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Escuela de Ingeniería de Antioquia – Universidad CES
Mecánica de Biofluidos
Solución a los problemas con esfuerzo viscoso
Solución 1:
Si se supone que el buzo sube por acción solo de la fuerza de empuje, entonces el diagrama de
cuerpo libre queda como se ilustra en la figura, luego.
F ↑=Fe−W −F
τ
=m
dv
dt
→ ρgπgππ R
2
h−W −μ
dv
dr
2 πRh=
W
gπ
dv
dt
Ahora se calcula el perfil de velocidades a partir de la geometría y las condiciones de frontera. Si
el perfil es parabólico, entonces:
v ( r ) =a r
2
+br +c ; con :v ( 0 ) =v (t ) y v ( R)= 0 y
dv
dr
r = 0
= 0 ( por ser maximo) ;asi lascosas
v ( r ) =v ( t )
r
2
e
2
dv
dr
max
− 2 v
t
e
luego,
ρgπgππ R
2
h−W −
4 μπRhv
e
W
gπ
dv
dt
0
V
0
W
gπ
ρgπgππ R
2
h−W −
4 μπRhv
e
dv =
0
t
min
dt
t
min
−e
4 μπRh
W
gπ
ln
[
ρgπgππ R
2
h−W −
4 μπRh V
o
e
gππ R
2
h−W
]
Solución 2:
Suponiendo que el perfil de velocidades es de tipo parabólico, v ( r ) =a r
2
+br +c
, y aplicando las
condiciones de frontera se tiene que, v ( r ) =v
max
r
2
R
2
; por lo tanto el esfuerzo cortante máximo
es : τ
max
=μ
(
dv
dy
)
n
=μ
(
2 v
max
R
)
n
. Para definir el valor de la velocidad máxima, se apela a la tasa a la
cual se administra el medicamento. Sea m la masa de medicamento que se administra en un tiempo
t , entonces.
m=ρgπVol → ∆ m=ρgπ ∆ Vol → →
∆ m
∆ t
ρgπ ∆ Vol
∆ t
dm
dt
ρgπ A
constante
dx
dt
→ k =ρgππ R
2
v
max
Luego:
v
max
k
ρgππ R
2
→ τ
max
=μ
(
2 k
ρgππ R
3
)
n
F=F−F
τ
−F
Pa
= 0 → F−τ
max
2 πRL−P
a
π R
2
= 0 → F=μ
(
2 k
ρgππ R
3
)
n
2 πRL+P
a
π R
2
Solución 3:
El problema debe ser dividido en dos partes ya que las geometrías por donde asa el fluido son
diferentes.
En el cono:
Debido a que el radio cambia en función de la altura, es necesario tomar un elemento diferencial de
volumen para calcular la fuerza cortante que se produce a una altura z y radio rgenérico. En la
figura 1 se presenta la distribución de fuerzas de cortante y el perfil de velocidades.
ρgπgπ
(
R
o
2
+r
o
2
+ R
o
r
o
)
= 4 μ v
2
Como la velocidad es constante; entonces:
ρgπgπ (
R
o
2
o
2
+ R
o
r
o
)
= 4 μ
(
h
2
t
2
)
→ t
2
12 μ h
2
ρgπgπ (
R
o
2
o
2
+ R
o
r
o
)
En el cilindro:
Se puede llevar el mico razonamiento que en el cono y dado que el radio no varía con la altura,
entonces no es necesario integrar:
F
verticales
0
W
cono truncado
dW +
0
F
dF= 0
→ ρgπgππ r
o
2
h
1
=μ
(
2 v
1
r
o
)
2 π r
o
h
1
→ ρgπgπr
o
2
= 4 μ v
1
= 4 μ
(
h
1
t
1
)
→ t
1
4 μ h
1
ρgπgπ r
o
2
El tiempo total es la suma de los dos tiempos; por lo tanto:
t=t
1
2
4 μ h
1
ρgπgπ r
o
2
12 μ h
2
ρgπgπ (
R
o
2
+r
o
2
+ R
o
r
o
)
→ μ=
ρgπgπt
4 h
1
r
o
2
12 h
2
( R
o
2
+r
o
2
+R
o
r
o
)
Lo cual implica que la constante
k =
gπ
4 h
1
r
o
2
12 h
2
(
R
o
2
+r
o
2
+ R
o
r
o
)
Solución 4:
Para empezar planteemos el problema como para un tubo genérico de longitud L y radio R. si el
fluido baja con velocidad contante en ese tramo entonces la sumatoria de fuerzas daría:
F= peso−fuerza viscosa= 0
El peso corresponde al fluido que se mueve por ese tubo, y además, sabiendo que el perfil es
parabólico, se tiene que:
F=π R
2
Lρgπgπ−μ
(
2 V
max
R
)
2 πRL= 0 → V
max
ρgπgπ R
2
4 μ
Pero si la velocidad de descenso es constante; entonces, para la velocidad máxima de ese tubo:
V
max
L
t
ρgπgπR
4 μ
→ t=
4 μL
ρgπgπ R
2
Ahora bien, el tiempo que le toma desentender al fluido debe ser la suma de los tiempos que
toma pasar por cada tubo; de este modo:
t=t
1
2
4 μ L
2
ρgπgπ R
2
4 μ
2 L
1
ρgπgπ r
2
4 μ
ρgπgπ
(
L
2
R
2
2 L
1
r
2
)
→ μ=
ρgπgπt
(
L
2
R
2
2 L
1
r
2
)
→ k =
gπ
(
L
2
R
2
2 L
1
r
2
)
Solución 5:
T =T
m
−T
fluido
El torque del fluido (
T
fluido
) se debe al esfuerzo cortante que en todos los puntos donde el fluido
hacen contacto con el discos; por esta razón:
T
fluido
T
fluido
r τ dA=
r
(
μ
dv
dz
)
dA
En la siguiente figura se aprecia el perfil parabólico del fluido.
