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Pruebas de olimpiadas matemáticas
Tipo: Apuntes
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Cada mañana, en el campamento de verano, el acampado más joven tiene que izar la bandera hasta lo alto del mástil.
I) Explica en palabras qué significa cada una de las siguientes gráficas. II) ¿Qué gráfica muestra la situación de forma más realista? III) ¿Qué gráfica es la menos realista?
Solución
I) La gráfica a) indica que la velocidad de subida de la bandera es uniforme durante todo su izado. La gráfica b) indica que empieza muy deprisa y la velocidad va disminuyendo durante todo el tiempo. La gráfica c) muestra que el izado se realiza a tirones. En la d) sucede lo contrario que en la b), empieza muy lento y la velocidad de subida va aumentando. En la e) hay dos fases distintas; en la primera mitad se comporta como en d) y en la segunda como en b). Por último, en f) la subida de la bandera es instantánea. II, III) La gráfica f) es la menos realista; podría decirse que imposible por exigir una velocidad infinita. El ritmo constante de a) parece impropio del “acampado más joven”. Si este joven sólo lo hace un día, lo más fácil es que lo haga a tirones, tal como está representado en la c).
dibujos:
Así pues, si Dani presiona la tecla en la que hay un 4, el número que entra realmente en la calculadora es un 5 que, por otra parte, es lo que aparece en la pantalla. Sin darse cuenta de este desmadre, Dani mete en la calculadora un número primo p de dos dígitos, y otro número primo q de un dígito (utilizando lo que él ve, claro) y ordena sumarlos. Sorprendentemente, la respuesta que aparece es ¡la respuesta correcta! ¿Sabrías decir qué dos números primos p y q introdujo Dani en su calculadora?
Solución
53 y 47
Un hombre tomó una posada por treinta días, por el precio de un denario cada día. Este huésped no tenía dinero, sino cinco piezas de plata, que entre todas ellas valían treinta denarios. Con estas piezas pagaba cada día la posada y no le quedaba debiendo nada a la posadera, ni ella a él. ¿Puedes decir cuántos denarios valía cada pieza y cómo se pagaba con ellas?
Solución
Una de las piezas ha de ser de 1 denario, con la que se pagaría el primer día. Para pagar el segundo día usaríamos otra pieza de 2 denarios y nos devolvería la de 1 denario, con la que pagaríamos el tercer día, y la posadera tendría 3 denarios. El cuarto día pagamos con una pieza de 4 denarios y devuelve las dos de 1 y 2 denarios. Seguiríamos pagando con la de 1, después la de 2 y devuelven 1, y así sucesivamente. El octavo día pagaríamos con una de 8 denarios y nos devuelven las de 1, 2 y 4. Así podría pagar hasta el día 15. El día 16 paga con una de 15 y le devuelven las de 2, 4 y 8, y así sucesivamente. En resumen, las piezas deben ser de 1, 2, 4, 8 y 15 denarios.