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Tabajo Práctico Nº 3
Producto entre vectores: Escalar, Vectorial y Mixto – Aplicaciones
Ejercicio 1:
Sean los vectores u = (3,0) v = 2i-2j y α el ángulo entre ellos:
a) Verifique que w = u + v es la diagonal del paralelogramo de lados u y v.
b) Calcular y representar gráficamente
i) u – v ii) v – u ii) -2 u + 3 v
c) Calcular:
i) <u, v> ii) || u || iii) || v || iv) α v) Distancia entre los vectores u y v
Ejercicio 2:
a) Encontrar k R tal que los pares de vectores sean ortogonales:
i) u= (2k ,4) y v = (k ,-8)
ii) u = (2, 2, 1 + k) y v = (4, k, 1)
b) Normalizar los vectores de R2 del inciso anterior.
c) Demostrar que si u es ortogonal a v y w, entonces u es ortogonal a bv + cw donde b y c son escalares. Use la
condición de ortogonalidad.
Ejercicio 3:
Sean los vectores u = (1,0); v = (m,m); x = (1,0,1) e y = (2,m,0) Determine el valor del parámetro “m” tal que:
a) el ángulo entre u y v sea π/4
b) el ángulo entre x e y sea π/3
Ejercicio N° 4:
Sean los vectores u y v, demostrar las siguientes relaciones:
i) <u + v, u- v> = || u ||2 - || v ||2
ii) || u + v ||2 = || u ||2 + || v ||2 + 2 <u, v>
iii) || u + v ||2 + || u - v ||2 = 2 (|| u ||2 + || v ||2)
Ejercicio 5:
a) Sea || u || = 3, || v || = 4 y || u+v || = 5. Hallar <u, v> y el ángulo entre los vectores. (Ayuda: Usar alguna de las
relaciones del ejercicio anterior y la definición de producto escalar)
b) Sean u y v vectores de R3. Hallar || v || sabiendo que el ángulo entre u y v es π / 4, || u || = 3 y que u − v es ortogonal a
u.
(Ayuda: aplicar la condición de ortogonalidad entre u. y u − v)
c) ¿Determinar si la siguiente expresión es verdadera o falsa. Justificar.
Sea v es un vector no nulo y <u, v> = <w, v> entonces u = w
Ejercicio 6:
a) En cada caso encontrar y graficar proy v u, siendo:
i) u = (3, 0) ; v = 3 i + 2 j ii) u = 2 i + j ; v = (1, - 2)
b) Sean u = (2, 3, 2) y v = (-1, 1, 0) encontrar:
i) proy v u ii) u - proy v u iii) <v, u - proy v u> ¿Qué pude concluir?
c) Sean los vectores u = (2, 2a, 0) y v = (- 3, 2, 1). Hallar que valores puede tomar a para que proy v u tenga sentido
opuesto al vector v.
Ejercicio 7:
a) Dados los vectores: u = (1,-1,0) v= (2, 0, 2)
i) Obtener un vector ortogonal a u y v
ii) Determinar todos los vectores de norma 1 que sean ortogonales a u y v
iii) Sea v = k. u con k ε R y k ≠ 0 .Demostrar que u es paralelo a v. (Considere primero el caso de vectores de R3 y
luego el caso más general de Rn)
b) Sean u, v, w R3 tales que u + v + w = 0 probar que:
u x v = v x w = w x u
c) Calcular el área del triángulo cuyos vértices son A = (2, 0,0) B = (1, 3, 3) y C = (0,-2,0)
