Guía de clase: Integral indefinida, Apuntes de Cálculo

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GUÍA DE CLASE

INTEGRAL INDEFINIDA

Versión: 001

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GUÍA DE CLASE

 - Versión: INTEGRAL INDEFINIDA - Página: 2 de 

• INTRODUCCIÓN TABLA DE CONTENIDO
• ANTIDERIVADA (INTEGRAL DIRECTA)
  • REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
  • FÓRMULAS BÁSICAS
• ANTIDERIVADA
• INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
• MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y CAÍDA LIBRE
• INTEGRACIÓN POR PARTES
• INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
• INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
• INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
• Bibliografía

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Página: 4 de 45

ANTIDERIVADA (INTEGRAL DIRECTA)

El símbolo de la integración es una “s alargada” ∫ que representa una sumatoria. Es el límite de una suma

Definición de antiderivada o primitiva: una función F se denomina antiderivada o primitiva de la función f en un

intervalo I.

Si 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀(𝑥) en I.

Ejemplo: si F es una función definida por

3

2

3

2

2

2

Entonces 𝐹′(𝑥) es la derivada de 𝐹(𝑥) Entonces 𝐺′(𝑥) es la derivada de 𝐺(𝑥)

𝐹(𝑥) es la antiderivada de 𝐹′(𝑥) 𝐺(𝑥) es la antiderivada de 𝐺′(𝑥)

En realidad, cualquier función determinada por 4 𝑥

3

• 𝑥

2

• 𝐶 (C = constante) es una antiderivada de f

TEOREMA 1: REPRESENTACIÓN DE ANTIDERIVADAS O PRIMITIVAS.

Si F es una antiderivada particular de f en un intervalo I entonces cada antiderivada de f en I está dada por

Donde C es una constante arbitraria y todas las antiderivadas de f en I pueden obtenerse a partir de (1)

asignando valores arbitrarios a C.

La antiderivación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una

función dada. El símbolo ∫ denota la operación de antiderivación y se escribe

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REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

Tabla de derivadas Tabla de integrales

𝑑

𝑑𝑥

[𝑐] = 0

𝑑

𝑑𝑥

[𝑥] = 1

𝑑

𝑑𝑥

[𝑘𝑓(𝑥)] = 𝑘𝑓′(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥

[

]

[

]

𝑑

𝑑𝑥

[

𝑛

]

𝑛− 1

𝑛

𝑥

𝑛+ 1

𝑛+ 1

• 𝑐 con 𝑛 ≠ − 1

𝑑

𝑑𝑥

[𝑙𝑛 𝑙𝑛 |𝑥| ] =

1

𝑥

1

𝑥

− 1

𝑑

𝑑𝑥

[

𝑥

]

𝑥

7.∫ 𝑒

𝑥

𝑥

𝑑

𝑑𝑥

[

𝑥

]

𝑥

𝑥

𝑎

𝑥

𝑙𝑛

| 𝑎

|

𝑑

𝑑𝑥

[𝑠𝑒𝑛𝑥] =𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑑

𝑑𝑥

[𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ] = −𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑

𝑑𝑥

[𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑥 ] = 𝑥

2

𝑑

𝑑𝑥

[𝑐𝑜𝑡 𝑐𝑜𝑡 𝑥 ] = −𝑥

2

𝑑

𝑑𝑥

[

]

𝑑

𝑑𝑥

[

]

𝑑

𝑑𝑥

[

− 1

]

1

√ 1 −𝑥

2

1

√ 1 −𝑥

2

− 1

𝑑

𝑑𝑥

[𝑥 ] =

− 1

√ 1 −𝑥

2

− 1

√ 1 −𝑥

2

− 1

𝑑

𝑑𝑥

[

]

1

𝑥

2

• 1

1

𝑥

2

• 1

− 1

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ANTIDERIVADA

Ejemplos de integral directa

Ejemplo 1: integrar la siguiente función ∫

Solución: Se aplican las reglas básicas (4), después la (3) y por último la (5)

