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Taller 1 Series Infinitas
Hugo Andr´es Cer´on Berm´udez Cod: 614191027
Marzo 2020
1. Taller No. 1
- Determine si la sucesi´on dada converge o d´ıverge. a) an = (^3) nn++ 21
n^ l´ım→∞ an^ =^ nl´ım→∞
3 n + 1 n + 2 Es convergente si existe el l´ımite
= (^) nl´ım→∞
1 n (^3 n^ +^1 ) 1 n (n^ +^2 )^
Multiplicando por 1 en la fracci´on
= (^) nl´ım→∞ 3 + (^1) n 1 + (^2) n
realizando las respectivas operaciones
n^ l´ım→∞ an^ =^3 Por propiedades de l´ımites y evaluando obtenemos
b) an = 4 n (^2) + 1 n^3 − 2 n+ 5
n^ l´→ım∞ an^ =^ nl´→ım∞
4 n^2 + 1 n^3 − 2 n + 5 Es convergente si existe el l´ımite
= (^) nl´→ım∞
1 n^3 (^4 n
1 n^3 (n (^3) − 2 n + 5 ) Multiplicando por 1 en la fracci´on tenemos
= (^) nl´→ım∞
4 n +^
1 n^3 1 − (^) n^22 + (^) n^53 realizando las respectivas operaciones
n^ l´→ım∞ an^ =^0 Por propiedades de l´ımites y evaluando obtenemos
c) an = √^2 nn+ (^2) +^13
n^ l´→ım∞ an^ =^ nl´→ım∞ √^2 n^ +^1 n^2 + 3
Es convergente si existe el l´ımite
= (^) nl´→ım∞
1 n (^2 n^ +^1 ) 1 n (
n^2 + 3 )
Multiplicando por 1 en la fracci´on tenemos
= (^) nl´→ım∞ 2 + (^1) n √ 1 + (^) n^32
realizando las respectivas operaciones
n^ l´→ım∞ an^ =^2 Por propiedades de l´ımites y evaluando obtenemos
d) an =
√ (^58) −n (^5) − 4 n √ (^5) n (^3) + 1 − 2 √ (^51) +n 5
n^ l´→ım∞ an^ =^ nl´→ım∞
√ (^58) − n (^5) − 4 n √ (^5) n (^3) + 1 − 2 √ (^51) + n 5 Es convergente si existe el l´ımite
= (^) nl´→ım∞
1 n (^
√ (^58) − n (^5) − 4 n) 1 n (^
√ (^5) n (^3) + 1 − 2 √ (^51) + n (^5) ) Multiplicando por 1 en la fracci´on tenemos
= (^) nl´→ım∞
5
8 n^5 −^1 −^4 5
1 n^2 +^
1 n^5 −^2
5
1 n^5 +^1
realizando las respectivas operaciones
√ (^50) − 2 √ 51 Por propiedades de l´ımites y evaluando obtenemos
n^ l´→ım∞ an^ =^
e) an = sen(^
n 2 π ) n
n^ l´→ım∞ an^ =^ nl´→ım∞
sen( n 2 π ) n Es convergente si existe el l´ımite
= (^) nl´→ım∞ sen( nπ 2 ) analizando solamente el numerador, se evidencia que es divergente
= (^) nl´→ım∞ sen( nπ 2 ) aunque esta sucesi´on es acotada, tomando valores de 0,1 y -
= (^) nl´→ım∞
n analizando ahora solamente esta sucesi´on, se evidencia que converge a 0
= (^) nl´→ım∞
sen( n 2 π ) n por lo tanto se puede deducir que ya sea 0, 1 o − 1 dividido un nunero enorme, da un numero muy cercano a 0
n^ l´→ım∞ an^ =^0
h) an = n 1 n
n^ l´ım→∞ an^ =^ nl´ım→∞ n^
(^1) n Es convergente si existe el l´ımite
ln ( (^) nl´→ım∞ an) = ln ( (^) nl´→ım∞ n (^1) n ) aplicando logaritmo natural a ambos lados
= (^) nl´ım→∞ ln (n (^1) n ) pasando el ln adentro del l´ımite por ser una funci´on continua
= (^) nl´ım→∞ ln n n por propiedades de los logaritmos
= (^) nl´ım→∞^1 n aplicando la regla de L’Hopital ln ( (^) nl´→ım∞ an) = 0 Evaluando el l´ımite
e ln ( (^) nl´→ım∞ an) = e^0 elevando la igualdad por el numero e n^ l´ım→∞ an^ =^1 por propiedades de ln y de la potencia i) an = (n+^1 )
n nn+^1
n^ l´ım→∞ an^ =^ nl´→ım∞^ (n^ +^1 )
n nn+^1 Es convergente si existe el l´ımite
= (^) nl´→ım∞
n
n + 1 n
)n) por propiedades de la potencia.
= (^) nl´→ım∞^1 n · (^) nl´ım→∞
n + 1 n
)n por propiedades de los l´ımites
Ahora se evaluara el l´ımite del cada termino del producto por separado
nl´→ım∞
n = 0 Evaluando el l´ımite del primer termino
n^ l´→ım∞
n + 1 n
)n = L suponiendo que el l´ımite del segundo termino existe
ln
n^ l´ım→∞
n + 1 n
)n) = ln(L) Sacando logaritmos
n^ l´→ım∞ ln
n + 1 n
)n) = ln(L) al ser el ln una funci´on continua
n^ l´→ım∞ n^ ·^ ln
n
= ln(L) Propiedades de los logaritmos
n^ l´→ım∞
ln
1 + (^1) n
1 n
= ln(L) Reorganiz´ando la expresi´on anterior
n^ l´→ım∞
1 + (^1) n
· (− (^) n^12 ) − (^) n^12
= ln(L) Aplicando Regla de H’lopital
nl´→ım∞
( 1 + (^1) n )
= ln(L) Aplicando Regla de H’lopital
1 = ln(L) Evaluando el l´ımite e^1 = eln(L)^ Evaluando por e la expresi´on e = L l´ımite de la segunda expresi´on n^ l´ım→∞ an^ =^0 ·^ e^ Por propiedades de las suceciones convergentes n^ l´ım→∞ an^ =^0 por lo anterior la sucesi´on es convergente
j) an = ( 1 + (^1) n )l·n
n^ l´→ım∞ an^ =^ nl´ım→∞(^1 +^
n )l·n^ Es convergente si existe el l´ımite
ln
n^ l´→ım∞ an
= ln
n^ l´ım→∞
n
)l·n) Aplicando logaritmo natural a ambos lados
= (^) nl´ım→∞ ln
n
)l·n pasando el ln adentro del l´ımite por ser una funci´on continua
= (^) nl´ım→∞ l · n · ln
n
Por propiedades de los logaritmos
= (^) nl´ım→∞ ln
1 + (^1) n
1 l·n
Ordenando la expresi´on
= (^) nl´ım→∞
1 1 + (^1) n
− 1 n^2
1 l ·^ − 1 n^2
aplicando la regla de L’Hopital
= (^) nl´ım→∞ l ·
1 + (^1) n
Simplificando y ordenando
ln
n^ l´→ım∞ an
= l Evaluando el l´ımite
eln^ (^ nl´→ım∞^ an)^ = el^ elevando la igualdad por el numero e
n^ l´→ım∞ an^ =^ el^ por propiedades de ln
- Investigaci´on: Busque informaci´on sobre el ”teorema de las sucesiones mon´oto- nas” y luego util´ıcelo para demostrar que las siguientes sucesiones son conver- gentes:
De la Expresi´on No. 4 se deduce que el primer termino de cada sumando son iguales, por lo que indica que el segundo termino del sumando es el que determina si es creciente o decreciente.
an?
