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TEMA 7 – TRIGONOMETRÍA
UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
EJERCICIO 1
a ) ))
) Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 ° °°
° y 70 ° °°
° rad y3, 5 rad
b)Pasaagradoslosángulos:
Solución:
rad
rad
a) 210 210
π
π
o
rad
rad
π
π
o
o
o
rad
b) =
π
π
π
3 5 rad 35
o
o
π
EJERCICIO 2 : Completa la tabla:
Solución:
rad
rad
π
π
o o
o
rad
π
π
π
rad
rad
π
π
o
1 5 rad 15
o
o
π
Por tanto:
CÁLCULO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EJERCICIO 3 : Sabiendo que αααα es un ángulo agudo y que el cos αααα = 1/5, calcula sen αααα y tg αααα.
Solución:
2
2 2 2
Como 1 1
cos sen sen sen
α = → + α = → + α = → α = →
→ sen α =
Luego, 2 6 2 6
sen
tg tg
cos
α
α = = : = → α =
α
EJERCICIO 4 : Completa la siguiente tabla haciendo uso de las relaciones fundamentales y sabiendo
que αααα es un ángulo agudo:
sen αααα
cos αααα
tg αααα 0,
Solución:
2
2
α = 1 → sen
2
α = 0,
Luego, 0,97 y 3,88.
sen α ≈ tg α = ≈
- Si tg α = 0,6 → sen α = 0,6 cos α → (0,6 cos α)
2
2
α = 1
0,36 cos
2
α + cos
2
α = 1 → 1,36 cos
2
α = 1 → cos
2
α ≈ 0,74 → cos α ≈ 0,
Luego, sen α = 0,6 · 0,86 ≈ 0,52 y la tabla queda:
sen αααα 0,97 0,
cos α αα
α 0,25 0,
tg αααα
EJERCICIO 5 :
Calcula y de un ángulo agudo, , sabiendo que la.
sen αααα cos αααα αααα tg α =α =α =α =
Solución:
2
2 2 2 2 2
2 2
Si
sen
tg sen cos
cos
sen cos cos cos cos cos
cos cos cos
α
α = → = → α = α
α
α + α = → α + α = → α + α =
α = → α = → α =
Luego,
sen α = ⋅ → sen α =
EJERCICIO 6 : Sabiendo que 0 °°°° < αααα < 90 °°°° , completa la siguiente tabla usando las relaciones
fundamentales:
sen αααα
cos αααα
tg αααα
Solución:
( )
2
2 2 2 2 2
2 2
Si 0,75 0,75 0,
sen
tg sen cos
cos
sen cos cos cos cos cos
cos cos cos
α
α
α + α = → α + α = → α + α =
α = → α = → α =
Luego, sen α = 0,75 · 0,8 = 0,6.
2
α + cos
2
α = 1 → (0,8)
2
2
α = 1 →
→ 0,64 + cos
2
α = 1 → cos
2
α = 0,36 → cos α = 0,
Luego, 1,3.
tg α = =
Completamos la tabla:
sen αααα 0,
cos α αα
α 0,8 0,
tg α αα
α 0, 1 ,
EJERCICIO 7 :.
De un ángulo agudo, , conocemos que
αααα sen α =α =α =α = Halla cos αααα y tg αααα.
Solución:
Solución:
αααα 90 ° 60 °°°° 0 ° 45 °
sen αααα 1 3 2/
cos α αα
α 0 1/2 1 2 2/
tg α αα
α
NO
EXISTE
EJERCICIO 11 : Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo αααα , sin
usar calculadora (((( 0 °°°° < αααα ≤≤≤≤ 90 °°°°)))) :
sen αααα 3 2 /
cos αααα 2 2 /
tg αααα
αααα 30 °°°°
Solución:
sen αααα 3 2 /
cos αααα
tg αααα 3
αααα 60 ° 0 ° 30 °°°° 45 °
EJERCICIO 12 : Completa la tabla sin usar calculadora (((( 0 °°°° ≤≤≤≤ αααα ≤≤≤≤ 90 °°°°)))) :
αααα
sen αααα
cos αααα
tg αααα 1
Solución:
αααα 0 °°°° 30 ° 45 ° 90 °
sen αααα 0 1/ 2 2/
cos α αα
α 1 3 2/ 2 2/
tg αααα
NO
EXISTE
EJERCICIO 13 : Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo
siguiente:
Solución:
Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor usando el teorema de Pitágoras:
x
2
2
2
→ x
2
2
= 0,25 → x = 0,5 m
Calculamos las razones trigonométricas de α y β:
sen α = ≈ cos α = ≈ tg α = ≈
sen β = ≈ cos β = ≈ tg β = ≈
EJERCICIO 14 :
a ) ))
) Comprueba, usando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 10 cm es
rectángulo.
b )))) Calcula las razones trigonométricas de sus dos ángulos agudos.
