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Orientación Universidad
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Pruebas de hipótesis: Tipos, errores y resolución, Resúmenes de Probabilidad

Un material de clase sobre pruebas de hipótesis en el curso de Probabilidad y estadística inferencial de la Facultad de Ingeniería. Se explica el concepto de hipótesis nula y alternativa, los tipos de error en una prueba de hipótesis, los tipos de acierto y los tipos de pruebas de hipótesis sobre parámetros. Además, se incluyen ejemplos para resolver problemas de hipótesis.

Qué aprenderás

  • ¿Qué es una hipótesis nula y una hipótesis alternativa?
  • ¿Qué son los tipos de acierto en una prueba de hipótesis?
  • ¿Cómo se resuelve una prueba de hipótesis?
  • ¿Qué son los tipos de error en una prueba de hipótesis?
  • ¿Qué tipos de pruebas de hipótesis sobre parámetros existen?

Tipo: Resúmenes

2021/2022

Subido el 25/11/2022

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Material de clase - Pruebas de hip´otesis
Probabilidad y estad´ıstica inferencial - 2022 Intersemestral
Facultad de Ingenier´ıa
Ana Mar´ıa Beltr´an Cort´es
Pontificia Universidad Javeriana
Julio 7 de 2022
1 Definiciones iniciales
Hip´otesis estad´ıstica. Una hip´otesis estad´ıstica es una pretensi´on o aseveraci´on sobre el valor de
un solo par´ametro, sobre los valores de varios par´ametros o sobre la forma de una distribuci´on de
probabilidad completa.
Prueba de hip´otesis. Proceso mediante el cual se toman decisiones sobre una hip´otesis empleando
la informaci´on contenida en la(s) muestra(s).
Hip´otesis nula e hip´otesis alternativa. La hip´otesis nula, denotada como H0, es la pretensi´on que
inicialmente se supone cierta, la creencia previa. La hip´otesis alternativa, denotada por H1oHa,es
la aseveraci´on contradictoria a H0.
2M
´
ETODO
La hip´otesis nula ser´a rechazada en favor de la hip´otesis alternativa solo si la evidencia muestral sugiere
que H0es falsa. Si la muestra no contradice fuertemente aH0, se continuar´a creyendo en la verdad de la
hip´otesis nula. Las dos posibles conclusiones derivadas de un an´alisis de prueba de hip´otesis son entonces
rechazar H0oNOrechazarH0.
Nota Una hip´otesis solo se prueba totalmente cuando se tiene acceso al censo de la poblaci´on objetivo,
por lo tanto, con una muestra JAM´
AS se acepta o se aprueba una hip´otesis estad´ıstica.
3 Tipos de error en una prueba de hip´otesis
Error tipo I ocurre cuando se rechaza H0siendo H0verdadera. La probabilidad de cometer error
tipo Ise denotar´a como y se conoce como el nivel de significancia de la prueba.
Error tipo II ocurre cuando no se rechaza H0siendo que H0es falsa. La probabilidad de cometer
error tipo II se denotar´a como .
1
IT p
Tipode proeba de hipolesis III Kieran
pf3
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¡Descarga Pruebas de hipótesis: Tipos, errores y resolución y más Resúmenes en PDF de Probabilidad solo en Docsity!

Material de clase - Pruebas de hip´otesis

Probabilidad y estad´ıstica inferencial - 2022 Intersemestral

Facultad de Ingenier´ıa

Ana Mar´ıa Beltr´an Cort´es

Pontificia Universidad Javeriana

Julio 7 de 2022

1 Definiciones iniciales

  • Hip´otesis estad´ıstica. Una hip´otesis estad´ıstica es una pretensi´on o aseveraci´on sobre el valor de

un solo par´ametro, sobre los valores de varios par´ametros o sobre la forma de una distribuci´on de

probabilidad completa.

  • Prueba de hip´otesis. Proceso mediante el cual se toman decisiones sobre una hip´otesis empleando

la informaci´on contenida en la(s) muestra(s).

  • Hip´otesis nula e hip´otesis alternativa. La hip´otesis nula, denotada como H

0

, es la pretensi´on que

inicialmente se supone cierta, la creencia previa. La hip´otesis alternativa, denotada por H

1

o H

a

, es

la aseveraci´on contradictoria a H 0

2 M

´

ETODO

La hip´otesis nula ser´a rechazada en favor de la hip´otesis alternativa solo si la evidencia muestral sugiere

que H 0

es falsa. Si la muestra no contradice fuertemente a H 0

, se continuar´a creyendo en la verdad de la

hip´otesis nula. Las dos posibles conclusiones derivadas de un an´alisis de prueba de hip´otesis son entonces

rechazar H 0

o NO rechazar H 0

Nota Una hip´otesis solo se prueba totalmente cuando se tiene acceso al censo de la poblaci´on objetivo,

por lo tanto, con una muestra JAM

AS se acepta o se aprueba una hip´otesis estad´ıstica.

3 Tipos de error en una prueba de hip´otesis

  • Error tipo I ocurre cuando se rechaza H

0

siendo H

0

verdadera. La probabilidad de cometer error

tipo I se denotar´a como ↵ y se conoce como el nivel de significancia de la prueba.

  • Error tipo II ocurre cuando no se rechaza H

0

siendo que H

0

es falsa. La probabilidad de cometer

error tipo II se denotar´a como .

IT p

Tipo

de proeba

de

hipolesis

I

II

Kieran

Poblacion

d

Concwircosal

I

Estimations

pontuales

Estimaciones

por k

Verification

de

hipolesis

Hipotesis

Nola Ho

creencia

previa

supuesto bajo

d

wat se

recolecta

de

la

Nuestra

Hipolesis alternativa

contraria

alto

Yphpotesis

de

lol

dates

Probabilidad y estad´ıstica inferencial Pruebas de hip´otesis

5.2.2 Cola a izquierda

Son de la forma

H

0

0

vs H

1

0

o bien

H

0

0

vs H

1

0

6 Definiciones adicionales

  • El valor cr´ıtico de una prueba de hip´otesis es el percentil de la distribuci´on muestral que deja una

probabilidad igual a ↵ (significancia) en la(s) cola(s) respectivas de la prueba.

  • La regi´on cr´ıtica o zona de rechazo es el conjunto de valores del estad´ıstico de prueba para los cuales

la hip´otesis nula ha de ser rechazada a favor de la hip´otesis alternativa. Su ´area bajo la curva es

igual a ↵.

  • El estad´ıstico de prueba o valor calculado es una funci´on de los datos muestrales en los que la decisi´on

estad´ıstica estar´a basada. Ser´a comparado con el valor cr´ıtico para rechazar o no rechazar la hip´otesis

nula.

  • El p-valor de una prueba de hip´otesis es la probabilidad que el estad´ıstico de prueba deja en la(s)

cola(s) de rechazo.

7 Resoluci´on de una prueba de hip´otesis

Sea ↵ la significancia de la prueba de hip´otesis.

7.1 M´etodo del valor cr´ıtico

  • Al tener el valor cr´ıtico de la distribuci´on asociada al estad´ıstico y el valor de prueba calculado sobre

los datos muestrales es posible establecer si este ´ultimo cae o no en la(s) cola(s) de rechazo.

  • Si el valor de prueba cae en zona de rechazo entonces, con una significancia del ↵% se rechaza

H

0

en favor de H

1

  • Si el valor de prueba cae en zona de no rechazo entonces, con una significancia del ↵% la

conclusi´on es que NO se rechaza H

0

y se mantiene la creencia previa.

7.2 M´etodo del p-valor

Al calcular el p-valor sobre el estad´ıstico de prueba se tiene:

  • Si p-valor  ↵ entonces con una significancia de ↵% se rechaza H

0

en favor de H

1

  • Si p-valor > ↵ entonces, con una significancia de ↵% NO se rechaza H

0

ingreso

de

Emerendedore

I

Ho

M

101000,

H

M

Probabilidad y estad´ıstica inferencial Pruebas de hip´otesis

8 Ejemplos

8.1 PH para la media poblacional μ con varianza conocida

Ejemplo 8.1. El gerente de ventas de una gran empresa afirma que los vendedores est´an promediando no

m´as de 15 contactos de venta por semana. Como prueba de su afirmaci´on, aleatoriamente se seleccionan

36 vendedores y se registra el n´umero de contactos hechos por cada uno durante una sola semana escogida

al azar. La media de las 36 mediciones fue 17. Se sabe adem´as que la varianza en el n´umero de contactos

semanales es igual a 9. Con una significancia del 5%, ¿la evidencia contradice lo dicho por el gerente?

NO

Rechazado

Rechaza

Estandarizando

la

evidencia muestral

5 17

Suponiendo

Ho

cierta

Obtenemos

et valor de proeba

Zp

I n

Tir

170,

4

Verificamos donde

cue

Zp

y

concwimos

Como

Zp

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No

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Metodo

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P

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178,

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858,

bayo

Ho

x 17

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Rechazado

Ho

y

concwyo

que

d

gerente

No

tienen

la

raton

Probabilidad y estad´ıstica inferencial Pruebas de hip´otesis

Ejemplo 8.2. La producci´on diaria para una planta qu´ımica local ha promediado 880 toneladas en los

´ultimos a˜nos. A la gerente de control de calidad le gustar´ıa saber si este promedio ha cambiado en meses

recientes. Se sabe que la desviaci´on en la producci´on es de 21 toneladas. Ella selecciona al azar 50 d´ıas

de la base de datos y calcula el promedio de la producci´on de dichos registros obteniendo un valor de 871

toneladas. Pruebe la hip´otesis apropiada usando una significancia del 5%.

