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RUIDO
Tutorial por Jorge Márquez Flores – CCADET-UNAM 2014
Tabla de Contenido temático
1. Introducción y definiciones.
2. Tipos Fundamentales de Ruido.
3. Medidas de Calidad de una Señal con Ruido.
4. Tipos de Ruido por su Origen Físico.
5. Técnicas Elementales de Filtrado/Atenuación de Ruido.
6. Notas Especiales.
7. Ruido (o Señal) descrito por propiedades de periodicidad.
8. Ruido o Fluctuaciones Morfológicos.
9. Conceptos Interrelacionados.
ANEXOS
Selected notes from the Basic Electronic Handbook Using Electronic Instruments
BIBLIOGRAFIA
El texto en gris pertenece a los cursos de Procesamiento de Imágenes y de Instrument- ación de la maestría de Ingeniería Eléctrica) y no es necesario leerlo en el presente curso. Se incluye por completez y por si resulta de interés personal, pero no se evaluará.
" " Indica una sección que puede omitirse en las primeras lecturas.
Ruido en datos { u }, señales f ( t ), imágenes I( x, y ), …
Tutorial por Jorge Márquez Flores – CCADET-UNAM 2014
1. Introducción y definiciones.
Definimos ruido como todo aquello en un conjunto de datos, señal, imagen o información en general, que
no es de interés^1 (se decide que “no es de interés” o es irrelevante), y/o degrada o distorsiona la señal (datos, etc.) de interés, la contamina , y/o impide o limita el estudio o uso de tal información (estorba).
Puede existir ruido antes , después o radicar en el sensor, transductor o actuador con los que interacciona la señal, o bien, se encuentra en el medio que la genera, amplifica, copia, transmite o recibe; en el canal o en la interfaz entre mesurando y sensor, y entre cada etapa. Puede haber ruido en la representación de una señal, en su codificación, en el método de análisis y hasta en su interpretación, modelado, etc. Incluso ciertos métodos de procesamiento y análisis pueden introducir algún ruido, perturbación o modificación colateral, aunque puede ser el costo de obtener otros beneficios.
Al depender del interés o aplicación, el ruido puede resultar relativo. Puede por tanto contener información pero que es irrelevante y contamina a una señal u otra información que es lo que se desea estudiar o utilizar (en este caso, por ejemplo, mandos de control o un despliegue).
El ruido no sólo incluye fluctuaciones desde muy suaves (offsets, bajas frecuencias, deriva o gradientes), hasta aquellas muy abruptas (altas frecuencias), sino que también comprende señales coherentes y “limpias”, pero cuya información no es relevante al estudio, es externa a los datos de interés y debe ser separada o filtrada.
En general rara vez se puede separar o “eliminar” totalmente un ruido, sino que se atenúa o reduce. En muchas aplicaciones la atenuación puede ser tan
(^1) Excepto cuando se quiere caracterizar o identificar al propio ruido; entonces resulta ser aquello de "interés".
Variaciones (o fluctuaciones) intrínsecas y extrínsecas.
Las fluctuaciones naturales de un valor, por ejemplo la variación estadística de estaturas en adultos de la misma edad, se puede confundir con variaciones debidas a factores externos. En el primer caso se habla de variación intrínseca o propia del fenómeno o atributo y suele ser de gran interés conocerla y caracterizarla, aunque puede ser tan compleja, que puede parecer confundirse con ruido. Dos modas en una distribución de tales variaciones puede indicar la presencia de dos poblaciones. En el segundo caso es variación extrínseca o sea ajena al fenómeno o atributo y, no siendo de interés (es ruido), se desea eliminar o reducir para dejar únicamente al primer tipo de fluctuaciones. El problema es que se pueden combinar de forma inextricable; tratar de filtrar al ruido (variaciones extrínsecas) puede ocasionar que se allanen y filtren también las variaciones intrínsecas. En cambio, para elaborar modelos muy simplificados, tales variaciones intrínsecas no interesan en primera instancia, y se filtran o ignoran. Un promedio adecuado suele conseguir tal efecto.
Por último, el carácter intrínseco o extrínseco puede por un lado ser relativo y/o tener gradaciones, aunque aparente ser una propiedad binaria (es o no es).