Solución:
a) 10
2
2
2
Se cumple el teorema Pitágoras. Por tanto, es rectángulo.
b) Calculamos las razones trigonométricas de α y β:
sen α = = cos α = = tg α = =
sen β = = cos β = = tg β = =
EJERCICIO 15 : Halla las razones trigonométricas de los ángulos αααα y ββββ del triángulo ABC
sabiendo que es rectángulo.
Solución:
Sea x la longitud de la hipotenusa; por el teorema de Pitágoras:
2
2
= x
2
→ x
2
= 466,56 → x = 21,6 cm
Calculamos las razones trigonométricas de α y β:
sen α = = cos α = = tg α = =
sen β = = cos β = = tg β = =
EJERCICIO 16 :
a )))) Calcula x e y en el triángulo:
b )))) Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos αααα y ββββ.
Solución:
a) Calculamos y aplicando el teorema de Pitágoras:
2
2
2
→ 25 = 9 + y
2
→ 16 = y
2
→ y = 4 cm
EJERCICIO 19 :
Si y 270 360 calcula y
cos α =α =α =α = ° < α <° < α <° < α <° < α < °,°,°,°, sen αααα tg αααα ....
Solución:
En el cuarto cuadrante, sen α < 0 y tg α < 0.
2
2 2 2 2
sen cos sen sen sen
α + α = → + α = → α = − → α = −
sen
tg tg
cos
α
α = = − = − = − → α = −
α
EJERCICIO 20 :
Sabiendo que y que es un ángulo del tercer cuadrante, calcula
y
cos sen
tg ....
α =α =α =α = αααα αααα
αααα
Solución:
2
2 2
2
Como 1 1
(elegimos el signo por estar en el
cos sen sen
sen sen
α = − → − + α = → + α =
α = → α = − − α
tercer cuadrante).
Así, : 2 2
sen
tg tg
cos
α
α = = − − = → α =
α
EJERCICIO 21 : =
Si y 90 180 ¿Cuánto valen y?
sen αααα ° < α <° < α <° < α <° < α < °,°,°,°, cos αααα tg αααα
Solución:
2
2 2
2 2
Si 1 1
sen cos cos
cos cos cos
α → + α = → + α =
α = − → α = → α = −
donde elegimos el signo − por ser 90° < α < 180°.
Así, :
sen
tg tg
cos
α
α = = − = − → α = −
α
EJERCICIO 22 : Calcula sen αααα y cos αααα sabiendo que la tg αααα = −= −= −= − 5 y α ∈α ∈α ∈α ∈ 2 cuadrante. º
Solución:
2 2 2 2
Como 5 5
tg sen cos
sen cos cos cos
α = − → α = − α
α + α = → α + α = →
2 2
→ cos α = → cos α = → cos α = − = −
por estar α en el 2º cuadrante.
Así, 5.
sen
α = − − =
La solución es: y
cos α = sen α =
EJERCICIO 23 :
Sabiendo que y que 90 180 calcula el valor de y
sen α =α =α =α = ° <° <° <° < α <α <α <α < °,°,°,°, cos αααα tg αααα ....
Solución:
En el 2º cuadrante, cos α < 0 y tg α < 0.
α =
α + α =
2
2 2 2
2 2
15
15 225 64
1 1 17
17 289 289
1
sen
cos cos cos
sen cos
→ cos α = −
Luego:
sen
tg tg
cos
α
α = = − = − → α = −
α
EJERCICIO 24 :.
De un ángulo agudo, , a sabemos que Calcula y
α tg α = sen α cos α αα α =α = αα αα
Solución:
α
α = → = → α = α
α
α + α =
2 2
sen
tg sen cos
cos
sen cos
2
2 2 2 2
cos cos cos cos cos
→ α + α = → α + α = → α = →
→ α = → α = → α = ≈
2
cos cos cos ⇒ α = ⋅ ≈
sen
EJERCICIO 25 :
Sabiendo que y que 180 270 , calcula y
cos α = − ° < α < ° sen α tg α. α = −α = − ° <° < α <α < °° αα α.α.
α = − ° < α < ° α α.
Solución:
α + α =
α + = → α = → α = −
α = −
2 2
2 2
sen cos
sen sen sen
cos
En el tercer cuadrante, sen α < 0 y tg α > 0.
