RESUMENES NIVEL PREUNIVERSITARIO, Ejercicios de Matemáticas

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Facebook/Razonamiento matemático maldito

DOCENTE: Jimmy Lenin Paz Palomino

GEOMETRÍA: Parte de la matemática que trata de las propiedades y la medida de la extensión.

Punto: Limite mínimo de la extensión que se considera sin longitud, latitud ni profundidad.

Línea: Esta formado por la sucesión continua de puntos con una sola dimensión que es la longitud.

Línea recta:

Línea curva:

Línea quebrada:

Línea mixta:

Línea recta: sucesión continúa de puntos que se desplaza hacia ambos extremos en forma ilimitada.

Semi–recta: Parte de la recta que carece de punto de origen.

Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen.

Segmento de Recta: Porción de recta comprendido entre dos puntos que son los extremos.

Plano: Superficie imaginaria ilimitada, es engendrada por una línea recta cuando se desplaza paralelamente a su posición original.

Figura Geométrica: Es un conjunto de puntos o sistemas de líneas y superficies que reciben el nombre de figuras geométricas.

Significado de los términos matemáticos:

Axioma: Es una proposición evidente por si misma y que no necesita demostración:

Teorema: Proposición que mediante un razonamiento se hace evidente y consta de dos partes; hipótesis y tesis.

Corolario: Es una consecuencia de uno o varios teoremas. Postulado: Proposición que sin ser evidente se admite su certeza por no ser posible demostrarla.

Lema: Es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar un teorema principal.

Escolio: Es una advertencia o anotación que se hace para aclarar,

A B

A AB

A B

AB

AB

A B

A B

A AB

P

Porción de Plano

Razonamiento Geométrico Jimmy Paz Palomino

ampliar o restringir proposiciones anteriores.

Proposición: Es el enunciado de una hipótesis ó suposición y conclusión.

Hipótesis: Punto de partida de una demostración lógica a partir del cual se propone alcanzar la solución.

Tesis: Consumación o conclusión final de una demostración lógica.

Problema: Es una proposición que se hace con el objeto de aclararlo ó resolverlo.

Operaciones con Segmentos:

Suma:

*AD  AB  BC CD

*AD  AB BD

*AD  AC CD

Resta:

*PR  PS  PQ RS

*PQ  PR QS

*RS  PS PR

Máximo número de puntos de corte

• Para puntos secantes

n n^1 

Nº

• Para circunferencias secantes

Nº  n n^  1 

• Para polígonos secantes

Nº  L.n n^  1 

n número de figuras L número de lados del poligono

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Sobre una recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C y D. Si AB  3BC 4CD, AD 19 m. Calcular la longitud de BC. A) 4 m B) 8 m C) 9 m D) 5 m E) 3 m

Resolución:

*AB  3BC  4CD  si: CD=a Entonces: 4 AB 4a y BC a 3

Luego:

4a a a 19m a 3m 3

BC 4 a 4 ^3 

 BC  4 m Rpta.

2. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, donde: AC  BD  CE 44m ; AE 25m y DE 2AB , Calcular la longitud de AB. A) 2 m B) 4 m C) 15 m D) 3 m E) 17 m

A B C D

P Q R S

A B C D

4a (^4) a 3 a

19

Razonamiento Geométrico Jimmy Paz Palomino

ÁNGULO

Es la figura formada por dos rayos divergentes que tienen un extremo común denominado vértice.

Notación: AOB; AOB,O

Bisectriz: Rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

Clasificación: Los ángulos se clasifican según su magnitud, según sus características y según su posición de sus lados.

I. Según su Magnitud:

1. Ángulo Nulo: 2. Ángulo Convexo: 0     180º 3. Ángulo llano:  180º 4. Ángulo Cóncavo: 180º   360º 5. Ángulo de una vuelta:  360º

II. Según sus características

A) Ángulos Complementarios

B) Ángulos Suplementarios

III. Según la posición de sus lados

A) Ángulos adyacentes suplementarios

A

B

O Lados

Vértice

A

B

O  bisectriz

O  0º

agudo :

recto :

obtuso :

 0º   90º

 90º

 90º   180º

Convexo

 

Jimmy Paz Palomino Razonamiento Geométrico

B) Ángulos Consecutivos

C) Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos de lados paralelos

A) B)

C)

Ángulos de lados perpendiculares

1. Dos ángulos agudos

2. Dos ángulos obtusos

3. Ángulos: agudo y obtuso

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante

Ángulos internos:3 ; 4 ; 5 ; 6 Ángulos externos:1 ; 2 ; 7 ; 8

Ángulos alternos internos: 4  5 ; 2  6

Ángulos alternos externos: 1  7 ; 2  8 Ángulos conjugados internos: 4  6  180º y 3  5 180º Ángulos conjugados externos: 1  8  180º y 2  7 180º Ángulos correspondientes: 1  6 ; 2  5 ; 3  7 ; 4  8

L 1

L 2

1 2 3 4

5 6

(^87)

L 1 //L 2

O A

C B

D  

 





Jimmy Paz Palomino Razonamiento Geométrico

ángulo BOD mide 80°. Calcular la medida del ángulo AOC. A) 150° B) 100° C) 90° D) 60° E) 80°

Resolución: De la grafica:

De la grafica: x 2 80º 2

x  80º  2       … (I)

Pero:      90º… (II)

(II) en (I):x  80º 2 90º^ 

x  100º Rpta.

