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SIMPLIFICAR UTILIZANDO LAS LEYES LOGICAS LAS SIGUIENTES
PROPOSICIONES:
**1.- (p ↔ q) ν (p ν q)
- Solución Justificaciones** (p ↔ q) ν (p ν q) Definición Bicondicional [(p → q) ^ (q → p)] ν (p ν q) Definición de Implicación [(~ p ν q) ^ (~ q ν p)] ν (p ν q) Ley Distributiva [(~ p ν q) ν (p ν q)] ^ [(~ q ν p) ν (p ν q)] Ley Asociativa [q ν (~ p ν p)] ^ [p ν (~ q ν q)] Condición de Negación (q ν V) ^ (p ν V) Condición de Tautología V
**2.- [(~ p ν q) ^ (~ q → p)] ν (p ^ ~ q)
- Solución Justificaciones** [(~ p ν q) ^ (~ q → p)] ν (p ^ ~ q) Definición de Implicación [(~ p ν q) ^ (~~ q ν p)] ν (p ^ ~ q) Doble Negación [(~ p ν q) ^ (q ν p)] ν (p ^ ~ q) Ley Distributiva [q ν (~ p ^ p)] ν (p ^ ~ q) Condición de negación (q ν F) ν (p ^ ~ q) Elemento Neutro q ν (p ^ ~ q) Ley Distributiva (q ν p) ^ (q ν ~ q) Condición de Negación (q ν p) ^ V Elemento Neutro **(q ν p) 3.- [p → (p ^ r)] ^ [~ p → (p ^ r)]
- Solución Justificaciones** [p → (p ^ r)] ^ [~ p → (p ^ r)] Definición Condicional y Doble Negación [~ p ν (p ^ r)] ^ [p ν (p ^ r)] Ley Distributiva y Ley de Absorción [(~ p ν p) ^ (~ p ν r)] ^ p Condición de Negación [V ^ (~ p ν r)] ^ p Elemento Neutro (~ p ν r)] ^ p Ley Distributiva (p ^ ~ p) ν (p ^ r) Condición de Negación
F ν (p ^ r) Elemento Neutro **(p ^ r) 4.- [(q → p) ^ (~ p → q)] → ~ (p ν ~ q)
- Solución Justificaciones** [(q → p) ^ (~ p → q)] → ~ (p ν ~ q) Definición Condicional y Doble Negación ~ [(~ q ν p) ^ (p ν q)] ν ~ (p ν ~ q) Ley de Morgan y Doble Negación [(q ^ ~ p) ν (~ p ^ ~ q)] ν (~ p ^ q) Ley Distributiva [~ p ^ (q ν ~ q)] ν (~ p ^ q) Condición de Negación (~ p ^ V) ν (~ p ^ q) Elemento Neutro ~ p ν (~ p ^ q) Ley de Absorción **~ p 5.- (q → p) → [(p ν q) → (q ^ ~ p)]
- Solución Justificaciones** (q → p) → [(p ν q) → (q ^ ~ p)] Definición Condicional ~ (~ q ν p) ν [ ~ (p ν q) ν (q ^ ~ p)] Ley de Morgan y Doble Negación (q ^ ~ p) ν [(~ p ^ ~ q) ν (q ^ ~ p)] Ley Distributiva (q ^ ~ p) ν [~ p ^ (~ q ν q)] Condición de Negación (q ^ ~ p) ν (~ p ^ V) Elemento Neutro (q ^ ~ p) ν ~ p Ley de Absorción **~ p 6.- (p → q) ^ (p ↔ q)
- Solución Justificaciones** (p → q) ν (p ↔ q) Definición De implicación y Definición Bicondicional (~ p ν q) ν [(p → q) ^ (q → p)] Definición de Implicación (~ p ν q) ν [(~ p ν q) ^ (~ q ν p)] Ley de Absorción **(~ p ν q) 7.- (p ↔ q) ν p
- Solución Justificaciones** (p ↔ q) ν p Definición Bicondicional [(p → q) ^ (q → p)] ν p Definición Condicional [(~ p ν q) ^ (~ q ν p)] ν p Ley distributiva