1 + 1

𝟐

Ejemplo 2: integrar la siguiente función ∫

− 3

− 2

− 1

Solución: Se aplican las reglas básicas (4), la (5) y la (6)

− 3

− 2

− 1

− 3

− 2

− 1

− 2

− 1

𝟐

Ejemplo 3: integrar la siguiente función ∫ √

Solución: Se pasa la raíz a potencia, luego se aplica la regla básica (5), por último, se vuelve a pasar a

raíz

1

2

⁄

3

2

⁄

3

2

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Ejemplo 4: integrar la siguiente función ∫ 𝑥

2

Solución: Se aplica la propiedad distributiva y luego se integra.

2

3

4

4

𝑥

5

5

𝑥

2

2

𝟓

𝟐

Ejemplo 5: integrar la siguiente función ∫

2

Solución: Se resuelve el binomio y luego se integra.

2

2

2

2

𝟑

𝟐

Ejemplo 6: integrar la siguiente función ∫

𝑥

2

• 1

√𝑥

Solución: Subir el denominador con exponente negativo, distributiva y luego se integra.

2

2

−

1

2

⁄

3

2

⁄

−

1

2

⁄

5

2

⁄

1

2

⁄

𝟐

Ejemplo 7: integrar la siguiente función ∫

9 𝑥

2

• 30 𝑥+ 25

6 𝑥+ 10

Solución: Se simplifica la función racional y luego se integra.

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

TEOREMA 2. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

Sea g una función cuyo recorrido o rango es un intervalo I , y sea 𝑓 una función continua en I. Si g es

derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de f en I , entonces

′

Si 𝑢 = 𝑔

, entonces 𝑑𝑢 = 𝑔

′

Ejemplos de integral por sustitución

Ejemplo 1: integrar la función que se derivó al inicio ∫ 2 𝑥( 1 + 𝑥

2

9

Solución:

Se realiza la sustitución 𝑢 = 1 + 𝑥

2

Luego se deriva 𝑑𝑢 = 2 𝑥𝑑𝑥

Se despeja el diferencial

𝑑𝑢

2 𝑥

= 𝑑𝑥 Se reemplazan tanto la u como el dx en la integral

2

9

9

𝑑𝑢

2

̸ 𝑥̸

9

𝑢

10

10

se sustituye nuevamente la u ∧ queda

𝟐

𝟏𝟎

que es la misma función que derivamos inicialmente.

Ejemplo 2: integrar la siguiente función ∫

2

Solución:

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Se realiza la sustitución 𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑡 Luego se deriva 𝑑𝑢 = 𝑏𝑑𝑡

Se despeja el diferencial

𝑑𝑢

𝑏

= 𝑑𝑡 Se reemplazan tanto la u como el 𝑑𝑡 en la integral

2

2

2

3

𝟑

Ejemplo 3: integrar la siguiente función ∫

1

( 2 −𝑦

)

3

Solución:

Se realiza la sustitución 𝑢 = 2 − 𝑦 Luego se deriva 𝑑𝑢 = −𝑑𝑦

Se despeja el diferencial −𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 Se reemplazan tanto la u como el 𝑑𝑦 en la integral

3

3

− 3

− 2

𝟐

Ejemplo 4: integrar la siguiente función ∫

𝑦+ 2

𝑦

2

• 4 𝑦

Solución:

Se realiza la sustitución 𝑢 = 𝑦

2

• 4 𝑦 Luego se deriva 𝑑𝑢 = ( 2 𝑦 + 4 )𝑑𝑦

Se despeja el diferencial

𝑑𝑢

2 (𝑦+ 2 )

= 𝑑𝑦 Se reemplazan tanto la u como el 𝑑𝑦 en la integral

2

𝟐

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Ejemplo 8: integrar la siguiente función ∫ 𝑥

5

3

Solución:

Se realiza la sustitución 𝑢 = 𝑥

3

• 1 Al despejar el diferencial

𝑑𝑢

3 𝑥

2

Al reemplazar queda una 𝑥

3

en el numerador por lo cual se realiza una doble sustitución, se despeja la

3

de la sustitución inicial 𝑥

3

= 𝑢 − 1 Se reemplaza la u, la 𝑥

3

∧ el dx en la integral

5

3

5

1

2

⁄

2

3

1

2

⁄

1

2

⁄

3

2

⁄

1

2

⁄

5

2

⁄

3

2

⁄

𝟑

𝟓

𝟑

𝟑

Ejemplo 9: integrar la siguiente función ∫ √

2

𝑦

𝑑𝑦

𝑦

2

Solución:

Se realiza la sustitución 𝑢 = 3 −

2

𝑦

Luego se deriva 𝑑𝑢 = 2 𝑦

− 2

2

𝑦

2

Se despeja el diferencial

𝑦

2

2

𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 Se reemplazan tanto la u como el 𝑑𝑦 en la integral

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2

1

2

⁄

2

2

1

2

⁄

3

2

⁄

𝟑

Ejemplo 10: integrar la siguiente función ∫

𝑒

𝑥

1 +𝑒

2 𝑥

Solución:

Se realiza la sustitución 𝑢 = 𝑒

𝑥

Luego se deriva 𝑑𝑢 = 𝑒

𝑥

2

2 𝑥

Se despeja el diferencial

𝑑𝑢

𝑒

𝑥

= 𝑑𝑥 Se reemplazan tanto la u como el 𝑢

2

2 𝑥

∧ 𝑑𝑥 en la

integral

𝑥

2 𝑥

𝑥

2

𝑥

2

− 1

−𝟏

𝒙

Con base en lo estudiado y guiándose con los ejemplos 1 al 10, proceda a resolver los siguientes ejercicios.

Note que también se le dan las respuestas para que confronte dichos resultados.

Realizar las siguientes integrales por sustitución.

Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta

2

2

3

3

2

3

3

3

𝑥

√ 1 − 4 𝑥

2

2

− 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠 𝑥| + 𝑐 o

𝑥

2

• 2 𝑥

√ 𝑥

3

• 3 𝑥

2

• 1

3

2

𝑠

𝑠+ 1

2

5

√

(𝑥 + 1 )

5

−

2

3

√

(𝑥 + 1 )

3

+c

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Con las condiciones iniciales 𝑥( 0 ) = 9 se halla el valor de la constante 𝑐

4 ( 0 )

3

3

2

− 6 ( 0 ) + 𝑐 ⇒ 𝑐 = 9 Entonces la ecuación de posición es

3

2

Con base en lo estudiado y guiándose con el ejemplo 1 , proceda a resolver los siguientes ejercicios. Note que

también se le dan las respuestas para que confronte dichos resultados.

Ejercicios:

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, a los t segundos, x metros es la distancia dirigida de la partícula

desde el origen, 𝑣

𝑚

𝑠

es la velocidad de la partícula y 𝑎

𝑚

𝑠

2

es la aceleración de la partícula. Determine la

ecuación de la posición y la velocidad en términos de t

𝑡

2

2

5 𝑡

2

2

𝑡

3

3

2

17 𝑡

2

2

2

𝑡

4

12

𝑡

3

3

𝑡

3

3

2

2

7

6

𝑡

3

2

𝑡

4

12

7

12

3 𝑡

2

2

𝑡

3

3

𝜋

4

𝑥 = √

2 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 ( 2 𝑡 −

𝜋

4

) 𝑣 = − 2 √

2 𝑠𝑒𝑛 ( 2 𝑡 −

𝜋

4

)

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8. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 39. 2

𝑚

𝑠

considere que la única fuerza que actúa sobre la piedra es la aceleración debida a la gravedad.

