¡Descarga Resolución de parcial y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
M atemáticas 1 - Parcial 2.
Resolución 2
do
Parcial - MA
[ TOTAL 16 puntos
] Calcule cada uno de los siguientes límites, indicando el tipo de indetermi-
nación que se presente (de ser el caso)
(a)
[ 2 puntos
] lim x → 1
1 − x^2 √ 1 − x^4
Solución : Este límite presenta una indeterminación de la forma
. Levantamos la indeter-
minación.
Levantamos la indeterminación, para ello racionalizamos
lim x → 1
1 − x^2 √ 1 − x^4
= lim x → 1
1 − x^2 √ 1 − x^4
1 − x^4 √ 1 − x^4
= lim x → 1
( 1 − x^2
1 − x^4
(√ 1 − x^4
) 2
= lim x → 1
( 1 − x^2
1 − x^4
1 − x^4
= lim x → 1
( 1 − x^2
1 − x^4 ( 1 − x 2
)( 1 + x 2
)
= lim x → 1
1 − x^4
1 + x^2
S.I.
√
1 −
( 1
) 4
( 1
Luego
lim x → 1
1 − x^2 √ 1 − x^4
= 0 ← existe.
(b)
[ 2 puntos
] lim x → 4
x 2 − 16 +
∣ ∣ ∣ x − 4
∣ ∣ ∣
x − 4
Solución : Este límite presenta una indeterminación de la forma
. Levantamos la indeter-
minación.
Por definición de valor absoluto se tiene
∣ ∣ ∣ x − 4
∣ ∣ ∣ =
x − 4 si x − 4 ≥ 0
( x − 4
) si x − 4 < 0
x − 4 si x ≥ 4
( x − 4
) si x < 4
Tenemos
4
( x − 4
) x − 4
Por la naturaleza de la función calculamos los límites laterales
- Límite lateral derecho. Cuando x se aproxima a x = 4 por la derecha se tiene
lim x → 4 +
x^2 − 16 +
∣ ∣ ∣ x − 4
∣ ∣ ∣
x − 4
= lim x → 4 +
x^2 − 16 +
( x − 4
)
x − 4
= lim x → 4 +
( x − 4
)( x + 4
)
( x − 4
)
x − 4
= lim x → 4 +
( x − 4
)( x + 4 + 1
)
x − 4
= lim x → 4 +
( x + 5
) S_._ I_._ = (4) + 5 = 9 ,
es decir,
lim x → 4 +
x^2 − 16 +
∣ ∣ ∣ x − 4
∣ ∣ ∣
x − 4
- Límite lateral izquierdo. Cuando x se aproxima a x = 4 por la izquierda se tiene
lim x → 4 −
x 2 − 16 +
∣ ∣ ∣ x − 4
∣ ∣ ∣
x − 4
= lim x → 4 −
x 2 − 16 −
( x − 4
)
x − 4
= lim x → 4 −
( x − 4
)( x + 4
) −
( x − 4
)
x − 4
= lim x → 4 −
( x − 4
)( x + 4 − 1
)
x − 4
= lim x → 4 +
( x + 3
) S_._ I_._ = (4) + 3 = 7 ,
es decir,
lim x → 4 −
x^2 − 16 +
∣ ∣ ∣ x − 4
∣ ∣ ∣
x − 4
Como, los límites laterales son diferentes ,
lim x → 4 −
x^2 − 16 +
∣ ∣ ∣ x − 4
∣ ∣ ∣
x − 4
= 7 6 = 9 = lim x → 4 +
x^2 − 16 +
∣ ∣ ∣ x − 4
∣ ∣ ∣
x − 4
(c)
[ 3 puntos
] lim x → −∞
( x +
x^2 + 4 x
) .
Solución : Este límite presenta una indeterminación de la forma ∞ − ∞. Levantamos la indeterminación, aplicamos la conjugada
lim x → −∞
( x +
x^2 + 4 x
) = lim x → −∞
( x +
x^2 + 4 x
)
( x −
x^2 + 4 x
)
( x −
x^2 + 4 x
)
= lim x → −∞
x^2 −
x^2 + 4 x
) 2
x −
x^2 + 4 x
= lim x → −∞
x 2 −
( x 2
)
x −
x^2 + 4 x
= lim x → −∞
x 2 − x 2 − 4 x
x −
x^2 + 4 x
= lim x → −∞
− 4 x
x −
x^2 + 4 x
este último límite presenta una indeterminación de la forma
lim x → −∞
− 4 x
x −
x^2 + 4 x
= lim x → −∞
− 4 x
x −
√
x^2
( 1 +
x
)
= lim x → −∞
− 4 x
x −
∣ ∣ ∣ x
∣ ∣ ∣
√
1 +
x
como x → −∞, entonces
∣ ∣ ∣ x
∣ ∣ ∣ = − x , así,
lim x → −∞
− 4 x
x −
∣ ∣ ∣ x
∣ ∣ ∣
√
1 +
x
= lim x → −∞
− 4 x
x + x
√
1 +
x
= lim x → −∞
− 4 x
x
1 +
√
1 +
x
= lim x → −∞
√
1 +
x
S_._ I_._
√ √ √ √1 +
( −∞
)
Luego
lim x → −∞
( x +
x^2 + 4 x
) = − 2 ← existe.
(d)
[ 3 puntos
] lim x → 0
( 2 + x 2 cos
( π
x
)) .
Solución : Observemos que, la función y = cos
( π
x
) no está definida en x = 0, así,
− 1 ≤ cos
( π
x
) ≤ 1 ,
multiplicamos por x^2 la cadena de desigualdad, como x^2 ≥ 0, la desigualdad no cambia
− 1 ≤ cos
( π
x
) ≤ 1 =⇒ − x 2 ≤ x 2 cos
( π
x
) ≤ x 2 ,
ahora, sumamos 2, la desigualdad no cambia
2 − x 2 ≤ 2 + x 2 cos
( π
x
) ≤ 2 + x 2 .
Puesto que,
lim x → 0
( 2 − x 2
) S_._ I_._ = 2 −
( 0
) 2 = 2 y lim x → 0
( 2 + x 2
) S_._ I_._ = 2 +
( 0
) 2 = 2_._
Por el Teorema del emparedado , se concluye que
lim x → 0
( 2 + x 2 cos
( π
x
)) = 2 ← existe.
Luego
lim x → 1
sen
( π
2
x
) − 1
sen^2
( π x
← existe.
(f)
[ 3 puntos
] lim x → 0
arctan 2
√ √ √ √ √
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
)
.
Solución : Observemos que la función f ( x ) = arctan^2
√ √ √ √ √
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
)
es la com-
posición de las funciones
f 1 ( x ) = x 2 , f 2 ( x ) = arctan x, f 3 ( x ) =
x
y la función combinada
f 4 ( x ) =
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
Puesto que, las funciones f 1 , f 2 y f 3 son funciones continuas en todo su dominio, entonces
lim x → 0
arctan 2
√ √ √ √ √
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
)
= arctan
2
√ √ √ √ √ √ x lim→ 0
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
)
,
así, calculamos
lim x → 0
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
)
,
por propiedades de límite, obtenemos
lim x → 0
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
)
= lim x → 0
− lim x → 0
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
siempre y cuando los límites existan.
. Por ser el límite de una función constante, entonces
lim x → 0
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
).^ Este límite presenta una indeterminación de la forma^
Levantamos la indeterminación.
lim x → 0
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
) = lim x → 0
cos x − 1
4 x 2
sen
( 2 x
)
2 x
= lim x → 0
cos x − 1
4 x^2
sen
( 2 x
)
2 x
Así,
lim x → 0
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
)
(^) =
( −
)
es decir
lim x → 0
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
)
(^) =
Luego
lim x → 0
arctan 2
√ √ √ √
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
)
= arctan
2
√ 13
4
(^) = arctan^2
)
.
Finalmente
lim x → 0
arctan^2
√ √ √ √
cos x − 1
2 x sen
( 2 x
)
= arctan 2
)
← existe.
[ TOTAL 6 puntos
] Indique cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas y cuales son falsas,
justificando su respuesta.
(a)
[ 3 puntos
] La función f ( x ) =
2 tan x − sen (2 x )
x^3
si x > 0
0 si x = 0
2 x − 3 x^2 + x^3
x^2 − 2 x
si x < 0
posee una discontinua
de tipo salto en x = 0.
Solución : Es conocido que, una función f es continua en un punto x = x 0 si se cumplen cada una de las siguientes condiciones
i. f ( x 0 ) existe, es decir, el punto x 0 pertenece al dominio de la función.
ii. lim x → x 0
f ( x ) = L existe y es finito.
iii. f ( x 0 ) = L , es decir, el valor de la función en el punto x 0 es igual al valor del límite cuando x se aproxima a x 0.
