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Taller #
Considere las sustituciones:
F 1 = {p → (p ≡ q), q → (r → s), r → false}
F 2 = {p → (p ≡ q)}
F 3 = {r → false}
F 4 = {p → (p ≡ q), q → (r → s)}
F 5 = {q → (r → s), r → false}
- Calcular F 1 (φ), F 2 (φ), F 3 (φ), F 4 (φ) y F 5 (φ) para cada una de las
siguientes proposiciones φ:
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
( p → ( q → p ))
( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ))))))
F1.
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
((( p ≡q ) ∧ ( ¬ ( r → s ))) → false )
( p → ( q → p ))
(( p ≡ q ) → (( r → s ) → ( p ≡q )))
( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ))))))
( ¬ (( r → s ) ∧ ( r → s ) ← ( p ≡q ) ∨ s ))¿ ≡ ( ¬ (( p ≡ q ) → q ) ∨ ( r → s ) ∧ ( ¬r → s ))¿ ¿ ¿ ¿ ¿
F2.
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
((( p ≡q ) ∧ ( ¬q )) →r )
( p → ( q → p ))
(( p ≡ q ) → ( q → ( p ≡q )))
( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ))))))
( ¬ (( r ∧ ( r ← (( p ≡q ) ∨ s ))) ≡ ( ¬ ((( p ≡ q ) →q ) ∨ ( r ∧ ( ¬r ))))))
F3 = {r → false}
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
(( p ∧ ( ¬q ) ) → false )
( p → ( q → p ))
( p → ( false → p ))
( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ))))))
( ¬ (( false ∧ ( false ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( false ∧ ( ¬ false ))))))
F 4 = {p → (p ≡ q), q → (r → s)}
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
((( p ≡q ) ∧ ( ¬q )) →r )
( p → ( q → p ))
(( p ≡ q ) → ( q → ( p ≡q )))
( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ))))))
( ¬ (( r ∧ ( r ← (( p ≡q ) ∨ s ))) ≡ ( ¬ ((( p ≡ q ) → ( r → s )) ∨ ( r ∧ ( ¬r ))))))
F 5 = {q → (r → s), r → false}
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
(( p ∧ ( ¬ ( r → s )) ) → false )
( p → ( q → p ))
( p → (( r → s ) → p ))
F
5
F
1 (
(
(
(
r ∧ (
r ← ( p ∨ s ) ) )
(
(
( p → q ) ∨ (
r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) ) ) )
F
5 (
(
((
¬ false ∧ (
¬ false ← (
¬ ( p ≡q ) ∨ ¬ s ) ) )
(
((
( p ≡ q ) → ( r → s ) )
(
false ∧ ( ¬ false ) ) ) ) ) ) )
(
(
(
¬ false ∧ (
¬ false ← (
(
p ≡ ( r → s ) )
∨¬ s )) )
(
(( (
p ≡ ( r → s ) )
→ ( false → s ) )
(
false ∧ ( ¬ false ) ) ) ) ) )
F
2
∘ F
3
((
p ∧ ( ¬ q ) )
→ r )
F
2
F
3
( (( p ∧
¬ q
) → r ))
F
2
( (( p ∧
¬ q
) → false ))
( F 2
(( p ∧
¬ q
) ) → F
2
false
)
(
( F
2
p
∧ F
2
(
¬ q
) ) → F
2
false
)
(
(
F
2
( p ) ∧ (
¬ F
2
( q ) ))
→ false
)
(( ( p ≡ q ) ∧ ( ¬ q )) → false )
F
4
∘ F
5
(
p → ( q → p ) )
F
4