Fin § Indice
2. Tipos Fundamentales de Ruido.
Ruido Aditivo (o modelo aditivo del ruido):
xobs ( t ) = xin ( t ) + ( t ) (1)
Notar que cada muestra de entrada es afectada por un valor diferente,
desde 0 hasta un valor de saturación ( xmin o xmax ). ( t ) puede ser
totalmente aleatoria, periódica o ser una señal con información. Puede
inclusive existir correlación entre ( t ) y x ( t ).
Ejercicio: Escriba el equivalente para datos 2D ( Iobs ( x,y )) y 3D ( Vobs ( x,y,z )).
Nota: Siendo (1) un modelo, por un lado no se tienen los elementos por separado del lado derecho de la ecuación, acaso se tiene alguna información limitada de ( t ), tal como su media, varianza y el espectro de potencia de algunas de sus componentes. Por otro lado, en la realidad, si se llega a conocer xin ( t ) por otro medio, puede ocurrir que xobs – xin – ( t ) no sea cero, es decir que el modelo resulte sólo aproximado. Notar que es un caso muy particular y de hecho idealizado del modelo lineal de degradación.
Ruido Binario o Impulsivo; en imágenes es ruido de ”sal y pimienta“;
pixeles blancos o negros en un captor dañado o con fallas en la línea correspondiente (sensor, transmisión o almacenamiento). Puntos blancos o negros en general.
Incluye los “spikes”, “glitches” (pulsos de espiga) y “chirps” (pulsos con cierta estructura) – se reduce con un filtro pasabajas o mejor aún, con el filtro mediana (ver más adelante). El modelo matemático es:
0
( ) ( ) ( ); ( )
N glitch
obs in n n
si t
si t
x t x t A t T t
Donde Tn son valores aleatorios en el dominio de la señal, A es una amplitud
con signo y ( t ) la función impulso, o Delta de Dirac. Nglitch es el número de
impulsos presentes y es una medida de la cantidad de ruido impulsivo. Si la señal original tiene N muestras, desaparece por completo cuando Nglitch = N.
del espectro en frecuencia de la señal; es común por ejemplo el ruido blanco Gaussiano , cuya distribución en amplitud es descrita por una PDF Gaussiana y un espectro de ruido blanco , tal como se describe a continuación. La manera empírica de describir una PDF en (A) amplitud o (B) en frecuencia es mediante (A) histogramas de la amplitud o (B) el espectro en frecuencia, ambos de la señal o el ruido. La Figura 1 ilustra un ruido cuyas amplitudes siguen una distribución Gaussiana.
Caracterización de Señales Mediante el Espectro de Densidad en
Potencia (PSD) ( f = frecuencia en Hertz )
En lo que sigue, se habla de características tanto del ruido como de una señal (entendiendo a esta como información estructurada o no, y de cualquier dimensionalidad o formato). Es común que se hable de “espectro del ruido”, etc., como si el ruido existiera por separado, pero como hemos visto, el concepto de ruido es relativo y de todos modos se tienen señal y ruido integrados (además de otras distorsiones posibles). Seguiremos la convención de muchos textos, hablando de modelos del ruido, espectro del ruido, filtrado del ruido (aunque puede ser filtrado de alguna señal específica), etc., pero muchas características se deben entender de forma más general, como características de cualquier señal; esta generalización es útil no sólo para separar o analizar ruido, sino para separar dos señales (ambas de interés), compararlas, analizarlas, estudiar detalles, etc. Existe de hecho la disciplina de señales estocásticas y todas las herramientas probabilísticas y estadísticas, que tratan la información mediante variables estocásticas, funciones de densidad probabilística, etc., que son aplicables tanto a ruido como a señales que en principio son determinísticas.
