






Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
dia dia de la semana 9 y 10 de las semanas mas ajetreadas
Tipo: Ejercicios
1 / 11
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Taller #
Considere las sustituciones:
F 1 = {p → (p ≡ q), q → (r → s), r → false}
F 2 = {p → (p ≡ q)}
F 3 = {r → false}
F 4 = {p → (p ≡ q), q → (r → s)}
F 5 = {q → (r → s), r → false}
siguientes proposiciones φ:
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
( p → ( q → p ))
( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ))))))
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
( p → ( q → p ))
(( p ≡ q ) → (( r → s ) → ( p ≡q )))
( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ))))))
( ¬ (( r → s ) ∧ ( r → s ) ← ( p ≡q ) ∨ s ))¿ ≡ ( ¬ (( p ≡ q ) → q ) ∨ ( r → s ) ∧ ( ¬r → s ))¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
((( p ≡q ) ∧ ( ¬q )) →r )
( p → ( q → p ))
(( p ≡ q ) → ( q → ( p ≡q )))
( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ))))))
( ¬ (( r ∧ ( r ← (( p ≡q ) ∨ s ))) ≡ ( ¬ ((( p ≡ q ) →q ) ∨ ( r ∧ ( ¬r ))))))
F3 = {r → false}
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
(( p ∧ ( ¬q ) ) → false )
( p → ( q → p ))
( p → ( false → p ))
( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ))))))
( ¬ (( false ∧ ( false ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( false ∧ ( ¬ false ))))))
F 4 = {p → (p ≡ q), q → (r → s)}
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
((( p ≡q ) ∧ ( ¬q )) →r )
( p → ( q → p ))
(( p ≡ q ) → ( q → ( p ≡q )))
( ¬ (( r ∧ ( r ← ( p ∨ s ))) ≡ ( ¬ (( p → q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ))))))
( ¬ (( r ∧ ( r ← (( p ≡q ) ∨ s ))) ≡ ( ¬ ((( p ≡ q ) → ( r → s )) ∨ ( r ∧ ( ¬r ))))))
F 5 = {q → (r → s), r → false}
(( p ∧ ( ¬q ) ) → r )
( p → ( q → p ))
( p → (( r → s ) → p ))
5
1 (
(
(
(
r ∧ (
r ← ( p ∨ s ) ) )
(
(
( p → q ) ∨ (
r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) ) ) )
5 (
(
((
¬ false ∧ (
¬ false ← (
¬ ( p ≡q ) ∨ ¬ s ) ) )
(
((
( p ≡ q ) → ( r → s ) )
(
false ∧ ( ¬ false ) ) ) ) ) ) )
(
(
(
¬ false ∧ (
¬ false ← (
(
p ≡ ( r → s ) )
∨¬ s )) )
(
(( (
p ≡ ( r → s ) )
→ ( false → s ) )
(
false ∧ ( ¬ false ) ) ) ) ) )
2
3
((
p ∧ ( ¬ q ) )
→ r )
2
3
( (( p ∧
¬ q
) → r ))
2
( (( p ∧
¬ q
) → false ))
( F 2
(( p ∧
¬ q
) ) → F
2
false
)
(
( F
2
p
2
(
¬ q
) ) → F
2
false
)
(
(
2
( p ) ∧ (
