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PENDULOS ACOPLADOS POR UN RESORTE
JOSÉ LEONARDO MARIN MARTÍNEZ
NOVIEMBRE 2020
1. DATOS A TENER EN CUENTA
a. Es conservativo por ende no habrá perdida de energía.
b. La cuerda es inflexible y su peso de la cuerda es despreciable.
c. La fuerza ejercida por el resorte solo se evidencia en el eje x.
d. El sistema tiene dos grados de libertad.
2. FORMULACION LAGRANGIANA
De la imagen obtenemos las siguientes ecuaciones de las posiciones de los
péndulos, energía cinética, energía gravitacional , energía potencial elástica
Así, las energías del sistema son:
Energía cinética:
1
2
1
2
2
2
Como 𝑟̇ = 𝐿𝜃
entonces:
𝑚[(𝐿𝜃₁)
2
2
2
] =
2
1
2
2
2
Energía potencial gravitacional:
𝑔
𝑔 1
𝑔 2
1
2
) = −𝑚𝑔𝐿 [𝑐𝑜𝑠(𝜃
1
2
)]
Energía potencial elástica
𝑘
𝑘[(𝑥
2
1
2
2
1
2
]
[(
2
1
2
2
1
2
]
2
[𝑠𝑒𝑛(𝜃
2
1
)]
2
2
[𝑐𝑜𝑠(𝜃
2
1
)]
Ahora con los ángulos y sabiendo que hay dos masas, obtenemos el siguiente
lagrangiano
1
, 𝜃
1
,
𝜃
2
, 𝜃
2
; 𝑡) = 𝑇 − 𝑉 = 𝑇 − (𝑈
𝑔
𝑘
)
𝑇 − (
𝑈
𝑔
𝑘
)
=
2
̇
1
2
̇
2
2
) + 𝑚𝑔𝐿[𝑐𝑜𝑠(𝜃
1
2
)]
2
[𝑠𝑒𝑛(𝜃
2
1
)]
2
2
[𝑐𝑜𝑠(𝜃
2
1
)]
2
Ahora aplicaremos las ecuaciones de Euler-Lagrange para θ₁
1
1
Donde:
1
1
2
2
cos
1
2
cos
1
1
2
cos
2
1
2
cos
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
3. Desacople del sistema
Expresando las ecuaciones diferenciales en forma matricial:
1
2
1
2
[𝑀]𝜃
+ [𝑀]𝜃
Aplicando La transformación de similitud para la ecuación 5 , esto nos ayudara a
encontrar las ecuaciones independientes:
[
]
− 1
[
][
][
]
− 1
[
]
− 1
[
][
][
]
− 1
[𝑀′]𝜃
𝑇
+ [𝐾′]𝜃
𝑇
Se definen vectores de estado transformados de la forma:
𝑇
[
]
− 1
𝑇
[
]
− 1
𝑇
La transformación de K’ satisface que su resultado sea diagonalizable
[𝐾′] = [𝑇]
− 1
[𝐾][𝑇] = (
1
2
Donde [T] hace referencia a la matriz compuesta por los vectores propios de [K]. De
este modo
([
]
[
])[
]
|[
]
[
]|
2
2
1
2
Para 𝜆
1
11
21
11
21
11
21
1
11
Para 𝜆 2
12
22
12
22
12
22
2
12
1
2
11
2
[
2
2
]
11
2
2
12
2
[ 1
2
2
] → 𝑡
12
Construimos la matriz [T] normalizada:
[
]
2
1
2
𝑇
[
]
− 1
𝑇 1
𝑇 2
1
2
𝑇 1
𝑇 2
1
2
𝑇 1
[
1
2
)]
𝑇 2
[
1
2
)]
𝑇 1
[𝜃
1
2
], 𝜃
𝑇 2
[𝜃
1
2
]
𝑇 1
[𝒜 − 𝒜] = 0 , 𝜃
𝑇 2
[𝒜 + 𝒜] = √ 2 𝒜
𝑇 1
[
]
𝑇 2
[
]
Resolviendo el problema de valor inicial para las coordenadas normales (variables de
estado transformadas):
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
Para los casos fundamentales:
1
1
1
2
Ahora, analizando para el segundo caso de las condiciones iniciales:
𝑇 1
[
]
𝑇 2
[
]
𝑇 1
[
]
𝑇 2
[
]
Resolviendo el problema de valor inicial para las coordenadas normales (variables de
estado transformadas):
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
Para los casos fundamentales:
1
1
1
2
Haciendo referencia a las relaciones que tenemos de las transformaciones de las
variables de estado, tenemos:
𝑇
= [𝑇]
− 1
= [𝑇]𝜃
𝑇
1
2
𝑇 1
𝑇 2
1
1
1
2
2
2
Para los parámetros 𝓐 1 y 𝓐 2 obtenido del estado inicial:
1
2
) [
]
𝟏
𝟐
1
2
[
]
𝟏
𝟐
