:
- La media de la variable aleatoria es μ:
E[X] = μ
- La varianza de la variable aleatoria es σ^2
V (X) = E[(X − μ)^2 ] = σ^2
- La forma de la funci´on de densidad de probabilidad es una curva sim´etrica en forma de campana centrada en la media
La distribuci´on normal tiene algunas caracter´ısticas importantes para nuestros an´ali- sis estad´ısticos aplicados. Es sim´etrica. Las diferentes tendencias centrales son indicadas por las diferencias entre las μ. En cambio, las diferencias entre las σ^2 dan como resul- tado funciones de densidad de diferentes amplitudes. Seleccionando distintos valores de μ y σ^2 , podemos definir una gran familia de funciones de densidad normales. Si cam- bia la media, se desplaza toda la distribuci´on. Pero cambiando la varianza se obtienen distribuciones de diferentes amplitudes. Nuestra siguiente tarea es aprender a hallar las probabilidades de una distribuci´on normal espec´ıfica. Primero presentamos la funci´on de distribuci´on acumulada.
6.1. Distribuci´on Normal est´andar
Para calcular P (a ≤ X ≤ b) cuando X es una variable aleatoria normal con par´ame- tros μ y σ, se debe determinar ∫ (^) b
a
2 πσ
e−(x−μ) (^2) /(2σ (^2) ) dx
Ninguna de las t´ecnicas est´andar de integraci´on puede ser utilizada para evaluar la expresi´on anterior.
Definici´on 10. La distribuci´on normal con valores de par´ametro μ = 0 y σ = 1 se llama Distribuci´on Normal Est´andar. Una variable aleatoria que tiene una distribuci´on normal est´andar se llama variable aleatoria normal est´andar y se denotar´a por Z. La funci´on de densidad de probabilidad de Z es:
f (, 0 , 1) =
2 π
e−z
(^2) / 2
La funci´on de distribuci´on acumulativa de Z es
P (Z ≤ z) =
∫ (^) x
−∞
f (y; 0, 1) dy
La cual ser´a denotada por Φ(z)
La distribuci´on normal est´andar no sirve con frecuencia como modelo de una pobla- ci´on que surge naturalmente. En cambio, es una distribuci´on de referencia de la que se puede obtener informaci´on sobre otra distribuci´on normal. La tabla da Φ(z) = P (Z ≤ z), el ´area bajo la curva de densidad normal est´andar a la izquierda de z.
Ejemplo 4. Determ´ınense las siguientes probabilidades normales est´andar:
- P (Z ≤ 1 ,25) = Φ(1,25) = 0, 8944
- P (Z > 1 ,25) = 1 − P (Z ≤ 1 ,25) = 1 − Φ(1,25) = 0, 1056
- P (Z ≤ − 1 ,25) = Φ(− 1 ,25) = 0, 1056
- P (− 0 , 38 ≤ Z ≤ 1 ,25) = Φ(1,25) − Φ(− 0 ,38) = 0, 8944 − 0 ,3520 = 0, 5424
Definici´on 11. Sea X una variable aleatoria normal basada en n ensayos con pro- babilidad de ´exito p. Luego si el histograma de probabilidad binomial no es dema- siado asim´etrico, X tiene aproximadamente una distribuci´on normal con μ = np y σ =
np(1 − p), entonces:
P (X ≤ x) = Φ
x + 0, 5 − np √ np(1 − p)
En la pr´actica, la aproximaci´on es adecuada siempre que tanto np ≥ 10 como n(1 − p) ≥ 10, puesto que en ese caso existe bastante simetr´ıa en la distribuci´on binomial subyacente.
6.5. ejercicios
Ejercicio 3. Dado que Z es la variable normal est´andar, calcule las probabilida- des siguientes. a.p(− 1 , 98 <= z <= 0,49); b. p(0, 52 <= z <= 1,22); c. p(− 1 , 75 <= z <= 1,04).