4. En la grafica mostrada calcular el

valor del ángulo “x”, siL // L 1 2

A) 40º B) 50º C) 70º

D) 60º E) 80º

Resolución:

• Si " "es el complemento de “x” Entonces el triangulo sombreado es equilátero:

De donde:3x  180  x= 60° Rpta.

5. En la grafica mostrada (^) L 1 //L 2 , calcular la medida el ángulo “x”

A) 40º

B) 60º

C) 80º

D) 50º

E) 70º

Resolución:

Del grafico se tiene que:   20º  40º   60º     180º   120º

x   180º  x  60º Rpta.

TRIÁNGULOS

Es la figura formada por tres segmentos de recta que se unen pos sus extremos 2 a 2.

x

x

x L 1

L 2

L 1

L 2 20º

40º

x

L 1

L 2 20º

40º

x





B y

x

x

x

L 1

x

A C

D

x 80º

B

Razonamiento Geométrico Jimmy Paz Palomino

Elementos:

Vértices: A; B y C Lados: AB; BC y AC Ángulos interiores:  ;  y

Ángulos exteriores: x ; y ; z

Teoremas Fundamentales

1. En todo triangulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180º.

2. En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos del triángulo no adyacentes a él.

x    

3. En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos exteriores es 360º.

4. En todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendido entre la suma y la sustracción de las longitudes de los otros dos lados. Si:a  b c

b  c  a  b c

5. En todo triángulo se cumple que a mayor lado se le opone mayor ángulo y viceversa. Si:a  b c

Clasificación de Triángulos:

I. Por sus lados

II. Por sus ángulos

A

B

C

A

B

C



x

a

c b

a

c b

A

B

C

escaleno equilatero isósceles

A B

Triángulo Rectángulo

Triángulo Acutángulo   90º ;   90º ;  90º

Triángulo Obtusángulo  90º







 Triangulo Oblicuangulo

C

Razonamiento Geométrico Jimmy Paz Palomino

Propiedades del triángulo equilátero

La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

h  a  b c

Ángulos formados por las Líneas Notables

1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores. Su medida es igual a 90º más la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

B

x 90º 2

2. ángulo formado por dos bisectrices exteriores. Su medida es igual a 90º menos la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

B

x 90º 2

3. Ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior, su medida es igual a la mitad del tercer ángulo interior.

B

x 2

Propiedades Adicionales

1.

x      

m n x 2



x

A

B

C

A

B

C

D x

A

B

C

x D

A

B

C

 x 

A

B

C

m

 n  

x

ortocentro incentro baricentro circuncentro

    

a

c b

h

Jimmy Paz Palomino Razonamiento Geométrico

m  n  a b

a  b  m n

x  y  m n

Triángulos Rectángulos Notables:

45º

45º

k

k k^2

30º

60º

k 3

k

2k

37º

53º

4k

3k

5k

16º

74º

24k

7k

25k

18,5º

71 ,5º

3k

k

k 10

m

n

b a

a

m

n

b

x y

m

n

A

B

C

Jimmy Paz Palomino Razonamiento Geométrico

(Lado–Lado–Angulo mayor)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y un ángulo congruente opuesto al lado mayor.

 ABC  A 'B ' C'

Teorema de la base media En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud igual a su mitad.

AC 2MN

AC // MN

Teorema de la Bisectriz

Teorema de la Mediatriz

CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros, es todo polígono de cuatro lados.

CLASIFICACIÓN:

1. Cuadrilátero Convexo Sus ángulos interiores son ángulos convexos 2. Cuadrilátero Cóncavo Posee un ángulo interior cóncavo

CUADRILÁTEROS CONVEXOS

1. PARALELOGRAMOS:

Son cuadriláteros que poseen lados paralelos dos a dos y además congruentes entre sí, entre ellos encontramos: Cuadrado Rectángulo Romboide Rombo

I. CUADRADO:

Sus cuatro ángulos rectos y lados congruentes.

AB  BC  CD DA

II. RECTÁNGULO: Sus cuatro ángulos



A

B

C A'

B'

C'

A

B

C

M N





A

B

C

D

A

B

C

D

A

B C

D

Razonamiento Geométrico Jimmy Paz Palomino

rectos y sus lados opuestos congruentes dos a dos.

