¡Descarga tema perdidas en bombas y más Apuntes en PDF de Mecánica de Fluidos solo en Docsity!
C A P Í T U L O
O C H O
NÚMERO DE REYNOLDS, FLUJO
LAMINAR, FLUJO TURBULENTO
Y PÉRDIDAS DE ENERGÍA
POR FRICCIÓN
PANORAMA GENERAL
178
FIGURA 8. 1 En este sistema de calefacción y enfriamiento geotérmico para una casa, usted debe conocer el comportamiento del fluido en los largos tramos de tubo para predecir con exactitud las pérdidas de energía y las caídas de presión ocurridas en el sistema. (Fuente: Gunnar Assmy/Fotolia)
En cualquier sistema de tuberías hay pérdida de energía de- bido a la fricción que se produce dentro del fluido que fluye, dicha pérdida se ve afectada por el tipo de fluido, la velocidad del flujo y la naturaleza de la superficie de la pared de la tube- ría estacionaria. Las pérdidas por fricción pueden ser bastan- te significativas, particularmente en un caso como el sistema geotérmico empleado para la calefacción y el enfriamiento de una casa como la que muestra la figura 8.1, donde el deseo de transferir calor conduce a la implementación de un diseño con tuberías largas de diámetro pequeño. En este capítulo usted empezará a desarrollar sus habi- lidades para analizar las pérdidas de energía que se produ- cen mientras los fluidos fluyen en sistemas de tuberías reales. El único tipo de pérdida de energía que se considera aquí es la pérdida de energía debida a la fricción en tuberías o tubos circulares rectos. En los capítulos siguientes, desarrollará las habilidades necesarias para agregar otros tipos de pérdidas de energía, tales como las creadas por válvulas, accesorios de tu- bería, cambios en las áreas de los tubos, diferentes formas de la trayectoria de flujo, etc. Después, en los capítulos 11, 12 y 13, aprenderá cómo analizar sistemas de tuberías más exhaus- tivos que, para desplazar un fluido, combinan con bombas estos diferentes tipos de pérdidas de energía. En el cálculo de las pérdidas por fricción, el primer paso es caracterizar el flujo como laminar o turbulento. Usted debe
ser capaz de determinar el número de Reynolds, que se presen- tará en este capítulo, el cual depende de la velocidad de flujo, del tamaño de la tubería y de la viscosidad del fluido. Los flujos con números de Reynolds bajos fluyen lenta y suavemente y se llaman laminares. Los flujos con números de Reynolds altos son rápidos, caóticos y desiguales y se denominan turbulentos. Dado que la viscosidad del fluido es un componente crítico del número de Reynolds, se le recomienda revisar el capítulo 2. Las pérdidas por fricción provocan que la presión dismi- nuya a lo largo de la tubería y aumentan la cantidad de poten- cia que una bomba debe suministrar al fluido. Posiblemente usted ha observado que la presión disminuye a medida que fluye desde un grifo hasta el extremo de un tramo largo de tubería, un tubo, una manguera de jardín o una manguera contra incendios.
Exploración
Al observar el flujo de agua proveniente de un simple grifo, es posible ver cómo el carácter del flujo cambia a medida que se modifica la velocidad. ■ (^) Describa cómo es la corriente de agua al abrir un grifo a una velocidad de flujo muy lenta. ■ (^) Después abra lentamente el grifo en su totalidad y observe cómo cambia el carácter de la corriente de flujo.
Recuerde que n = h>>r, donde r (rho) es la densidad del fluido. Una observación general que usted hizo fue que los fluidos de baja viscosidad fluyen con más facilidad que los de mayor vis- cosidad. Para ayudarle en su repaso, considere las siguientes preguntas. ■ (^) ¿Cuáles son algunos fluidos que tienen viscosidad relativa- mente baja? ■ (^) ¿Cuáles son algunos fluidos que tienen viscosidad alta? ■ (^) ¿Qué ocurre con respecto a la facilidad con que fluye un flui- do de alta viscosidad cuando se aumenta la temperatura? ■ (^) ¿Qué pasa cuando se disminuye la temperatura de un flui- do con alta viscosidad? Al calentar un fluido de alta viscosidad, como un aceite lu- bricante para máquinas, su viscosidad se reduce y puede fluir con más facilidad. Esto sucede cuando se pone a calentar el motor de un automóvil antes de comenzar a avanzar. De ma- nera inversa, al reducir la temperatura del aceite aumenta su viscosidad y fluye con más lentitud. Esto sucede luego de apa- gar el motor y dejarlo reposar toda la noche en un garaje frío. Estas observaciones ilustran el concepto de que el carácter del flujo depende también de la viscosidad del fluido. Es más pro- bable que el flujo de fluidos viscosos pesados, como el aceite frío, sea laminar. Asimismo, es más probable que el flujo de fluidos de baja viscosidad, como el agua, sea turbulento. En este capítulo, usted verá también que el tamaño de la trayectoria de flujo afecta el carácter del flujo. Mucho del traba- jo profesional se ocupará del flujo de fluidos que tiene lugar a lo largo de tuberías y tubos circulares, tal como se expuso en el ca- pítulo 6. Al interior de la tubería, el diámetro de flujo desempe- ña un papel importante en cuanto a la caracterización del flujo. En la figura 8.2 se muestra una forma de visualizar el flujo laminar en una tubería circular. Los anillos concéntricos del fluido fluyen en una trayectoria recta y lisa. Existe poca o nin- guna mezcla del fluido en los “límites” de cada capa mientras el fluido fluye a lo largo de la tubería. Por supuesto, en fluidos reales, el flujo lo compone un número infinito de capas. Otra manera de visualizar el flujo laminar se representa en la figura 8.3, donde aparece un fluido transparente, como el agua, fluyendo en un tubo de vidrio claro. Cuando en el flu- jo se inyecta una corriente de fluido oscuro, como una tinta, la corriente permanece intacta siempre que el flujo siga siendo laminar. La corriente de tinta no se mezclará con el volumen del fluido.
■ (^) Ahora cierre el grifo poco a poco y cuidadosamente mien- tras observa los cambios en la apariencia de la corriente a medida que la velocidad de flujo regresa a una rapidez (tasa) lenta. ■ (^) Considere otros tipos de sistemas de flujo de fluidos donde se pueda observar el carácter cambiante del flujo de lento a rápido.
