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82 VVVVVol.ol.ol.ol.ol. 8 No8 No8 No8 No8 No.1.1.1.1.
Método para linealizar
la salida de un sensor
RESUMEN
En este artículo se presenta un método sencillo
para linealizar un sensor. El método consiste en en-
contrar un valor fijo para una resistencia que se co-
loca en paralelo con la resistencia variable, además
para probar el método se muestra un ejemplo en el
que se linealiza un termistor (resistencia que varia
con los cambios de temperatura), el cual es utilizado
para el diseño de un circuito de medición de voltaje,
en donde se requiere que la salida sea lineal.
Palabras clave: Linealizacion, Sensor, Resisten-
cia de linealizacion, Regresión Lineal
Method for Linealizar the Exit of a Sensor
ABSTRACT
In this paper a simple method for lining a sensor
is presented. The method consists in finding a
fixed value for a resistance put parallel together
with the variable resistance, an example, in which
a termistor is lined, is shown as well, in order to
test the method. This method is used for designing
a voltage measuring circuit, where the output is
required to be lineal.
INTRODUCCIÓN
Comprender el funcionamiento de los seres vivos
no solamente desde el punto de vista de la fisiología
si no también desde la ingeniería; este es uno de los
principales objetivos de la bioingeniería, por cuanto
de esta comprensión depende el éxito en la solución
de problemas en el campo de la medicina como: El
transplante de órganos, reconstrucción total o par-
cial de las extremidades, corrección de problemas
de visión entre otros.
El diseño de aparatos de medición de alta preci-
sión para sensar el comportamiento de los sistemas
vivos, es de suma importancia para el logro de los
objetivos anteriormente expuestos, uno de los re-
quisitos cuando se diseñan estos aparatos de medi-
ción es la linealidad de su salida (por ejemplo en un
medidor de voltaje que depende de la temperatura,
la variación del voltaje por unidad de temperatura
debe ser constante), es así como en este articulo se
presenta un modelo muy sencillo para linealizar la
salida de un sensor y este método se prueba
linealizando un resistor.
Este trabajo es un aporte en el diseño de sistemas
de medición, por cuanto permite calcular el valor de
la resistencia constante, que debe colocarse en para-
lelo con la resistencia variable, de tal manera que la
salida de un censor resistivo resulte lineal; investiga-
ción que nació como un aporte propio en un trabajo
como estudiante de la cátedra de Instrumentación,
en la especialización en Bioingeniería.
LINEALIZACIÓN DE UN SENSOR
Supongamos que el sistema (sensor) que se esta
diseñando tiene una resistencia variable R(x), la cual
varia no linealmente de acuerdo con una variable
independiente x (por ejemplo la temperatura) que
pertenece al intervalo [a , b], esta situación la repre-
sentamos mediante el circuito de la figura 1, linealizar
el sistema consiste en establecer una metodología
para diseñar el sistema de tal manera que la salida
sea lineal
Rigoberto Quintero
Camacho
(^1) Miembro Grupo de Investigación
Informática Educativa (GIIE) de la
Universidad Distrial Francisco José de Caldas.
icnei C a
nI
v
e
s
t
ig
a
c
ió
n
Academ ia
D e s a r r o ll o
Figura 1. circuito con una resistencia variable
R(x)
Figura 2. Circuito en paralelo con una
resistencia fija de linelizacion Rl
RL R(x )
CÁLCULO DE R
L
Supongamos que tomamos n valores de la varia-
ble x en el intervalo [a, b], y se toman n valores de la
resistencia R(x) sean dichos valores; (x 0
, R 0
), (x 1
,R 1
) ,
(x 2
