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Orientación Universidad
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tareas de logica Calculatoria, Ejercicios de Lógica

dia dia de la semana 9 y 10 de las semanas mas ajetreadas

Tipo: Ejercicios

2021/2022

Subido el 15/04/2022

sebastian-ramirez-14
sebastian-ramirez-14 🇨🇴

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bg1
Taller #6
Considere las sustituciones:
F1 = {p → (p ≡ q), q → (r → s), r → false}
F2 = {p → (p ≡ q)}
F3 = {r → false}
F4 = {p → (p ≡ q), q → (r → s)}
F5 = {q → (r → s), r → false}
1. Calcular F1(φ), F2(φ), F3(φ), F4(φ) y F5(φ) para cada una de las
siguientes proposiciones φ:
((p
(
¬q
)
) r)
(p (q p))
(¬((r(r (ps)))(¬(( p→ q )(r(¬ r ))))))
F1.
1.
((p
(
¬q
)
) r)
((( p≡q)
(
¬(r s)
)
) false)
2.
(p (q p))
((p q)((r s )(p q)))
3.
(¬((r(r (ps)))(¬(( p→ q )(r(¬ r ))))))
(¬((r s)(r s)(p q)s))¿(¬((p q) q )(r s )(¬r s ))¿¿¿¿¿
F2.
1.
((p
(
¬q
)
) r)
((( p≡q)
(
¬q
)
)→r )
2.
(p (q p))
3.
(¬((r(r (ps)))(¬(( p→ q )(r(¬ r ))))))
(¬((r(r (( p q)s)))(¬((( p q )→q)(r(¬r ))))))
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa

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Taller #

Considere las sustituciones:

F 1 = {p → (p ≡ q), q → (r → s), r → false}

F 2 = {p → (p ≡ q)}

F 3 = {r → false}

F 4 = {p → (p ≡ q), q → (r → s)}

F 5 = {q → (r → s), r → false}

  1. Calcular F 1 (φ), F 2 (φ), F 3 (φ), F 4 (φ) y F 5 (φ) para cada una de las

siguientes proposiciones φ:

(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )

( p → ( q → p ))

( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ( ¬ (( p → q ) ( r ∧ ( ¬ r ))))))

F1.

(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )

((( p ≡q ) ∧ ( ¬ ( r → s ))) → false )

( p → ( q → p ))

(( p ≡ q ) (( r → s ) ( p ≡q )))

( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ( ¬ (( p → q ) ( r ∧ ( ¬ r ))))))

( ¬ (( r → s ) ( r → s ) ( p ≡q ) ∨ s ))¿ ( ¬ (( p ≡ q ) → q ) ( r → s ) ( ¬r → s ))¿ ¿ ¿ ¿ ¿

F2.

(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )

((( p ≡q ) ( ¬q )) →r )

( p → ( q → p ))

(( p ≡ q ) ( q → ( p ≡q )))

( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ( ¬ (( p → q ) ( r ∧ ( ¬ r ))))))

( ¬ (( r ∧ ( r ← (( p ≡q ) ∨ s ))) ( ¬ ((( p ≡ q ) →q ) ( r ∧ ( ¬r ))))))

F3 = {r → false}

(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )

(( p ∧ ( ¬q ) ) → false )

( p → ( q → p ))

( p → ( false → p ))

( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ( ¬ (( p → q ) ( r ∧ ( ¬ r ))))))

( ¬ (( false ∧ ( false ← ( p ∨ s ))) ( ¬ (( p → q ) ( false ∧ ( ¬ false ))))))

F 4 = {p → (p ≡ q), q → (r → s)}

(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )

((( p ≡q ) ( ¬q )) →r )

( p → ( q → p ))

(( p ≡ q ) ( q → ( p ≡q )))

( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ( ¬ (( p → q ) ( r ∧ ( ¬ r ))))))

( ¬ (( r ∧ ( r ← (( p ≡q ) ∨ s ))) ( ¬ ((( p ≡ q ) ( r → s )) ( r ∧ ( ¬r ))))))

F 5 = {q → (r → s), r → false}

(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )

(( p ∧ ( ¬ ( r → s )) ) → false )

( p → ( q → p ))

( p → (( r → s ) → p ))

F

5

F

1 (

(

(

(

r ∧ (

r ← ( p ∨ s ) ) )

(

(

( p → q ) (

r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) ) ) )

F

5 (

(

((

¬ false ∧ (

¬ false ← (

¬ ( p ≡q ) ∨ ¬ s ) ) )

(

((

( p ≡ q ) ( r → s ) )

(

false ∧ ( ¬ false ) ) ) ) ) ) )

(

(

(

¬ false ∧ (

¬ false ← (

(

p ≡ ( r → s ) )

