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Superavit productor consumidor, Apuntes de Cálculo diferencial y integral

Superavit productor - consumidor

Tipo: Apuntes

2019/2020

Subido el 22/06/2020

Johny_Quintero
Johny_Quintero 🇨🇴

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SUPERAVIT(EXCEDENTE) PRODUCTOR – CONSUMIDOR
Ejemplo: La ecuación a) es una ecuación de demanda y la b) es una ecuación de oferta de un
producto. En cada caso, determine el excedente de los consumidores y de los productores, bajo
equilibrio del mercado.
a)
𝐷
(
𝑞
)
=120*𝑞+
b)
𝑂
(
𝑞
)
=32+3𝑞
Solución:
Para poder iniciar la solución del ejercicio debemos recordar las integrales que nos permiten hallar
el excedente del productor y el excedente del consumidor:
𝑬𝒙𝒄𝒆𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒄𝒐𝒏𝒔𝒖𝒎𝒊𝒅𝒐𝒓 =
<[
𝑫
(
𝒒
)
𝒑
]
*𝒅𝒒
𝒒
𝟎,𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒*𝐷
(
𝑞
)
*𝑒𝑠*𝑙𝑎*𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐í𝑜𝑛*𝑑𝑒*𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎.
𝑬𝒙𝒄𝒆𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒓 = <[𝒑 𝑶(𝒒)]*𝒅𝒒
𝒒
𝟎
,𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒*𝑂
(
𝑞
)
*𝑒𝑠*𝑙𝑎*𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐í𝑜𝑛*𝑑𝑒*𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎
Como podemos observar en las formulas, para poder resolver el ejercicio debemos tener varios
datos, a continuación los relaciono:
1. Ecuación de Demanda.
2. Ecuación de oferta
3. q = la coordenada en x del punto de equilibrio
4. p = la coordenada en y del punto de equilibrio
En el ejercicio me dan la ecuación de demanda que es
𝐷
(
𝑞
)
=120*𝑞+
, también la ecuación de
oferta
𝑂
(
𝑞
)
=32+3𝑞
, NO TENGO el valor de q ni el valor de p, que es el punto de equilibrio,
para hallarlo realizo lo siguiente:
Primera Forma: Analítica
Igualo las ecuaciones de oferta y demanda
32+ 3𝑞 = 120*𝑞+
Transpongo términos para igualar a cero
32+3𝑞120+𝑞+= 0
Sumo términos semejantes (si los tenemos)
88+3𝑞+𝑞+= 0*(𝐸𝑐1)
Soluciono la ecuación (Ec1) factorizando o aplicando formula cuadrática (Sólo aplico
fórmula cuadrática cuando tenga a q elevado a la dos, de lo contrario despejo q)
i. Factorizando, busco dos números que multiplicados den -88 y sumados den 3
(
𝑞8
)(
𝑞+11
)
= 0
Por lo tanto para que la igualdad se cumpla, es decir, para que (
𝑞+8
)(
𝑞11
)
sea cero, q debe ser 8 ó q debe ser -11. Como q representa la cantidad de cierto
artículo descartamos el valor negativo y nos quedamos con q = 8.
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SUPERAVIT(EXCEDENTE) PRODUCTOR – CONSUMIDOR

Ejemplo: La ecuación a) es una ecuación de demanda y la b) es una ecuación de oferta de un

producto. En cada caso, determine el excedente de los consumidores y de los productores, bajo

equilibrio del mercado.

a) 𝐷(𝑞) = 120 − 𝑞

b) 𝑂(𝑞) = 32 + 3 𝑞

Solución:

Para poder iniciar la solución del ejercicio debemos recordar las integrales que nos permiten hallar

el excedente del productor y el excedente del consumidor:

𝒄𝒐𝒏𝒔𝒖𝒎𝒊𝒅𝒐𝒓

[

]

𝒒

𝟎

, 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐷(𝑞) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐í𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎.

𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒓

[

]

𝒒

𝟎

, 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑂(𝑞) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐í𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎

Como podemos observar en las formulas, para poder resolver el ejercicio debemos tener varios

datos, a continuación los relaciono:

  1. Ecuación de Demanda.
  2. Ecuación de oferta
  3. q = la coordenada en x del punto de equilibrio
  4. p = la coordenada en y del punto de equilibrio

En el ejercicio me dan la ecuación de demanda que es 𝐷

, también la ecuación de

oferta 𝑂

= 32 + 3 𝑞, NO TENGO el valor de q ni el valor de p, que es el punto de equilibrio,

para hallarlo realizo lo siguiente:

Primera Forma: Analítica

  • Igualo las ecuaciones de oferta y demanda
  • Transpongo términos para igualar a cero
  • Sumo términos semejantes (si los tenemos)
  • Soluciono la ecuación (Ec1) factorizando o aplicando formula cuadrática (Sólo aplico

fórmula cuadrática cuando tenga a q elevado a la dos, de lo contrario despejo q)

i. Factorizando, busco dos números que multiplicados den - 88 y sumados den 3

Por lo tanto para que la igualdad se cumpla, es decir, para que (𝑞 + 8 )(𝑞 − 11 )

sea cero, q debe ser 8 ó q debe ser - 11. Como q representa la cantidad de cierto

artículo descartamos el valor negativo y nos quedamos con q = 8.

ii. Por fórmula cuadrática en − 88 + 3 𝑞 + 𝑞

Para este caso a = 1, b = 3 y c = - 88, remplazando en la fórmula obtenemos

Z

Como se observa la raíz cuadrada tiene dos signos, uno negativo y otro positivo, lo

que nos brinda dos soluciones

Por la misma razón anterior nos quedamos con q=

  • Luego, ya tengo la primera coordenada del punto de equilibrio que es 𝒒 = 𝟖 para hallar la

coordenada faltante (p) remplazo el valor de q en la ecuación de oferta o ecuación de

demanda, cualquiera nos sirve:

Remplazo q en la ecuación de oferta, lo cual tenemos:

Por lo tanto, las coordenadas del punto de equilibrio son: ( 8 , 56 )

Segunda Forma: Gráfica, usando geogebra

  • Grafico la ecuación de oferta y la ecuación de demanda, ingresando dichas funciones en la

barra de entrada de geogebra, lo que se obtiene:

Gráficamente sería: