Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
CALCULO DIFERNCIAL, UNIVERSIDAD NACIONAL AVIERTA Y A DISTANCIA
Tipo: Resúmenes
1 / 258
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
JORGE ELIECER RONDON DURAN
AUTOR
100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
OSCAR CARRILLO (Director Nacional)
WILSON CEPEDA Acreditador
'( ) (^) x ( )
D y f x D y D x
= =
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
El presente módulo fue diseñado y elaborado en el año 2006 por Jorge Eliécer Rondon Duran y Francisco Ortegón Camacho, como la primera versión. Las necesidades y actualizaciones, exigieron diseñar y alaborar una nueva versión que presentará las temáticas de manera más racional y con gran profundidad, diversos ejemplos, ejercicios diversos que permitan identificar la gran utilidad que tiene el cálculo diferencial, esto motivo una nueva versión.
Como novedades de este material es la presentación por unidades, capítulos y lecciones, que permite una fácil ubicación de temáticas específicas, según el interes del estudiante. Además, el componente práctico al final de cada unidad.
Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar públicamente bajo las condiciones siguientes:
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
Lección No 1: Generalidades:
En muchos contextos hacemos referencia a las sucesiones, El incremento bacteriano a través del tiempo, el aumento de la tasa de interés a través del tiempo, otros. Una sucesión esta referido a secuencia, luego se puede decir que una sucesión es un conjunto de valores que presenta una secuencia con una característica determinada.
Analicemos un poco la notación:
Sea n = a, a+1, a+2, a+3,… Entonces: Ua es el primer término de la sucesión y
Un el n-esimo término de la sucesión. La notación para una sucesión esta dada por:
S = { U (^) n } n (^) ≥ a
Descripción de una Sucesión: Las sucesiones se pueden describir desde tres puntos de vista:
Ejemplo No 1:
Para la sucesión U^ n =^ { n^ +^2 } n^ ≥ 1 Identificar los términos de la misma.
Solución:
Al expresar la sucesión por extensión tenemos:
El primer término: Un = 1 ={^1 +^2 }^ ={^3 }
S = { U (^) n } n (^) ≥ a
( n) son los números naturales y la imagen ( un) los números reales.
f ( x ): N → R Es decir: n → F ( n )
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
El segundo término así: Un = 2 ={^2 +^2 }^ ={^4 }
Así sucesivamente. Entonces: U^ n =^ {^3 ,^4 ,^5 ,^6 ,..., n +^2 ,...}
Vemos que conociendo el término general, se pueden obtener cada uno de los términos de la sucesión.
Ejemplo No 2:
Sea Un^ ={^1 ,^3 ,^5 ,^7 ,...} Identificar el término general.
Solución:
Descomponemos los términos para buscar un patrón de secuencia, veamos:
Un = 0 = 1 ⇒ 1 + 0 = 1 + 2 * 0 = 1
Un = 1 = 3 ⇒ 1 + 2 = 1 + 2 * 1 = 3
Un = 2 = 5 ⇒ 1 + 4 = 1 + 2 * 2 = 5
Un = 3 = 7 ⇒ 1 + 6 = 1 + 2 * 3 = 7
El patrón de secuencia es 1 + 2*n. Donde n = 0, 1, 2, 3,…
Entonces el término general es de la forma: Un =^ {^1 +^2 n } n^ ≥ 0
Ejemplo No 3:
Sea la sucesión: vn^ ={−^2 ,^4 ,−^8 ,^16 ,...} Hallar el término general.
Solución:
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
u 3 = 2 + u 2 = 2 + 7 = 9
u (^) 4 = 2 + u 3 = 2 + 9 = 11 Así sucesivamente.
Para identificar el término general, de la secuencia construida por la recurrencia se puede observar:
u 0 = 2 * 0 + 3 = 3
u 1 = 2 + u 0 = 2 * 1 + 3 = 5
u 2 = 2 + u 1 = 2 * 2 + 3 = 7
u 3 = 2 + u 2 = 2 * 3 + 3 = 9
u 4 = 2 + u 3 = 2 * 4 + 3 = 11
Término general: un = 2 n + 3
Ejemplo No 5:
Una sucesión tiene como primer término u (^) 0 =− 5 y la relación de recurrencia es de la forma:
U (^) n = Un − 1 +( 3 π− 1 )identificar los primeros términos y el término general.