~{[q ν (~ q ^ r)] ν [ ~ p ν (p ν r)]} ν p Ley de Morgan {[~ q ^ (~~ q ν ~ r)] ^ [~~ p ^ (~ p ^ ~ r)]} ν p Doble Negación {[~ q ^ (q ν ~ r)] ^ [p ^ (~ p ^ ~ r)]} ν p Ley Distributiva y Ley asociativa {[(~ q ^ q) ν (~ q ^ ~ r)] ^ [(p ^ ~ p) ^ ~ r]} ν p Condición de Negación {[F ν (~ q ^ ~ r)] ^ (F ^ ~ r)} ν p Elemento Neutro y Anti tautología [(~ q ^ ~ r) ^ F] ν p Condición de Anti tautología F ν p Elemento Neutro p 11.- {[(p ^ ~ r) v (r ^ p)] ^ ~ q} v [~ p ^ (~ p v r)]
- Solución Justificaciones {[(p ^ ~ r) v (r ^ p)] ^ ~ q} v [~ p ^ (~ p v r) Ley Distributiva y Ley de Absorción {[p ^ (~ r v r)] ^ ~ q} v ~ p Condición de Negación {[p ^ V] ^ ~ q} v ~ p Elemento Neutro (p ^ ~ q) v ~ p Ley distributiva (~ p v p) ^ (~ p v ~ q) Condición de Negación V ^ (~ p v ~ q) Elemento Neutro **(~ p v ~ q) 12.- {~ t v [S v ~ (t ^ S)]} ^ ~ [~ (t v r) v (~ s v t)]
- Solución Justificaciones** {~ t v [S v ~ (t ^ S)]} ^ ~ [~ (t v r) v (~ s v t)] Ley de Morgan {~ t v [S v (~ t v ~ S)]} ^ [~~ (t v r) ^ (~~ s ^ ~ t)] Ley Asociativa y Doble Negación {~ t v [(S v ~ S) v ~ t]} ^ [(t v r) ^ (s ^ ~ t)] Condición de Negación [~ t v (V v ~ t)] ^ [(t v r) ^ (s ^ ~ t)] Condición de tautología V ^ [(t v r) ^ (s ^ ~ t)] Elemento Neutro [(t v r) ^ (s ^ ~ t)] Ley Asociativa [(t v r) ^ ~ t ^ s] Ley Distributiva [(~ t ^ t) v (~ t ^ r)] ^ s Condición de Negación [F v (~ t ^ r)] ^ s Elemento Neutro (~ t ^ r) ^ s
**13.- { p v [ q ^ (~ r v ~ p)]} ^ [(~ p ^ ~ q) v (p v q)]
- Solución Justificaciones** {p v [q ^ (~ r v ~ p)]} ^ [(~ p ^ ~ q) v (p v q)] Ley de Morgan {p v [q ^ (~ r v ~ p)]} ^ [~ (p v q) v (p v q)] Condición de Negación {p v [q ^ (~ r v ~ p)]} ^ V Elemento Neutro {p v [q ^ (~ r v ~ p)]} Ley Distributiva {(p v q) ^ [p v (~ r v ~ p)] Ley Asociativa {(p v q) ^ [(p v ~ p) v ~ r] Condición de Negación {(p v q) ^ (V v ~ r)} Condición de Tautología (p v q) ^ V Elemento Neutro **(p v q) 14.- ~ [(p ^ r) → q] → ~ (p → q)
- Solución Justificaciones** ~ [(p ^ r) → q] → ~ (p → q) Definición Condicional ~~ [~ (p ^ r) v q] v ~ (~ p v q) Doble negación y Morgan [(~ p v ~ r) v q] v (p ^ ~ q) Ley Asociativa [(~ p v ~ r)] v q v (p ^ ~ q) Ley Distributiva [(~ p v ~ r)] v (q v p) ^ (q v ~ q) Condición de negación [(~ P v ~ r)] v (q v p) ^ V Elemento Neutro (~ p v ~ r) v (q v p) Ley Asociativa (~ p v p) v ~ r v q Condición de Negación V v (~ r v q) Condición de Tautología **V 15.- {[p ^ (p → q)] → q}
- Solución Justificaciones** {[p ^ (p → q)] → q} Definición. Condicional {~ [p ^ (~ p v q)] v q} Ley de Morgan y Doble Negación {[~ p v (p ^ ~ q)] v q} Ley Distributiva [(~ p v p) ^ (~ p v ~ q)] v q Condición de Negación [V ^ (~ p v ~ q)] v q Elemento Neutro (~ p v ~ q) v q Ley Asociativa