■ (^) ¿Qué pasa cuando fluye aceite frío en comparación con el flujo de agua? Usted sabe que el aceite frío tiene una viscosidad mucho más alta que el agua y es posible obser- var que fluye más suavemente que el agua a velocidades comparables. ■ (^) Consulte el recurso de internet 1 para ver una gráfica de la caída de presión contra la rapidez de flujo y la longitud de una tubería.
Conceptos introductorios
Mientras el agua fluye desde un grifo a una velocidad muy baja, el flujo parece ser suave y constante. La corriente tiene un diámetro bastante uniforme y hay poca o ninguna eviden- cia de mezcla entre las diversas partes de la corriente. A esto se le llama flujo laminar, un término derivado de la palabra capa, porque el fluido parece estar fluyendo en capas continuas con poca o ninguna mezcla de una capa con las capas adyacentes. Cuando el grifo está abierto casi en su totalidad, el agua tiene una velocidad bastante alta. Entonces los elementos del fluido parecen estar mezclándose caóticamente dentro de la corrien- te. Esta es una descripción general del flujo turbulento. De regreso al punto en que usted observó un flujo lami- nar y luego continuó abriendo el grifo lentamente, a medida que aumentó la velocidad del flujo, ¿se dio cuenta de que la corriente se volvió menos suave y desarrolló ondulaciones en toda su longitud? La sección transversal de la corriente de flujo podría parecer oscilar en una dirección y otra, incluso cuando el flujo sea generalmente suave. A esta región de flujo se le denomina zona de transición en la que el flujo cambia de laminar a turbulento. Las velocidades altas producen más os- cilaciones hasta que, en un momento dado, el flujo llega a ser completamente turbulento. El ejemplo del flujo de agua desde un grifo ilustra la importancia que tiene la velocidad de flujo para determinar el carácter del flujo. La viscosidad del fluido también es importante. En el ca- pítulo 2, se definieron tanto la viscosidad dinámica h (letra griega eta) como la viscosidad cinemática n (letra griega nu).
FIGURA 8. 2 Ilustración del flujo laminar en una tubería circular.
8. 1 OBJETIVOS
Después de completar este capítulo, usted deberá ser capaz de:
1. Describir la apariencia del flujo laminar y del flujo turbulento.
2. Establecer la relación utilizada para calcular el número de Reynolds. 3. Identificar los valores límite del número de Reynolds me- diante los que es posible predecir si el flujo es laminar o tur- bulento. 4. Calcular el número de Reynolds para el flujo de fluidos en tuberías y tubos redondos. 5. Establecer la ecuación de Darcyy para calcular la pérdida de energía debida a la fricción, ya sea en el caso del flujo lami- nar o del turbulento. 6. Establecer la ecuación de Hagen-Poiseuille para calcular la pérdida de energía debida a la fricción en un flujo laminar. 7. Definir el factor de fricción tal como se utiliza en la ecuación de Darcy. 8. Determinar el factor de fricción usando el diagrama de Moody para valores específicos del número de Reynolds y rugosidad relativa de la tubería. 9. Calcular el factor de fricción usando ecuaciones desarrolla- das por Swamee y Jain. 10. Calcular la pérdida de energía debida a la fricción para el flu- jo de fluidos en tuberías circulares, mangueras y tubos y utili- zar la pérdida de energía en la ecuación general de la energía. 11. Utilizar la fórmula de Hazen-Williams para calcular la pér- dida de energía debida a la fricción para el caso especial del flujo de agua en tuberías circulares.
8 .2 NÚMERO DE REYNOLDS
El comportamiento de un fluido, particularmente con respecto a las pérdidas de energía, resulta ser bastante dependiente de si el flujo es laminar o turbulento, como se demostrará más adelante en este capítulo. Por esta razón, se requiere un medio adecuado para predecir el tipo de flujo sin tener que observarlo. De hecho, la observación directa es imposible de realizar en fluidos que fluyen por tuberías opacas. Es posible demostrar en forma expe- rimental y verificar de manera analítica que, en un tubo redondo, el carácter del flujo depende de cuatro variables: la densidad r del fluido, la viscosidad h del fluido, el diámetro D de la tubería y la velocidad promedio del flujo. Osborne Reynolds fue el pri- mero en demostrar que es posible predecir si el flujo es laminar
o turbulento siempre que se conozca la magnitud de un número adimensional, éste se conoce ahora como número de Reynolds (NNR ). Vea el recurso de internet 1. La siguiente ecuación muestra la definición básica del número de Reynolds:
➭ Número de Reynolds—Secciones circulares
NNR =
v DD r h
v D n
Estas dos formas de la ecuación son equivalentes porque n = h>r, tal como se analizó en el capítulo 2. Se debe utilizar un conjunto consistente de unidades de me- dición para garantizar que el número de Reynolds sea adimen- sional. En la tabla 8.1 se listan las unidades requeridas, tanto en el sistema SI como en unidades de uso común en Estados Unidos. Se recomienda la conversión a estas unidades estándar antes de introducir los datos para calcular el NNR. Por supuesto, podrían introducirse los datos con las unidades dadas en el cálculo y rea- lizar las conversiones apropiadas al finalizar las operaciones. Re- vise las secciones 2.1 y 2.2 del capítulo 2 para ver el estudio de la viscosidad. Consulte los factores de conversión del apéndice K. Es posible demostrar que el número de Reynolds es adimensio- nal sustituyendo las unidades estándar del SI en la ecuación (8-1):
NNR =
v DD r h
= v * D * r *
h
NNR =
m s
kg m^3
m#s kg Dado que todas las unidades se pueden cancelar, el NNR no tiene dimensiones. El número de Reynolds es uno de varios números adimen- sionales que son útiles en el estudio de la mecánica de fluidos y de la transferencia de calor. Los números adimensionales pueden ser determinados mediante el proceso llamado análisis dimensio- nall (vea la referencia 1). El número de Reynolds es la relación de la fuerza de inercia presente en un elemento de fluido sobre la fuerza viscosa. La fuerza de inercia se desarrolla a partir de la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma. Como se estudió en el capítulo 2, la fuerza viscosa se relaciona con el producto del esfuerzo cortante por el área. Los flujos que tienen un número de Reynolds grande, por lo general debido a su alta velocidad y/o baja viscosidad, tienden a ser turbulentos. Aquellos fluidos que tienen alta viscosidad y/o se mueven a bajas velocidades tendrán números de Reynolds bajos y tenderán a ser laminares. En la siguiente sección se proporcio- nan algunos datos cuantitativos con los cuales se puede predecir si un sistema de flujo dado será laminar o turbulento.
