Optimización no lineal: Desigualdad entre media aritmética y media geométrica, Apuntes de Cálculo para Ingenierios

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PROGRAMACI”N NO LINEAL

DIEGO CH¡VEZ CHAMORRO

Manizales, octubre 30 de 2016

ii

• I APUNTES DE ¡LGEBRA LINEAL
• 1. VALORES Y VECTORES PROPIOS
• 2. DIAGONALIZACI”N
  • 2.1. CLASIFICACI”N DE LAS FORMAS CUADR¡TICAS
  • 2.2. CRITERIO DE LOS MENORES PINCIPALES
  • 2.3. CRITERIO DE LOS VALORES PROPIOS
• II APUNTES DE ¡NALISIS CONVEXO
• 3. Conjuntos convexos
  • 3.1. Segmentos lineales
  • 3.2. Conjunto convexo
  • 3.3. Envoltura convexa de un conjunto
  • 3.4. CaraterizaciÛn de los conjuntos convexos
  • 3.5. Puntos extremos
• 4. Conjunto acotado
• 5. Hiperplanos y semiespacios
  • 5.1. Semiespacios
  • 5.2. Politopos y conjuntos poliÈdricos
  • 5.3. Rayos y direcciones
  • 5.4. Direcciones de un conjunto convexo
  • 5.5. Soluciones b·sicas factibles
  • 5.6. Soluciones b·sicas factibles y puntos extremos iv ÕNDICE GENERAL
  • 5.7. Conos convexos
  • 5.8. Problemas de optimizaciÛn
    • 5.8.1. a. RegiÛn factible acotada
    • 5.8.2. b. RegiÛn factible no acotada
• III FORMAS CU¡DRATICAS
• 6. FORMAS CUADR¡TICAS
  • 6.1. MATRIZ ASOCIADA A UNA FORMA CUADR¡TICA
  • 6.2. CLASIFICACI”N DE LAS FORMAS CUADR¡TICAS
  • 6.3. CRITERIO DE LOS VALORES PROPIOS
• 7. FUNCIONES CONVEXAS Y C”NCAVAS
  • 7.1. CARACTERIZACI”N DE LAS FUNCIONES CONVEXAS
    • 7.1.1. Bolas abiertas y conjuntos abiertos
    • 7.1.2. Punto interior
    • 7.1.3. conjuntos abiertos
    • 7.1.4. Exterior y frontera
    • 7.1.5. Conjuntos cerrados
    • 7.1.6. Derivadas direccionales
    • 7.1.7. EcuaciÛn paramÈtrica de una recta
    • 7.1.8. Derivadas direccionales
    • 7.1.9. EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCI”N
    • 7.1.10. CARACTERIZACI”N DE FUNCIONES CONVEXAS
• IV OPTIMIZACI”N NO LINEAL
  • GEOM…TRICA 8. DESIGUALDAD ENTRE MEDIA ARITM…TICA Y MEDIA
• 9. OPTIMIZACI”N SIN RESTRICCIONES
  • DE IGUALDAD 10.OPTIMIZACI”N DE FUNCIONES CON RESTRICCIONES
    • 10.0.11.
  • DAD 11.OPTIMIZACI”N CON RESTRICCIONES DE DESIGUAL-

Parte I

APUNTES DE ¡LGEBRA

LINEAL

CapÌtulo 1

VALORES Y VECTORES

PROPIOS

DeÖniciÛn Si A es una matriz cuadrada de orden n; entonces un vector 0 6 = v 2 Rn; es vector propio de A si

Av = v

Para alg˙n n˙mero real : En tal caso  es valor propio de A y v es vector propio de A asociado a :

Para encontrar valores propios de una matriz cuadrada A de orden n; debe- mos resolver el sistema Ax = x; con x 6 = 0: Es decir, se requiere que

jA Inj = 0

Esta expresiÛn es la ecuaciÛn caracterÌstica de A y p () = jA Inj ; es el polinomio caracterÌstico de A

EJEMPLO

Hallar los valores propios de la matriz

A =

A

SoluciÛn

p () =

A 

A =

4 CAPÕTULO 1. VALORES Y VECTORES PROPIOS

p () = ^3 + 8^2 17  + 4 = ( 4)

^2 4  + 1

p () = ( 4)

^2 4  + 1

p 3

p 3

Los valores propios de A son: 4 ; 2 +

p 3 ; 2

p 3

6 CAPÕTULO 1. VALORES Y VECTORES PROPIOS

u v w

A (^) = b

A (^) ; b 2 R; b 6 = 0

C·lculo de los valores propios asociados a  3 = 3 Resolvamos el sistema 0 @

A

u v w

A =

A

A

u v w

A =

A

A !