∨¬ s )) )

(

(( (

p ≡ ( r → s ) )

( false → s ) )

(

false ∧ ( ¬ false ) ) ) ) ) )

F

2

∘ F

3

((

p ∧ ( ¬ q ) )

→ r )

F

2

F

3

( (( p ∧

¬ q

) → r ))

F

2

( (( p ∧

¬ q

) → false ))

( F 2

(( p ∧

¬ q

) ) → F

2

false

)

(

( F

2

p

∧ F

2

(

¬ q

) ) → F

2

false

)

(

(

F

2

( p ) (

¬ F

2

( q ) ))

→ false

)

(( ( p ≡ q ) ( ¬ q )) → false )

F

4

∘ F

5

(

p → ( q → p ) )

F

4

F

5

( (

p → ( q → p ) ) )

F

4

( ( p → (

r → s

→ p ) ))

( F 4

p

→ F

4

((

r → s

→ p ) ) )

(

F

4

( p ) (

F

4

( ( r → s ) ) → F

4

( p ) ) )

(

( p ≡q ) (

( F

4

( r ) → F

4

( s ) ) → F

4

( p ) ) )

(

( p ≡q )

(

(

F

4

( r ) → F

4

( s ) )

( p ≡ q )

) )

(

( p ≡ q ) (

( r → s ) ( p ≡q ) ) )

 ( F

1

∘ F

3

(

(

(

r ∧ ( r ← ( p ∨ s ) ) )

(

(

( p →q ) ( r ∧ ( ¬ r ) ) )) ) )

F

1

F

3 (

(

(

(

r ∧ (

r ← ( p∨ s ) ) )

(

(

( p→ q ) (

r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) ) ) )

F

1 (

(

(

(

¬ false ∧ (

¬ false ← ( ¬ p ∨ ¬s ) ))

(

(

( p → q ) (

false ∧ ( ¬ false ) ) ) )) ) )

(

(

(

¬ false ∧ (

¬ false ← ( ¬ ( p ≡q ) ∨ ¬ s ) ) )

( (

( ( p ≡q ) ( r → s ) ) ( false ∧ ( ¬ false ) ) )) ) )

1. Calcular:

F

1

∘ F

2

∘ F

3

((

p ∧ ( ¬q ) )

→ r )

F

1

∘ F

2

F

3

( (( p ∧

¬ q

) → r ))

F

1

∘ F

2

((

p ∧ ( ¬q ) )

→ false )

F

1

F

2

( p ∧

¬ q

) → false

F

1

(

p ≡q

¬q

) → false

(

p ≡q

r → s

) ( ¬

r → s

) )

→ false

 ( F

4

∘ F

5

∘ F

1

¿ ( p → ( q → p ) )

F

4

∘ F

5

F

1

((

p → ( q → p ) ) )

F

4

∘ F

5

)(( p ≡ q ) ( ( r → s ) ( p ≡q ) ) )

F

4

F

5

p ≡q

(

r → s

p ≡ q

)

F

4

( p ≡ ( r → s ) ) (

( false → s ) ( p ≡ ( r → s ) ) )

( ( p≡ q ) ( r → s ) ) (

( false → s ) ( ( p ≡ q ) ( r → s ) )

 ( F

2

∘ F

3

∘ F

4

(

r ∧ ( r ← ( p ∨ s ) ) )

(

( p →q ) ( r ∧ ( ¬ r ) )

F

2

∘ F

3

¿=¿ F

4

(

r ∧ (

r ← ( p ∨ s ) ) )

(

( p → q ) (

r ∧ ( ¬r ) ) )

F

2

∘ F

3

¬ r ∧ (

¬ r ← (

¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) )

( (

( p≡ q ) ( r → s ) )

(

r ∧ ( ¬r ) ) )

F

2

F

3

¬ r ∧ ( ¬ r ← ( ¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) )

( ( ( p ≡q ) ( r → s ) ) ( r ∧ ( ¬ r ) ) )

F

2

¬ false ∧ (

¬ false ← (

¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) )

( (

( p≡ q ) ( false → s ) )

(

false ∧ ( ¬ false ) ) )

¬ false ∧

¬ false ← ( ¬ ( ( p ≡ q ) ≡ q ) ∨¬ s )

(( ( p ≡q ) ≡ q ) ( false → s ) ) ( false ∧ ( ¬ false ) )

F

5

∘ F

1

∘ F

2

((

p ∧ ( ¬q ) )

→ r )

F

5

∘ F

1

= F

2

( p ∧

¬ q

) → r

( F

5

∘ F

1

( (

( p ≡q ) ( ¬q ) )

→r )

F

5

F

1

(

p ≡q

¬q

) →r

F

5

( ( p ≡q ) ( r → s ) ) ( ¬ ( r → s )) )

→ false

(

( p ≡ ( r → s ) ) ( false → s ) )

( ¬ ( false → s ) )

→ false

F

3

∘ F

4

∘ F

5

(

p → ( q → p ) )

F

3

∘ F

4

F

5

( (

p → ( q → p ) ) )

(( p ≡ q ) ( F ( q ) → F ( p ) ) )

(( p ≡ q ) ( ( r → s ) ( p ≡q ) ) )

La extensión F de una sustitución F es una función del conjunto de proposiciones

en sí mismo.