En circuitos eléctricos pero también en otro tipo de señales y en imágenes, el ruido (o una señal, en general), se describe en términos de su densidad de potencia espectral , a veces llamada simplemente “espectro”, pues mide la distribución o contenido (concretamente amplitud) del ruido o señal por unidad de frecuencia. En el caso de un voltaje se mide en Volts^2 seg/radianes o bien, en Volts^2 /Hz. (potencia por radian o Hz.), y suele graficarse en
decibeles como log S ( ) vs. log (o también, log S (f) vs. log f), con S ( )
definida por el cuadrado de la magnitud de la transformada de Fourier de la señal. Si dicha señal está dada por x ( t ), entonces:
2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) *( ) 2 2
S x t e i^^ tdt X X
(^)
(^) (4)
Nota: En la literatura de ingeniería eléctrica y señales la densidad de potencia espectral suele definirse más bien en términos de la auto-covariancia de x ( t ).
Para muestras discretas (lo común en instrumentación moderna), la densidad de potencia espectral (en adelante PSD , por power spectral density ) se generaliza a series de tiempo finitas xn con 1 n N (total de muestras) como señal muestreada a intervalos discretos xn = x ( n t ) en un período de medición neto T = N t y período de muestreo t :
2 2
1
( ) ( )
N i n n n
t PSD x e T
^
(^) (5)
El promedio de varias mediciones de este tipo se denomina periodograma y converge a la PSD teórica para T .
Nota: En inglés se usan varios términos para referirse a la PSD , sea S(f) o S ( ): power spectrum, spectral density, spectral density function o energy spectral density ( ESD ), aunque existen ciertas diferencias. No confundir con PDF ni con PSF.
Ruido de espectro "Gaussiano". Una forma de la S ( ) para
modelar ruido es el Espectro de densidad espectral con distribución Gaussiana (distribución espectral normal); autocorrelación = 0 (3). Para evitar confusiones, el término “ruido Gaussiano” se ha reservado a la distribución en amplitud con una PDF (función de densidad probabilística) normal. Otras PDFs como la de Poisson o la de Raleygh pueden modelar la PSD y debe tenerse cuidado en no confundir con la PDF de la amplitud, que puede ser muy diferente.
Color (del ruido). Se refiere a la predominancia de una región
espectral, o combinaciones de bandas, por analogía al color característico de una zona relativa del espectro visible (v. g., parte intermedia o en cada extremo). En muchas aplicaciones es relativo a una banda de interés en señales electrónicas, de audio, de intensidad luminosa, etc. En señales multicanal, puede existir una densidad
(^3 ) La autocorrelación de una señal x ( t ) se define como 2 [( ( ) )( ( ) )] ( ) x x E x t x t R
señales y fenómenos naturales y de origen humano, como la música. Los modelos de relieves montañosos, nubes y perfile costeños recurren a modelos 1/f β, con < 1.
o Rosa (“blanco + rojo”), parecido a browniano, perceptualmente
(audio) igual al blanco. Decremento de 3 dB por octava (cada vez que se duplica la frecuencia), densidad espectral 1/f. Notar que hay un alto contenido de ruido en frecuencias bajas. Este ruido también es conocido como ruido “1/f”, ruido de centelleo o de parpadeo ( flicker ). Se ha observado que las señales con este tipo de densidad espectral con mucha frecuencia provienen de fenómenos naturales y en la actividad humana aparece como característica de la música, imágenes artísticas, señales vitales, las fluctuaciones en la economía, conversaciones, textos literarios, etc.
o Púrpura (o violeta ). La función de densidad en potencia espectral
aumenta 6 dB por octava ( f^2 ). Se puede obtener como derivada de un ruido blanco.
Hay ruidos de otros "colores": gris, naranja, verde y hasta “ negro ”.
Nota: Es claro que no sólo el ruido sino también una señal de interés puede caracterizarse por los "colores" predominantes de su espectro de frecuencias. Ciertos procesamientos o fenómenos externos al observador, tal como el corrimiento Doppler (fuente de la señal alejándose o acercándose al observador) alteran el contenido espectral; es de aquí el conocido "corrimiento hacia el rojo" o "hacia el azul", en imágenes de ultrasonido Doppler, en señales de radar, en imágenes astronómicas o en señales de radioastronomía.