F
5
( (
p → ( q → p ) ) )
F
4
( ( p → (
r → s
→ p ) ))
( F 4
p
→ F
4
((
r → s
→ p ) ) )
(
F
4
( p ) → (
F
4
( ( r → s ) ) → F
4
( p ) ) )
(
( p ≡q ) → (
( F
4
( r ) → F
4
( s ) ) → F
4
( p ) ) )
(
( p ≡q ) →
(
(
F
4
( r ) → F
4
( s ) )
→ ( p ≡ q )
) )
(
( p ≡ q ) → (
( r → s ) → ( p ≡q ) ) )
( F
1
∘ F
3
(
(
(
r ∧ ( r ← ( p ∨ s ) ) )
(
(
( p →q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ) ) )) ) )
F
1
F
3 (
(
(
(
r ∧ (
r ← ( p∨ s ) ) )
(
(
( p→ q ) ∨ (
r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) ) ) )
F
1 (
(
(
(
¬ false ∧ (
¬ false ← ( ¬ p ∨ ¬s ) ))
(
(
( p → q ) ∨ (
false ∧ ( ¬ false ) ) ) )) ) )
(
(
(
¬ false ∧ (
¬ false ← ( ¬ ( p ≡q ) ∨ ¬ s ) ) )
( (
( ( p ≡q ) → ( r → s ) ) ∨ ( false ∧ ( ¬ false ) ) )) ) )
1. Calcular:
F
1
∘ F
2
∘ F
3
((
p ∧ ( ¬q ) )
→ r )
F
1
∘ F
2
F
3
( (( p ∧
¬ q
) → r ))
F
1
∘ F
2
((
p ∧ ( ¬q ) )
→ false )
F
1
F
2
( p ∧
¬ q
) → false
F
1
(
p ≡q
¬q
) → false
(
p ≡q
r → s
) ∧ ( ¬
r → s
) )
→ false
( F
4
∘ F
5
∘ F
1
¿ ( p → ( q → p ) )
F
4
∘ F
5
F
1
((
p → ( q → p ) ) )
F
4
∘ F
5
)(( p ≡ q ) → ( ( r → s ) → ( p ≡q ) ) )
F
4
F
5
p ≡q
→ (
r → s
p ≡ q
)
F
4
( p ≡ ( r → s ) ) → (
( false → s ) → ( p ≡ ( r → s ) ) )
( ( p≡ q ) ≡ ( r → s ) ) → (
( false → s ) → ( ( p ≡ q ) ≡ ( r → s ) )
( F
2
∘ F
3
∘ F
4
(
r ∧ ( r ← ( p ∨ s ) ) )
(
( p →q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ) )
F
2
∘ F
3
¿=¿ F
4
(
r ∧ (
r ← ( p ∨ s ) ) )
(
( p → q ) ∨ (
r ∧ ( ¬r ) ) )
F
2
∘ F
3
¬ r ∧ (
¬ r ← (
¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) )
( (
( p≡ q ) → ( r → s ) )
(
r ∧ ( ¬r ) ) )
F
2
F
3
¬ r ∧ ( ¬ r ← ( ¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) )
( ( ( p ≡q ) → ( r → s ) ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ) ) )
F
2
¬ false ∧ (
¬ false ← (
¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) )
( (
( p≡ q ) → ( false → s ) )
(
false ∧ ( ¬ false ) ) )
¬ false ∧
¬ false ← ( ¬ ( ( p ≡ q ) ≡ q ) ∨¬ s )
(( ( p ≡q ) ≡ q ) → ( false → s ) ) ∨ ( false ∧ ( ¬ false ) )
F
5
∘ F
1
∘ F
2
((
p ∧ ( ¬q ) )
→ r )
F
5
∘ F
1
= F
2
( p ∧
¬ q
) → r
( F
5
∘ F
1
( (
( p ≡q ) ∧ ( ¬q ) )
→r )
F
5
F
1
(
p ≡q
¬q
) →r
F
5
( ( p ≡q ) ≡ ( r → s ) ) ∧ ( ¬ ( r → s )) )
→ false
(
( p ≡ ( r → s ) ) ≡ ( false → s ) )
∧ ( ¬ ( false → s ) )
→ false
F
3
∘ F
4
∘ F
5
(
p → ( q → p ) )
F
3
∘ F
4
F
5
( (
p → ( q → p ) ) )
(( p ≡ q ) → ( F ( q ) → F ( p ) ) )
(( p ≡ q ) → ( ( r → s ) → ( p ≡q ) ) )
La extensión F de una sustitución F es una función del conjunto de proposiciones
en sí mismo.