2
( q ) ))
→ false
)
(( ( p ≡ q ) ∧ ( ¬ q )) → false )
4
5
(
p → ( q → p ) )
4
5
( (
p → ( q → p ) ) )
4
( ( p → (
r → s
→ p ) ))
( F 4
p
4
((
r → s
→ p ) ) )
(
4
( p ) → (
4
( ( r → s ) ) → F
4
( p ) ) )
(
( p ≡q ) → (
( F
4
( r ) → F
4
( s ) ) → F
4
( p ) ) )
(
( p ≡q ) →
(
(
4
( r ) → F
4
( s ) )
→ ( p ≡ q )
) )
(
( p ≡ q ) → (
( r → s ) → ( p ≡q ) ) )
1
3
(
(
(
r ∧ ( r ← ( p ∨ s ) ) )
(
(
( p →q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ) ) )) ) )
1
3 (
(
(
(
r ∧ (
r ← ( p∨ s ) ) )
(
(
( p→ q ) ∨ (
r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) ) ) )
1 (
(
(
(
¬ false ∧ (
¬ false ← ( ¬ p ∨ ¬s ) ))
(
(
( p → q ) ∨ (
false ∧ ( ¬ false ) ) ) )) ) )
(
(
(
¬ false ∧ (
¬ false ← ( ¬ ( p ≡q ) ∨ ¬ s ) ) )
( (
( ( p ≡q ) → ( r → s ) ) ∨ ( false ∧ ( ¬ false ) ) )) ) )
1. Calcular:
1
2
3
((
p ∧ ( ¬q ) )
→ r )
1
2
3
( (( p ∧
¬ q
) → r ))
1
2
((
p ∧ ( ¬q ) )
→ false )
1
2
( p ∧
¬ q
) → false
1
(
p ≡q
¬q
) → false
(
p ≡q
r → s
) ∧ ( ¬
r → s
) )
→ false
4
5
1
¿ ( p → ( q → p ) )
4
5
1
((
p → ( q → p ) ) )
4
5
)(( p ≡ q ) → ( ( r → s ) → ( p ≡q ) ) )
4
5
p ≡q
→ (
r → s
p ≡ q
)
4
( p ≡ ( r → s ) ) → (
( false → s ) → ( p ≡ ( r → s ) ) )
( ( p≡ q ) ≡ ( r → s ) ) → (
( false → s ) → ( ( p ≡ q ) ≡ ( r → s ) )
2
3
4
(
r ∧ ( r ← ( p ∨ s ) ) )
(
( p →q ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ) )
2
3
4
(
r ∧ (
r ← ( p ∨ s ) ) )
(
( p → q ) ∨ (
r ∧ ( ¬r ) ) )
2
3
¬ r ∧ (
¬ r ← (
¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) )
( (
( p≡ q ) → ( r → s ) )
(
r ∧ ( ¬r ) ) )
2
3
¬ r ∧ ( ¬ r ← ( ¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) )
( ( ( p ≡q ) → ( r → s ) ) ∨ ( r ∧ ( ¬ r ) ) )
2
¬ false ∧ (
¬ false ← (
¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) )
( (
( p≡ q ) → ( false → s ) )
(
false ∧ ( ¬ false ) ) )
¬ false ∧
¬ false ← ( ¬ ( ( p ≡ q ) ≡ q ) ∨¬ s )
(( ( p ≡q ) ≡ q ) → ( false → s ) ) ∨ ( false ∧ ( ¬ false ) )
5
1
2
((
p ∧ ( ¬q ) )
→ r )
5
1
2
( p ∧
¬ q
) → r
5
1
( (
( p ≡q ) ∧ ( ¬q ) )
→r )
5
1
(
p ≡q
¬q
) →r
5
( ( p ≡q ) ≡ ( r → s ) ) ∧ ( ¬ ( r → s )) )
→ false
(
( p ≡ ( r → s ) ) ≡ ( false → s ) )
∧ ( ¬ ( false → s ) )
→ false
3
4
5
(
p → ( q → p ) )
3
4
5
( (
p → ( q → p ) ) )
(( p ≡ q ) → ( F ( q ) → F ( p ) ) )
(( p ≡ q ) → ( ( r → s ) → ( p ≡q ) ) )
La extensión F de una sustitución F es una función del conjunto de proposiciones
en sí mismo.
