¡Descarga Ejercicios Resueltos de Torsión: Aplicaciones y Cálculos en Ingeniería Mecánica y más Ejercicios en PDF de Elasticidad y Resistencia de materiales solo en Docsity!
Ejercicios Torsión Resueltos 1 Una barra solida de acero con sección transversal circular (figura 1) tiene un diámetro d = 1.5 in, longitud L = 54 in y módulo de elasticidad en cortante G = 11.5 × 106 psi. La barra está sometida a pares de torsión T que actúan en sus extremos. Si los pares de torsión tienen una magnitud T = 250 lb-ft. El esfuerzo cortante permisible es 6000 psi y el ángulo de torsión permisible es 2.5° a. ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo en la barra? b. ¿Cuál es el ángulo de torsión entre los extremos? c. ¿Cuál es el par de torsión máximo permisible? SOLUCIÓN τmax = 16 T / π d^3 = 1625012/π1,5^3 = 4527 psi Ip = πd^4 / 32 = π1,5^4 / 32 = 0,497 in^4 θ = TL / GIp = 2501254 / 11,5 10^6 0,497 = 0,028 rad θ°=θ°1800,028/π= 1,6° T 1 = π d^3 τperm /16 =π1,5^3 6000/16=3976 lb-in 331,3 lb-ft solución el menor T 2 = θpemGIp / L = 2,5π11,5 10^6 0,497/18054 = 4618,3 384, 2 Se va a fabricar un eje de acero como una barra circular sólida o bien como un tubo circular (figura). Se requiere que el eje transmita un par de torsión de 1200 N∙m sin que se exceda un esfuerzo cortante permisible de 40 MPa ni una razón de torsión permisible de 0.75°/m. (El módulo de elasticidad en cortante del acero es 78 GPa). a. Determine el diámetro necesario d 0 del eje sólido. b. Determine el diámetro exterior necesario d 2 del eje hueco si su espesor t se especifica igual a un décimo del diámetro exterior. c. Determine la razón de los diámetros (es decir, la razón d 2 / d 0 ) y la razón de los pesos de los ejes hueco y sólido.
SOLUCIÓN
Cálculo eje macizo Cumplir condición τperm τmax = 16 T / π d^3 = d^3 = 16 T / π τperm = 161200/ π40 10^6 d = 0.053 m Cumplir condición θperm θ = TL / GIp = θperm /L =0,75* π/180 =0, Ip = T / G* θperm /L= 1200 /78 10^9 0,013 = 1,18 10 -^6 Ip = πd^4 / 32 = d^4 = 32Ip / π = 321,18 10-^6 / π d= 0.059 m Cálculo d Eje hueco d 1 = d 2 – 2t= d 2 – 2d 2 /10 = 0,8d 2 Cumplir condición τperm τmax = Tr / Ip = τperm = Td 2 / 2Ip = 1200d 2 /2Ip = 40 10^6 despeje Ip Ip = 1,5 10-^5 d 2 Pero Ip = π(d 24 – d 14 ) / 32 = π(d 24 – (0,8d 2 )^4 ) / 32 = π0,59d 24 /32 = 1,5 10-^5 d 2 = d 2 = 0,064 m Cumplir condición θperm Ip = T / G* θperm /L= 1200 /78 10^9 0,013 = π0,59d 24 / d 2 = 0.067 m Solución d 2 / d 0 = 0,067/0,064 = 1, W 2 / W 0 = (d 22 – d 12 ) / d 02 = (d 22 – (0,8d 1 )^2 ) / d 02 = 0,36d 22 /d 02 W 2 / W 0 = 0,36*0,06 72 / 0,059^2 = 0,4 64
a. ¿Cuál es el diámetro d requerido para el eje si opera a una velocidad de 500 rpm? b. ¿Cuál es el diámetro d requerido para el eje si opera a una velocidad de 300 rpm? SOLUCION P = 2πnT / 33000 T = 33000 P/ 2πn = 3300040 /2π500 = 420,2 lb-pie d^3 = 16 T / π τperm = 16420,212/π6000 = d= 1,62 in P = 2πnT / 33000 T = 33000 P/ 2πn = 3300040 /2π* 3 00 = 700,3 lb-pie d^3 = 16 T / π τperm = 16700,312/π6000 = d= 1,92 in 5 Un eje sólido de acero ABC con 50 mm de diámetro (figura 3.31a) es impulsada en A por un motor que transmite 50 kW al eje a 10 Hz. Los engranes en B y C impulsan maquinaria que requiere potencia igual a 35 kW y 15 kW, respectivamente. Calcule el esfuerzo cortante máximo tmax en el eje y el ángulo de torsión θ AC entre el motor en A y el engrane en C. (Utilice G = 80 GPa). SOLUCION P = 2πnT / 60 T = 60P / 2πn P = 2πfT T = P / 2πf TA = 50000 / 2π10 = 796 Nm TB = 35000 / 2π10 = 557 Nm TC = 15000 / 2π10 = 239 Nm* Cuerpo libre BC Σ T = 0 = TBC+ TB - TA = 0
