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CONTROL REALIMENTADO
Sistemas Dinámicos de Primer
Orden
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Hola controleros y controleras, hoy vamos a entender en detalle en que consisten los
Sistemas Dinámicos de Primer Orden , los cuales usaremos bastante en la aplicación de
los sistemas de control.
Antes de comenzar, te hago la invitación para que veas todas las entradas de nuestro
curso gratuito de Control Clásico.
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Tabla de Contenido [Esconder]
1 Sistemas de Primer Orden Control
1.1 ¿Qué es un sistema de primer orden?
1.2 ¿Para qué sirven los sistemas de Primer Orden?
1.3 Ejemplo práctico de un sistema de primer orden
1.3.1 Función de Transferencia de Primer Orden
1.3.2 ¿Qué es la ganancia estática de un sistema?
1.3.3 ¿Qué es la constante de tiempo en un sistema de primer orden?
1.4 Como identificar un sistema de primer orden
2 Respuesta de un Sistema de Primer Orden
2.1 ¿Qué es una señal de entrada en un sistema de control?
2.2 Control Fuzzy – Mamdani – Simulink
2.3 Control PID via sintesis DAHLIN
2.4 Anti Windup en un Control PID
2.5 Respuesta ante una Entrada Escalón
2.5.1 Sistema de Primer Orden SIN Retardo
2.5.2 Sistema de Primer Orden con Retardo o Tiempo Muerto
2.6 Sistema de Primer Orden Entrada Rampa
2.7 Sistema de Primer Orden Entrada Impulso Unitário
2.8 Estabilidad Entrada – Salida
2.9 Control por Realimentación de Estados con Integrador tipo Servo
2.10 Principio del Modelo Interno
3 Clasificación de los sistemas de primer orden
3.1 Sistema de Primer Orden sin Cero (Clásico)
3.2 Sistema de primer orden con cero nulo o derivador filtrado
3.3 Sistema de primer orden con cero no nulo
4 Sistemas de Primer Orden en Matlab
5 Ejemplo
Sergio A. Castaño Giraldo
YouTube (^85) K
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Los sistemas de primer orden tienen diversas aplicaciones para aproximar y representar
procesos y sistemas físicos cotidianos o industriales. Por ejemplo tenemos sistemas
físicos de primer orden de circuitos eléctricos (circuito RC) donde el condensador es el
componente encargado de almacenar la energia del sistema.
¿Para qué sirven los sistemas de Primer Orden?
Es un tipo de representación que sirve para poder expresar de una forma matemática y
muy simple como se comporta un proceso o un sistema real a lo largo del tiempo
cuando se aplica algún estímulo en sus entradas.
De esa forma podremos hacer análisis para mejorar y optimizar nuestro sistema.
Ejemplo práctico de un sistema de primer orden
Antes de entrar a estudiar los sistemas de primer orden, vamos a ver un ejemplo de
como obtenemos la ecuación diferencial a partir de un sistema físico de primer orden
común. Para eso vamos a considerar el llenado de un tanque:
Sistema de un tanque de nivel con una válvula de entrada y
una tubería larga
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Si te interesa el modelado de sistemas hidráulicos dale un vistazo a nuestras entradas
anteriores donde explicamos como modelar este sistema.
Otros ejemplos de sistemas de primer orden son: la temperatura de un horno, un sistema
masa resorte, un circuito RL, el enfriamiento del café a temperatura ambiente, el interés
acumulado en una cuenta de ahorros, el crecimiento de una población, etc.
La ecuación diferencial de primer orden del sistema de tanques suponiendo una
variación en su salida lineal (hipótesis) :
Las funciones (abertura de la válvula) y Heaviside (H) están retrasadas en el tiempo
veces, por causa de la tubería tener una longitud. Si deseas entender como
actúan estos sistemas de primer orden con retardo, donde se aplica la función de
heaviside, dale un vistazo a nuestras entradas anteriores.
Aplicando transformada de Laplace:
A =
dt
dh ( t ) q (^) i − qo
A =
dt
dh ( t ) k (^) 1 H ( t − θ ) α ( t − θ ) − k (^) 2 h ( t )
A =
dt
dh ( t ) k (^) 1 H ( t − θ ) α ( t − θ ) − k (^) 2 h ( t )
AsH ( s ) = k (^) 1 e α ( s ) −
− θs k (^) 2 H ( s )
AsH ( s ) + k (^) 2 H ( s ) = k (^) 1 e α ( s )
− θs
θ
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De lo anterior podemos intuir que la respuesta permanente o respuesta estacionaria se
refiere al comportamiento de la salida de nuestro proceso o sistema cuando el tiempo
tiende a infinito. Si la respuesta permanente es constante nuestro sistema es clasificado
como estable, por el contrario si tiende a infinito nuestro sistema se define como
inestable.