Eres

un

Sol

hermoso

Bayo

Ho

Cierta

be

estandarita

la

evidencia muestral I 871

Zp

II

871

880

2,

3,

Como

Zp

Cal en Zona de

rearazado entonces

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del 51 Renato

Ho

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que

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51 Renato

Ho

y wyo

que

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Cambio

la

production

media

en

Los

oltimos mesel

Probabilidad y estad´ıstica inferencial Pruebas de hip´otesis

8.2 PH para la media poblacional μ con desconocida

Ejemplo 8.3. Se midi´o en kilogramos el peso m´aximo que puede levantar un grupo de empleados obteniendo

los valores: 20. 8 ; 24. 6 ; 23. 3 ; 21. 8 ; 27. 2. Suponiendo normalidad en los pesos, ¿los datos sugieren que el

peso m´aximo que se puede levantar en promedio es menor a los 25 kilogramos? Justifique estad´ısticamente

con una significancia del 1%.

peso

maximo

que

se predelevantar

hog

xn

N

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2

0,

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Ho

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231,347,

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L

130

Promedio

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Pelo

max

que

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Peta

poede

levantar

es

mayor

o

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a 25

91315

Probabilidad y estad´ıstica inferencial Pruebas de hip´otesis

8.3 PH para la varianza poblacional

2

Ejemplo 8.4. La sociedad de defensa del consumidor ha decidido probar las denuncias de sus consumidores

en el sentido de que la marca ‘Limpio’ ofrece barras de 500 gramos de jab´on, con una desviaci´on de 20

gramos, cuando en realidad (seg´un los consumidores) la cantidad entregada por barra es menor y difiere

mucho entre distintas barras. Para ello compra y pesa aleatoriamente 26 barras de jab´on, teniendo como

resultados muestrales un promedio de 490 gramos por barra con una desviaci´on de 25 gramos por barra, y

se determin´o que a lo sumo se pod´ıa correr un riesgo de 2 .5% de afirmar que la barra pesa menos de 500

cuando en realidad s´ı pesa los 500 gramos. La suposici´on de normalidad de la distribuci´on del peso de los

jabones est´a plenamente sustentada.

  1. ¿Existe evidencia al nivel ↵ del 2 .5% de que la desviaci´on est´andar es superior a 20 gramos?
  2. ¿Existe evidencia al nivel ↵ propuesto en el enunciado de que el peso de la barra de jab´on ofrecido

es inferior a 500 gramos?

Ffs

thion

x

peso

del sakon

ten

grams

XUN

n 26 I

ago 5

25

Marca

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M

5 20

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cola

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Entonces 4

stadistico concada asociado

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Ho

y

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especiticacion

de

azo se

mile

Probabilidad y estad´ıstica inferencial Pruebas de hip´otesis

8.4 PH para la proporci´on poblacional ⇡

Ejemplo 8.5. Si la producci´on diaria de la m´aquina de una f´abrica tiene m´as de 10% de art´ıculos defec-

tuosos, es necesario repararla. Una muestra aleatoria de 100 piezas de la producci´on del d´ıa contiene 15

piezas defectuosas y el supervisor decide que la m´aquina debe ser reparada. Con una significancia del 1%

determine si la evidencia muestral respalda o no la decisi´on del supervisor.

I

proportion

de

artiwlos

detectuosos

en

la

production

100

5

1

4915

0

Hot 510110

Hitmanificreparar

Cola

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IT

Se

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distribution

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100.0 1 0,

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N

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FET

y

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resuelve sobrela

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Ze

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4326

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Ho

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estandarizamos

la

evidiencia

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p

o ng

EFFETE

Zp

9101

1,

Probabilidad y estad´ıstica inferencial Pruebas de hip´otesis

Ejercicio 8.1. En cementos dentales para odontolog´ıa se realiz´o una prueba para medir la efectividad de

dichos cementos, siendo la efectividad la fuerza necesaria para remover la corona. Los resultados muestrales

fueron:

Cemento n promedio (lb/ft

2

) desviaci´on (lb/ft

2

Con ↵ = 0. 1 , ¿los dos cementos son igualmente efectivos o hay diferencia significativa entre las fuerzas

promedio necesarias para remover uno u otro cemento? Suponga que la fuerza necesaria para remover las

coronas en ambos tipos de cemento sigue una distribuci´on normal.

Probabilidad y estad´ıstica inferencial Pruebas de hip´otesis

8.6 PH para la diferencia de proporciones

Ejemplo 8.7. Una muestra de 300 residentes adultos que viven en un barrio residencial revel´o que 63

estaban a favor de incrementar el l´ımite de velocidad en las autopistas de 80 a 90 km/h, en tanto que una

muestra de 180 residentes de las afueras de la ciudad arroj´o que 75 estaban a favor del incremento. Con

una significancia del 5%, ¿indican estos datos que el sentimiento, medido en porcentaje de aprobaci´on, en

cuanto a incrementar el l´ımite de velocidad es diferente en los dos grupos de residentes?