TBC = TA – TB = 796 – 557 = 239 Nm Cuerpo libre AB Σ T = 0 = TAB - TA = 0 TAB = TA = 796 Nm τBC = 16 TBC / π d^3 = 16239/ π0,05^3 = 9,7 MPa τAB = 16 TAB / π d^3 = 16796/ π0,05^3 = 32,4 MPa Ip = πd^4 / 32 = π0,05^4 / 32 = 6,14 10-^7 θAB = TABLAB / GIp = 7961 / 80 109 6,14 10-7 = 0.016 rad 0,93° θBC = TBCLBC / GIp = 2391,2 / 80 109 6,14 10-7 = 0.0058| rad 0,33° θAC = θAB + θBC =0,93 + 0,33 = 1,26°
a. Determine los esfuerzos máximos de cortante, tensión y compresión en el tubo y muéstrelos en diagramas de elementos de esfuerzo apropiadamente orientados. b. Determine las deformaciones unitarias máximas correspondientes en el tubo y muéstrelas en diagramas de los elementos deformados. c. Determine el factor de seguridad SOLUCION Ip = π(d 14 - d 24 ) / 32 = π(r 14 - r 24 ) / 2 = π(0,08^4 – 0,06^4 ) / 2 = τmax = Tr / Ip = 4000*0,08 / Para el aluminio según tabla: G = 25 GPa Sf = 480 MPa ϒmax = τmax / G Ley Hooke cortante FS = τmax / Sf
Ejercicios Torsión 1 Una barra de cobre con longitud L = 18 pulg. se torcerá mediante pares de torsión T (consulte la figura) hasta que el ángulo de rotación entre los extremos de la barra sea 3.0° Si la deformación unitaria por cortante permisible en el cobre es 0.0006 rad, ¿Cuál es el diámetro máximo permisible de la barra? θrad = π θ°/180 = π 3 °/180 = 0,0524 rad θ = Lϒ / r = 180,0006/r = 0,0524 r = 0,206 pulg d = 2r = 20,206 = 0,412 pulg 2 Una barra de plástico con diámetro d = 56 mm se torcerá por pares de torsión T (consulte la figura) hasta que el ángulo de rotación entre los extremos sea 4.0°. Si la deformación unitaria por cortante permisible en el plástico es 0.012 rad, ¿cuál es la longitud mínima permisible de la barra? θrad = π θ°/180 = θ = Lϒ / r = 3 Un tubo circular de aluminio sometido a torsión pura mediante pares de torsión T (consulte la figura) tiene un diámetro exterior r 2 igual a 1.5 multiplicado por el radio interior r 1. a. Si la deformación unitaria por cortante máxima en el tubo es 400 × 10 –^6 rad, ¿cuál es la deformación unitaria por cortante γ 1 en la superficie interior? b. Si la razón de torsión máxima permisible es 0.125 grados por pie y la deformación unitaria por cortante máxima se debe mantener en 400 × 10 –^6 rad ajustando el par de torsión T , ¿cuál es el radio exterior mínimo requerido ( r 2 ) min? r2 = 1,5*r θ° = 0,125 °/pie θrad /L = π θ°/180 = rad/pulg
T = Wb = 1004 = 400 lb-in τmax = Tr / Ip = 16 T / π d^3 τmax =16400/ π0,625^3 = 8344 psi P30 = T = 400 P = 13,13 lb 13,33 / 2,2 = 6 kgf
Formulario Esfuerzo Torsión
τmax = Tr / Ip = Esfuerzo corte máximo N/m^2 MPa psi T torque N-m Lb-pie r radio m pulgada Ip Momento inercia polar m^4 pulg Ip = πd^4 / 32 = πr^4 / 2 eje macizo dA = 2π ρ * dρ Ip = π(d 14 - d 24 ) / 32 = π(r 14 - r 24 ) / 2 = eje hueco τmax = Tr / Ip = 16 T / π d^3 = τmax =Tr 2 /Ip τmin = Tr 1 / Ip θ = TL / GIp = θ ángulo torsión rad θ° = θrad180 / π θrad = π θ°/ L largo eje m G módulo elasticidad cortante N/m^2 MPa psi d^3 = 16 T / π τperm = τperm Esfuerzo corte permisible N/m^2 MPa ps θ = Lϒ / r θ/L = ϒ 1 / r 1 = ϒ 2 / r 2 ϒ 1 = ϒ 2 r 1 / r 2 Σ T = 0 Suma torque igual a cero W = T φ Trabajo realizado por torque N-m T Torque N-m φ Angulo rotación radianes