TABLA 8.1 Unidades estándar para cantidades usadas en el cálculo del número de Reynolds para asegurar que sea adimensional
Cantidad Unidades del SI Unidades de uso común en Estados Unidos Velocidad m/s ft/s Diámetro M ft Densidad kg/m^3 o N·s^2 /m^4 slugs/ft^3 o lb·s^2 /ft^4 Viscosidad dinámica N·s/m^2 o Pa·s o kg/m·s lb·s/ft^2 o slugs/ft·s Viscosidad cinemática m^2 /s ft^2 /s
La fórmula del número de Reynolds toma una forma dife- rente cuando se consideran secciones transversales no circulares, canales abiertos y flujo de fluidos alrededor de cuerpos sumergi- dos. Tales situaciones se analizan en otra parte de este libro.
8 .3 NÚMEROS DE REYNOLDS
CRÍTICOS
Para las aplicaciones prácticas en cuanto al flujo en tuberías, se encuentra que si el número de Reynolds para el flujo es menor que 2000, el flujo será laminar. Si el número de Reynolds es ma- yor que 4000, se puede suponer que el flujo es turbulento. En el rango de números de Reynolds comprendidos entre 2000 y 4000, resulta imposible predecir qué tipo de flujo existe; por lo tanto, a este rango se le llama región crítica. Las aplicaciones típicas inclu- yen flujos muy bien ubicados dentro del rango laminar o dentro
del rango turbulento, por lo que la existencia de esta región de incertidumbre no causa gran dificultad. Cuando en un sistema se encuentra que el flujo está en la región crítica, la práctica habitual es cambiar la velocidad de flujo o el diámetro del tubo para hacer que el flujo sea laminar o turbulento en forma definitiva. Así, es posible realizar un análisis más preciso. Al minimizar de manera cuidadosa las perturbaciones ex- ternas, es posible mantener un flujo laminar para números de Reynolds tan altos como 50 000. Sin embargo, cuando el NNR es mayor que aproximadamente 4000, una perturbación menor de la corriente de flujo hará que éste cambie en forma repentina de laminar a turbulento. Por esta razón, y debido a que en este libro se tratan aplicaciones prácticas, se supondrá lo siguiente: Si NNR 6 2000, el flujo es laminar. Si NNR 7 4000, el flujo es turbulento.
Determine si el flujo es laminar o turbulento en un pasaje circular por el que fluye glicerina a 25 °C dentro de un dispositivo fabricado para procesamiento químico. El diámetro del pasaje es de 15 0 mm. La velocidad promedio del flujo es de 3.6 m/s. Primero se debe evaluar el número de Reynolds mediante la ecuación (8-1): NR = v DD r>h v = 3. 6 m/s D = 0.1 5 m r = 1258 kg/m^3 (según el apéndice B) h = 9. 60 * 10 -^1 Pa#s (según el apéndice B) Así que se tiene
NR = (3.6)(0. 15 )(1258)
- 60 * 10 -^1
= 708
Debido a que NR = 708, lo cual es menor que 2000, el flujo es laminar. Observe que cada término se expresó en unidades consistentes del SI antes de evaluar el NR.
Determine si el flujo es laminar o turbulento en un tubo hidráulico de cobre con diámetro exterior (OD) de 32 mm * 2.0 mm de pared cuando por él fluye agua a 70 °C. La rapidez de flujo es de 285 L/min. Evalúe el número de Reynolds mediante la ecuación (8-1):
NR =
v DD r h = v D n Para el tubo de cobre, D = 2 8 mm = 0.028 m y A = 6.1 58 * 10 -^4 m^2 (de acuerdo con el apéndice G.2). Enton- ces se tiene
v = Q A
= 285 L/min 6.1 58 * 10 -^4 m^2
1 m^3 /s 60 000 L/min
= 7.71 m/s
n = 4. 11 * 10 -^7 m^2 /s (según el apéndice A)
NR = (7.71)(0.028)
- 11 * 10 -^7
= 5. 25 * 105
Debido a que el número de Reynolds es mayor que 4000, el flujo es turbulento.
Problema de ejemplo
8. 1
Solución
Problema de ejemplo
8. 2 Solución
En la ecuación (8-4) puede observarse que la pérdida de energía en el flujo laminar es independiente de la condición de la super- ficie de la tubería. Las pérdidas por fricción viscosa dentro del flui- do determinan la magnitud de la pérdida de energía. La ecuación de Hagen-Poiseuille es válida sólo para el flujo laminar (NNR 6 2000). Sin embargo, ya se estableció que la ecua- ción de Darcy, ecuación (8-3), también podría utilizarse para calcular la pérdida por fricción en el flujo laminar. Si las dos rela- ciones para hL se igualan entre sí, es posible despejar el valor del factor de fricción:
f *
L
D
v^2 2 g
32 h L v g D DD^2
f =
32 h L v g D DD^2
D 2 g L v^2
64 h g v D g
Puesto que r = g>>>g gg, se obtiene
f =
64 h v DD r
El número de Reynolds se define como NNR = vDr>h. Entonces se tiene
➭ Factor de fricción para el flujo laminar
f =
NNR
En resumen, para el flujo laminar, la pérdida de energía debida a la fricción se puede calcular a partir de la ecuación de Hagen- Poiseuille,
hL =
32 h L v g D DD^2
o bien a partir de la ecuación de Darcy,
hL = f *
L
D
v^2 2 g donde f = 64 >NNR.
8 .6 PÉRDIDA POR FRICCIÓN
EN EL FLUJO TURBULENTO
Para el flujo turbulento de fluidos en tuberías circulares, se re- comienda usar la ecuación de Darcy para calcular la pérdida de energía debida a la fricción. El flujo turbulento es bastante caóti-
co y varía en forma constante. Por estas razones, resulta necesa- rio confiar en datos experimentales para determinar el valor de fff. Las pruebas han mostrado que el número adimensional ff de- pende de otros dos números adimensionales, que son el número de Reynolds y la rugosidad relativa de la tubería. La rugosidad relativa es la relación que hay entre el diámetro de la tubería D
Determine la pérdida de energía si a través de una tubería estándar DN de 15 0 mm cédula 80 fluye glicerina a 25 °C a lo largo de 30 m con una velocidad promedio de 4.0 m/s. Primero, se debe determinar si el flujo es laminar o turbulento mediante la evaluación del número de Reynolds:
NR =
v DD r h En el apéndice B se encuentra que, para la glicerina a 25 °C, r = 1258 kg/m^3 h = 9.6 0 * 10 -^1 Pa#s Entonces, se tiene
NR = (4.0)(0. 14 63)(1258)
- 60 * 10 -^1
= 767
Puesto que NR 6 2000, el flujo es laminar. Con base en la ecuación de Darcy, se obtiene
hL = f *
L D
v^2 2 g
f = NR
= 64 64 767
= 0. 0835
hL = 0. 0835 * 30
- 1463
- (4.0)^2 2(9.81) m = 13.96 m
Observe que en cada ecuación se expresa cada término en las unidades del sistema SI. Por lo tanto, las unida- des resultantes para hL son m o N#m/N. Esto significa que se pierden 13.96 N·m de energía por cada newton de glicerina mientras ésta fluye a lo largo de 30 m de tubería.
Problema de ejemplo
8. 4 Solución
y la rugosidad promedio ε (letra griega épsilon) de la pared de la tubería. En la figura 8.6 se ilustra la rugosidad (exagerada) de la pared del tubo como la altura de los picos de las irregula- ridades de la superficie. La condición de la superficie de la tube- ría depende en gran medida del material de ésta y del método de fabricación. Debido a que la rugosidad es un tanto irregular, para medir su valor global se utilizan técnicas de promedio. Para los tubos y las tuberías disponibles comercialmente, el valor de diseño de la rugosidad promedio ε de la pared de la tu- bería se ha determinado como indica la tabla 8.2. Estos son sólo valores promedio para tuberías nuevas y limpias. Se debe esperar alguna variación. Después de que una tubería ha estado en servi- cio durante cierto tiempo, la rugosidad puede cambiar debido a la formación de depósitos en la pared o a la corrosión. Los tubos de vidrio tienen una superficie interior que es casi hidráulicamente lisa, lo que indica un valor muy pequeño de rugosidad. Por lo tanto, la rugosidad relativa, D>e, tiende a infi- nito. Los tubos y las tuberías de plástico son casi tan lisos como el cristal, y en este libro se utiliza el valor indicado para esa rugo- sidad. Se deben esperar variaciones. Durante su proceso de fabri- cación, las tuberías de cobre, latón y algunas de acero se estiran hasta darles su forma y tamaño finales sobre un mandril interno, lo que deja una superficie bastante lisa. Para tuberías de acero es- tándar (como las de los anexos 40 y 80) y tubos de acero soldado, se utiliza el valor de rugosidad indicado para el acero comercial o el acero soldado. El hierro galvanizado tiene un recubrimiento de zinc unido metalúrgicamente para resistir la corrosión. Por lo general, la tubería de hierro dúctil está revestida en su interior con un mortero de cemento para protegerla contra la corrosión y disminuir la rugosidad de la superficie. En este libro, se usan los valores de rugosidad para el hierro dúctil recubierto a menos que se indique lo contrario. La tubería de hierro dúctil de algunos fabricantes tiene una superficie interior suave, que se acerca a la del acero. La tubería de concreto de buena calidad puede tener valores de rugosidad similares a los valores del hierro dúctil re-
cubierto indicados en la tabla 8.2. Sin embargo, existe un rango amplio de valores y los datos deben obtenerse a partir del fabri- cante. En algunas nuevas líneas tubulares grandes y en ciertas instalaciones actuales se utiliza el acero remachado.
8.6.1 Diagrama de Moody Uno de los métodos más utilizados para evaluar el factor de fric- ción emplea el diagrama de Moody que se muestra en la figura 8.7. Este diagrama presenta el factor de fricción ff graficado con- tra el número de Reynolds NNR , con una serie de curvas paramé- tricas relacionadas con la rugosidad relativa D/ε. Estas curvas se generaron a partir de datos experimentales de L. F. Moody (vea la referencia 2). Tanto ff comoNNR se grafican sobre escalas logarítmicas de- bido al amplio rango de valores encontrados. En el extremo iz- quierdo de la gráfica, para los números de Reynolds menores a 2000 , la línea recta muestra la relación f = 64 >NNR para el flujo laminar. Para 2000 6 NNR 6 4,000, no se trazan curvas porque ésta es la zona crítica existente entre el flujo laminar y el turbulento y no es posible predecir el tipo de flujo. El cambio de flujo de la- minar a turbulento resulta en valores para los factores de fricción ubicados dentro de la banda sombreada. Más allá de NNR = 4 000, se grafica la familia de curvas relacionadas con los diferentes va- lores de D>e. Es posible hacer varias observaciones importantes a partir de estas curvas: 1. Para un número de Reynolds del flujo en particular, a medi- da que aumenta la rugosidad relativa D>e, el factor de fric- ción ff disminuye.
2. Para una rugosidad relativa D>e dada, el factor de fricción ff disminuye con el aumento del número de Reynolds hasta que se alcanza la zona de turbulencia completa. 3. Dentro de la zona de turbulencia completa, el número de Reynolds no tiene ningún efecto sobre el factor de fricción.
r D
FIGURA 8. 6 Rugosidad (exagerada) de la pared de una tubería.