Entonces, tenemos
0
2 x − 3 x^2 + x^3
x^2 − 2 x
2 tan x − sen (2 x )
x^3
Veamos si se satisfacen las tres condiciones de continuidad
i. Para f (0) : Observamos que la función f está definida en x = 0, y vale cero, es decir,
f (0) = 0 ← existe.
ii. Para calcular lim x → 0
f ( x ), observemos que, por la naturaleza de la función f , debemos
utilizar los límites laterales
0
2 x − 3 x^2 + x^3
x^2 − 2 x
2 tan x − sen (2 x )
x^3
- Límite lateral izquierdo. Cuando x se aproxima a x 0 = 0 por la izquierda se tiene
lim x → 0 −^
f ( x ) = lim x → 0 −
2 x − 3 x 2
x^2 − 2 x
el cual es un límite que presenta una indeterminación de la forma
. Levantamos la
Puesto que, NO se cumple la segunda condición, 2(a)ii., de la definición de continuidad,
podemos concluimos que la función f es discontinua en x 0 = 0.
Al no existir el límite cuando x tiende a x 0 = 0 de la función f , pero al ser los límites
laterales finitos, entonces la función tiene una discontinuidad no evitable (o esencial) de
salto finito en x 0 = 0.
Luego, la proposición es VERDADERA. ⋆
(b)
[ 3 puntos
] La ecuación 2 x 7 = 1 − x no tiene una solución en
[ 0 , 1
] .
Solución : Demostremos la negación de la proposición, es decir, demostremos que la ecuación
2 x 7 = 1 − x
tiene una solución en
[ 0 , 1
] y si esto es VERDADERA , entonces nuestra proposición será FALSA.
Demostrar que la ecuación 2 x^7 = 1 − x tiene una solución en
[ 0 , 1
] , es equivalente a
demostrar que 2 x 7 − 1 + x = 0
en
[ 0 , 1
] , es decir, debemos encontrar la(s) raíz(ices) de la ecuación en dicho intervalo.
Consideremos la función f ( x ) = 2 x 7 − 1 + x,
así, debemos demostrar que existe, al menos, un valor c en
[ 0 , 1
] , tal que, f ( c ) = 0.
Observemos que la función f es continua en
[ 0 , 1
] , ya que, f es una función polinómica, además
f (0) = 2 (0) 7 − 1 + (0) = − 1 , y f (1) = 2 (1) 7 − 1 + (1) = 2 ,
así, f (0) = − 1 < 0 < 2 = f (1) ,
por el Teorema del Valor Intermedio , existe un valor c en el intervalo
[ 0 , 1
] , tal que,
f ( c ) = 0, luego, la ecuación
2 x^7 = 1 − x tiene una solución en
[ 0 , 1
] .
Por lo tanto, la proposición es FALSA. ⋆
(b)
[ 3 puntos
] Hallar la ecuación de la recta tangente a la función f en el punto
( − 1 ,
) .
Solución : Comenzamos recordando que para obtener una ecuación de una recta es necesario conocer un punto por donde pasa dicha recta y su pendiente, en este caso como se pide una recta tangente es obligatorio que el punto por donde pasa la recta sea punto de tangencia.
En primer lugar, veamos si el punto dado,
( − 1 ,
) , es punto de tangencia , para ello
sustituimos x = − 1 en la función dada y verificamos si se cumpla la igualdad, es decir,
obtenemos que y =
y (−1) =
√ 1 + 2 (−1) =
− 1 6 = 0 , χ
por lo tanto,
( − 1 ,
) NO es punto de tangencia. Sea P ( x 0 , y 0 ) el punto de tangencia,
hasta los momentos desconocido. Si P ( x 0 , y 0 ) es el punto de tangencia , entonces, sus coordenadas son P ( x 0 , y 0 ) = P
( x 0 ,
1 + 2 x 0
) .
Por otra parte, la pendiente de la recta tangente a la curva y =
1 + 2 x en el punto de tangencia P viene dada por
m tan = f ′ ( x 0 ) = lim h → 0
f ( x 0 + h ) − f ( x 0 )
h
Por el item 3a. se tiene que
f ′ ( x ) =
1 + 2 x
=⇒ m tan = f ′ ( x 0 ) =
1 + 2 x 0
y la ecuación de la recta tangente sería
y − y 0 = m tan ( x − x 0 ) , es decir, y − y 0 =
1 + 2 x 0
( x − x 0
) .
Puesto que, y 0 =
1 + 2 x 0 y la recta pasa por el punto
( − 1 ,
) , entonces
1 + 2 x 0 =
1 + 2 x 0
( − 1 − x 0
) .