(
(
( r ∧ ( r ←
p ∨ s
) ) ≡ ( ¬ (
p → q
∨ ( r ∧
¬ r
) )) ) )
(
(
(
(
r ∧ (
r ← ( p ∨ s ) ) )
(
(
( p →q ) ∨ (
r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) ) ) )
(
(
(
(
r ∧ (
r ← ( p ∨ s ) ) )
(
(
( p → q ) ∨ (
r ∧ ( ¬r ) ) ) )) ) )
(
(
(
(
r ∧ (
r ← ( p ∨ s ) ) )
(
(
(
( p → q ) ∨ (
r ∧ ( ¬ r ) ) ) ) )) ) )
(
(
(
¬ F ( r ) ∧¬ F ((
r ← ( p ∨ s ) ) ))
(
((
( p→ q ) ∨ (
r ∧ ( ¬ r ) ) )) ) ) )
(
(
(
¬ F ( r ) ∧ (
1
( r ) ←¬ F
1
( ( p∨ s ) ) ) )
(
(
F ( ( p→ q ) ) ∨ (( r ∧ ( ¬r )) ) ) ) ) )
((
(
¬ false ∧ (
¬ F ( r ) ← (
¬ F ( p ) ∨¬ F ( s ) ) ))
(
( (
F ( p ) → F ( q ) )
(
F ( r ) ∧ F (
( ¬ r ) ) )) ) ))
((
(
¬ false ∧ ( ¬ false ← ( ¬ F ( p ) ∨ ¬ F ( s ) ) ) )
(
(
( F ( p ) → F ( q ) ) ∨ ( F ( r ) ∧ ( ¬ F ( r ) ) ) ) ) ))
((
(
¬ false ∧ ( ¬ false ← ( ¬ ( p ≡ q ) ∨¬ s ) ) )
(
(
( ( p ≡ q ) → ( r → s ) ) ∨ ( false ∧ ( ¬ F ( r ) ) ) ) ) ))
(
((
¬ false ∧ (
¬ false ← ( ¬
p ≡q
∨ ¬ s ) ) )
( (
(
p ≡q
r → s
) ∨ ( false ∧
¬ false
) )) ) )
S no pertenece a
se tiene por convención que
F ( s ) = s
La extensión F de una sustitución F es una función del conjunto de proposiciones
en sí mismo.
3. Para cada una de las siguientes proposiciones encuentre una sustitución F tal que la
proposición resultante de la sustitución textual bajo F sea una tautología:
( p ≡r )
(
( p ≡ r ) )
(
F ( p ) ≡ F ( r ) )
( F ( p ) ≡ F ( r ) )
( true ≡true )
(
( p ∧ q ) ∨ (
( ¬ p ) ∧ ( ¬ q ) ) )
F ( (
p ∧ q
∨ (
¬ p
¬q
) ))
( F (
p ∧q
) ∨ F ( (
¬ p
¬ q
) ))
(
( F
p
q
) ∨ (
F (
¬ p
) ∧ F (
¬ q
) ) )
(
( F
p
q
) ∨ (
( ¬ F
p
) ∧ ( ¬ F
q
) ))
(
true∧ true
(
( ¬ F
p
) ∧ ( ¬ F
q
) ))
(
( true ∧ true ) ∨ (
( ¬ true ) ∧ ( ¬true ) ) )
(
( p ∨r ) ← ( p ∧ q ) )
( (
( p ∨ r ) ← ( p ∧ q ) ) )
(
(
( p ∨ r ) )
(
( p ∧ q ) ) )
((
F ( p ) ∨ F ( r ) )
(
F ( p ) ∧ F ( q ) ) )
((
F ( p ) ∨ F ( r ) )
(
F ( p ) ∧ F ( q ) ) )
( ( true ∨ false ) ← ( true ∧true ) )
Para que la sustitución sea tautología debe ser
4. Sean p, q, r variables proposicionales distintas y ϕ , ψ , τ proposiciones tales que r no
aparece en ϕ ni en ψ. Demuestre que si γ = ψ [ q ≔ r ], entonces
r no aparece en
ϕ ni en
ψ ,
ϕ [ p , q ≔ ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔ q ]
1
2
3
F ( ϕ ) = F
3
(
2
( F
1
ϕ
) )
ϕ =( p q p ) = ϕ ( p q p )
ϕ =( ψ τ ψ ) =
ϕ
1
( γ q γ )
ϕ
2
( γ τ γ )
= ϕ ( ψ [ q ≔r ] τ ψ [ q ≔r ])
(como la r no aparece en
ϕ ∋ ψ se cancela la sustitución y se vuelve al
ψ )
ϕ
3
( ψ τ ψ )
Por lo tanto, esta sustitución es verdad.
