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Ejercicios Resueltos de Torsión: Aplicaciones y Cálculos en Ingeniería Mecánica, Ejercicios de Elasticidad y Resistencia de materiales

ejercicios varios para practicar

Tipo: Ejercicios

2022/2023

Subido el 24/09/2023

isaac-caro-g
isaac-caro-g 🇨🇴

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Ejercicios Torsión Resueltos
1 Una barra solida de acero con sección transversal circular (figura 1) tiene un diámetro
d = 1.5 in, longitud L = 54 in y módulo de elasticidad en cortante G = 11.5 × 106 psi. La
barra está sometida a pares de torsión T que actúan en sus extremos. Si los pares de
torsión tienen una magnitud T = 250 lb-ft. El esfuerzo cortante permisible es 6000 psi y
el ángulo de torsión permisible es 2.5°
a. ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo en la barra?
b. ¿Cuál es el ángulo de torsión entre los extremos?
c. ¿Cuál es el par de torsión máximo permisible?
SOLUCIÓN
τmax = 16 T / π d3 = 16*250*12/π1,53 = 4527 psi
Ip = π*d4 / 32 = π*1,54/ 32 = 0,497 in4
θ = T*L / G*Ip = 250*12*54 / 11,5 106*0,497 = 0,028 rad θ°=θ°180*0,028/π= 1,6°
T1 = π d3 τperm /16 =π1,53*6000/16=3976 lb-in 331,3 lb-ft solución el menor
T2 = θpem*G*Ip / L = 2,5*π11,5 106*0,497/180*54 = 4618,3 384,9
2 Se va a fabricar un eje de acero como una barra circular sólida o bien como un tubo
circular (figura). Se requiere que el eje transmita un par de torsión de 1200 N∙m
sin que se exceda un esfuerzo cortante permisible de 40 MPa ni una razón de torsión
permisible de 0.75°/m. (El módulo de elasticidad en cortante del acero es 78 GPa).
a. Determine el diámetro necesario d0 del eje sólido.
b. Determine el diámetro exterior necesario d2 del eje hueco si su espesor t se
especifica igual a un décimo del diámetro exterior.
c. Determine la razón de los diámetros (es decir, la razón d2/d0) y la razón de los
pesos de los ejes hueco y sólido.
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Ejercicios Torsión Resueltos 1 Una barra solida de acero con sección transversal circular (figura 1) tiene un diámetro d = 1.5 in, longitud L = 54 in y módulo de elasticidad en cortante G = 11.5 × 106 psi. La barra está sometida a pares de torsión T que actúan en sus extremos. Si los pares de torsión tienen una magnitud T = 250 lb-ft. El esfuerzo cortante permisible es 6000 psi y el ángulo de torsión permisible es 2.5° a. ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo en la barra? b. ¿Cuál es el ángulo de torsión entre los extremos? c. ¿Cuál es el par de torsión máximo permisible? SOLUCIÓN τmax = 16 T / π d^3 = 1625012/π1,5^3 = 4527 psi Ip = πd^4 / 32 = π1,5^4 / 32 = 0,497 in^4 θ = TL / GIp = 2501254 / 11,5 10^6 0,497 = 0,028 rad θ°=θ°1800,028/π= 1,6° T 1 = π d^3 τperm /16 =π1,5^3 6000/16=3976 lb-in 331,3 lb-ft solución el menor T 2 = θpemGIp / L = 2,5π11,5 10^6 0,497/18054 = 4618,3 384, 2 Se va a fabricar un eje de acero como una barra circular sólida o bien como un tubo circular (figura). Se requiere que el eje transmita un par de torsión de 1200 N∙m sin que se exceda un esfuerzo cortante permisible de 40 MPa ni una razón de torsión permisible de 0.75°/m. (El módulo de elasticidad en cortante del acero es 78 GPa). a. Determine el diámetro necesario d 0 del eje sólido. b. Determine el diámetro exterior necesario d 2 del eje hueco si su espesor t se especifica igual a un décimo del diámetro exterior. c. Determine la razón de los diámetros (es decir, la razón d 2 / d 0 ) y la razón de los pesos de los ejes hueco y sólido.