Figura 1. Ruido "Gaussiano": la distribución de amplitudes (fluctuaciones sobre el promedio que aquí es cero) sigue una distribución Gaussiana (en amplitud positiva y en negativa), como se ve a la derecha: la desviacion estándar respecto la media 0 es la sigma de la PDF. En este caso la media absoluta es cero, pero las modas son aproximadamente 1.8. Si la PDF fuera uniforme, el ruido sería "Blanco" en amplitud y no habría amplitud predominante.
Ejercicio: ¿Puede una señal determinista. sin ruido, tener una función de densidad espectral (PSD) que resulte ser (aproximada o exactamente) una Gaussiana? ¿de forma 1/f, ó 1/f^2 , ó f? ¿de ruido blanco? Recuerde que casi siempre es posible cambiar una imagen B/N con cierta riqueza en intensidades y formas para que tenga un histograma casi arbitrario, mediante una función de transferencia en niveles de gris ¿es posible hacer algo parecido con su espectro, es decir su distribución de frecuencias, sin que cambie demasiado la imagen original?
Figura 5. Ejemplo de la forma del espectro del ruido café; el gráfico es el de (log PSD ) vs. (log f), en dB y en Hz, respectivamente; la pendiente es de 6 dB/octava (en este
gráfico aparecen décadas ). La forma de la curva es log PSD log(1/f 2 ) = 2log f.
El ruido aditivo puede a veces ser de tipo estructurado , cuando tiene un origen determinístico y un espectro de Fourier consistente de impulsos (y entonces se puede describir como ruido impulsivo en dominio espectral ):
0
[ ( )] [ ( )] ( ) ( )
glitch n
N j obs in n n n
x t x t A e
F F (^) ( 6 )
Recordar que cada pareja de impulsos en el dominio de frecuencia corresponde a una onda sinusoidal en el dominio temporal, de frecuencia n y fase n. Aquí los valores de amplitud, Ngitch las frecuencias y fases son aleatorias., aunque pueden estar determinadas por algún proceso no controlado (fuente de ruido estructurado).
Notar la semejanza con el equivalente en dominio temporal (ecuación (2)). En la práctica los impulsos son picos de ancho de banda finita; debido a la facilidad de identificar las componentes sinusoidales, este es el ruido más
fácil de filtrar, mediante ventanas que atenúan cada impulso. El filtrado es casi perfecto si la señal original tiene poca energía en las frecuencias afectadas. La Figura 6 muestra un ejemplo en el caso 2D, con tres parejas de
impulsos ( x xn , y yn ), n =1,2,3 y fases 0, contaminando el espectro.
Este ruido es común en cristalografía y en sistemas analógicos de telecomunicaciones.
Figura 6. Imagen con ruido estructurado aditivo. A la derecha se muestra el espectro de Fourier; los impulsos de bajas y medias frecuencias aparecen cerca de (0,0). Al atenuar esos picos, se atenúan las ondas sinusoidales de la imagen original.
Ruido correlacionado con la señal. Por ejemplo ruido de la forma
( t ) = g ( xin ( t – tdelay )) + ’ ( t ) ( 7 )
Ruido en la Fase ( jitter ):
xobs ( t ) = xin ( t + ( t )) ( 8 )
Hay dos formas generales en que se presentan fluctuaciones en la fase de una
señal x ( t ): si en t= 0 (inicio de la medición de la señal), (0) 0, y luego,
Figura 8. Ejemplos de error de sincronización aleatoria (corrimiento de fase en cada línea) en el barrido horizontal. Este tipo de error también puede deberse a una pérdida de pixeles o introducción de pixeles falsos, en cada inicio durante una transmisión y decodificación. También puede producirse a tazas de barrido demasiado elevadas para el circuito de despliegue o problemas de diseño o de software.
Figura 9. (Izquierda) jitter uniforme con auto-interferencia de señal, en forma de “fantasma”. (Derecha) Una degradación distinta, sin relación con la sincronía, es la interferencia cruzada, por ejemplo entre dos canales, señales o fuentes. En televisión el fantasma puede aparecer de forma intermitente junto con otros artefactos y ruidos.
Ruido o Distorsión en Dominio.