(

(

( r ∧ ( r ←

p ∨ s

) ) ( ¬ (

p → q

( r ∧

¬ r

) )) ) )

F

(

(

(

(

r ∧ (

r ← ( p ∨ s ) ) )

(

(

( p →q ) (

r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) ) ) )

(

¬ F

(

(

(

r ∧ (

r ← ( p ∨ s ) ) )

(

(

( p → q ) (

r ∧ ( ¬r ) ) ) )) ) )

(

(

¬ F

(

(

r ∧ (

r ← ( p ∨ s ) ) )

≡¬ F

(

(

(

( p → q ) (

r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) )) ) )

(

(

(

¬ F ( r ) ∧¬ F ((

r ← ( p ∨ s ) ) ))

(

F

((

( p→ q ) (

r ∧ ( ¬ r ) ) )) ) ) )

(

(

(

¬ F ( r ) (

¬ F

1

( r ) ←¬ F

1

( ( p∨ s ) ) ) )

(

(

F ( ( p→ q ) ) (( r ∧ ( ¬r )) ) ) ) ) )

((

(

¬ false ∧ (

¬ F ( r ) (

¬ F ( p ) ∨¬ F ( s ) ) ))

(

( (

F ( p ) → F ( q ) )

(

F ( r ) ∧ F (

( ¬ r ) ) )) ) ))

((

(

¬ false ∧ ( ¬ false ← ( ¬ F ( p ) ∨ ¬ F ( s ) ) ) )

(

(

( F ( p ) → F ( q ) ) ( F ( r ) ( ¬ F ( r ) ) ) ) ) ))

((

(

¬ false ∧ ( ¬ false ← ( ¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) ) )

(

(

( ( p ≡ q ) ( r → s ) ) ( false ∧ ( ¬ F ( r ) ) ) ) ) ))

(

((

¬ false ∧ (

¬ false ← ( ¬

p ≡q

∨ ¬ s ) ) )

( (

(

p ≡q

r → s

) ( false ∧

¬ false

) )) ) )

S no pertenece a

{ p , q , r }

se tiene por convención que

F ( s ) = s

La extensión F de una sustitución F es una función del conjunto de proposiciones

en sí mismo.

3. Para cada una de las siguientes proposiciones encuentre una sustitución F tal que la

proposición resultante de la sustitución textual bajo F sea una tautología:

( p ≡r )

F

(

( p ≡ r ) )

(

F ( p ) ≡ F ( r ) )

( F ( p ) ≡ F ( r ) )

( true ≡true )

Para que la sustitución sea tautología debe ser F ={ p ↦true , r ↦ true }

(

( p ∧ q ) (

( ¬ p ) ( ¬ q ) ) )

F ( (

p ∧ q

(

¬ p

¬q

) ))

( F (

p ∧q

) ∨ F ( (

¬ p

¬ q

) ))

(

( F

p

∧ F

q

) (

F (

¬ p

) ∧ F (

¬ q

) ) )

(

( F

p

∧ F

q

) (

( ¬ F

p

) ( ¬ F

q

) ))

(

true∧ true

(

( ¬ F

p

) ( ¬ F

q

) ))

(

( true ∧ true ) (

( ¬ true ) ( ¬true ) ) )

Para que la sustitución sea tautología debe ser F ={ p ↦true , q ↦ true }

(

( p ∨r ) ( p ∧ q ) )

F

( (

( p ∨ r ) ( p ∧ q ) ) )

(

F

(

( p ∨ r ) )

← F

(

( p ∧ q ) ) )

((

F ( p ) ∨ F ( r ) )

(

F ( p ) ∧ F ( q ) ) )

((

F ( p ) ∨ F ( r ) )

(

F ( p ) ∧ F ( q ) ) )

( ( true ∨ false ) ( true ∧true ) )

Para que la sustitución sea tautología debe ser

F ={ p ↦true , q ↦ true , r ↦ false }

4. Sean p, q, r variables proposicionales distintas y ϕ , ψ , τ proposiciones tales que r no

aparece en ϕ ni en ψ. Demuestre que si γ = ψ [ q ≔ r ], entonces

ϕ [ p , q ≔ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔q ].

r no aparece en

ϕ ni en

ψ ,

γ = ψ [ q ≔r ]

ϕ [ p , q ≔ ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔ q ]

Existe un F ={ p ↦ ψ ,q ↦ τ } = Existe un

F

1

{ p ↦γ } , F

2

{ q ↦ τ } , F

3

{ r ↦ q }

F ( ϕ ) = F

3

(

F

2

( F

1

ϕ

) )

ϕ =( p q p ) = ϕ ( p q p )

ϕ =( ψ τ ψ ) =

ϕ

1

( γ q γ )

ϕ

2

( γ τ γ )

= ϕ ( ψ [ q ≔r ] τ ψ [ q ≔r ])

(como la r no aparece en

ϕψ se cancela la sustitución y se vuelve al

ψ )

ϕ

3

( ψ τ ψ )

Por lo tanto, esta sustitución es verdad.

ϕ [ p , q ≔ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔q ]

5. Considere la siguiente afirmación: Tome dos variables proposicionales p y q tales que:

q sea distinta a p y esta no aparezca ni en ϕ ni en ψ. Con base en esta afirmación:

Para que la sustitución sea tautología debe ser F ={ p ↦true , q ↦ true }

(

( p ∨r ) ( p ∧ q ) )

F

( (

( p ∨ r ) ( p ∧ q ) ) )

(

F

(

( p ∨ r ) )

← F

(

( p ∧ q ) ) )

((

F ( p ) ∨ F ( r ) )

(

F ( p ) ∧ F ( q ) ) )

((

F ( p ) ∨ F ( r ) )

(

F ( p ) ∧ F ( q ) ) )

( ( true ∨ false ) ( true ∧true ) )

Para que la sustitución sea tautología debe ser

F ={ p ↦true , q ↦ true , r ↦ false }

7. Sean p, q, r variables proposicionales distintas y ϕ , ψ , τ proposiciones tales que r no

aparece en ϕ ni en ψ. Demuestre que si γ = ψ [ q ≔ r ], entonces

ϕ [ p , q ≔ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔q ]

r no aparece en

ϕ ni en

ψ

, γ = ψ [ q ≔r ]

ϕ [ p , q ≔ ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔ q ]

Existe un

F ={ p ↦ ψ ,q ↦ τ }

= Existe un

F

1

{ p ↦γ } , F

2

{ q ↦ τ } , F

3

{ r ↦ q }

F ( ϕ ) = F

3

(

F

2

( F

1

ϕ

) )

ϕ =( p q p ) = ϕ ( p q p )

ϕ =( ψ τ ψ ) =

ϕ

1

( γ q γ )

ϕ

2

( γ τ γ )

= ϕ ( ψ [ q ≔r ] τ ψ [ q ≔r ])

(como la r no aparece en ϕψ se cancela la sustitución y se vuelve al ψ )

ϕ

3

( ψ τ ψ )

Por lo tanto, esta sustitución es verdad. ϕ [ p , q ≔ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔q ].

8. Considere la siguiente afirmación: Tome dos variables proposicionales p y q tales

que: q sea distinta a p y esta no aparezca ni en

ϕ ni en

ψ

. Con base en esta

afirmación:

 Explique por qué es posible encontrar variables proposicionales p y q bajo

las condiciones dadas.

Se puede obtener dos variables proposicionales diferentes porque el

conjunto de variables proposicionales es infinito. (definición 1.2)

Por la definición de proposición no necesariamente q tiene que pertenecer a

ϕ y ψ. (definición 1.4)

 Suponga que p y q son tales que satisfacen las condiciones en la afirmación

anterior, excepto que q puede aparecer en ϕ o en ψ. Explique por qué, en

cualquiera de estos casos, la siguiente igualdad puede fallar:

(

( ϕ → ψ ) (

( ¬ ϕ ) ∨ψ ) )

(

( p → q ) (

( ¬ p ) ∨q ) )

[ p ≔ ϕ ] [ q ≔ψ ]

Como q puede aparecer en ψ y ϕ

(

( ϕ → ψ ) (

( ¬ ϕ ) ∨ψ ) )

(

( p → q ) (

( ¬ p ) ∨q ) )

[ p ≔ ϕ ] [ q ≔ψ ] ϕ [ q ≔ τ ]

(( ϕ → q ) ( ( ¬ ϕ ) ∨q ) ) [ p ≔ ϕ ]

(( τ → ψ ) ( ( ¬ τ ) ∨ ψ ) ) [ q ≔ψ ] [ ϕ≔q ]

Al realizar la sustitución en ϕ como esta contiene a q nos va a realizar otro

cambio de variable por eso esta cambia por

τ .