,R 2
), ..., (x n-
,R n-
), además, podemos suponer que
los x k
están ordenados de menor a mayor, esto es:
a=x 0
<x 1
<x 2
<x 3
<
.x n-
=b, con lo cual R k
= R(x k
),
Artículo recibido en Abril de 2003 Aceptado en Junio 2003
Linealizar un
sensor consiste
en encontrar el
valor de la
resistencia que
debe colocarse
en paralelo con
la resistencia
variable
El método consiste en encontrar una resistencia
fija en paralelo, la cual llamaremos resistencia de
linealización R L
, esta situación la mostramos en la
figura 2
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Figura 3. Salida del termistor
(10)
(9)
(4)
(3)
para k= 0,1,2,3,,,,,,n-1, como las resistencias están
en paralelo, entonces la resistencia equivalente [1]esta
dada por:
LINEALIZACIÓN DE UN TERMISTOR
Los termistores son resistencias sensibles a la tem-
peratura, estos se fabrican de materiales
semiconductores tales como los óxidos de níquel,
cobalto o manganeso y sulfuros de hierro, aluminio
o cobre. Los óxidos semiconductores, al contrario
de los metales, muestran un decremento en la resis-
tencia con un incremento en la temperatura. La rela-
ción entre la resistencia R(x) como función de la tem-
peratura x del termistor se muestra a continuación:
k L
k L
k k
R R
R R r rx
= ( )= (1)
como lo que se busca es que la respuesta r k
sea
lineal, entonces tenemos que:
i j
i j
x x
r r
m
= (^) , para todo (2) i ≠ j
i = 0 , 1 , 2 ,....., n − 1 j = 0 , 1 , 2 ,....., n − 1
donde m es una constante real (pendiente de la
recta), en particular podemos encontrar m así: si de-
finimos ( )
max max
r = rx y (^) ( )
min min
r = rx , enton-
ces:
(2)
max min
max min
x x
r r
m
de otra parte reemplazando a cada
k
r definido en
(1) en (2) tenemos:
i j x x
R R
RR
R R
RR
m i j
j L
j L
i L
i L
paratodo , −
luego:
x x i j
x x
r r
mx x
R R
RR
R R
R R
i j i j j L
j L
i L
i L
( ) ( )( )paratodo,
max min
max min
remplazando tenemos:
i j x x
x x
R R
R R
R R
R R
R R
RR
R R
R R i j
L
L
L
L
j L
jL
i L
i L paratodo,
min max min
min
max
max
(5)
factorizando
L
R tenemos que:
i j x x
x x
R R
R
R R
R R R R
R
R R
R R
i j
L L
L j L
j
i L
i L ( ) paratodo, min max min
min max
max
−
−
−
=
−
como
L
R es distinto de cero tenemos
i j x x
x x
R R
R
R R
R
R R
R
R R
R i j
j L L L
j
i L
i paratodo, min max min
min
max
max
(7)
como max^ max b min min a
R = R(x ) = R(b) = R y R = R(x ) = R(a) = R
remplazando en (7), y además como la igualdad es
cierta para todo i,j entonces se puede tomar i=n:
para todo= 1 , 2 , 3 .....,− 1
j n ba
bx
R R
R
R R
R
R R
R
R R
R (^) j
a L
a
b L
b
j L
j
b L
b (8)
si definimos:
b a
b x
p
j
,tenemos que:
para^ todo =^1 ,^2 ,^3 ....., −^1
p j n R R
R
R R
R
R R
R
R R
R
a L
a
b L
b
j L
j
b L
b
despejando L
R en 9 se tiene:
b a b J
a b j j b a L
pR R R R
R R R pR R R
R
Dado que la salida de los termistores es no lineal,
a continuación se presenta un ejemplo en el se
linealiza un termistor
para todo j = 1,2,3
,n-
(11)
R ( x ) Re x x^0
donde R o
es la resistencia del termistor a la tempe-
ratura x 0
y β es una constante del material, llamada la
temperatura característica del material, claramente la
ecuación anterior nos indica que la salida de un
termistor es no lineal, en la tabla1 y la Fig. 3 se mues-
tra la salida de un termistor (con una constante de
auto calentamiento de 2mV/oC) para diseñar un ter-
mómetro el cual se quiere que opere en un rango en-
tre 20 y 42 grados centígrados
k x (^) k R (^) k 1 2 0 2 4 9 2 2 2 2 2 2 8 2
3 2 4 2 0 9 0 4 2 6 1 9 1 5 5 2 8 1 7 5 7 6 3 0 1 6 1 1
7 3 2 1 4 8 1 8 3 4 1 3 6 0 9 3 6 1 2 5 1 1 0 3 8 1 1 5 2
1 1 4 0 1 0 6 0 1 2 4 2 9 8 2
TABLA I.