**18.- [q ^ (q → ~ p)] → ~ (p ^ q)
- Solución Justificaciones [q ^ (q → ~ p)] → ~ (p ^ q)** Definición Condicional ~ [q ^ (~ q v ~ p)] v ~ (p ^ q) Elemento Neutro y Doble Negación [~ q v (q ^ p) ] v (~ p v ~ q) Ley Distributiva [(~ q v q) ^ (~ q v p)] v (~ p v ~ q) Condición de Negación [V ^ (~ q v p)] v (~ p v ~ q) Elemento Neutro (~ q v p)] v (~ p v ~ q) Ley asociativa (~ p v p) v (~ q v ~ q) Condición de Negación V v (~ q v ~ q) Condición de Tautológica V
Dadas las siguientes formulas proposicionales determinar su respectivo circuito lógico 1.- {(p ^ ~ q) ν [~ q ν (~ p ^ q)]} ^ (p ν q)
~ q q
~ p q
2.- {[p ^ (q ν r)] ν (p ^ ~ r)} ^ (~ p ν ~ q)
~ p
~ q
**3.- {(p ^ q) v [(~ p ^ ~ q) v (q ^ ~ p)]} ^ p
4.- {{p v [q ^ (~ p v q)]} ^ (p v q)} ^ [p ^ (q v r)]
**5.- {[(~ p ^ q) v (p v ~ q)] ^ {p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]}} ^ q
**6.- (p ^ q) v (p ^ ~ q) v (~ p ^ ~ q)
- Solución** p q p ~ q ~ p ~ q
**7.- [(~ p ^ ~ q) v (p v q)] ^ {p v [q ^ (~ r v ~ p)]}
~ p ~ q
q ~ p
p
p
q
~ p
q
p q
p
q
r
q ~ q
~ p ~ r
p q
q
~ r ~ p
13.- Dado el siguiente circuito simplificar su formula proposicional hasta su minima expresión y diseñar el nuevo circuito p ~ q p
~ q q
~ p q
{(p ^ ~ q) ν [~ q ν (~ p ^ q)]} ^ (p ν q)
- Solución {(p ^ ~ q) ν [~ q ν (~ p ^ q)]} ^ (p ν q) Ley de Poretsky [(p ^ ~ q) ν (~ q ν ~ p)] ^ (p ν q) Ley Asociativa [(p ^ ~ q) ν ~ q ν ~ p] ^ (p ν q) Ley de Absorción (~ q ν ~ p) ^ (p ν q) ~ q
~ p
p
q
14.- Dado el siguiente circuito simplificar su formula proposicional hasta su minima expresión y diseñar el nuevo circuito q p r
{[p ^ (q ν r)] ν (p ^ ~ r)} ^ (~ p ν ~ q)
- Solución {[p ^ (q ν r)] ν (p ^ ~ r)} ^ (~ p ν ~ q) Ley Distributiva {p ^ [(q ν r) ν ~ r]} ^ (~ p ν ~ q) Ley Asociativa {p ^ [q ν r ν ~ r]} ^ (~ p ν ~ q) Condicion de Negacion [p ^ (q ν V)] ^ (~ p ν ~ q) Condicion de Tautologia (p ^ V) ^ (~ p ν ~ q) Elemento Neutro p ^ (~ p ν ~ q) Ley de Poretsky (p ^ ~ q)
p (^) ~ r
~ p
~ q
p ~ q
16.- Dado el siguiente circuito simplificar su formula proposicional hasta su minima expresión y diseñar el nuevo circuito
{{p v [q ^ (~ p v q)]} ^ (p v q)} ^ [p ^ (q v r)]
- Solución {{p v [q ^ (~ p v q)]} ^ (p v q)} ^ [p ^ (q v r)] Ley de Absorción [(p v q) ^ (p v q)] ^ [p ^ (q v r)] Idempotencia (p v q) ^ [p ^ (q v r)] Ley Asociativa (p v q) ^ p ^ (q v r) Ley de Absorción p ^ (q v r)
p
q
~ p
q
p
q
p
q
r
p
p
q
r
17.- Dado el siguiente circuito simplificar su formula proposicional hasta su minima expresión y diseñar el nuevo circuito ~ p q p p q