Determine:

a. Qué tan alto llegara la piedra. 𝑦 = 78. 6 𝑚

b. Qué tiempo le tomara a la piedra llegar hasta el suelo 𝑡 = 8 𝑠

c. Determine la rapidez de la piedra al llegar al suelo. 𝑣 = 39. 2

𝑚

𝑠

9. Realice el ejercicio 9 considerando ahora que la velocidad inicial es de 20

𝑝𝑖𝑒

𝑠

. Determine:

a. Qué tan alto llegara la piedra. 𝑦 = 6. 25 𝑝𝑖𝑒𝑠

b. Qué tiempo le tomara a la piedra llegar hasta el suelo 𝑡 = 1. 25 𝑠

c. Determine la rapidez de la piedra al llegar al suelo. 𝑣 = 20

𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑠

10. Realice el ejercicio 9 considerando ahora que la velocidad inicial es de 5

𝑚

𝑠

. Determine:

a. Qué tan alto llegara la piedra. 𝑦 = 1. 27 𝑚

b. Qué tiempo le tomara a la piedra llegar hasta el suelo 𝑡 = 1. 02 𝑠

c. Determine la rapidez de la piedra al llegar al suelo. 𝑣 = 5

𝑚

𝑠

11. Si un objeto se lanza hacia arriba desde una altura inicial de 305m a una velocidad de 15

𝑚

𝑠

encuentre

su velocidad y altura 4s. después.

𝑚

𝑠

12. En la superficie de la luna, a aceleración debida a la gravedad es 1. 6

𝑚

𝑠

2

. Si un objeto se lanza hacia

arriba desde una altura de 300m, a una velocidad de 17

𝑚

𝑠

, encuentre su velocidad y su altura 4.5s más

tarde.

𝑚

𝑠

13. Hallar la altura máxima del ejercicio 13

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b. ¿Cuál es su máxima altura? 𝑦 = 85 𝑝𝑖𝑒

c. ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en pasar por la azotea del edificio en su regreso 𝑡 = 2. 5 𝑠

d. ¿Cuál es la velocidad en ese instante? 𝑣 = 40

𝑝𝑖𝑒

𝑠

e. ¿Cuánto tardará la piedra en llegar al suelo? 𝑡 = 3. 55 𝑠

f. ¿Con qué rapidez golpeará la piedra el suelo? 𝑣 = 73. 6

𝑝𝑖𝑒

𝑠

g. ¿Cuál es la velocidad en ese instante? 𝑣 = 40

𝑝𝑖𝑒

𝑠

h. ¿Cuánto tardará la piedra en llegar al suelo? 𝑡 = 3. 55 𝑠

i. ¿Con qué rapidez golpeará la piedra el suelo? 𝑣 = 73. 6

𝑝𝑖𝑒

𝑠

INTEGRACIÓN POR PARTES

La Integración por sustitución corresponde a la regla de la cadena, la Integral que corresponde a la regla del

producto se llama integración por partes.

Regla del producto 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥

[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]

[𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

Si hacemos 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)

Reemplazando en la ecuación

tenemos la fórmula de integración por partes

TEOREMA 3: INTEGRACIÓN POR PARTES.

Si 𝑢 ∧ 𝑣 son funciones de 𝑥 ∧ tienen derivadas continuas, entonces

Mediante la elección adecuada de 𝑢 ∧ 𝑑𝑣 puede evaluarse más fácilmente la segunda integral que la

primera. El objetivo es obtener una integral más sencilla que la inicial.

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Puede utilizarse el acrónimo LIATE como una pauta para escoger 𝑢 en la integral.

Logarítmica

Inversa

Algebraica

Trigonométrica

Exponencial

Ejemplos de integral por partes

Ejemplo 1: integrar la siguiente función ∫

Solución:

Se realiza la sustitución

Luego se reemplaza en la fórmula

La segunda integral debe quedar más sencilla que la primera.

Integral directa

Ejemplo 2: integrar la siguiente función ∫ 𝑥𝑒

𝑥

Solución:

Se realiza la sustitución

𝑥

𝑥

Luego se reemplaza en la fórmula

La segunda integral es directa.

𝑥

𝑥

𝑥

𝒙

𝒙