(
(
( r ∧ ( r ←
p ∨ s
) ) ≡ ( ¬ (
p → q
∨ ( r ∧
¬ r
) )) ) )
F
(
(
(
(
r ∧ (
r ← ( p ∨ s ) ) )
(
(
( p →q ) ∨ (
r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) ) ) )
(
¬ F
(
(
(
r ∧ (
r ← ( p ∨ s ) ) )
(
(
( p → q ) ∨ (
r ∧ ( ¬r ) ) ) )) ) )
(
(
¬ F
(
(
r ∧ (
r ← ( p ∨ s ) ) )
≡¬ F
(
(
(
( p → q ) ∨ (
r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) )) ) )
(
(
(
¬ F ( r ) ∧¬ F ((
r ← ( p ∨ s ) ) ))
(
F
((
( p→ q ) ∨ (
r ∧ ( ¬ r ) ) )) ) ) )
(
(
(
¬ F ( r ) ∧ (
¬ F
1
( r ) ←¬ F
1
( ( p∨ s ) ) ) )
(
(
F ( ( p→ q ) ) ∨ (( r ∧ ( ¬r )) ) ) ) ) )
((
(
¬ false ∧ (
¬ F ( r ) ← (
¬ F ( p ) ∨¬ F ( s ) ) ))
(
( (
F ( p ) → F ( q ) )
(
F ( r ) ∧ F (
( ¬ r ) ) )) ) ))
((
(
¬ false ∧ ( ¬ false ← ( ¬ F ( p ) ∨ ¬ F ( s ) ) ) )
(
(
( F ( p ) → F ( q ) ) ∨ ( F ( r ) ∧ ( ¬ F ( r ) ) ) ) ) ))
((
(
¬ false ∧ ( ¬ false ← ( ¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) ) )
(
(
( ( p ≡ q ) → ( r → s ) ) ∨ ( false ∧ ( ¬ F ( r ) ) ) ) ) ))
(
((
¬ false ∧ (
¬ false ← ( ¬
p ≡q
∨ ¬ s ) ) )
( (
(
p ≡q
r → s
) ∨ ( false ∧
¬ false
) )) ) )
S no pertenece a
{ p , q , r }
se tiene por convención que
F ( s ) = s
La extensión F de una sustitución F es una función del conjunto de proposiciones
en sí mismo.
3. Para cada una de las siguientes proposiciones encuentre una sustitución F tal que la
proposición resultante de la sustitución textual bajo F sea una tautología:
( p ≡r )
F
(
( p ≡ r ) )
(
F ( p ) ≡ F ( r ) )
( F ( p ) ≡ F ( r ) )
( true ≡true )
Para que la sustitución sea tautología debe ser F ={ p ↦true , r ↦ true }
(
( p ∧ q ) ∨ (
( ¬ p ) ∧ ( ¬ q ) ) )
F ( (
p ∧ q
∨ (
¬ p
¬q
) ))
( F (
p ∧q
) ∨ F ( (
¬ p
¬ q
) ))
(
( F
p
∧ F
q
) ∨ (
F (
¬ p
) ∧ F (
¬ q
) ) )
(
( F
p
∧ F
q
) ∨ (
( ¬ F
p
) ∧ ( ¬ F
q
) ))
(
true∧ true
(
( ¬ F
p
) ∧ ( ¬ F
q
) ))
(
( true ∧ true ) ∨ (
( ¬ true ) ∧ ( ¬true ) ) )
Para que la sustitución sea tautología debe ser F ={ p ↦true , q ↦ true }
(
( p ∨r ) ← ( p ∧ q ) )
F
( (
( p ∨ r ) ← ( p ∧ q ) ) )
(
F
(
( p ∨ r ) )
← F
(
( p ∧ q ) ) )
((
F ( p ) ∨ F ( r ) )
(
F ( p ) ∧ F ( q ) ) )
((
F ( p ) ∨ F ( r ) )
(
F ( p ) ∧ F ( q ) ) )
( ( true ∨ false ) ← ( true ∧true ) )
Para que la sustitución sea tautología debe ser
F ={ p ↦true , q ↦ true , r ↦ false }
4. Sean p, q, r variables proposicionales distintas y ϕ , ψ , τ proposiciones tales que r no
aparece en ϕ ni en ψ. Demuestre que si γ = ψ [ q ≔ r ], entonces
ϕ [ p , q ≔ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔q ].
r no aparece en
ϕ ni en
ψ ,
γ = ψ [ q ≔r ]
ϕ [ p , q ≔ ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔ q ]
Existe un F ={ p ↦ ψ ,q ↦ τ } = Existe un
F
1
{ p ↦γ } , F
2
{ q ↦ τ } , F
3
{ r ↦ q }
F ( ϕ ) = F
3
(
F
2
( F
1
ϕ
) )
ϕ =( p q p ) = ϕ ( p q p )
ϕ =( ψ τ ψ ) =
ϕ
1
( γ q γ )
ϕ
2
( γ τ γ )
= ϕ ( ψ [ q ≔r ] τ ψ [ q ≔r ])
(como la r no aparece en
ϕ ∋ ψ se cancela la sustitución y se vuelve al
ψ )
ϕ
3
( ψ τ ψ )
Por lo tanto, esta sustitución es verdad.
