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TALLER SERIES DE TAYLOR, Ejercicios de Métodos Numéricos

La serie de Taylor es una serie de potencias que se prolonga hasta el infinito, donde cada uno de los sumandos está elevado a una potencia mayor al antecedente.

Tipo: Ejercicios

2020/2021

Subido el 25/02/2022

Jhonxa
Jhonxa 🇨🇴

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bg1
Usando series de Taylor, desarrolle los siguientes ejercicios (donde no sea
explicito, la rspuesta debe tener un |𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟| ≤ 10−4.
1. Calcule 1.3 0.7 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 |𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟| ≤ 10−3
1.30.7=
n=1
(
1
)
n+1
n
(
x1
)
1
¿
(
x1
)
1
2
(
x1
)
2+1
3
(
x1
)
3+1
4
(
x1
)
4+1
5
(
x1
)
5
1.30.7=
(
1.30.71
)
1
2
(
1.30.71
)
2+1
3
(
1.30.71
)
3+1
4
(
1.30.71
)
4+1
5
(
1.30.71
)
5
1.30.7=
(
1.201
)
1
2
(
1.201
)
2+1
3
(
1.201
)
3+1
4
(
1.201
)
4+1
5
(
1.201
)
5
1.30.7=
(
0.20
)
1
2
(
0.20
)
2+1
3
(
0.20
)
3+1
4
(
0.20
)
4+1
5
(
0.20
)
5
1.30.7=0.182
2. Calcule √1.1 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 |𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟| ≤ 10−3
f
(
x0
)
=
n=1
fn
(
x0
)
n ! (xx0)=a0+a1
(
xx0
)
1+a2
(
xx0
)
2+a3
(
xx0
)
3+
f
(
x0
)
=a0=
x0=
1=1
f '
(
x0
)
=a1=
x
(
1
)
1!=x0
1
2=x0
1
2
2=1
2x0
1
2
=1
2
x0
=1
2
1=1
2
f''
(
x0
)
=a2=x0
3
2
4=1
4
x0
3=1
4
13=1
4
f'' '
(
x0
)
=a3=3
(
x0
5
2
)
8=3
8
x0
5=3
8
15=3
8
f4
(
x0
)
=a4=15
(
x0
7
2
)
16 =15
16
x0
7=15
16
17=15
16
pf3
pf4
pf5
pf8

Vista previa parcial del texto

¡Descarga TALLER SERIES DE TAYLOR y más Ejercicios en PDF de Métodos Numéricos solo en Docsity!

Usando series de Taylor, desarrolle los siguientes ejercicios (donde no sea

explicito, la rspuesta debe tener un |𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟| ≤ 10−4.

  1. Calcule 1.3 0.7 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 |𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟| ≤ 10−

n = 1

n + 1

n

( x − 1 )

1

¿ ( x − 1 )−

( x − 1 )

2

( x − 1 )

3

( x − 1 )

4

( x − 1 )

5

2

3

4

5

2

3

4

5

2

3

4

5

  1. Calcule √1.1 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 |𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟| ≤ 10−

f

x

0

n = 1

f

n

x

0

n!

( xx

0

)= a

0

  • a

1

xx

0

1

  • a

2

xx

0

2

  • a

3

xx

0

3

f

x

0

x con x

0

f

x

0

= a

0

x

0

f '

x

0

= a

1

x

= x

0

1

2

x

0

− 1

2

2 x

0

1

2

x

0

2 √ 1

f

'

x

0

= a

2

x

0

− 3

2

x

0

3

3

f

'

x

0

= a

3

3 ( x

0

− 5

2

x

0

5

5

f

4

x

0

= a

4

x

0

− 7

2

x

0

7

7

f ( x )= 1 +

( x − 1 )

1

( x − 1 )

2

( x − 1 )

3

( x − 1 )

4

f ( x )= 1 +

( x − 1 )

( x − 1 )

2

( x − 1 )

6

5 ( x − 1 )

4

√1.1= 1 +

2

6

4

√1.1 1.

  1. Calcule Ln (1.3) con un ¿ error 10

− 3

Ln (1.3) ∑

n = 1

n + 1

n

( x − 1 )

n

( x − 1 )−

( x − 1 )

2

( x − 1 )

3

( x − 1 )

4

( x − 1 )

5

Ln (1.3) =

2

3

4

5

Ln (1.3)

4- Calcule ln(1300) 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 |𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟| ≤ 10−3 (3 decimales)

f ( x )= ∑

n = 1

f

n

( x

0

n!