5. Considere la siguiente afirmación: Tome dos variables proposicionales p y q tales que:
q sea distinta a p y esta no aparezca ni en ϕ ni en ψ. Con base en esta afirmación:
(
( p ∨r ) ← ( p ∧ q ) )
( (
( p ∨ r ) ← ( p ∧ q ) ) )
(
(
( p ∨ r ) )
(
( p ∧ q ) ) )
((
F ( p ) ∨ F ( r ) )
(
F ( p ) ∧ F ( q ) ) )
((
F ( p ) ∨ F ( r ) )
(
F ( p ) ∧ F ( q ) ) )
( ( true ∨ false ) ← ( true ∧true ) )
Para que la sustitución sea tautología debe ser
7. Sean p, q, r variables proposicionales distintas y ϕ , ψ , τ proposiciones tales que r no
aparece en ϕ ni en ψ. Demuestre que si γ = ψ [ q ≔ r ], entonces
r no aparece en
ϕ ni en
ψ
ϕ [ p , q ≔ ψ , τ ]= ϕ [ p ≔γ ] [ q ≔ τ ] [ r ≔ q ]
Existe un
= Existe un
1
2
3
F ( ϕ ) = F
3
(
2
( F
1
ϕ
) )
ϕ =( p q p ) = ϕ ( p q p )
ϕ =( ψ τ ψ ) =
ϕ
1
( γ q γ )
ϕ
2
( γ τ γ )
= ϕ ( ψ [ q ≔r ] τ ψ [ q ≔r ])
(como la r no aparece en ϕ ∋ ψ se cancela la sustitución y se vuelve al ψ )
ϕ
3
( ψ τ ψ )
8. Considere la siguiente afirmación: Tome dos variables proposicionales p y q tales
que: q sea distinta a p y esta no aparezca ni en
ϕ ni en
ψ
. Con base en esta
afirmación:
Explique por qué es posible encontrar variables proposicionales p y q bajo
las condiciones dadas.
Se puede obtener dos variables proposicionales diferentes porque el
conjunto de variables proposicionales es infinito. (definición 1.2)
Por la definición de proposición no necesariamente q tiene que pertenecer a
ϕ y ψ. (definición 1.4)
Suponga que p y q son tales que satisfacen las condiciones en la afirmación
anterior, excepto que q puede aparecer en ϕ o en ψ. Explique por qué, en
cualquiera de estos casos, la siguiente igualdad puede fallar:
(
( ϕ → ψ ) ≡ (
( ¬ ϕ ) ∨ψ ) )
(
( p → q ) ≡ (
( ¬ p ) ∨q ) )
[ p ≔ ϕ ] [ q ≔ψ ]
Como q puede aparecer en ψ y ϕ
(
( ϕ → ψ ) ≡ (
( ¬ ϕ ) ∨ψ ) )
(
( p → q ) ≡ (
( ¬ p ) ∨q ) )
(( ϕ → q ) ≡ ( ( ¬ ϕ ) ∨q ) ) [ p ≔ ϕ ]
(( τ → ψ ) ≡ ( ( ¬ τ ) ∨ ψ ) ) [ q ≔ψ ] [ ϕ≔q ]
Al realizar la sustitución en ϕ como esta contiene a q nos va a realizar otro
cambio de variable por eso esta cambia por
τ .