SOLUCIÓN

Cálculo eje macizo Cumplir condición τperm τmax = 16 T / π d^3 = d^3 = 16 T / π τperm = 161200/ π40 10^6 d = 0.053 m Cumplir condición θperm θ = TL / GIp = θperm /L =0,75* π/180 =0, Ip = T / G* θperm /L= 1200 /78 10^9 0,013 = 1,18 10 -^6 Ip = πd^4 / 32 = d^4 = 32Ip / π = 321,18 10-^6 / π d= 0.059 m Cálculo d Eje hueco d 1 = d 2 – 2t= d 2 – 2d 2 /10 = 0,8d 2 Cumplir condición τperm τmax = Tr / Ip = τperm = Td 2 / 2Ip = 1200d 2 /2Ip = 40 10^6 despeje Ip Ip = 1,5 10-^5 d 2 Pero Ip = π(d 24 – d 14 ) / 32 = π(d 24 – (0,8d 2 )^4 ) / 32 = π0,59d 24 /32 = 1,5 10-^5 d 2 = d 2 = 0,064 m Cumplir condición θperm Ip = T / G* θperm /L= 1200 /78 10^9 0,013 = π0,59d 24 / d 2 = 0.067 m Solución d 2 / d 0 = 0,067/0,064 = 1, W 2 / W 0 = (d 22 – d 12 ) / d 02 = (d 22 – (0,8d 1 )^2 ) / d 02 = 0,36d 22 /d 02 W 2 / W 0 = 0,36*0,06 72 / 0,059^2 = 0,4 64

a. ¿Cuál es el diámetro d requerido para el eje si opera a una velocidad de 500 rpm? b. ¿Cuál es el diámetro d requerido para el eje si opera a una velocidad de 300 rpm? SOLUCION P = 2πnT / 33000 T = 33000 P/ 2πn = 3300040 /2π500 = 420,2 lb-pie d^3 = 16 T / π τperm = 16420,212/π6000 = d= 1,62 in P = 2πnT / 33000 T = 33000 P/ 2πn = 3300040 /2π* 3 00 = 700,3 lb-pie d^3 = 16 T / π τperm = 16700,312/π6000 = d= 1,92 in 5 Un eje sólido de acero ABC con 50 mm de diámetro (figura 3.31a) es impulsada en A por un motor que transmite 50 kW al eje a 10 Hz. Los engranes en B y C impulsan maquinaria que requiere potencia igual a 35 kW y 15 kW, respectivamente. Calcule el esfuerzo cortante máximo tmax en el eje y el ángulo de torsión θ AC entre el motor en A y el engrane en C. (Utilice G = 80 GPa). SOLUCION P = 2πnT / 60 T = 60P / 2πn P = fT T = P / 2πf TA = 50000 / 2π10 = 796 Nm TB = 35000 / 2π10 = 557 Nm TC = 15000 / 2π10 = 239 Nm* Cuerpo libre BC Σ T = 0 = TBC+ TB - TA = 0

TBC = TA – TB = 796 – 557 = 239 Nm Cuerpo libre AB Σ T = 0 = TAB - TA = 0 TAB = TA = 796 Nm τBC = 16 TBC / π d^3 = 16239/ π0,05^3 = 9,7 MPa τAB = 16 TAB / π d^3 = 16796/ π0,05^3 = 32,4 MPa Ip = πd^4 / 32 = π0,05^4 / 32 = 6,14 10-^7 θAB = TABLAB / GIp = 7961 / 80 109 6,14 10-7 = 0.016 rad 0,93° θBC = TBCLBC / GIp = 2391,2 / 80 109 6,14 10-7 = 0.0058| rad 0,33° θAC = θAB + θBC =0,93 + 0,33 = 1,26°