A

u v w

A (^) = c

A (^) ; c 2 R; c 6 = 0

Una base¥para el subespacio generado por los vectores propios de A es 8 < :

A ;

A ;

A

OBSERVACI”N

Los valores propios de una matriz triangular T son los tÈrminos de la diagonal de T

CapÌtulo 2

DIAGONALIZACI”N

DeÖniciÛn Una matriz cuadrada A de orden n es diagonalizable si y sÛlo si existe una matriz Q no singular, tal que

Q^1 AQ = D donde D es matriz diagonal de orden n

ProposiciÛn Sea A matriz simÈtrica de orden n; cuyos elementos son reales, entonces veriÖca i. A es diagonalizable ii. Existe al menos una base de valores propios ortonormal y por lo tanto, existe una matriz ortogonal P tal que

P T^ AP = D

EJEMPLO

La matriz

A =

no es diagonalizable

SOLUCI”N

Si

P =

a b c d

donde

S =

B + BT^

A =

B BT^

Prueba

Basta observar que si A = (^12)

B BT^

y S = (^12)

B + BT^

; entonces B = A + S;

A + AT^ =

B BT^

B BT^

T

B BT^

BT^ B

= O

Luego A es matriz antisimÈtrica

Adem·s

ST^ =

B + BT^

T

BT^ + B

= S

y S es simÈtrica

Veamos la unicidad de las matrices

Si existen matrices A y S;tales que B = A + S; con A;matriz antisimÈtrica y S matriz simÈtrtica, entonces B = A + S = A + S De donde S S = A A: Pero S S; es matriz simÈtrica y A A;es matriz antisimÈtrica. La igualdad se cumple ˙nicamente cuando S S = A A = O Por lo tanto: S = S y A = A

ProposiciÛn

Sea p (x 1 ; x 2 ;


; xn) =

X^ n

i=

X^ n

j=

aij xixj ; una forma cuadr·tica, entonces ex-

iste una ˙nica matriz simÈtrica Q; tal que

p (x) = xT^ Qx

Prueba

10 CAPÕTULO 2. DIAGONALIZACI”N

La forma cuadr·tica p (x 1 ; x 2 ;


; xn) =

X^ n

i=

X^ n

j=

aij xixj ; se puede expresar

como p (x) = xT^ Ax: Luego La matriz A; puede escribirse como A = Q + R; donde Q es matriz simÈtrica y R es matriz antisimÈtrica Tenemos entonces p (x) = xT^ Ax = xT^ (Q + R) x = xT^ Qx + xT^ Rx Pero xT^ Rx =

xT^ Rx

T

= xT^ RT^ x = xT^ Rx(ya que R es matriz antisimÈtri- ca). Y de xT^ Rx = xT^ Rx;se sigue xT^ Rx = 0 Luego p (x) = xT^ Ax = xT^ Qx; donde Q = A + AT

DeÖniciÛn: Para la forma cu·dratica q : Rn^! R; tal que q (x) = xT^ Bx; donde B es matriz cuadrada de orden n; existe una ˙nica matriz simÈtrica Q tal que

q (x) = xT^ Qx

Q es la matriz asociada a la forma cu·dratica q

2.1. CLASIFICACI”N DE LAS FORMAS CUADR¡TI-

CAS

DeÖniciÛn Consideremos la forma cuadr·tica q : Rn^! R; tal que q (x) = xT^ Ax; con matriz asociada A

1. q es deÖnida positiva si y sÛlo si para todo 0 6 = x 2 Rn; q (x) > 0
2. q es deÖnida negativa si y sÛlo si para todo 0 6 = x 2 Rn; q (x) < 0
3. q es deÖnida semideÖnida positiva si y sÛlo si para todo x 2 Rn; q (x)  0 ; y existe alg˙n 0 6 = u 2 Rn; tal que q (u) = 0
4. q es deÖnida semideÖnida negativa si y sÛlo si para todo x 2 Rn; q (x)  0 ; y existe alg˙n 0 6 = u 2 Rn; tal que q (u) = 0
5. q es indeÖnida si y sÛlo si existen u; v 2 Rn; tal que q (u) q (v) < 0