AB CD y BC AD

III. ROMBOIDE: Sus lados y sus ángulos opuestos son congruentes dos a dos entre sí:

AB CD y BC=AD

mA mC y mB=mD

IV. ROMBO: Sus cuatro lados congruentes y sus ángulos opuestos congruentes dos a dos.

AB  BC  CD AD

PROPIEDADES GENERALES DE LOS

PARALELOGRAMOS

En todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. Los ángulos adyacentes a un lado

de todo paralelogramo sin suplementarios. Las diagonales de los paralelogramos se bisecan mutuamente.

2. TRAPECIOS

Son cuadriláteros que poseen dos lados opuestos paralelos se les denomina bases del trapecio y dos lados no paralelos.

I. Trapecio Escaleno: Es el trapecio en el cual sus lados no paralelos son de diferente longitud.

AB CD

II. Trapecio Isósceles: Sus lados no paralelos son congruentes

AB = CD

III Trapecio Rectángulo:

m A  mB 90º

PROPIEDADES EN LOS TRAPECIOS

A

B C

D

a a

bb

c c

dd

A

B

C

D

A

B C

D

A

B C

D

C

A D

B

A

B C

D

Razonamiento Geométrico Jimmy Paz Palomino

m  n y a b

Si “G” es baricentro del triangulo

x  a b

B b x 2

B b x 2

En todo Paralelogramo se cumple que:

a  c  b d

a+b+c+d x= 4

a

b

m n

G a

b

x

B

b

x

B

b

x

A

B

C

D

a

b c

d

A

B

C

D

a

b c

d x

Jimmy Paz Palomino Razonamiento Geométrico

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo 1 En un triángulo ABC las medianas AM y BN se interceptan en el punto G, por N se traza una paralela AM que interfecta en P a la prolongación de BA: si AB 12 m y PN AP, calcular la longitud de MG. A) 3 m B) 5 m C) 2 m D) 4 m E) 7 m

Resolución:

Se traza: MN (base media)

De donde:

MN 6

Se observa que AMNP es un rombo AM  MN  PN  AP 6m En el triangulo ABC “G” es su baricentro, entonces diremos que: 1 GM AM 3

 ;AM  MN  6

GM 6

 ^2 Rpta.

Ejemplo 2 En un romboide ABCD se traza la bisectriz AE (E en BC). Si CD=6m. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y ED A) 2 m B) 3 m C) 10 m

D) 5 m E) 4 m Resolución:

Se observa que ABE: isoceles AB  BE 6m Si : EC  a  AD  6 a En el trapecio AECD AD EC x 2

 (Propiedad)

6 a x

  a

x ^3 Rpta.

Ejemplo 3 En un cuadrado ABCD, sobre el lado CD se ubica un punto E de modo que AE corte a BD en F, si m^ DAE^ 20º, Calcular:m^ FCD^ 20º A) 10º B) 30º C) 20º D) 40º E) 50º

Resolución:

Se observa que existe congruencia:

 FCD  FAD Caso  L.A.L

Entonces:m EAD m FCD

A

P

N

M

B

C

12m G

A

B C

D

6 a

6 a

x^6

20º 45º

45º

x

A

B C

D

E

F

Jimmy Paz Palomino Razonamiento Geométrico

Teorema de Poncelet

a  b  c 2r

Posiciones relativas entre dos Circunferencias

Adicionales:

1. Si las circunferencias son congruentes

ACD=ADB

Concuencia:

AO B=AO B =120º 1 2

Obseración:

AB // CD

x+y m APB = 2

A

B

D

M

P

C

Q

N

AB y CD: Tangentes Exteriores MN y PQ: Tangentes Interiores  AB= CD y MN= PQ

r

a

b

c

O 1 O 2





 

A

B

r C D r

A

B

r r

(^1) O 2 O

A

B

C

D

A

B

P

x

y

x

z

y

Razonamiento Geométrico Jimmy Paz Palomino

x  y  z 180º

12. Si: “R” es punto de tangencia

x=y

Si: “T” es punto de tangencia

AB // CD

Si: “T” es punto de tangencia

a=b

Si: “P” es punto de tangencia

m PU  m PN m PC

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo 1: Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos de radios: 1 m, 2 m y 3 m. Calcular la longitud del radio de una cuarta circunferencia que pasa por los puntos de tangencia de los tres primeros. A) 2 m B) 1 m C) 5 m D) 3 m E) 4 m

Resolución:

Los lados del triangulo ABC con referencia a la circunferencia menor son tangentes a ella, por ende: BA 3m ; BC 5m;AC 4m

Los cuales determinan un triangulo rectángulo recto en A

Aplicando el Teorema de Poncelet 3  4  5 2r

 r 1 m Rpta.

Ejemplo 2: Calcular el perímetro del triángulo rectángulo, si las longitudes de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita miden 4 m y 13 m

A

B

R

x

y

A

B C

D

T

a

b T

C P

U N

A B

C

3 m 3 m

2 m

1 m 2 m

1 m

r