También podemos apreciar que la ganancia estática de un sistema de primer orden se
puede observar facilmente directamente de la función de transferencia.
¿Qué es la constante de tiempo en un sistema de primer orden?
La constante de tiempo de un sistema de primer orden, generalmente denotada por la
letra griega τ (tau), se define como el tiempo requerido para que el sistema alcance el
63,2% del valor final o de estado estable. Por lo tanto la constante muestra la velocidad
del sistema ante una determinada entrada para alcanzar el regimen permanente.
Cuanto menor es la constante de tiempo, más rápida es la respuesta del sistema. Si la
constante de tiempo es mayor, el sistema se mueve lentamente en su respuesta
transitoria.
Entonces, la respuesta transitoria se define como la dinámica del sistema desde el estado
inicial hasta alcanzar el estado estacionario, donde en un sistema de primer orden la
respuesta transitoria tiene una duración de 4 veces la constante de tiempo.
K =
α (^) max − αmin
H (^) max − Hmin Politica de Cookies
Como identificar un sistema de primer orden
Esto se hace de forma muy simple, para eso basta con observar el valor del máximo
exponente de la derivada cuando el sistema es representado por ecuaciones
diferenciales. En este caso el máximo exponente debe ser 1.
Cuando es representado por función de transferencia, se observa el denominador, donde
el máximo exponente de la variable compleja s debe ser igual a 1.
Respuesta de un Sistema de Primer Orden
La respuesta de un sistema de primer orden en la ingeniería de control va a depender
del tipo de entrada que le coloquemos al sistema. Las señales de prueba en ingeniería
más comunes son:
a (^) 1 + dt
dy ( t ) a (^) 0 y ( t ) = b (^) 0 u ( t )
α ( s )
H ( s ) e τ s + 1
K (^) − θs
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Respuesta ante una Entrada Escalón
Partiendo que la entrada del sistema de primer orden corresponde a un escalón de
magnitud A, vamos a resolver este ejercicio para obtener la respuesta en el tiempo de
este sistema de control:
La salida del sistema de primer orden en el dominio de Laplace:
Resolviendo (fracciones parciales)
Transformada inversa de Laplace, hemos llegado a la respuesta en el tiempo del sistema
de primer orden ante una entrada escalón:
Sistema de Primer Orden SIN Retardo
Si partimos de la suposición que nuestro sistema no posee retardo, nuestras
funciones de transferencia de primer orden y ecuaciones temporales del sistema ,
estarían regidas por:
de esa forma si sustituimos de la ecuación temporal de primer orden anterior la variable
de tiempo por diferentes valores, podremos obtener la respuesta dinámica
característica del sistema de primer orden:
α = s
A
H ( s ) = e τ s + 1
K
s
A (^) − θs
H ( s ) = AK ( − e s
τ s + 1
τ )
− θs
h ( t ) = AK (1 − e H ( t −
−( t − θ )/ τ ) θ )
α ( s )
H ( s )
τ s + 1
K
h ( t ) = AK (1 − e
− t / τ )
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En este punto es importante destacar que la respuesta en el tiempo de un sistema de
control consta de dos partes fundamentales que son la respuesta transitoria y
la respuesta en estado estable. Que las vamos a explicar a continuación.
Todo sistema de primer orden posee 1 polo el cual rige la dinámica del mismo. Si ese
polo se encuentra cerca del eje imaginario, hace que la respuesta del sistema sea mucho
más lenta (o sea que su estado transitório va a demorar más tiempo)
Si el polo se encuentra lejos del eje imaginario, la respuesta del sistema sera rápida
(estado transitório rápido).
Al final, el polo deja de tener efecto, y la variable observada en la exponencial de la
ecuación temporal h(t) se va a volver cero, lo que implica que el sistema habrá entrado
en su regímen permanente.
En la siguiente figura se puede evidenciar la respuesta transitoria y permanente de un
sistema de primer orden.