Ejercicio 4. Dado que Z es la variable normal est´andar, halle z en cada una de las situaciones siguientes. a. El ´area a la izquierda de z es 0. b. El ´area entre -z y z es 0.9030. c. El ´area entre -z y z es 0.2052. d. El ´area a la izquierda de z es 0.9948. e. El ´area a la derecha de z es 0.6915.
Ejercicio 5. En una ciudad se estima que la temperatura m´axima en el mes de ju- nio sigue una distribuci´on normal, con me- dia 23° y desviaci´on t´ıpica 5°. Calcular el n´umero de d´ıas del mes en los que se espera alcanzar m´aximas entre 21° y 27°.
Ejercicio 6. Suponga que la fuerza que act´ua en una columna que ayuda a sopor- tar un edificio est´a normalmente distribui- da con media de 15.0 kips y desviaci´on est´andar de 1.25 kips. ¿Cu´al es la proba- bilidad de que la fuerza: sea de m´as de 18 kips?; est´e entre 10 y 12
kips?; Difiera de 15.0 kips en cuando mu- cho 1.5 desviaciones est´andar?
Ejercicio 7. Los pesos de los indiv´ıduos de una poblaci´on se distribuyen normal- mente con media 70 kilogramos y desvia- ci´on est´andar 6 kilogramos. De una pobla- ci´on de 2000 personas calcular el n´umero de personas que tendr´an un peso compren- dido entre 74 y 76 kilogramos.
Ejercicio 8. Si X tiene una distribuci´on binomial con par´ametros n = 25 y p, calcu- le cada una de las siguientes probabilida- des mediante la aproximaci´on normal (con la correcci´on por continuidad) en los casos p = 0, 5 , 0 ,6, y 0,8: P (15 ≤ X ≤ 20); P (X ≤ 15); P (20 ≤ X)
Ejercicio 9. Una empresa lleva a cabo una prueba para seleccionar nuevos empleados. Por la experiencia de pruebas anteriores, se sabe que las puntuaciones siguen una dis- tribuci´on normal de media 80 y desviaci´on t´ıpica 25. ¿Qu´e porcentaje de candidatos obtendr´a entre 75 y 100 puntos?.
Ejercicio 10. De acuerdo con la Sleep Foundation, en promedio se duermen 6.
horas por noche. Suponga que la desvia- ci´on est´andar es 0.6 horas y que la distri- buci´on de probabilidad es normal. a. ¿Cu´al es la probabilidad de que una persona se- leccionada al azar duerma m´as de ocho ho- ras? b. ¿De que una persona tomada alea- toriamente duerma seis horas o menos? c. Los m´edicos aconsejan dormir entre siete y nueve horas por noche. ¿Qu´e porcentaje de la poblaci´on duerme esta cantidad?
Ejercicio 11. En enero de 2003 un em- pleado estadounidense pasaba, en prome- dio, 77 horas conectado a Internet durante las horas de trabajo (CNBC, 15 de mar- zo de 2003). Suponga que la media pobla- cional es 77 horas, tiempos que est´an dis- tribuidos normalmente y que la desviaci´on est´andar es 20 horas. a. ¿Cu´al es la proba- bilidad de que en enero de 2003 un emplea- do seleccionado aleatoriamente haya pasa-
do menos de 50 horas conectado a Inter- net? b. ¿Qu´e porcentaje de los empleados pas´o en enero de 2003 m´as de 100 horas conectado a Internet? c. Un usuario es cla- sificado como intensivo si se encuentra en el 20 % superior de uso. ¿Cu´antas horas tiene un empleado que haber estado conectado a Internet en enero de 2003 para que se le considerara un usuario intensivo?
Ejercicio 12. La puntuaci´on de una per- sona en una prueba de IQ debe estar en el 2 % superior para que sea clasificado como miembro de la sociedad internacional de IQ elevado (U.S. Airways Attach´e, septiembre de 2000). Si las puntuaciones de IQ tienen una distribuci´on normal con una media de 100 y desviaci´on est´andar de 15, ¿cu´al de- be ser la puntuaci´on de una persona para que se le considere miembro de ese grupo?