RESISTENCIA DEL
TERMISTOR R K EN
OHMS A UNA
TEMPERATURA X K
EN GRADOS
CELSIUS
como se observa la salida es no lineal, por lo tanto
para linealizar la salida se debe calculara R L
en la ecua-
ción (10 ), para lo cual se requiere el valor de p, el cual
se calcula mediante la ecuación
b a
b x
p
j
= (^) donde j es
cualquier valor entre 1 y 12, en este caso elegimos j =
7 es decir el valor central de la temperatura x j
= 32, así
que 0.^4545
p = , y para calcular RL , utilizamos
la formula 10, esto es:
R L =
, con
este valor aplicamos la ecuación (1) a los valores de
la tabla 1 y obtenemos la tabla 2 y la Fig 4,
980
1180
1380
1580
1780
1980
2180
2380
20 25 30 35 40 45
TEMPERATURA EN (CENTIGRADOS)
RESISTENCIA EN (OMN)
La resitencia
en un semicon-
ductor decrece
exponencialmente
con la
temperatura
RESISTENCIA SIN LINEALIZAR
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Figura 6. Salida de voltaje
(14)
Para calcular el voltaje de alimentación V F
, es ne-
cesario tener en cuenta que para el termistor que se
esta diseñando, la potencia que se disipa dentro de
él, no calienta mas 0.05oC, con lo cual como el
termistor tiene la característica de que el
autocalentamiento es de 2mV/oC, luego La poten-
cia de disipación es (0.05).2=0.1mV = 0.0001V ,
además utilizando un divisor de voltaje [1]se obtiene
la siguiente relación:
Se observa que los errores de medición de la tem-
peratura en el caso del voltaje (que se calculan utili-
zando las formulas que se usaron para el calculo de
los errores para la resistencia) son los mismos en el
caso de resistencia, como era de esperarse.
CONCLUSIONES
- El uso adecuado de los conceptos matemáticos
como el de derivada, linealidad nos conducen a
resultados de mucha utilidad en la ingeniería.
- Es posible utilizar esta metodología en el caso de
sensores capacitivos solamente que la capacitancia
variable y la capacitancia fija van en serie.
- La linealizacion de un sensor es importante por
cuanto la sensibilidad del sistema de medición es
constante.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] DAVID E. JONSON , JOHNNY R JONSON Y METER D
S<COTT, Análisis Básico de Circuitos Eléctricos Prentice may,
Quinta Edición.
[2] SCHEAFFER MCCLAVE, Probabilidad y Estadística para Inge-
niería, Grupo Editorial Iberoamérica Segunda Edición.
Rigoberto Quintero Camacho
Profesor de Matemáticas de la Facultad de Ingeniería, Licenciado en
Matemáticas Universidad Pedagógica Nacional, Especialista en Es-
tadística Universidad Nacional, Especialista en Bioingeniería Univer-
sidad Distrital.
k L
k
F
k
Rx R
Rx
V
Vx
donde R L
es la resistencia de linealizacion calcula-
da anteriormente, si tomamos R ( xk )= Rb − Ra = Rc y
para este valor de la resistencia encontramos un va-
lor Vc , mediante la formula para el calculo de la po-
tencia R
V
P
2 = , en particular Vc^ =^ PRc y remplazando el
la ecuación (13) tenemos:
c L
c
F
c
R R
R
V
V
= que despejando
V F
tenemos:
(13)
c
c L c
c
c L c F
R
R R PR
R
R R V
V
VF =
este valor se remplaza en (13), para obtener la salida
de voltaje la cual se muestra en la tabla 7 que contiene
también los valores de la sensibilidad y el error de
medición, la Fig 6 muestra la salida de voltaje en fun-
ción de la temperatura, donde se observa que efecti-
vamente es lineal, esto se corrobora ajustando los da-
tos, de la temperatura contra voltaje, a un modelo li-
neal[2] como se puede verificar mediante las tablas 7,
8 y 9, por lo tanto el modelo V(x)=-0,007x+0,617 ,
ajusta perfectamente la salida de voltaje
para el caso particular de este resistor
R (^) c = 1510 , RL = 1212 , 55 , P = 0. 0001 ,y remplazando es-
tos valores en (14) tenemos:
TABLA VII. SALIDA DE VOLTAJE, SENSIBILIDAD Y ERROR DE MEDICIÓN
x k R k V k S(X K ) V(X K) e K EK
SENSIBILIDAD
PROMEDIO -0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
20 25 30 35 40 45 TEMPERATURA (0C)
VOLTAJE EN (VOLTIOS)
Gr.lib S.deC C:M F V.C deF
Regresión 1 0,029958 0,03 140021 4,57E-
Residuos 10 2,00E-06 2,00E-
Total 11 0,
TABLA VIII. ANÁLISIS DE VARIANZA PARA EL VOLTAJE
Coeficiente de correlación 1,
Coeficiente de determinación
R^2 1,
R^2 ajustado 1,
Error típico 0,
Observaciones 12
TABLA XI. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN DEL MODELO
Coeficientes Estadístico t Probabilidad
Intercepción 0,617 1004,054 0,
Pendiente -0,007 -374,194 0,
Modelo V(x)=-0,007x+0,
TABLA XI. PARÁMETROS DEL MODELO Y
PRUEBA T PARA LOS MISMOS
CURVA DE VOLTAJE DE SALIDA