Despejamos x 0
1 + 2 x 0 =
1 + 2 x 0
( − 1 − x 0
) =⇒ 4 − 3
1 + 2 x 0 =
( − 1 − x 0
)
1 + 2 x 0
1 + 2 x 0 − 3
( √ 1 + 2 x 0
) 2 = 3
( − 1 − x 0
)
1 + 2 x 0 − 3
( 1 + 2 x 0
) = 3
( − 1 − x 0
)
1 + 2 x 0 = 3
( − 1 − x 0
)
( 1 + 2 x 0
)
1 + 2 x 0 = − 3 − 3 x 0 + 3 + 6 x 0
1 + 2 x 0 = 3 x 0 =⇒
( 4
1 + 2 x 0
) 2
( 3 x 0
) 2
( 1 + 2 x 0
) = 9 x^20 =⇒ 0 = 9 x^20 − 16
( 1 + 2 x 0
)
=⇒ 0 = 9 x^20 − 16 − 32 x 0 =⇒
( 9 x 0 + 4
)( x 0 − 4
) = 0 ,
de aquí, se obtiene que
x 0 = −
y x 0 = 4 ,
pero x 0 = −
NO cumple con la igualdad
1 + 2 x 0 =
1 + 2 x 0
( − 1 − x 0
) ,
ya que
√
1 + 2
( −
)
√
1 −
√ 9 − 8
9
√ 1
9
por otra parte
1 √
1 + 2
( −
)
( − 1 −
( −
))
( −1 +
) = 3
( −9 + 4
9
) = 3
( − 5
9
) = −
así,
√
1 + 2
( −
) 6 =
√
1 + 2
( −
)
( − 1 −
( −
)) = −
mientras que, x 0 = 4 si satisface la igualdad, ya que, por un lado
√ 1 + 2
( 4
)
por el otro 1 √
1 + 2
( 4
)
( − 1 −
( 4
))
( − 1 − 4
)
( − 5
) = −
[ 7 puntos
] Considere la función
H ( t ) =
( t − 1
) 2 si t < 0
at^2 + bt + c si 0 ≤ t ≤ 1
t^3 si t > 1
Hallar los valores de las constantes a , b y c para que H sea continua en t = 0 y diferenciable en t = 1.
Solución : Tenemos
0 1
( t − 1
) 2 at^2 + bt + c (^) t^3
Estudiamos la continuidad en t = 0. Verificamos que se cumplan la condición para garantizar continuidad en un punto
(a) H ( 0 ) = H (0) = a
( 0
) 2
( 0
)
(b) lim t → 0
H ( t ) debe existir. Por la naturaleza de la función estudiamos los límites laterales.
0 1
( t − 1
) 2 at^2 + bt + c t^3
lim t → 0 −^
H ( t ) = lim t → 0 −
( t − 1
) 2 S.I. =
( ( 0 ) − 1
) 2 = 1_._
lim t → 0 +^
H ( t ) = lim t → 0 +
( at 2
) S.I. = a
( 0
) 2
( 0
)
Para que el límite exista se debe cumplir que
lim t → 0 −^
H ( t ) = lim t → 0 +^
H ( t ) =⇒ c = 1_._
Estudiamos, ahora, la derivabilidad en t = 1. Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en ese punto, así, que estudiamos la continuidad de H en t = 1.
(a) H
( 1
) = a
( 1
) 2
( 1
)
(b) lim t → 1
H ( t ) debe existir. Por la naturaleza de la función estudiamos los límites laterales.
0 1
( t − 1
) 2 at 2
lim t → 1 −^
H ( t ) = lim t → 1 −
( at 2
) = a
( 1
) 2
( 1
)
lim t → 1 +^
H ( t ) = lim t → 1 +^
t 3 =
( 1
) 3 = 1_._
Para que el límite exista se debe cumplir que
lim t → 1 −^
H ( t ) = lim t → 1 +^
H ( t ) =⇒ a + b + 1 = 1 =⇒ a + b = 0_._
Para que H sea derivable en t = 1 debe existir el siguiente
H
′
( 1
) = lim h → 0
H (1 + h ) − H (1)
h
Calculamos dicho límite, por la naturaleza de la función calculamos los límites laterales
0 1
( t − 1
) 2 at 2
h < 0 h > 0
- Límite lateral izquierdo. Si h → 0 − , entonces h es negativo, por lo que 1 + h < 1, así,
lim h → 0 −
H (1 + h ) − H (1)
h
= lim h → 0 −
a
( 1 + h
) 2
( 1 + h
)
( a + b + 1
)
h
= lim h → 0 −
a
( 1 + 2 h + h^2
)
- (^) b + bh + (^1) − a − (^) b − (^) 1
h
= lim h → 0 −
a^ + 2 ah^ +^ ah
(^2) + bh − a h
= lim h → 0 −
2 ah + ah^2 + bh
h
= lim h → 0 −
h
( 2 a + ah + b
)
h^
= lim h → 0 −
( 2 a + ah + b
) S.I. = 2 a + b.
Luego,
lim h → 0 −
H (1 + h ) − H (1)
h
= 2 a + b.
