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Modelo matemático de un motor DC
Daniel De la Cruz López, David Esteban Bedoya Girón, Manuel Gómez Bedoya, Maria Lucía Canal Salgado.
Universidad Autónoma de Occidente Cali, Colombia daniel.de@uao.edu.co david_esteban.bedoya@uao.edu.co manuel.gnmez@uao.edu.co maria.canal@uao.edu.co Resumen - El presente documento tiene como finalidad analizar, estimar y modelar matemáticamente el comportamiento dinámico de un motor DC de imán permanente. La investigación está basada en una metodología teórico-experimental, en la cual se abordan los resultados obtenidos en laboratorio de un motor DC Quanser para la realización de modelos matemáticos, en particular, que permitan comprender y analizar simultáneamente la respuesta temporal en cada uno de los modelos descritos, esto mediante simulaciones en un sistema de cómputo numérico conocido como Matlab, así como también, identificar los parámetros incidentes en la función de transferencia que describe el comportamiento del sistema, sus respectivos polos y ceros, su representación en espacio de estados y la respuesta impulso y escalón; de tal manera que se permita realizar una comparación entre el modelo teórico y el experimental. Lo anterior como propósito de ampliar el campo del conocimiento de los ingenieros en formación referente al modelamiento dinámico, representativo y funcional de sistemas cotidianos y afines a la Ingeniería. Palabras clave - motor DC, sistema dinámico, respuesta temporal, estados. Abstract - The purpose of this document is to analyze, estimate and mathematically model the dynamic behavior of a permanent magnet DC motor. The research is based on a theoretical-experimental methodology, in which the results obtained in the laboratory of a DC Quanser motor are approached for the realization of mathematical models, in particular, that allow understanding and analyzing simultaneously the time response in each of the described models, this by means of simulations in a numerical computing system known as Matlab, as well as identifying the incident parameters in the transfer function that describes the behavior of the system, its respective poles and zeros, its representation in state space and the impulse and step response; in such a way that a comparison between the theoretical model and the experimental one can be made. The purpose of the above is to broaden the field of knowledge of engineers in training regarding the dynamic, representative and functional modeling of everyday systems related to engineering. Keywords - DC motor, dynamic system, temporal response, states.
I. INTRODUCCIÓN
Actualmente, dentro de la electrónica existe una gran diversidad de elementos que pueden contribuir con el diseño, la implementación y el desarrollo de equipos electrónicos. De los elementos que pueden tener un buen aporte para dichos equipos son los motores de corriente continua (DC), en donde su función es la conversión de energía eléctrica en energía mecánica, lo cual se hace posible mediante la rotación de un campo magnético que se encuentra alrededor de un bobinado que puede tornarse de formas diferentes. Por otro lado, es preciso resaltar que en el momento en que la corriente eléctrica pasa por la bobina, este tiende a comportarse como un imán, en donde sus polos se repelen o se atraen con el imán que se encuentra dentro de estos motores de corriente directa, posteriormente al dar media vuelta, se presenta una interrupción del paso de corriente y la bobina ya no asume el rol de imán, es decir pierde su magnetismo, pero por inercia se sigue moviendo hasta que se complete una vuelta completa y así logrando que la corriente pase nuevamente y repitiendo el ciclo, lo cual hace que el motor rote constantemente. Con base a lo anterior, la realización de este proyecto pretende realizar diferentes procesos enfocados en estos tipos de motores, tales como su modelamiento matemático, tanto teórico como experimental y posteriormente la examinación de su respuesta temporal mediante su simulación en Matlab [1], todo esto teniendo en cuenta los diversos factores de error y con el fin afianzar los conocimientos vistos durante las horas de teoría. II. MARCO TEÓRICO Motor DC El motor de corriente continua es una máquina que tiene como característica transformar la energía eléctrica en energía mecánica, provocando un movimiento rotatorio. El sentido de giro de un motor DC depende del sentido relativo de las corrientes circulantes por los devanados inductor e inducido y el cambio de giro del motor DC se consigue invirtiendo el sentido del campo magnético o de la corriente del inducido, el funcionamiento lo ilustra la Figura 1 [2].