α −
α = = − = = → α =
α
Luego: :
sen
tg tg
cos
EJERCICIO 26 : Calcula sen αααα y tg αααα de un ángulo agudo, αααα , sabiendo que cos αααα ==== 0,6.
Solución:
sen
2
α + cos
2
α = 1 → sen
2
α + 0,
2
= 1 → sen
2
α = 1 − 0,36 → sen
2
α = 0,64 → sen α = 0,
α
α = = = → α =
α
Luego: 1,3 1,
sen
tg tg
cos
EJERCICIO 27 :
Si y 4 cuadrante, calcula y
sen α = −α = −α = −α = − α ∈α ∈α ∈α ∈ °°°° cos αααα tg αααα ....
Solución:
En el cuarto cuadrante, el cos α es positivo, y la tangente, negativa.
2
2 2 2
2 2
sen
cos cos cos
sen cos
cos
α = −
− + α = → α = − → α = →
α + α =
→ α =
En la circunferencia goniométrica observamos:
sen sen sen
cos cos cos
tg tg tg
EJERCICIO 31 : Calcula las razones trigonométricas de 240 °°°° dibujando previamente este ángulo en
la circunferencia goniométrica.
Solución:
En el dibujo se observa que:
sen sen sen
cos cos cos
Luego: 240 : 3 240 3
sen
tg tg
cos
EJERCICIO 32 : Sitúa sobre la circunferencia goniométrica, el ángulo de 135 °°°° y calcula sus razones
trigonométricas relacionándolo con uno del primer cuadrante.
Solución:
Se observa en la circunferencia goniométrica que:
sen sen sen
cos cos cos
Luego, tg 135 ° = −1.
EJERCICIO 33 : Relacionándolo con un ángulo del primer cuadrante, calcula las razones
trigonométricas de 210 ° °°
Solución:
210 ° pertenece al 3
er
cuadrante y 180° + 30 ° = 210 °.
Luego, las razones trigonométricas de 210° van a estar relacionadas con las razones trigonométricas de
sen sen sen
cos cos cos
tg tg tg
EJERCICIO 34 : Sabiendo que cos 58 ° °°
= 0,53, sen 58 ° °°
= 0,85 y tg 58 ° °°
= 1,6, calcula las razones
trigonométricas de 122 °°°°.
Solución:
122 ° pertenece al 2º cuadrante y 122° + 58 ° = 180 °.
Relacionamos las razones trigonométricas de 122° y 58°:
sen sen sen
cos cos cos
tg tg tg
EJERCICIO 35 : Halla las razones trigonométricas de 315 °°°° estableciendo una relación entre dicho
ángulo y uno del primer cuadrante.
Solución:
Se sabe que 315° es un ángulo del 4º cuadrante, y además, 315° + 45 ° = 360 °.
Relacionamos, pues, las razones trigonométricas de 315° con las razones trigonométricas de 45°:
sen sen sen
cos cos cos
tg tg tg
EJERCICIO 36 : Calcula las razones trigonométricas de 227 °°°° a partir de las razones trigonométricas
de 47 °°°° : sen 47 °°°° ==== 0,73; cos 47 °°°° ==== 0,68; tg 47 °°°° ==== 1,
Solución:
227 ° es un ángulo correspondiente al 3
er
cuadrante. Además, 180° + 47 ° = 227 °, luego:
sen sen sen
cos cos cos
tg tg tg
EJERCICIO 37 : Calcula el valor del sen 120 °°°° , cos 120 °°°° y tg 120 °°°° , relacionándolos con un ángulo
del primer cuadrante.
Solución:
Observamos que 120° ∈ 2º cuadrante y que 180° − 60° =120°.
)
h
a 55 h 6,2 55 6,2 0,82 5,08 m
sen ° = → = ⋅ sen ° ≈ ⋅ =
El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo.
)
b 55 6,2 55 6,2 0,57 3,53 m
x
cos ° = → x = ⋅ cos ° ≈ ⋅ =
La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de 3,53 m.
EJERCICIO 41 : Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte
superior de la antena bajo un ángulo de 30 °°°°.
Solución:
Llamamos h a la altura de la antena.
Como datos tenemos un ángulo y el cateto contiguo; nos piden el cateto opuesto al ángulo, luego la
tangente será la razón trigonométrica a usar:
30 18 30 18 6 3 10,39 m
h
tg ° = → h = ⋅ tg ° = = ≈
La altura de la antena es de 10,39 m.