TABLA 8.2 Rugosidad de la tubería —valores de diseño
Material Rugosidad E (m) Rugosidad E (ft) Vidrio Liso Liso Plástico 3. 0 * 10 -^7 1. 0 * 10 -^6 Tubo estirado; cobre, latón, acero 1. 5 * 10 -^6 5. 0 * 10 -^6 Acero, comercial o soldado 4. 6 * 10 -^5 1. 5 * 10 -^4 Hierro galvanizado 1. 5 * 10 -^4 5. 0 * 10 -^4 Hierro dúctil —revestido 1. 2 * 10 -^4 4. 0 * 10 -^4 Hierro dúctil —sin revestir 2.4 * 10 -^4 8. 0 * 10 -^4 Concreto, bien hecho 1.2 * 10 -^4 4. 0 * 10 -^4 Acero remachado 1. 8 * 10 -^3 6. 0 * 10 -^3
4. A medida que se incrementa la rugosidad relativa D>e, tam- bién aumenta el valor del número de Reynolds en el que co- mienza la zona de turbulencia completa. La figura 8.8 es un esquema simplificado del diagrama de Moody en el que se identifican las distintas zonas. Ya se ha ana- lizado la zona laminarr de la izquierda. A la derecha de la línea discontinua descendente y a lo largo de todo el diagrama está la zona de turbulencia completa. El factor de fricción más bajo posible para un número de Reynolds dado en flujo turbulento se indica mediante la línea de tuberías lisas. Entre la línea de las tuberías lisas y la línea que marca el ini- cio de la zona de turbulencia completa está la zona de transición. Aquí, las distintas líneas D>e son curvas y se debe tener cuidado para evaluar el factor de fricción en forma correcta. Por ejemplo, se puede ver que el valor del factor de fricción para una rugosi- dad relativa de 500 disminuye desde 0.0420 en NNR = 4000 hasta 0.024 0 en NNR = 6.0 * 105 , donde comienza la zona de turbulencia completa. Revise su capacidad de leer el diagrama de Moody correcta- mente al verificar los siguientes valores dados para los factores de fricción contra los valores dados del número de Reynolds y de la rugosidad relativa, para ello utilice la figura 8.7. Si es posible, se debe evitar la zona crítica situada entre los números de Reynolds de 2000 y 4000 porque dentro de este ran- go el tipo de flujo no se puede predecir. La banda sombreada
muestra cómo podría cambiar el factor de fricción de acuerdo con el valor de la rugosidad relativa. Para valores bajos de D>e (lo cual indica una rugosidad grande de la pared de la tubería), el incremento del factor de fricción es grande a medida que el flujo cambia de laminar a turbulento. Por ejemplo, para el flujo en una tubería con D>e = 20 , el factor de fricción se incrementa- ría desde 0.032 para NNR = 2000 en el extremo del rango laminar hasta aproximadamente 0.077 para NNR = 4000 al inicio del ran- go turbulento, lo cual significa un aumento de 240 por ciento. Además, donde ocurre esto, el valor del número de Reynolds no se puede predecir. Debido a que la pérdida de energía es di- rectamente proporcional al factor de fricción, los cambios de tal magnitud son significativos. Es necesario señalar que, debido a que la rugosidad relativa se define como D>e, una rugosidad relativa alta indica un valor bajo de e; es decir, una tubería más lisa. De hecho, la curva deno- minada tuberías lisas se utiliza para materiales como el vidrio, los cuales tienen una rugosidad tan baja que D>e sería un número extremadamente grande, tendiente infinito. Algunos textos y referencias utilizan otras convenciones para reportar las rugosidades relativas, como e>D, e>rr orr> e, donde rr es el radio de la tubería. Se considera que la convención utilizada en este libro facilita los cálculos y las interpolaciones.
8 .6.2 Uso del diagrama de Moody El diagrama de Moody se utiliza para ayudar a determinar el va- lor del factor de fricción ff para el flujo turbulento. El valor del número de Reynolds y la rugosidad relativa deben ser conocidos. Por lo tanto, los datos básicos necesarios son el diámetro interior de la tubería (ID), el material de la tubería, la velocidad de flujo y el tipo de fluido y su temperatura, a partir de lo cual es posi- ble encontrar la viscosidad. Los siguientes problemas de ejemplo ilustran el procedimiento para encontrar fff.
Zona crítica Laminar Turbulento
Zona de transición
Tuberías lisas
Turbulencia completa
D /" 20
D /" 50
D /" 500
Línea divisoria entre la zona de turbulencia completa y la zona de transición
Factor de fricción
f
.
.
.
.
.
.
.
10 3 104 105 106 107 108 2000 4000 Número de Reynolds NR
Zona laminar
FIGURA 8.8 Explicación de las partes del diagrama de Moody.
NNR DD > E f 6.7 * 103 150 0.
- 6 * 104 2000 0. 0284
- 6 * 106 2000 0. 0171
- 5 * 105 733 0. 0233
Determine el factor de fricción ff si fluye agua a 160 °F y 30.0 ft/s en una tubería de acero cédula 40.
Primero se debe evaluar el número de Reynolds para determinar si el flujo es laminar o turbulento:
NNR = v D n De acuerdo con el apéndice F: D == 1.049 in== 0.0874 ft. Para el agua, según el apéndice A.2,n == 4.38** 10 -^6 ft^2 /s, entonces NR =
(30.0)(0. 0874 )
- 38 * 10 -^6
= 5. 98 * 105
Por lo tanto, el flujo es turbulento. Ahora se debe evaluar la rugosidad relativa. A partir de la tabla 8.2 se encuen- tra que e = 1. 5 * 10 -^4 ft. Entonces, la rugosidad relativa es D e =
0 .0874 ft
- 5 * 10 -^4 ft
= 583
Observe que para que DD > e sea una relación adimensional, tanto DD comoe deben tener las mismas unidades. Los pasos finales en el procedimiento a seguir son los siguientes:
1. Busque el número de Reynolds en la abscisa del diagrama de Moody: NR = 5.98 * 105 2. Proyecte verticalmente hasta llegar a la curva para DD > e = 583. Se debe interpolar entre la curva para 500 y la curva para 750 sobre la línea vertical de NR = 5. 98 * 105. 3. Proyecte horizontalmente hacia la izquierda y, ahí, lea f = 0.023.
Si en el problema 8.5 la velocidad de flujo del agua fuese de 0.45 ft/s y todas las demás condiciones se conser- varan igual, determine el factor de fricción f.
