Probabilidad y Variables Aleatorias: Concepto y Definiciones, Diapositivas de Estadística

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PROBABILIDAD Y

VARIABLES

ALEATORIAS

UNIDAD N°

Temario

O (^) Espacio muestral O (^) Variables aleatorias O (^) Probabilidad O (^) Variables aleatorias discretas y continuas O (^) Teorema de Bayes O (^) Momentos: esperanza y varianza

EXPERIMEN

TOS

DETERMINISTI

COS

ALEATOR

IOS

Espacios muestrales En estadística, al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le denomina espacio muestral , ya que suele constar de todas las cosas que pueden resultar cuando se toma una muestra. Se acostumbra denotar los espacios muestrales con la letra S (o  ). El término “experimento aleatorio” se utiliza en la teoría de la probabilidad para referirse a un proceso cuyo resultado no es conocido de antemano con certeza. “Suma de valores en el lanzamiento de 2 dados.” EXPERIMENTO ALEATORIO

Definiciones de

Probabilidad

Concepto clásico de probabilidad Si hay n resultados igualmente posibles, todos los cuales ocurren y s son considerados favorables a un evento A o como un “éxito”, entonces la probabilidad de un “éxito” está dada por:

n

s

P( A ) 

Concepto empírico de probabilidad

Entre las diversas nociones de probabilidad,

la más ampliamente utilizada es la

interpretación de probabilidad como

frecuencia relativa , según la cual:

La probabilidad de un evento (que suceda

o que resulte) es la proporción de veces

que el evento sucedería en una serie

prolongada de experimentos repetidos.

Concepto axiomático de

probabilidad

Dados un espacio muestral finito y un evento A

en , definimos P (A), o sea la probabilidad de A,

como el valor de una función aditiva de conjunto

que satisface las tres condiciones siguientes:

Axioma 1. 0  P(A)  1 para cada evento A en .

Axioma 2. P(  ) = 1.

Axioma 3. Si A y B son eventos que se excluyen

mutuamente en , entonces

P (A  B) = P (A) + P (B)

o (^) El primer axioma establece que las probabilidades son números reales que varían entre 0 y 1. o (^) El segundo axioma afirma que al espacio muestral completo se le asigna una probabilidad de 1 y esto expresa la idea que la probabilidad de un evento cierto, o sea un evento que debe suceder, es igual a

o (^) El tercer axioma establece que las funciones de probabilidad deben ser aditivas. Los axiomas de una teoría matemática no requieren demostración, pero si se le aplica al mundo físico, debemos comprobar de algún modo que los axiomas son “realistas”. Así, mostramos que los tres postulados son consistentes con el concepto clásico de probabilidad y la interpretación como frecuencia relativa.

Si A y B son eventos cualesquiera en ,

entonces: P(A B ) = P(A ) + P(B ) – P(A 

B ) (regla de la adición)

Si A es cualquier evento en , entonces P

(A’) = 1 – P(A), (probabilidad del

complemento)

Algunos teoremas elementales

o (^) El teorema de Bayes proporciona una fórmula para calcular la probabilidad de que el “efecto” A fue “causado” por el evento Br. Las probabilidades P(Bi) se denominan las probabilidades “previas” o “a priori”, de las “causas” Bi y en la práctica suele ser difícil asignarles valores numéricos. o (^) Por muchos años el teorema de Bayes fue visto con recelo debido a que se usó con la suposición, frecuentemente errónea, de que las probabilidades a priori eran siempre iguales. o (^) Una buena parte de la controversia en torno al teorema de Bayes ha sido aclarada al comprenderse que las probabilidades P(Bi) deben determinarse en cada caso separadamente de la naturaleza del problema, de preferencia con base en la experiencia.

Función que asigna a cada punto del

espacio muestral un número real

X :  R

Ejemplo N°1 :  =  falla, no falla 

X(  no falla  ) = 0

X(  falla  ) = 1

Variables Aleatorias

falla no falla  Espacio Muestral X({no falla}) = 0 X({falla}) = 1

• (^) ¥ 0 1 +¥ Conjunto Números Reales IR X :  Rx  X

(-, x  Á Familia de eventos elementales

IR

A cada s le corresponde exactamente un valor X(s) Variables Aleatorias