En ciertas situaciones puede ser útil un modelo de fluctuación de la forma:
xobs ( t ) = xin ( 1 ( t ) t + 2 ( t )) ( 9 )
En este modelo, aunque las amplitudes de picos y valles individuales se conservan, los rasgos de la señal sufren estiramientos y contracciones y estrechamientos ( stretching ) locales, en el dominio t. Las causas abarcan defectos del sensor, retardos en los canales de transmisión/recepción (" Tx / Rx "), componentes de retroalimentación positiva, o bien, son provocados por el medio: en imágenes astronómicas el origen son perturbaciones astronómicas, del medio interestelar, o por lentes gravitacionales; en imágenes subacuáticas por turbulencia y cambios de índices de refracción y en imágenes terrestres y aéreas, por gradientes de temperatura (como en los espejismos), humedad, presión y polución. Ver también Ruido y Fluctuaciones Morfológicas.
Fin § Indice
3. Medidas de Calidad de una Señal con Ruido.
Razón o Tasa Señal a Ruido (SNR: Signal-to-Noise-Ratio ).
La Razón Señal a Ruido ( SNR ) es una medida de cuánto ha corrompido
el ruido ( t ) a una señal x ( t ). Permite evaluar la información de una
señal, en particular la presencia o ausencia de eventos (v. g., picos o transiciones) que pueden confundirse con artefactos o ruido. Si en vez de ruido se tiene una segunda señal, el mismo cociente (sin denominarlo SNR pues la 2a. señal no es exactamente ruido) sigue sirviendo como indicador del grado de contaminación entre ambas señales, o de diferencia o de similitud siendo una la de mayor interés o de referencia.
Dados los valores de potencia (o sea los valores RMS (4)^ al cuadrado de
las amplitudes de la señal x ( t ) , y del ruido ( t )), la SNR se define (en
escalas logarítmicas) como el cociente entre la potencia de la señal y la potencia del ruido ; o en términos de las amplitudes RMS : 2
10 log 10 2 20 log 10
rms rms dB rms rms
x x
SNR
^
(en decibeles) ( 10 )
o también, dos veces la diferencia entre los logaritmos de las amplitudes , medidas en decibeles. Una tasa menor a 1:1 indica más ruido que señal. En general, como los valores RMS esta definición se limita a la banda de frecuencias de interés. También SNR se define a veces en escala lineal (sobre todo al relacionado con conteo de eventos) y el ruido RMS corresponde a la desviación estándar de la señal (o sea, el promedio de diferencias cuadráticas respecto al valor RMS de una
señal x ( t ) – ver abajo). Recordemos que el valor RMS en el intervalo
[ T 1 , T 2 ] se define (señal continua, integrable) como:
(^4) Root Mean Square , o sea el promedio cuadrático (a veces llamado suma en cuadratura ).
2
1
1/ 2
2 1
1
(
( ) ) RMS
T
T T T
x x t dt
(11)
y en el caso de muestras discretas { xn }, con n =1,..., N : 1/ 2 2
1
1 ( )
N RMS n N n
x x t x
(12)
A veces, la gama o intervalo dinámico ( dynamic range o DR ) de una señal x ( t ), se define en términos no del nivel base (por omisión 0), sino
del nivel de ruido RMS , debido a que pierde sentido una medición
donde la señal es del orden de : DR=xmax / RMS. No confundir con el
intervalo de variación [ xmin , xmax ] o su cardinalidad xmax – xmin.
Una definición alternativa de la SNR , en escala lineal, es el recíproco de CV (coeficiente de variación = desviación estándar entre la media), conocido también como Tasa Señal a Ruido :
x CV x
SNR
En el caso del número de fotones y en general partículas detectadas (contadas o recolectadas) por un instrumento, el SNR está dado por:
N
SNR N
N
siendo N el promedio de partículas detectadas y = N ; el proceso
puede ser modelado por una distribución de Poisson.
Nota: en una señal o imagen la SNR puede variar, y ser mayor en ciertas zonas. Un ejemplo es la Figura 10, donde el centro presenta una mayor densidad de fluctuaciones y por ende, un valor menor de SNR.
Ejercicio: ¿Cuál es la SNR de una imagen con ruido impulsivo, si hay M N pixeles y Lglitch pulsos como en la ecuación (2), pero en 2D?