NR =
v D n =
(0.45)(0. 0874 ) 4.3 8 * 10 -^6
= 8. 98 * 103
D e =
- 0874
- 5 * 10 -^4
= 583
Entonces, a partir de la figura 8.7, f = 0.0343. Observe que esto se encuentra en la porción curva de la línea DD > e y que ahí existe un incremento del factor de fricción superior al encontrado en el problema de ejemplo 8.5.
Determine el factor de fricción ff para una tubería de acero estándar DN 40 cédula 80 si por ahí fluye alcohol etílico a 25 °C y a 5.3 m/s. Para evaluar el número de Reynolds, se utiliza la ecuación
NR =
v DD r h De acuerdo con el apéndice B, r = 787 kg/m^3 y h = 1. 00 * 103 Pa#s. Además, para una tubería DN 40 cédula 80 , D = 0.0381 m. Entonces se tiene
NR = (5.3)(0.0381)(7 87 )
- 00 * 10 -^3
= 1. 59 * 105
Por lo tanto, el flujo es turbulento. Para una tubería de acero, e = 4. 6 * 10 -^5 m, por lo que la rugosidad relativa es D e =
0381 m
6 * 10 -^5 m
= 828
A partir de la figura 8.7, f = 0.0225. Es necesario interpolar tanto en NRR como en DD > e para determinar este valor, y puede esperarse alguna variación. Sin embargo, en esta parte de la gráfica, usted debe ser capaz de leer el valor del factor de fricción ff con una precisión de; 0.0005.
Problema de ejemplo
8. 5 Solución
Problema de ejemplo
8. 6 Solución
Problema de ejemplo
8. 7 Solución
8 .7 USO DE SOFTWARE PARA
RESOLVER PROBLEMAS DE FLUJO EN TUBERÍAS
Los cálculos necesarios para lograr la comprensión completa de los sistemas de fluidos pueden ser tediosos y repetitivos, por lo que este proceso es un buen candidato para ser resuelto mediante software. Uno de los programas que automatizan los cálculos pre- sentados en este texto se llama PIPE-FLO®, de Engineered Soft- ware Incorporated. El uso de un software poderoso viene siempre acompañado de la responsabilidad de entender completamente los cálculos que se están realizando, y esta aplicación no es dife- rente. Muchos de los problemas incluidos en este libro pueden re- solverse de manera eficaz y eficiente con el software en cuestión, y se presentarán en las secciones adecuadas del capítulo 13 de este texto. El uso de software como un complemento a los cálculos manuales, mientras se aprenden los principios, no sólo ayuda en la comprensión, sino que también sirve como preparación para el uso responsable de este tipo de software a lo largo de una carrera.
En este punto del curso, los estudiantes deben ir a: http://www.eng-software.com/appliedfluidmechanics Descargue la versión de prueba gratuita del software. Las instrucciones para la descarga y el material útil para el curso están disponibles en el sitio. La versión de prueba del softwa- re limita el número de tubos y los tipos de fluidos que se pueden encontrar, pero los límites están más allá de lo que se necesita para resolver la mayoría de los problemas que se presentan en este texto, por lo que el software funcionará igual que la versión profesional completa a lo largo del curso. Los resultados que se imprimen para cada solución son los mismos que podrían obtenerse con el cálcu- lo manual. Instrucciones, tutoriales y funciones de ayuda dispo- nibles a través del software reducen la necesidad de abundar en instrucciones escritas en este texto; pero para cada función nueva e importante, el texto proporciona un problema de ejemplo que guía el proceso y aporta respuestas de control para confirmar su trata- miento correcto. La versión de prueba también actuará como un “lector” para cualquier modelo de tubería, por lo que usted puede abrir cualquier sistema con la versión demo, incluso los grandes y complejos sistemas disponibles en el sitio web ya indicado.
Para determinar el factor de fricción, f , es necesario calcular el número de Reynolds.
NR =
v D n =
(4.00 m/s)(0. 05 25 m)
- 94 * 10 -^7 m^2 /s
= 2. 349 * 105
Entonces el flujo es turbulento y se utiliza el diagrama de Moody para encontrar fff. En la tabla 8.2, se encuentra que para una tubería de acero limpia la rugosidad es e = 4. 6 * 10 -^5 m. Entonces, DD > e = 0. 0525 m>4. 6 * 10 -^5 m = 1141 De acuerdo con el diagrama de Moody, se puede leer que f = 0.0203. Ahora complete el cálculo para hL.
Aquí está el resultado:
hL = f *
L D
v^2 2 g = 0. 0203 *
100
- 0525
(4.00)^2 2(9.81) = 31. 53 m
Ahora complete el cálculo de la caída de presión en la tubería.
Usted debe obtener pppA - pB = 308.4 kPa. A continuación se muestran los detalles: pppA - pB = g hL = (9.78 kN/m^3 )(31.53 m) = 308.4 kN/m^2 = 308.4 kPa Con esto se completa el problema de ejemplo.
Use el software PIPE-FLO®^ para determinar la caída de presión en una tubería horizontal de 100 m DN 5 0 cédula 40, la cual conduce agua a 25 °C a una velocidad de 4 m/s. Reporte todos los valores aplicables que se relacionan con la solución, como el número de Reynolds y el factor de fricción. 1. Abra un nuevo proyecto en PIPE-FLO®^ y seleccione el menú “System” en la barra de herramientas para inicializar todos los datos clave, como unidades, zonas de fluido y especificaciones de la tubería.
Problema de ejemplo
8. 9
Solución
2. El menú “Units” permite definir las unidades deseadas para todo el sistema de tuberías. En este problema, seleccione las unidades típicas del SI como se muestra a continuación. Observe que PIPE-FLO®^ tiene unidades inglesas predefinidas al inicio de un nuevo proyecto, pero siempre es posible seleccionar las unidades mediante este menú. Para cualquier parámetro individual, las unidades pueden cambiarse fácilmente utilizando los me- nús desplegables en cualquier momento mientras se trabaja con el modelo.