12 CAPÕTULO 2. DIAGONALIZACI”N

q (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = a 11

x 1 + a a^1211 x 2 + a a^1311 x 3

a 22 a

(^212) a 11

x^22 + 2 a^23 a 11 a^11 a 22 ^2 aa^122 a^13 12 x 2 x 3

a^213 a 11 x

2 3 +^ a^33 x 2 3 Haciendo

D 1 = a 11 ; D 2 = a 11 a 22 a^212 ; D 3 = jAj q (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = D 1

x 1 + a D^121 x 2 + a D^131 x 3

+ D D^21

x 2 + a^23 a^11 D 2 a 12 a^13 x 3

a 33 (a^23 a^11 a^12 a^13 )

2 D 1 D 2 ^

a^213 D 1

x^23

q (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = D 1

x 1 + a D^121 x 2 + a D^131 x 3

+ D D^21

x 2 + a^23 a^11 D 2 a 12 a^13 x 3

D 3 D 2 x

2 3

ProposiciÛn Si q : Rn^! R; es una forma cuadr·tica, con matriz asociada A = (aij ) ; es decir,

q (x) = xT^ Ax con menores principales D 1 = a 11 ; D 2 = a 11 a 22 a^212 ;


; Dn = jAj ; no nulos, entonces existe una matriz triangular superior T , con unos sobre la diagonal, tal que x = T y

q (x) = xT^ Ax =

X^ n

i=

X^ n

j=

aij xixj = a 11 y^21 +

X^ n

j=

Dj Dj 1

y^2 j

Basta tomar T = (tij ) ; tal que

tij =

0 si i > j 1 si i = j cij Dj 1 si^ i < j Tenemos

T =

B

B

B

1 c D^121


(^) Dcn^1 n 1 0 1


(^) Dcn^2 n 1 .. .

C

C

C

A

Corolario

Sea q : Rn^! R; es una forma cuadr·tica, con matriz asociada A = (aij ) ; es decir,

q (x) = xT^ Ax

2.2. CRITERIO DE LOS MENORES PINCIPALES 13

con Di 6 = 0; i 2 Tn 1 ; entonces se veriÖca que

Si q es deÖnida positiva o deÖnida negativa entonces jAj 6 = 0

Ya que si x =

B

B

B

c 1 n Dn 1 c 2 n Dn 1 .. . 1

C

C

C

A

columna n esima de la matriz T; deÖnida en la

proposiciÛn anterior. Y como: x = T y;entonces

y =

B

B

B

C

C

C

A

;la columna n esima de la identidad In

Asi, q (x) = xT^ Ax =

X^ n

i=

X^ n

j=

aij xixj = a 11 y^21 +

X^ n

j=

Dj Dj 1 y^2 j = 0

con x 6 = 0; y tenemos q indeÖnida, lo cual es absurdo.

DeÖniciÛn Consideremos la forma cuadr·tica q : Rn^! R; tal que q (x) = xT^ Ax; con matriz asociada A

1. q es deÖnida positiva si y sÛlo si Di > 0 ; para i 2 Tn
2. q es deÖnida negativa si y sÛlo si (1)i^ Di < 0 ; para i 2 Tn
3. q es deÖnida semideÖnida positiva si y sÛlo si Di > 0 ; para i 2 Tn y Dn = 0
4. q es deÖnida semideÖnida negativa si y sÛlo si (1)i^ Di < 0 ; para i 2 Tn y Dn = 0

DeÖniciÛn Sea A matriz cuadrada de orden n;el valor del determinante de una submatriz cuadrada Hr de A; de orden r;que se obtiene elimando n r Ölas y columnas de Adel mismo Ìndice es menor principal primario de A de orden r

Sea q : Rn^! R; es una forma cuadr·tica, con matriz asociada A = (aij ) ; es decir,

q (x) = xT^ Ax

y jAj = 0 entonces se veriÖca

1. q es semideÖnida positiva si y sÛlo si todos los menores principales pri- marios de A; son positivios o nulos
2. q es semidifenida negativa si y sÛlo si todos los menores principales pri- marios de A;de orden r, Hr son tales que (1)r^ Hr  0 para r 2 Tn

Parte II

APUNTES DE ¡NALISIS

CONVEXO