a. Determine los esfuerzos máximos de cortante, tensión y compresión en el tubo y muéstrelos en diagramas de elementos de esfuerzo apropiadamente orientados. b. Determine las deformaciones unitarias máximas correspondientes en el tubo y muéstrelas en diagramas de los elementos deformados. c. Determine el factor de seguridad SOLUCION Ip = π(d 14 - d 24 ) / 32 = π(r 14 - r 24 ) / 2 = π(0,08^4 – 0,06^4 ) / 2 = τmax = Tr / Ip = 4000*0,08 / Para el aluminio según tabla: G = 25 GPa Sf = 480 MPa ϒmax = τmax / G Ley Hooke cortante FS = τmax / Sf

Ejercicios Torsión 1 Una barra de cobre con longitud L = 18 pulg. se torcerá mediante pares de torsión T (consulte la figura) hasta que el ángulo de rotación entre los extremos de la barra sea 3.0° Si la deformación unitaria por cortante permisible en el cobre es 0.0006 rad, ¿Cuál es el diámetro máximo permisible de la barra? θrad = π θ°/180 = π 3 °/180 = 0,0524 rad θ = Lϒ / r = 180,0006/r = 0,0524 r = 0,206 pulg d = 2r = 20,206 = 0,412 pulg 2 Una barra de plástico con diámetro d = 56 mm se torcerá por pares de torsión T (consulte la figura) hasta que el ángulo de rotación entre los extremos sea 4.0°. Si la deformación unitaria por cortante permisible en el plástico es 0.012 rad, ¿cuál es la longitud mínima permisible de la barra? θrad = π θ°/180 = θ = Lϒ / r = 3 Un tubo circular de aluminio sometido a torsión pura mediante pares de torsión T (consulte la figura) tiene un diámetro exterior r 2 igual a 1.5 multiplicado por el radio interior r 1. a. Si la deformación unitaria por cortante máxima en el tubo es 400 × 10 –^6 rad, ¿cuál es la deformación unitaria por cortante γ 1 en la superficie interior? b. Si la razón de torsión máxima permisible es 0.125 grados por pie y la deformación unitaria por cortante máxima se debe mantener en 400 × 10 –^6 rad ajustando el par de torsión T , ¿cuál es el radio exterior mínimo requerido ( r 2 ) min? r2 = 1,5*r θ° = 0,125 °/pie θrad /L = π θ°/180 = rad/pulg

T = Wb = 1004 = 400 lb-in τmax = Tr / Ip = 16 T / π d^3 τmax =16400/ π0,625^3 = 8344 psi P30 = T = 400 P = 13,13 lb 13,33 / 2,2 = 6 kgf

Formulario Esfuerzo Torsión

τmax = Tr / Ip = Esfuerzo corte máximo N/m^2 MPa psi T torque N-m Lb-pie r radio m pulgada Ip Momento inercia polar m^4 pulg Ip = πd^4 / 32 = πr^4 / 2 eje macizo dA = 2π ρ * Ip = π(d 14 - d 24 ) / 32 = π(r 14 - r 24 ) / 2 = eje hueco τmax = Tr / Ip = 16 T / π d^3 = τmax =Tr 2 /Ip τmin = Tr 1 / Ip θ = TL / GIp = θ ángulo torsión rad θ° = θrad180 / π θrad = π θ°/ L largo eje m G módulo elasticidad cortante N/m^2 MPa psi d^3 = 16 T / π τperm = τperm Esfuerzo corte permisible N/m^2 MPa ps θ = Lϒ / r θ/L = ϒ 1 / r 1 = ϒ 2 / r 2 ϒ 1 = ϒ 2 r 1 / r 2 Σ T = 0 Suma torque igual a cero W = T φ Trabajo realizado por torque N-m T Torque N-m φ Angulo rotación radianes