EJERCICIO 42 : Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el tejado,
este forma con el suelo un ángulo de 60 °°°°. ¿A qué distancia de la casa cae el cable?
Solución:
Llamamos h a la altura de la casa; como conocemos la longitud del cable, que es la hipotenusa, y tenemos
que hallar el cateto opuesto al ángulo que nos dan, debemos usar el seno como razón trigonométrica:
60 9 60 7,79 m
h
sen ° = → h = ⋅ sen ° = = ⇒ La altura de la casa es de 7,79 m.
Sea x = distancia entre el pie de la casa y el cable sujeto al suelo por un extremo. En este caso, el coseno
es la razón trigonométrica que debemos usar:
60 9 60 9 4,5 m
x
cos ° = → x = ⋅ cos ° = ⋅ =
El cable está sujeto al suelo a 4,5 m de distancia de la casa.
EJERCICIO 43 : Desde el tejado de un edificio de 150 m de altura, se divisa el tejado de otro edificio
cercano bajo un ángulo de 45 °°°°. La distancia entre ambos en línea recta es de 0,21 km. Calcula la
altura del otro edificio.
Solución:
Hacemos una representación del problema:
0,21 km = 210 m
45 210 45 210 m
x
tg ° = → x = ⋅ tg ° → x =
Luego, la altura del otro edificio será x + 150 = 210 + 150, es decir, 360 m.
EJERCICIO 44 : Un globo, sujeto al suelo por una cuerda, se encuentra a una altura de 7,5 m; entre la
altura y la cuerda se forma un ángulo de 54°. Calcula la longitud de la cuerda y el ángulo que esta forma con
el suelo.
Solución:
Llamamos: x → longitud de la cuerda α → ángulo entre la cuerda y el suelo
La razón trigonométrica a usar con los datos del problema es el coseno:
cos x
x cos
⇒ La cuerda tiene una longitud de 12,71 m.
Calculamos α → 54 ° + 90 ° + α = 180 ° → α = 36 °
EJERCICIO 45 : Dos torres de 198 m y 203 m de altura están unidas en sus puntos más altos por un
puente bajo el cual hay un río. Calcula la longitud del puente y la anchura del río sabiendo que el
ángulo que hay entre el puente y la torre más alta es de 75 °°°°.
Solución:
Hagamos un dibujo que represente el problema:
Llamamos x → longitud del puente y → anchura del río
Observamos que tenemos un triángulo rectángulo del cual conocemos el cateto contiguo al ángulo de 75°:
203 − 198 = 5 m.
75 19,23 m
75 75 19,23 0,97 18,65 m
cos x
x cos
y
sen y x sen
x
La longitud del puente es de 19,23 m, y la anchura del río, 18,65 m.
EJERCICIO 46 : Una escalera de 5 m está apoyada en una pared formando un ángulo de 46 °°°°. Calcula
la distancia entre la base de la escalera y la pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?
Solución:
Llamamos: x → distancia entre la base de la escalera y la pared
α → ángulo entre la escalera y el suelo
Conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo, y nos piden calcular el cateto opuesto a ese ángulo; usamos
el seno como razón trigonométrica: 46 5 46 5 0,72 3,
x
sen ° = → x = ⋅ sen ° ≈ ⋅ =
La distancia entre la base de la escalera y la pared es de 3,6 m.
Calculamos α → 46 ° + 90 ° + α = 180 ° → α = 44 ° es la inclinación que hay entre la escalera y el suelo.
Hacemos una representación del problema y llamamos: h → altura del árbol x → anchura del río
( )
h
tg h x tg
x
h
tg h x tg
x
x tg 35 ° = ( x + 5 ) ⋅ tg 25 ° → 0,7 x = ( x + 5 ) ⋅ 0,47 → 0,7 x = 0,47 x + 2,35 →
→ 0,23 x = 2,35 → x ≈10,22 m
h = 10,22 · 0,7 = 7,15 m
La altura del árbol es de 7,15 m, y la anchura del río, de 10,22 m.
EJERCICIO 50 : La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los
lados iguales es de 40 ° °°
°. Calcula el perímetro y el área del triángulo.
Solución:
Trazamos la altura sobre la base para conseguir dos triángulos rectángulos.
Para calcular el perímetro y el área, necesitamos conocer el valor de la altura, h , y del otro lado, x.
En cada triángulo conocemos el ángulo de 20° y el cateto opuesto a este ángulo que mide
32 cm.