Solución:
Partiendo del primer término, se va construyendo uno a uno los demás.
u 0 =− 5
U 1 = U 0 +( 3 π− 1 )=− 5 +( 3 π− 1 )
Así sucesivamente, entonces para el n-esimo término: U (^) n = U 0 + n ( 3 π− 1 )
Según el tamaño del dominio, las sucesiones pueden ser infinitas o finitas.
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
Sucesión Infinita : Una sucesión se considera infinita, si el dominio es el conjunto de los números naturales.
f ( x ): N → R Donde N = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ...
Sucesión Finita : Una sucesión se considera finita, cuando el dominio es un subconjunto de los números naturales, de tal forma que N ≤ k , para k un natural.
La sucesión:
n 2 3 4 v = ^
Es finita, para n = 1, 2, 3, 4, 5,...
El interés matemático se centra en las sucesiones infinitas, ya que son éstas las que requieren mayor análisis y describen diversos fenómenos de la naturaleza.
Lección No 2: Las Sucesiones Monótonas
El concepto de monotonía, esta relacionado con el aumento o disminución de una secuencia.
Una sucesión es monótona si la secuencia de valores aumenta o disminuye, a medida que n crece.
Lo anterior significa que deben existir dos tipos de sucesiones, las crecientes y decrecientes.
Es pertinente recordar que Un+1 es el término siguiente a Un.
Sucesiones Crecientes : Una sucesión u (^) n es creciente si, y solo si, a partir de un n 1 : u (^) n + 1 ≥ un Dicho de otra forma: un ≤ un + 1
Para que una sucesión sea creciente: un + 1 − un > 0
Sucesiones Decrecientes : Una sucesión u (^) n es decreciente si, y solo si, a partir de un n 1 : un (^) + 1 ≤ un Dicho de otra forma: un ≥ un + 1
Para que una sucesión sea decreciente: (^) un + 1 − un < 0
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
La idea es que con los argumentos expuestos, se analice la situación para dar una respuesta, esperando que sea la adecuada.
Ejemplo No 8:
Determinar si la sucesión dada es monótona (^3 1) ≥ 0
n
n (^) n
n u
Solución:
Lo que se debe hacer es mostrar que u (^) n ≤ un + 1 ⇒ un − un + 1 ≤ 0 o u (^) n ≥ un + 1 ⇒ un − un + 1 ≥ 0. En el
primer caso la sucesión es creciente y en el segundo caso la sucesión es decreciente. Si se cumplen una de las dos situaciones, la sucesión es monótona.
n
u^ n n y^3 ( 1 ) 1
− n n
n n n n n
n n
n n
n n
n
Desarrollando la última expresión racional, se obtiene:
n n n n
n n n n
Donde 0 ( 3 1 )( 3 1 )
n − n +
. Para n = 0, 1, 2, 3,… Por consiguiente la sucesión es creciente.
Conclusión: La sucesión 3 − 1
n
n un es monótona.
Lección No 3: Las Sucesiones Acotadas
La acotación tiene que ver con llegar a un límite, del cual no se puede pasar. Las sucesiones acotadas presentan esta característica.
Una idea general de acotación pueden ser los números naturales, que tiene un término primero, pero no tiene un último término, entonces si hablamos del conjunto de los números naturales, éstos tienen cotas inferiores, pero no tienen cotas superiores.
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
Ejemplo No 9:
Dada la sucesión:
n
un identificar un M que sea la mínima cota superior de la sucesión.
Solución:
Si definimos algunos términos de la sucesión, se puede observar un valor de M.
u n
Es evidente que M = 1/2 es una cota superior de la sucesión, pero hay otras cotas como 1, 2, etc.
Para el ejemplo No 9 que se analizó anteriormente, la mínima cota superior será ½, según la definición.
Ejemplo No 10:
Sea la sucesión: u (^) n = {− 2 n^2 − n + 3 } n (^) ≥ 0 identificar un M de tal forma que sea la mínima cota
superior de la sucesión.
Solución:
Si definimos algunos términos de la sucesión, se puede observar un valor de M.
Sucesiones Acotadas Superiormente:
Sea la sucesión u (^) n y sea un valor M fijo, para cualquier elemento de un , si
El valor M definido, será una cota superior de dicha sucesión.
Definición: Para toda cota superior C de u^ n , sea M una cota superior, si se cumple
que M < C, entonces M es la mínima cota superior de un^.
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
El axioma expuesto, indica que toda sucesión acotada, tiene una mínima cota superior (mínimo) y una máxima cota inferior (máximo).
Ejemplo No 12:
Sea la sucesión: (^11)
n
n (^) n
n u Establecer si es acotada o no.
Solución:
Lo que se debe hacer es mostrar que la sucesión tiene cota superior e inferior, veamos:
⇒ =
− = ,... 6
13 , 5
10 , 4
7 , 3
4 , 2
1 1
3 2 n un n
n u
Con algo de observación, se puede inferir que a medida que n crece, la sucesión tiende hacia 3. Entonces la sucesión tiene como máxima cota inferior a ½ y como mínima cota superior a 3. Por consiguiente la sucesión es acotada.
Ejemplo No 13:
Solución:
Lo que se debe hacer es mostrar que la sucesión tiene cota superior e inferior, veamos:
La sucesión tiene cota inferior pero no tiene cota superior, ya que a medida que n crece, la sucesión tiene al infinito. Por consiguiente la sucesión dada NO es acotada. Solo se puede decir que es monótona. ¿Por qué?
Axioma de Completitud
Para un conjunto no vacío de números reales, si tiene una cota inferior, por consiguiente debe tener una máxima cota inferior. De la misma manera, si el conjunto tiene una cota superior, entonces debe tener una mínima cota superior.
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
Analizar esta última afirmación con el grupo colaborativo de trabajo y compartir con el Tutor.
Demostración:
Investigar la demostración en cualquier libro de Matemáticas que desarrolle el tema de sucesiones, pero sería interesante que con los argumentos expuestos, los estudiantes en pequeño grupo colaborativo lo puedan hacer.
Lección No 4: Las Sucesiones Convergentes
La convergencia esta relacionada con la tendencia que tiene un conjunto de valores, hacia un valor dado.
En esta temática, se va a estudiar hacia donde tiende una sucesión, cuando n crece indefinidamente.
Para comprender el concepto de convergencia, analizaremos inicialmente en que consiste la vecindad.
VECINDAD:
La vecindad esta asociada a la cercanía que se desea un punto respecto a sus alrededores.
El valor δ consistente en el radio de la vecindad, nos indica la longitud que tendrá dicha vecindad.
Definición: Sea el conjunto de todos los puntos x , tal que: x −^ a <^ δ Donde δ > 0 Se dice que existe una vecindad de centro a y radio δ.
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
La situación de los teoremas mencionados, es demostrar que el límite existe, lo cual se puede hacer por teoría de límites, temática de la próxima unidad.
La siguiente definición nos muestra analíticamente cuando una sucesión es convergente.
Cuando el valor L no existe, entones se dice que la sucesión diverge. En caso que Un converge
a L, entonces se dice que L es el límite de la sucesión y se escribe: Limn → α^ Un^ = L
- ) Sucesiones que convergen a cero:
Una sucesión converge a cero, si existe un número real ε^ >^0 , tan pequeño como se quiera, luego es posible hallar un número N tal que si n > N, entonces:
Teorema:
Sea vn^ una sucesión decreciente y se asume que N es una cota
inferior de la sucesión, entonces v^ n es convergente si se puede mostrar que: Lim { v (^) n } N n
≥ → ∞
Teorema: Sea u^ n una sucesión creciente y se asume que M es
una cota superior de la sucesión, entonces u^ n es convergente si se puede mostrar que: (^) Lim { u (^) n } M n
≤ → ∞
0; además, un N entero, tal que para toda n:
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL
Para mostrar que el límite existe, se debe buscar una relación entre n y ε, de tal manera que n = f(ε). Si se logra encontrar dicha relación, se demuestra que el límite existe, por consiguiente la sucesión converge a cero.
Ejemplo No 16:
Dada la sucesión:
un (^) n 2 Demostrar que la sucesión converge a cero.
Solución:
Sea ε > 0, tan pequeño como se quiera, luego debe existir un número N tal que: Si n > N
Ahora <^ ε
n^2 + > ¿ Qué opinas? Entonces: 0 4
n^2 + > luego: + 4 <^ ε
n^2
Aplicando el recíproco: ε
n + Despejando n , se obtiene: ε
2 − 4 ε n =
Como se puede observar, existe una relación entre n y ε, luego el límite si existe, por consiguiente la sucesión converge a cero.
En la última expresión, el valor mayor entero de la raíz será N y así la condición de que n > N, se cumple.
Ejemplo No 17:
Sea la sucesión: 2
n
u (^) n (^) n Dado un numero positivo ε, hallar un natural N tal que ni n
Solución:
< ⇒ { } = 0 n (^) n → ∞ n u ε Lim u