2 n^
4 n − 3 2 n^
2 n^
4 n − 3? 4 (7) 4 n > 4 + 3 , p. t. n ≥ 2 (8) por la Expresi´on No 8 se concluye que an > an+ 1 por lo que es una suce- si´on monotona decreciente; ahora el l´ımite de la sucesi´on se puede hallar por medio de la expresi´on No. 3
nl´→ım∞ an+^1 =^ nl´→ım∞
an + 2 2 n
nl´→ım∞ an+^1 =^
nl´ım→∞ an^ +^ nl´ım→∞
2 n^ Por Propiedades de los l´ımites (10)
L =
2 L^ +^ nl´ım→∞
2 n^ suponiendo que el l´ıımite existe, es ´unico y es L^ (11) L = 4 l´ n→ım∞
2 n^ Despejando L (12) L = 4 · 0 Evaluando el l´ımite (13) nl´ım→∞ an^ =^0 (14)
- An´alisis
a) Demuestre que s´ı l´ n→ım∞ an = 0 y {bn}n es acotada, entonces l´ n→ım∞ an · bn = 0 b) Suponga que {an}n converge y que {bn}n diverge ¿Qu´e puede decir de {an + bn}n y {an · bn}n?
- La suma de una sucesi´on positivamente divergente con una sucesi´on acotada es una sucesi´on positivamente divergente
- El producto puede ser convergente o puede que no ejemplo: {an}n = 1 n^2 y^ {bn}n^ =^ n, entonces^ {an^ ·^ bn}n^ =^
1 n sucesi´on convergente, pero si {bn}n = n^3 , entonces {an · bn}n = n sucesi´on divergente c) Suponga que {an}n y {bn}n divergen ¿Qu´e puede decir de {an + bn}n y {an · bn}n?
- La suma de dos sucesi´ones positivamente divergentes es otra sucesi´on positivamente divergente
- El producto de dos sucesiones divergentes puede ser convergente o puede que no
- Investigaci´on:
a) Busque como se construye el Conjunto de Cantor, y mediante una serie geom´etrica muestre que su medida es igual a cero
Figura 1: Conjunto de Cantor
paso No.Interva. Longitud divi 1 1
L
9 L
L
n 2 n−^1
3 n^
L
El conjunto (C) se compone por el resultado de quitar al intervalo original
( 1 + r 1 )^2 = ( 1 − r 1 )^2 + 12 Teorema de pitagoras r 1 = 1 / 4 Desarrollando la expresi´on anterior 2 r 1 = 1 / 2 Diametro de la primera circunferencia
( 1 + r 2 )^2 = ( 1 − (r 2 + 2 r 1 ))^2 + 12 Teorema de pitagoras r 22 + 2 r 2 + 1 = 1 − 2 r 2 − 4 r 1 + r^22 + 2 r 22 r 1 + 4 r^21 + 1 Desarrollando la expresi´on anterior 4 r 2 − 4 r 2 r 1 = − 4 r 1 + 4 r^21 + 1 Desarrollando la expresi´on anterior 2 r 2 ( 2 − 2 r 1 ) = − 8 r 1 + 4 r^21 + 4 − 3 + 4 r 1 Sumando 0
2 r 2 = ( 2 − 2 r 1 )^2 ( 2 − 2 r 1 )
4 r 1 − 3 ( 2 − 2 r 1 ) Desarrollando la expresi´on anterior
2 r 2 = 2 − 2 r 1 + 4 r 1 − 3 ( 2 − 2 r 1 ) Desarrollando la expresi´on anterior
- C´alculo; Averigue el Criterio de condensaci´on de Cauchy y el Criterio de Raabe, y con ellos determine el comportamiento de las siguientes series:
a)
+∞ ∑ k= 1
2 · 4 · 6 ···( 2 k) 3 · 5 · 7 ···( 2 k+ 1 ) Utilizando el criterio de Raabe sabremos si es o no conver-
gente.