**{[(~ p ^ q) v (p v ~ q)] ^ {p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]}} ^ q
- Solución** {[(~ p ^ q) v (p v ~ q)] ^ {p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]}} ^ q Ley Asociativa {[(~ p ^ q) v p v ~ q] ^ {p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]}} ^ q Ley de Poretsky {[(p v q) v ~ q] ^ {p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]}} ^ q Ley Asociativa [p v q v ~ q] ^ {p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]}} ^ q Condición de Negación ( p v V) ^ {p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]}} ^ q Condición de Tautología V ^ {p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]}} ^ q Elemento Neutro {p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]}} ^ q Distributiva (p v ~ q) ^ [p v (~ p v ~ r)] ^ q Ley Asociativa (p v ~ q) ^ [p v ~ p v ~ r] ^ q Condición de Negación (p v ~ q) ^ (V v ~ r) ^ q Condición de Tautología (p v ~ q) ^ V ^ q Elemento Neutro (p v ~ q) ^ q Ley de Poretsky p ^ q
q ~ q
~ p ~ r
p q
19.- Dado el siguiente circuito simplificar su formula proposicional hasta su minima expresión y diseñar el nuevo circuito ~ p ~ q p
**[(~ p ^ ~ q) v (p v q)] ^ {p v [q ^ (~ r v ~ p)]}
- Solución** [(~ p ^ ~ q) v (p v q)] ^ {p v [q ^ (~ r v ~ p)]} Ley Asociativa [(~ p ^ ~ q) v p v q] ^ {p v [q ^ (~ r v ~ p)]} Ley de Poretsky [(~ q v p) v q] ^ {p v [q ^ (~ r v ~ p)]} Ley Asociativa (~ q v p v q) ^ {p v [q ^ (~ r v ~ p)]} Condición de Negación (V v p) ^ {p v [q ^ (~ r v ~ p)]} Condición de Tautología V ^ {p v [q ^ (~ r v ~ p)]} Elemento Neutro {p v [q ^ (~ r v ~ p)]} Ley Distributiva (p v q) ^ [p v (~ r v ~ p)] Ley Asociativa (p v q) ^ (p v ~ r v ~ p) Condición de Negación (p v q) ^ (V v ~ r) Condición de Tautología (p v q) ^ V Elemento Neutro (p v q)
p q
q
~ r ~ p
p
q
20.- Dado el siguiente circuito simplificar su formula proposicional hasta su minima expresión y diseñar el nuevo circuito p ~ q
~ q
~ p q
**{(p ^ ~ q) v [~ q v (~ p ^ q)]} ^ (p v q)
- Solución** {(p ^ ~ q) v [~ q v (~ p ^ q)]} ^ (p v q) Ley de Poretsky [(p ^ ~ q) v (~ q v ~ p)] ^ (p v q) Ley Asociativa [(p ^ ~ q) v ~ q v ~ p] ^ (p v q) Ley Distributiva (~ q v ~ p) ^ (p v q)
q
p
~ q
~ p
p
q
22.- Dado el siguiente circuito simplificar su formula proposicional hasta su minima expresión y diseñar el nuevo circuito ~ p q p q
**{[(~ p ^ q) v (p v q)] ^ [p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]]} ^ q
- Solución** {[(~ p ^ q) v (p v q)] ^ [p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]]} ^ q Ley Asociativa {[(~ p ^ q) v p v q] ^ [p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]]} ^ q Ley de Absorcion {(p v q) ^ [p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]]} ^ q Ley Asociativa {(p v q) ^ q ^ [p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]]} Ley de Absorcion q ^ [p v [~ q ^ (~ p v ~ r)]] Ley Distributiva (q ^ p) v {q ^ [~ q ^ (~ p v ~ r)]} Ley Asociativa (q ^ p) v {q ^ ~ q ^ (~ p v ~ r)} Condicion de Negacion (q ^ p) v {F ^ (~ p v ~ r)} Condicion de Antitautologia (q ^ p) v F Elemento Neutro (q ^ p)
p q
~ q
~ p ~ r
p (^) q