( xx

0

)= a

0

  • a

1

xx

0

1

  • a

2

xx

0

2

  • a

3

xx

0

3

f ( x )=ln ( x ) con x

0

f

x

0

= a

0

ln ( 1 )

f

'

x

0

= a

1

x

f ' '

x

0

= a

2

x

2

2

e

2

3

4

5

6

7

8

9

10

e

(2 cifras decimales exactas)

Valor real = e

  1. Calcule 10^2.5 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 |𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟| ≤ 10−

f

x

0

n = 1

f

n

x

0

n!

( xx

0

)= a

0

  • a

1

xx

0

1

  • a

2

xx

0

2

  • a

3

xx

0

3

10 = x

0

f

x

0

con x

0

f

x

0

= a

0

= x

0

f '

x

0

= a

1

=2.5 x

0

f ' '

x

0

= a

2

x

0

f ' ' '

x

0

= a

3

x

0

f

4

x

0

= a

4

x

0

3

2

x

0

3

3

f ( x )= 1 +

2,5 ( x − 1 )

1

3,75 ( x − 1 )

2

1,875 ( x − 1 )

3

0,937 ( x − 1 )

4

f

x

0

1

2

3

4

  1. Encuentre lafórmula para cos ( x ) , usando series de Taylor.

f ( x )= cosx x = 0

f ( x )=

n = 0

a

n

xx

0

n

= a

0

  • a

1

x + a

2

x

2

  • a

3

x

3

  • a

4

x

4

  • + a

n

x

n

cos= 1 −

x

2

x

4

x

6

a

n

f

´ ´ ´´

( x

0

n!

n

0

= 0 a

0

cos 0

n

1

= 1 a

1

sen 0

n

2

= 2 a

2

−cos 0

n

3

= 3 a

3

sen 0

n

4

= 4 a

4

cos 0

f ´ ( x )=− senx

f ´ ´ ( x )=− cosx cos 1

x

2

x

4

x

6

f ´ ´ ´ ( x )= senx

f ´ ´ ´ ´ ( x )= cosx

  1. Calcule cos(0.2) 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛 |𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟| ≤ 10−5. Ángulo dado en radianes

cosx = ∑

n = 0

n

x

2 n

( 2 n )!

x

2

x

4

x

6

x

8

x

10

cos (0,2)= 1 −

2

4

6

8

10

cos (0,2) 0,

cos (0,2)=0,

  1. Calcule cos

0

) con un

¿ error 10

− 3

0

cos ( 1 ) = 1 −

x

2

x

4

x

6

x

8

f

x

0

n = 0

f

n

( x

0

n!

( xx

0

)= a

0

  • a

1

xx

0

1

  • a

2

xx

0

2

  • a

3

xx

0

3

sen ( x / y ) donde ( x / y )= x

0

f

x

0

= sen x

0

con x

0

f

x

0

= a

0

sen ( 0 )

f '

x

0

= a

1

f ' '

x

0

= a

2

=(− sen ( 0 ))/ 2_!_ = 0

f

'' ' (

x

0

)

= a

3

f

4

x

0

= a

4

=( sen ( 0 ) )/ 3_!_ = 0

sen x = x

x

3

x

5

x

7

f ( x )= sen ( x / y )=( x / y )−

( x / y )

3

( x / y )

5

( x / y )

7

  1. Encuentre la fórmula para e

( x + y )

,usando series de Taylor.

Se resuelve x , y.

→ f ( x )= 1 ;f ´ ´ ( x )= 1 ;f ´ ´ ´ ( x ) = 1 ; f ´´ ´ ´ ( x )= 1

→ f ( y )= 1 ;f ´ ´ ( x )= 1 ;f ´ ´ ´ ( x )= 1 ;f ´ ´ ´ ´ ( x ) = 1

Reemplazando en la formula

e

x + y

= 1 + 1 x + 4 +

x

2

  • y

2

x

3

  • y

3

x

4

  • y

4

Formula para calcular e

x + y

  1. Calcule 11^0.7.

f

x

0

n = 1

f

n

x

0

n!

( xx

0

)= a

0

  • a

1

xx

0

1

  • a

2

xx

0

2

  • a

3

xx

0

3

f

x

0

0,

donde 11 = x

0

f

x

0

= x

0

0,

con x

0

f ( x

0

) = a

0

= x

0

0,

f '

x

0

= a

1

x

0,

0,

f ' '

x

0

= a

2

x

1,

1,

f ' ' '

x

0

= a

3

x

2,

2,

f

4

x

0

= a

4

x

3,

3,

f ( x )= 1 +

0,7 ( x − 1 )

1

0,21( x − 1 )

2

0,273( x − 1 )

3

0,6279 ( x − 1 )

4

f

x

0

0,

0,

1

0,

2

0,

3

0,

4

0,

0,