3. El menú “Fluid Zone” permite definir el fluido que se desea utilizar en el sistema. Todos los problemas resueltos mediante PIPE-FLO®^ en este texto cumplirán con la restricción de la versión de prueba de tener acceso a una sola zona de fluido, lo cual significa trabajar con solamente un fluido en el sistema. Bajo el menú “System”, seleccione “Fluid Zone”, luego “New” y después “Water”. Al seleccionar un fluido en el cuadro de la izquierda e introducir la temperatura inicial y la información de la presión, PIPE-FLO®^ llenará la información restante de acuerdo con su base de datos interna, la cual refleja los valores que se buscarían manualmente en el apéndice de este libro o en referencias externas. Este enfoque de incluir las propiedades en una base de datos resulta muy conveniente y efi- caz, asimismo permite editar el estado de un fluido, tal como su temperatura, y todas las propiedades asociadas se actualizan en forma automática. Para este problema, introduzca 25 °C y 101 kPa(abs), lo cual designa la presión atmosférica. Tenga en cuenta que en PIPE-FLO®, la presión absoluta se escribe como “kPa a”. Por conveniencia y para mayor claridad, también es posible cambiar el nombre del fluido. Cambie el nombre de esta zona de fluido a “Water @ 25 C” de la manera mostrada, lo cual será importante más adelante en el ejemplo. 4. Ahora designe el tipo de tubería. Para este problema, pulse “New” en el menú principal de la especificación de tubería, desplácese hasta “Steel A53-B36.10” para indicar tubería de acero comercial y luego el número “40” para indicar la cédula. Asegúrese de utilizar el pequeño triángulo situado a la izquierda de las pala- bras para exponer el menú desplegable que lista las diferentes cédulas disponibles. El factor de rugosidad mostrado corresponde a valores incluidos en la tabla 8.2 de este capítulo. Tenga en cuenta que para casos especiales, el usuario simplemente puede introducir un factor de rugosidad de manera directa. Igual que
6. Enseguida, añada la tubería al modelo. Elija “Pipe” en el menú de herramientas de la izquierda, luego haga clic en el tanque de FLO-Sheet®^ , a continuación arrastre la tubería situada a la derecha y de nue- vo haga clic en FLO-Sheet®^. No se preocupe por la colocación inicial; después que la tubería ha sido colocada, sus propiedades pueden modificarse fácilmente de manera similar al proceso utilizado para el tanque. Elija la misma zona de fluido. Seleccione el tipo de tubería establecido anteriormente y especifique el tamaño. Este problema requiere DN 50 cédula 40, y el tamaño real se puede verificar al desplegar la columna “Size” en la cuadrícula de propiedades que muestra el identificador de la tubería como 52.5 mm. Introduzca una longitud de 100 m para esta sección de la tubería. Recuerde del capítulo 6 que la tubería DN 50 cédula 4 0 es idéntica a la tubería de 2 in cédula 40. 7. Por supuesto, PIPE-FLO®^ puede construir sistemas completos, pero también proporciona maneras de modelar segmentos de un sistema. En este caso, únicamente se tiene interés en la caída de presión que ocurre en una línea de tubería. En lugar de los componentes del modelo aguas abajo, sólo introduzca “Flow Demand” en el extremo de la tubería indicando el flujo aguas abajo sin necesidad de dar detalles del sistema. La demanda de flujo se encuentra en la caja de herramientas bajo la sección “Basic Devi- ces”. Después de colocar la demanda en el extremo de la tubería, es necesario introducir los valores de la elevación, el caudal y el tipo de flujo de la demanda. Para este ejemplo, utilice una elevación de cero, suponiendo que la tubería es horizontal. Calcule el caudal correspondiente a una velocidad de 4 m/s. In- troduzca esa rapidez de flujo, 520.3 L/min. Como esta demanda representa el flujo que sale del sistema, seleccione la opción de “Flow out” en el tipo de flujo. 8. El paso final en este problema es calcular los resultados del sistema. Haga clic en el botón que muestra una calculadora en la barra de herramientas.
8 .8 ECUACIONES PARA EL
FACTOR DE FRICCIÓN
El diagrama de Moody que aparece en la figura 8.7 es un medio conveniente y lo suficientemente preciso como para determinar el valor del factor de fricción en la resolución de problemas mediante cálculos manuales. Sin embargo, cuando los cálculos son automati- zados para resolver problemas en una computadora o calculadora programable, se necesitan ecuaciones para el factor de fricción.
Las ecuaciones utilizadas en el trabajo de Moody consti- tuyen la base del método computacional.* Pero esas ecuaciones eran tan intrincadas que requerían un enfoque iterativo. Aquí se
Para ver la información que se ha calculado sobre un elemento particular en FLO-Sheet®, seleccione ese ele- mento en la cuadrícula “Property Grid”, bajo “Device View Options”. Simplemente marque la casilla de cada elemento que desea mostrar y los valores aparecerán en FLO-Sheet®^ para ese elemento en particular. En este problema introductorio seleccione todos los datos que se desplegarán. Nota: para encontrar el cuadro “Device View Options” en la cuadrícula de propiedades, primero debe hacer clic en el fondo de FLO-Sheet®^ y asegurarse de que no se ha seleccionado ningún componente del sistema.
Los resultados finales se muestran debajo de la tubería en forma de texto. En este caso, la caída de presión a lo largo de esta longitud de tubería es de 309.8 kPa, con un número de Reynolds de 236 068 y un factor de fricción de 0. 02 033, lo que resulta en una pérdida de carga de 31.68 m.
L = Longitud de tubería Flow = Rapidez del flujo de volumen, Q Vel = Velocidad de flujo, v dP = Caída de presión, ¢ p HL = Pérdida de carga, hL Re = Número de Reynolds, NR ffp = Factor de fricción, f
- El trabajo inicial para desarrollar estas ecuaciones fue realizado por varios in- vestigadores, de manera notable por C. F. Colebrook, L. Prandtl, H. Rouse, T. van Karman y J. Nikuradse, cuyos artículos se listan en la bibliografía de la referencia 2.