Fig. 1. Funcionamiento de un motor [2] Modelo electromecánico El motor DC se representa esquemáticamente de la siguiente manera: Fig. 2. Modelo electromecánico motor DC [3]. Donde:
- um(t) = Tensión de entrada al motor
- i(t) = Corriente eléctrica del motor, eb(t) la fuerza contraelectromotriz
- Rm = Resistencia terminal
- Lm = Inductancia del rotor
- τm(t) = Torque entregado por el motor
- ω’m(t) = Aceleración angular del motor
- Jm = Inercia del rotor
- Bm = Constante de fricción viscosa. La ecuación eléctrica del motor tiene la forma de: 𝑢𝑚(𝑡) = 𝑅𝑚𝑖(𝑡) + 𝐿𝑚^ 𝑑𝑖(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑒𝑏(𝑡) La ecuación mecánica del motor es: τ (^) 𝑚(𝑡) = 𝐽𝑚ω'𝑚(𝑡) + 𝐵𝑚ω (^) 𝑚(𝑡) Donde Bm es la constante de fricción viscosa y esta es igual a [3]:
𝐽𝑚 𝑡𝑚^ − 𝑘𝑎𝑘𝑚 𝑅𝑚 y tm es la constante de tiempo mecánica y esta se satisface la siguiente ecuación [4]: 𝑡𝑚(𝑠) = 𝐽𝑚𝑅𝑚 𝑘𝑚𝑘𝑎 Un motor DC satisface las siguientes relaciones de acoplo electromecánico : 𝑒𝑏 = 𝑘𝑎ω𝑚(𝑡) τ𝑚 = 𝑘𝑚𝑖(𝑡) Donde ka y km son constantes del motor, constante de la fuerza contraelectromotriz y constante de par respectivamente. Cuando estas se expresan en el mismo sistema de unidades tienen el mismo valor, es decir, ka= km [3]. Motor DC Quanser El control de motor de CD es una unidad implementada para la enseñanza del estado del arte del servo control del motor en distintas formas, en el cual el sistema, por simplicidad, permite la configuración de parámetros, tales como la posición del motor, la velocidad y la corriente usando diversas interpretaciones detalladas en el manual de ingeniería para motor Quanser [5]. El Quanser es muy utilizado en el campo universitario a nivel mundial gracias a sus aplicaciones en el área de Ingeniería, pues en últimas es un dispositivo en el cual se tiene la capacidad de realizar o proporcionar una entrada particular y a su vez disponer de la señal de respuesta del motor DC, el cual se encuentra en el circuito Quanser mostrado en la Fig. 3 [6]. Fig. 3. Componentes de un circuito Quanser para control de motor DC. [5] Datos Motor DC Quanser
𝑉(𝑠) = ω(𝑠) ( 𝐿𝐽𝑠^2 +𝐿𝐵𝑠+𝑅𝐽𝑠+𝑅𝐵+𝑘𝑎𝑘 𝑘𝑚^ ) Finalmente, se obtiene la función de transferencia ω(𝑠)𝑉(𝑠). ω(𝑠) 𝑉 (𝑠) =^ 𝑘𝑚 𝐿𝐽𝑠^2 +𝐿𝐵𝑠+𝑅𝐽𝑠+𝑅𝐵+𝑘𝑎𝑘𝑚 𝑉 (𝑠)^ ω(𝑠) =^ (10) 𝑘𝑚 𝐿𝐽𝑠^2 +(𝐿𝐵+𝑅𝐽)𝑠+𝑅𝐵+𝑘𝑎𝑘𝑚 En su forma canónica: 𝑉 (𝑠)^ ω(𝑠) =^ (11) 𝑘𝑚 𝐿𝐽 𝑠^2 + (𝐿𝐵+𝑅𝐽)𝐿𝐽 𝑠+ 𝑅𝐵+𝑘 𝐿𝐽𝑎𝑘𝑚 Representación en espacio de estados Para la representación en espacio de estados se tienen en cuenta las ecuaciones del sistema halladas anteriormente. 𝑉(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿 (12) 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 (𝑡) + 𝑒𝑎(𝑡) 𝑇𝑚(𝑡) = 𝐽 (13) 𝑑ω(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐵ω(𝑡) 𝑒𝑎(𝑡) = 𝑘𝑎ω(𝑡) (14) 𝑇𝑚(𝑡) = 𝑘𝑖(𝑡) (15) A continuación se definieron los estados para el sistema, donde se tiene que: 𝑋1 = ω 𝑋2 = 𝑖 𝑋1̕ = ω' 𝑋2̕ = 𝑖 ̕̕ En primer lugar, se reemplaza la ecuación 15 en la ecuación
𝑇𝑚(𝑡) = 𝐽 𝑑ω(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐵ω(𝑡) 𝐽 𝑑ω(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐵ω(𝑡) − 𝑇𝑚(𝑡) 𝐽 (16) 𝑑ω(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐵ω(𝑡) − 𝑘𝑖(𝑡) Después, se reemplazan los estados X1, X2 y 𝑋1̕ en la ecuación 16.