ϕ [ p , q ≔ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔q ]
5. Considere la siguiente afirmación: Tome dos variables proposicionales p y q tales que:
q sea distinta a p y esta no aparezca ni en ϕ ni en ψ. Con base en esta afirmación:
Para que la sustitución sea tautología debe ser F ={ p ↦true , q ↦ true }
(
( p ∨r ) ← ( p ∧ q ) )
F
( (
( p ∨ r ) ← ( p ∧ q ) ) )
(
F
(
( p ∨ r ) )
← F
(
( p ∧ q ) ) )
((
F ( p ) ∨ F ( r ) )
(
F ( p ) ∧ F ( q ) ) )
((
F ( p ) ∨ F ( r ) )
(
F ( p ) ∧ F ( q ) ) )
( ( true ∨ false ) ← ( true ∧true ) )
Para que la sustitución sea tautología debe ser
F ={ p ↦true , q ↦ true , r ↦ false }
7. Sean p, q, r variables proposicionales distintas y ϕ , ψ , τ proposiciones tales que r no
aparece en ϕ ni en ψ. Demuestre que si γ = ψ [ q ≔ r ], entonces
ϕ [ p , q ≔ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔q ]
r no aparece en
ϕ ni en
ψ
, γ = ψ [ q ≔r ]
ϕ [ p , q ≔ ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔ q ]
Existe un
F ={ p ↦ ψ ,q ↦ τ }
= Existe un
F
1
{ p ↦γ } , F
2
{ q ↦ τ } , F
3
{ r ↦ q }
F ( ϕ ) = F
3
(
F
2
( F
1
ϕ
) )
ϕ =( p q p ) = ϕ ( p q p )
ϕ =( ψ τ ψ ) =
ϕ
1
( γ q γ )
ϕ
2
( γ τ γ )
= ϕ ( ψ [ q ≔r ] τ ψ [ q ≔r ])
(como la r no aparece en ϕ ∋ ψ se cancela la sustitución y se vuelve al ψ )
ϕ
3
( ψ τ ψ )
Por lo tanto, esta sustitución es verdad. ϕ [ p , q ≔ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔q ].
8. Considere la siguiente afirmación: Tome dos variables proposicionales p y q tales
que: q sea distinta a p y esta no aparezca ni en
ϕ ni en
ψ
. Con base en esta
afirmación:
Explique por qué es posible encontrar variables proposicionales p y q bajo
las condiciones dadas.
Se puede obtener dos variables proposicionales diferentes porque el
conjunto de variables proposicionales es infinito. (definición 1.2)
Por la definición de proposición no necesariamente q tiene que pertenecer a
ϕ y ψ. (definición 1.4)
Suponga que p y q son tales que satisfacen las condiciones en la afirmación
anterior, excepto que q puede aparecer en ϕ o en ψ. Explique por qué, en
cualquiera de estos casos, la siguiente igualdad puede fallar:
(
( ϕ → ψ ) ≡ (
( ¬ ϕ ) ∨ψ ) )
(
( p → q ) ≡ (
( ¬ p ) ∨q ) )
[ p ≔ ϕ ] [ q ≔ψ ]
Como q puede aparecer en ψ y ϕ
(
( ϕ → ψ ) ≡ (
( ¬ ϕ ) ∨ψ ) )
(
( p → q ) ≡ (
( ¬ p ) ∨q ) )
[ p ≔ ϕ ] [ q ≔ψ ] ϕ [ q ≔ τ ]
(( ϕ → q ) ≡ ( ( ¬ ϕ ) ∨q ) ) [ p ≔ ϕ ]
(( τ → ψ ) ≡ ( ( ¬ τ ) ∨ ψ ) ) [ q ≔ψ ] [ ϕ≔q ]
Al realizar la sustitución en ϕ como esta contiene a q nos va a realizar otro
cambio de variable por eso esta cambia por
τ .