8 .1 0 OTRAS FORMAS DE LA
FÓRMULA DE HAZEN- WILLIAMS
Las ecuaciones (8-8) y (8-9) permiten el cálculo directo de la ve- locidad de flujo para un tipo y un tamaño de conducto de flujo dados cuando se conoce o especifica la pérdida de energía por unidad de longitud. La rapidez del flujo de volumen se puede calcular simplemente mediante el uso de Q = Av. Otros tipos de cálculos que se requieren a menudo son:
1. Determinar el tamaño requerido de la tubería que debe con- ducir un caudal dado mientras limita la pérdida de energía a un valor especificado. 2. Determinar la pérdida de energía para un caudal dado a lo largo de un determinado tipo y tamaño de tubería con lon- gitud conocida. En la tabla 8.4 se muestran varias formas de la fórmula de Hazen-Williams que facilitan tales cálculos.
8 .11 NOMOGRAMA PARA RESOLVER LA FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS El nomograma que muestra la figura. 8.10 permite obtener la solución de la fórmula de Hazen-Williams simplemente al ali- near las cantidades conocidas con un borde recto y leer las in- cógnitas deseadas en la intersección del borde recto con el eje vertical apropiado. Observe que este nomograma se construye para el valor del coeficiente de Hazen-Williams de Ch = 100. Si la condición real de la tubería garantiza el uso de un valor diferente de Ch, se pueden utilizar las siguientes fórmulas para ajustar los resultados. El subíndice “100” se refiere al valor leí- do en el nomograma para Ch = 1 00. El subíndice “c” se refiere al valor para el Ch dado.
vc = v 100 (Ch/100) [velocidad] (8-10) Qc = Q 100 (Ch/100) [rapidez del flujo de volumen] (8-11)
¿Para qué velocidad de flujo de agua en una tubería de acero de 6 in cédula 40, nueva y limpia, ocurriría una pérdida de energía de 20 ft de carga en una longitud de 1000 ft? Calcule la rapidez del flujo de volumen a esa velocidad. Después vuelva a calcular la velocidad utilizando el valor de diseño de CCh (^) h para tubería de acero. Se puede utilizar la ecuación (8-8). Escriba s = hL > L = (20 ft)>(1000 ft) = 0. 02 R = D > 4 = (0.5 054 ft)> 4 = 0. 126 ft Ch = 130 Entonces, v = 1. 32 ChR 0.^63 s 0.^54 v = (1.32)(130)(0.126)0.^63 (0.02)0.^54 = 5. 64 ft/s Q = A v = (0. 2006 ft^2 )(5. 64 ft/s) = 1. 13 ft^3 /s Ahora es posible ajustar el resultado para el valor de diseño de CCh. Observe que tanto la velocidad como la rapidez del flujo de volumen son directamente proporcionales al valor de CCh. Si la tubería se degrada después de usarla de modo que el valor de diseño CCh = 100, la rapidez del flujo de volumen permisible para limitar la pérdida de energía al mismo valor de 20 ft por 1000 ft de longitud de tubería sería v = (5. 64 ft/s)(100> 130 ) = 4. 34 ft/s Q = (1. 13 ft^3 /s)(100> 130 ) = 0. 869 ft^3 /s
Problema de ejemplo
8. 11
Solución
TABLA 8.3 Coeficiente de Hazen-Williams C (^) h
Tipo de tubería
CCh Promedio para tubería nueva y limpia
Valor de diseño Acero, hierro dúctil o hierro fundido con cemento aplicado en forma centrífuga o revestimiento bituminoso 150 140 Plástico, cobre, latón, vidrio 140 130 Acero, hierro fundido, sin revestir 130 100 Concreto 120 100 Acero corrugado 60 60
10 9 8 7 6 5 4 3
- 5
2
5
0
9
8
5
4
0.2 5
- 2
0.1 5
- 1
0.27 5 0.25 0 0.22 5
- 200 0.1 80 0.16 0 0.14 0 0.1 20 0.10 0 0.0 90 0.0 80 0.07 0 0.06 0 0.05 0 0.04 5 0.04 0 0.03 5
0.03 0 0.02 5
0.0 20
0.01 5
0.01 0 0.00 9 0.00 8
0.00 5
0.00 4
48 44 40 36 32 28
24
20
16
12
- 0
- 0
- 0
- 0
- 5
- 0
- 5
- 0
1200 1100 1000 900 800 700
600
500
400
300
250
200 175
150
125
100 90 80 70
60
50
0.0 8 0.0 9 0.1 0
100
150 200
300
4
5
8
0
5
0
5
0
5
0
5
0
0
10
- 0
90 80
70
60
50
40
30
20
15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
9
8
5
4
2
0.1 5
- 2
- 1
- 5
- 0
- 5
- 0
- 90
- 80
0.7 0
0.6 0
0.5 5
0.5 0
0.4 5
- 0
- 5
- 0
- 5
0.4 0
0.3 5
0.3 0
0.27 5
0.25 0
- 0
- 9
- 8
Rapidez del flu
jo de volumen,
m
3 /s
Rapidez del flu
jo de volumen, ft
3 /s
Diámetro de la tubería, m
m
Diámetro de la tubería, i
n
Pérdida de carga por 1000 ft
( s
x
10
3 )
Velocidad, ft/
s
Velocidad, m/
s
Ejemplo: Dado: Tubería de acero de 6 in cédula 4 0 C h = 10 0 s = hL /1000 ft = 2 0 Resultado: Velocidad permisible = 4.3 ft/s
x
FIGURA 8. 10 Nomograma para resolver la fórmula de Hazen-Williams con Ch = 100.
TABLA 8.4 Formas alternativas de la fórmula de Hazen-Williams
Unidades del SI v = 1. 32 CCh R 0.^63 s 0.^54 v = 0. 85 CCh R 0.^63 s 0.^54 Q = 1.32A CCh R 0.^63 s 0.^54 Q = 0.85A CCh R 0.^63 s 0.^54
hL = L c Q
- 32 ACCh R 0.6^3
d
1.8 52 hL = L c Q
- 85 ACCh R 0.6^3
d
D = c
- 31 Q CCh s s 0.5^4
d
- 380 D = c 3. 59 Q CCh s 0.^54
d
- 380
Nota : Las unidades deben ser consistentes: v en ft/s v en m/s QQ en ft^3 /s QQ en m^3 /s A en ft^2 A en m^2 hL , L , RR y D en ft hL , L , RR y D en m ss en ft/ft (adimensional) ss en m/m (adimensional)