20 94,12 cm
sen x
x sen
h h
cos cos h cos
x
h ≈ 94,12 · 0,94 ≈ 88,47 cm
Luego: Perímetro = 64 + 2 · 94,12 = 252,24 cm
2
Área 2831,04 cm
EJERCICIO 51 : El ángulo que se forma en la intersección de dos caminos es de 68 ° °°
°. La granja A
está a 230 m de ese punto, y la granja B, a 435 m. ¿A qué distancia en línea recta está la granja A
de la granja B****?
Solución:
Llamamos x a la distancia en línea recta entre la granja A y la B.
Por no ser rectángulo el triángulo ABC , trazamos la altura h que lo divide en dos triángulos rectángulos:
AHC y AHB.
En el triángulo AHC conocemos C = 68 ° y AC = 230 , podemos calcular h e y :
68 230 68 230 0,37 85,1 m
h
68 h 230 68 230 0,93 213,9 m
y
cos y cos
sen sen
En el triángulo AHB , ahora conocemos h = 213,9 m y 435 − y = 435 − 85,1 = 349,9 m.
Podemos calcular x usando el teorema de Pitágoras:
2 2 2 2 2 2
45 753,21 122 430,01 168183,22 410,1 m
x h y x
x
La distancia entre ambas granjas es de 410,1 m.
EJERCICIO 52 : Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular.
Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de
° ; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35 ° °°
°. Averigua la
altura de la estatua y la superficie del lago.
Solución:
Hacemos una representación. Llamamos: h → altura de la estatua x → radio del lago
h
tg h x tg
x
x tg x tg
h
tg h x tg
x
→ x ⋅ 1,19 = x + 45 ⋅ 0,7 → 1,19 x = 0,7 x + 31,5 → 0,49 x = 31,5 → x =64,29 dm
Luego h = 64,29 · 1,19 = 76,51 dm = 7,65 m
Calculamos la superficie del lago circular:
2 2 2 2
CIRCULO
A = π ⋅ x ≈ 3,14 ⋅ 64,29 ≈ 12978,26 dm ≈129,78 m
La superficie del lago es de 129,78 m
2
ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA
EJERCICIO 53 :
y esunánguloqueestáenelprimercuadrante,calcula(sinhallar ) :
Si tg α = α α
tg ( − α ) tg ( + α ) tg ( − α ) tg ( + α )
o o o o
a) 180 b) 180 c) 360 d) 360
Solución:
a) tg 180 −α =− tg α=−
o
b) tg 180 +α = tg α=
o
c) tg 360 −α =− tg α=−
o
d) tg 360 +α = tg α=
o
EJERCICIO 54 : Si sen α
==
= 0,35 y 0 ° °°
°°
° halla ( ((
( sin calcular α
))
) :
sen ( − α ) cos ( + α )
o o
a) 180 b) 180
c) 2tagx – 3 cotag x -1 = 0 ⇒ - 1 = 0
tagx
3
2 tagx- ⇒ 2tag
2
x – tag x – 3 = 0
tag x =
1 , 5
=
4
1 ± 5
=
4
1 ± 1 + 24
tag x = 1,5 ⇒ x = 56º 18º 35” + 180ºk
tag x = -1 ⇒ x = 135º + 180º k
d) 3sen
2
x – 5senx + 2 = 0 ⇒ sen x =
6
5 ± 1
sen x = 1 ⇒ x = 90º + 180ºk
sen x = 2/3 ⇒ x =
138 º 11 ´ 23 ´´+ 360 ºk
41 º 48 ´ 37 ´´+ 360 ºk
e) cos
2
x – 3 sen
2
x = 0 ⇒ 1 – sen
2
x – 3sen
2
x = 0 ⇒ 1 – 4 sen
2
x = 0 ⇒ sen
2
x = ¼ ⇒ sen x = ± 1/
sen x = 1/2 ⇒
x= 150 º+ 360 ºk
x= 30 º+ 360 ºk
sen x = -1/2 ⇒
x= 330 º+ 360 ºk
x= 210 º+ 360 ºk
O resumido:
x= 150 º+ 180 ºk
x= 30 º+ 180 ºk
f) 2cosx = 3 tag x ⇒ 2cosx =
cosx
3 senx
⇒ 2cos
2
x = 3 sen x ⇒ 2(1 – sen
2
x) = 3 sen x ⇒
2 – 2sen
2
x = 3sen x ⇒ 2sen
2
x + 3sen x – 2 = 0 ⇒ sen x =
1 / 2
=
4
3 ± 5
=
4
3 ± 9 + 16
Sen x = 1/2 ⇒
x= 150 º+ 360 ºk
x= 30 º+ 360 ºk
Sen x = -2 ⇒ No tiene solución.