ak = 2 · 4 · 6 · · · ( 2 k) 3 · 5 · 7 · · · ( 2 k + 1 )
ak+ 1 = 2 · 4 · 6 · · · ( 2 k) · ( 2 (k + 1 )) 3 · 5 · 7 · · · ( 2 k + 1 ) · ( 2 ( 2 k + 1 ) + 1 ) (2)
l´ım k→∞
k
2 · 4 · 6 ···( 2 k)·( 2 (k+ 1 )) 3 · 5 · 7 ···( 2 k+ 1 )·( 2 ( 2 k+ 1 )+ 1 ) 2 · 4 · 6 ···( 2 k) 3 · 5 · 7 ···( 2 k+ 1 )
(^) Aplicando Criterio de Raabe (3)
l´ım k→∞
[
k
2 (k + 1 ) ( 2 (k + 1 ) + 1 )
)]
Simplificando (4)
l´ım k→∞
[
k
2 k + 2 2 k + 3
)]
operando (5)
l´ım k→∞
[
k
2 k + 3 − 2 k − 2 2 k + 3
)]
operando (6)
l´ım k→∞
k 2 k + 3
operando (7)
kl´→ım∞
k k 1 k (^2 k^ +^3 )
Multiplicando por 1 (8)
kl´→ım∞
2 + (^3) k
2 <^1 Evaluando el l´ımite^ (9) +∞
k= 1
2 · 4 · 6 · · · ( 2 k) 3 · 5 · 7 · · · ( 2 k + 1 ) Diverge por 9) y criterio de Raabel (10)
b)
+∞ ∑ k= 2
1 kln(k)
ak =
kln(k)
ak+ 1 = 1 (k + 1 )ln((k + 1 ))
ak+ 1 ak
1 (k+ 1 )ln((k+ 1 )) 1 kln(k)
dividiendo 2 por 1 (3)
ak+ 1 ak = k (k + 1 ) · ln(k) ln(k + 1 ) operando 3) (4) ak+ 1 ak < 1 por 4), ln una funcion creciente y dividir por el sucesor de k (5)
+∞
k= 2
k(ln(k))^2 ⇔
+∞
k= 2
2 k^
2 k(ln( 2 k))^2 por C.C.C. (6)
+∞
k= 2
(kln( 2 ))^2 Operando 6 y por propiedades de los log. (7)
(ln( 2 ))^2
+∞
k= 2
k^2 Porpiedades de las series y los logaritmos (8)
⇔ (^) (ln(^12 )) 2 ·
( (^) π 2 6 −^1
) por 8 y Leonhard Euler (9) +∞
k= 2
k(ln(k))^2 = L Converge por 9 (10)
d)
+∞ ∑ k= 1
(( 2 k)!)^3 26 k(k!)^6
ak = (( 2 k)!)^3 26 k(k!)^6
ak+ 1 = (( 2 (k + 1 ))!)^3 26 (k+^1 )((k + 1 )!)^6
ak+ 1 = (( 2 k + 2 )!)^3 26 k+^6 ((k + 1 )!)^6 desarrollando 2 (3)
ak+ 1 = (((^2 k)!^ ·^ (^2 k^ +^1 )^ ·^ (^2 k^ +^2 )))
3 26 k 26 (k! · (k + 1 ))^6 Propiedades del factorial (4)
ak+ 1 = (( 2 k)!)^3 · ( 2 k + 1 )^3 · 23 · (k + 1 )^3 26 k^ · 26 (k!)^6 · (k + 1 )^6 Propiedades de la potencia (5)
ak+ 1 = (( 2 k)!)^3 · ( 2 k + 1 )^3 26 k^ · 23 (k!)^6 · (k + 1 )^3 simplificando 5 (6)
ak+ 1 ak
(( 2 k)!)^3 ·( 2 k+ 1 )^3 26 k· 23 (k!)^6 ·(k+ 1 )^3 (( 2 k)!)^3 26 k(k!)^6
dividiendo 2 por 1 (7)
ak+ 1 ak
( 2 k + 1 )^3 23 · (k + 1 )^3 simplificando (8)
kl´→ım∞
[
k
( 2 k + 1 )^3 23 · (k + 1 )^3
)]
Aplicando Criterio de Raabe (9)
kl´ım→∞
[ k
( (^64) k (^3) + 192 k (^2) + 192 k+ 64 − 8 k (^3) − 12 k (^2) − 6 k− 1 64 k^3 + 192 k^2 + 192 k+ 64
)] desarrollando 9 (10)
l´ım k→∞
[
k
56 k^3 + 180 k^2 + 186 k + 63 64 k^3 + 192 k^2 + 192 k + 64
)]
desarrollando 10 (11)
kl´ım→∞
56 k^4 + 180 k^3 + 186 k^2 + 63 k 64 k^3 + 192 k^2 + 192 k + 64
desarrollando 11 (12)
l´ım k→∞
k^4 (^56 k (^4) + 180 k (^3) + 186 k (^2) + 63 k) 1 k^4 (^64 k (^3) + 192 k (^2) + 192 k + 64 )
multiplicando por 1 (13)
l´ım k→∞
56 + (^180) k + (^186) k 2 + (^63) k 64 k +^
192 k^2 +^
192 k^3 +^
64 k^4
desarrollando 12 (14)
l´ım k→∞
56 + (^180) k + (^186) k 2 + (^63) k 64 k +^ 192 k^2 +^
192 k^3 +^
64 k^4
= +∞ evaluando el l´ımite (15)
Por lo anterior no se puede concluir si la serie
+∞ ∑ k= 1
(( 2 k)!)^3 26 k(k!)^6 converge o diver- ge, utilizando el criterio de Raabe.