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https://controlautomaticoeducacion.com/control-realimentado/sistemas-dinamicos-de-primer-orden/ 13/
Sistema de Primer Orden con Retardo o Tiempo Muerto
Cuando tenemos un sistema de primer con retardo, la dinámica del sistema tendrá el
mismo crecimiento en el estado transitório, también se va a estabilizar en el mismo
valor del estado permanente, lo único que cambia, es que el sistema va a demorar en
responder un tiempo una vez es aplicada la señal de entrada en el sistema (en este
caso la señal del tipo escalón)
Sistema de Primer Orden Entrada Rampa
En este caso la entrada viene dado por:
La salida del sistema en el dominio de Laplace
Transformada inversa de Laplace:
t (^) s = 4 τ
α ( s ) = s 2
A
H ( s ) = e τ s + 1
K
s^2
A (^) − θs
h ( t ) = L e τ
AK −
[
s^2 ( s + 1/ τ )
(^1) − θs ]
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La respuesta de un sistema de primer orden con tiempo muerto ante una entrada rampa
es:
Sistema de Primer Orden Entrada Impulso Unitário
La entrada en el dominio de Laplace:
Impulso de magnitud A
La salida del sistema en el dominio de Laplace
h ( t ) = AKτ ( − 1 + e H ( t − τ
( t − θ ) (^) −( t − θ )/ τ ) θ )
α = 1
H ( s ) = e τ s + 1
K (^) − θs
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Principio del Modelo Interno
Clasificación de los sistemas de primer
orden
Como hemos estudiado hasta este punto, sabemos que un sistema de primer orden se
define como una función de transferencia que tiene un polinomio en el denominador de
primer grado, o si lo vemos desde la ecuación diferencial, es donde el máximo orden de
la derivada es uno.
Sin embargo veremos que podremos encontrarnos con 3 tipos diferentes de sistemas de
primer orden en la teoría del control, los cuales describimos a continuación:
Sistema de Primer Orden sin Cero (Clásico)
Este es el sistema clásico que hemos venido estudiando desde el comienzo de esta
entrada, donde el sistema únicamente posee su ganancia estática en el numerador de la
función de transferencia y posee una constante de tiempo (tau) que nos indica la
velocidad de crescimento del sistema y además nos da un indicio de su estabilidad.
Si el es positivo, el sistema es estable, si es negativo es inestable. La función de
transferencia se presenta nuevamente a continuación:
G ( s ) = = U ( s )
Y ( s )
τ s + 1
K
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Sistema de primer orden con cero nulo o derivador
filtrado
En este caso tenemos un sistema de primer orden que posee una raíz en el numerador
ubicado en el origen del plano complejo S, es decir tiene un cero NULO. Como puede ser
observado en la siguiente función de transferencia:
En este caso particular la ganancia K ya no es más la ganancia estática del sistema, y eso
puede ser comprobado con el teorema del valor final, donde G(0)=0.
En otras palabras, por el motivo de tener un cero en el origen, este sistema de primer
orden con cero nulo hará que la respuesta en el régimen permanente se establezca en
CERO en caso del sistema ser estable
En este sistema, por causa del orden del numerador (grado uno) y el orden del
denominador (grado uno) ser iguales, se conocen en la teoría del control como sistemas
BIPROPIOS (grado relativo cero).
En este tipo de sistemas, podemos afirmar que tienen un comportamiento instantáneo
(condición inicial) al momento de aplicar alguna señal de control en la entrada del
sistema. Esta condición inicial puede ser encontrada con el Teorema del Valor Inicial
Como ejemplo veamos el siguiente sistema de primer orden con un derivador filtrado
(cero en el origen) ante una entrada escalón unitario:
G ( s ) = = U ( s )
Y ( s )
τ s + 1
Ks
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Este caso es similar a la estructura clásica donde nuevamente la ganancia K coincide con
la ganancia estática del sistema, o sea que K nos indica el valor donde el proceso va a
entrar en régimen permanente con relación a la entrada que coloquemos.
En un sistema de primer orden con cero no nulo, la adición de el cero lo que hace es
acelerar la respuesta del sistema, tal y como fue detallado en la entrada de Ceros de una
Función de Transferencia
Esto quiere decir que si el parámetro del cero (T) es muy grande, el cero estará más cerca
del origen en el plano complejo S y por lo la respuesta instantánea o condición inicial
será mas grande. Si T es pequeño la condición inicial del sistema será más pequeña.
Veamos el siguiente ejemplo de un sistema de primer orden con un cero no nulo ante
una entrada escalón unitario.
G ( s ) = = U ( s )
Y ( s )
10 s + 1
2(2 s + 1)
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primer orden con cero no nulo
En este caso vemos que la ganancia estática K=2 por lo tanto el sistema entró en
regimen permanente en este valor. Vemos que T=2 por lo tanto la condición inicial del
sistema fue de 0.4 (acelerando un poco la respuesta) y por último la constante de tiempo
=10 por lo tanto el sistema demora 40 segundos en entrar en régimen permanente.
Sistemas de Primer Orden en Matlab
Colocar un sistema de primer orden de control usando matlab es bastante sencillo, para
eso nos vamos a valer del comando tf (transfer function).
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de primer orden:
5
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