- An´alisis: En clase se ha mencionado que
+∞ ∑ k= 1
1 k^2 =^
π^2
- Usar este resultado para deducir las siguientes F´ormulas:
a) 112 + 312 + 512 + · · · = π 82 1 12 +^ 1 32 +^ 1 52 +···^ =^ 1 12 +^ 1 22 +^ 1 32 +^ 1 42 +^ 1 52 +^ 1 62 +···−
( (^1) 22 +^ 1 42 +^ 1 62 +···
) Sumando un total de 0 (1)
+∞
k= 1
k^2 −
+∞
k= 1
( 2 k)^2 Reescribiendo 1^ (2)
=
+∞
k= 1
k^2
+∞
k= 1
22 · k^2 Propiedades de las potencias en 2 (3)
+∞
k= 1
k^2
+∞
k= 1
k^2 Propiedades de las Series (4)
π^2 6
π^2 6 Convergencia de la serie (5)
= 4 ·^ π
(^2) − π 2 24 = 3 ·^ π
2 24 realizando operaciones en 5 (6) 1 12 +^
32 +^
52 +^ · · ·^ =^
π^2 8 simplificando 6^ (7)
−ln( 1 − p−^1 ) =
p
2 p^2
3 p^3
4 p^4
por 7) (8)
ln
n= 1
n
p
p
2 p^2
3 p^3
4 p^4
por 5) y 8) (9)
ln
n= 1
n
p
p
p
p^2
2 +^
3 p +^
4 p^2 +^ · · ·
Reescribiendo 9) (10)
Acotando la serie de la expresi´on n´umero 10) por medio la siguiente serie
∑ p
( (^1) p
) +∑ p p^12
( (^12) + (^31) p + 1 4 p^2 +···
) <∑ p( (^1) p )+∑ p p^12
( 1 + (^1) p + (^) p^12 +···
) (11)
ln
+∞
n= 1
n
p
p
p
p^2
p +^
p^2 +^ · · ·
por 10) y 11) (12)
ln
n= 1
n
p
p
p
p^2
1 − (^1) p
por serie geometrica en 12 (13)
ln
+∞
n= 1
n
p
p
p
p(p − 1 ) Reescribiendo 13 (14)
analizando un termino de la suma de la ecuaci´on 14 se tiene lo siguiente:
p
p(p − 1 )
+∞
k= 1
k(k + 1 ) = 1 por la convergencia del termino sn de la segunda expresi´on (15)
p
p(p − 1 ) = C < 1 por 15, la primera expresi´on converge (16)
ln
+∞
n= 1
n
p
p +C por 16 (17)
ln
+∞
n= 1
n
−C < ∑
p
p por propiedades de las desigualdades (18)
+∞ −C < ∑
p
p evaluando el ln del resultado de la serie armonica (19)
p
p = +∞^ por 19 la serie diverge^ (20)