𝐵𝑋 𝐽 −^ 𝑘𝑋 𝐽 Luego, se reemplaza la ecuación 14 en la ecuación 12. 𝑉(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿 𝑑𝑖(𝑡)𝑑𝑡 (𝑡) + 𝑒𝑎(𝑡) 𝐿 ) 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 (𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡)^ + 𝑒𝑎(𝑡)^ − 𝑉(𝑡 𝐿 𝑑𝑖(𝑡)𝑑𝑡 (𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) + 𝑘𝑎ω(𝑡) − 𝑉(𝑡 ) (17) En cuarto lugar, se reemplazan los estados X1, X2 y 𝑋2̕en la ecuación 17. 𝐿𝑋2̕ = 𝑅𝑋2 + 𝑘𝑎𝑋1 − 𝑉(𝑡 ) 𝑋2̕ = 𝑅𝑋2𝐿 + 𝑘𝑎𝑋 𝐿 −^ 𝑉(𝑡) 𝐿 Finalmente, se obtienen los siguientes espacios de estados. 𝑋1̕ = 𝐵𝑋 𝐽 −^ 𝑘𝑋 𝐽 𝑋2̕ = 𝑅𝑋 𝐿 +^ 𝑘𝑎𝑋 𝐿 −^ 𝑉(𝑡) 𝐿 La representación en espacio de estados se observa en la figura 5. Fig. 5. Representación espacio de estados. Conversión de parámetros al Sistema Internacional de unidades (SI) Resistencia terminal Rm 1 10.6 𝑆 = 0. 0943 Ω Inductancia del motor Lm
- 082 𝑚𝐻 × 1𝐻 1000 𝑚𝐻 = 0. 82 × 10 − 𝐻 Inercia del rotor Jm 11, 6 𝑔𝑚 𝑐𝑚 2 × (^) 1000 𝑔1𝐾𝑔 × 0.0001𝑚 2 1 𝑐𝑚^2
= 1. 16 × 10
− 𝐾𝑔 𝑚 2
Cálculo constante de fricción viscosa B La constante de fricción viscosa B es igual a: 𝐵 = 𝐽 𝑡𝑚^ −^ 𝑘𝑎𝑘𝑚 𝑅 Para poder hallar B, se debe calcular primero la constante de tiempo mecánica tm, la cual es igual a: 𝑡𝑚(𝑠) = 𝐽𝑚𝑅𝑚 𝑘𝑚𝑘𝑎 Reemplazando: 𝑡𝑚(𝑠) = 1.16×10−6×0. 0.052×0. 𝑡𝑚(𝑠) = 4. 04 × 10 − Como ya se calculó tm , se procede reemplazar en la ecuación de Bm: 𝐵 = 1.16×10− 4.04 ×10−^
0.052×0.
𝐵 = 3. 84 × 10 − Cálculo constante de fuerza electromotriz ka Para el cálculo de la constante de fuerza electromotriz ka se tiene que esta fuerza es igual o aproximada a la constante del par motor cuando se expresan en el mismo sistema de unidades, es decir: 𝐾𝑎 = 𝐾𝑚 𝐾𝑎 = 0. 052 𝑉 (^) 𝑟𝑎𝑑𝑆 Tabla 2. Parámetros en el Sistema Internacional de unidades Parámetro Valor Unidades km 0.052 Nm/A R 0. 0943 Ω L (^) 0. 82 × 10−3^ H J (^) 1. 16 × 10−6^ Kg m^2 B (^) 3. 84 × 10−5^ Nms km 0. 052 Vs/rad tm (^) 4. 04 × 10−5^ s Sensibilidad 1.5 V/1000 rpm Cálculo velocidad angular ω Para el cálculo de la velocidad angular, se tuvo en cuenta los voltajes de salida Vs entregado por el modelo experimental para diferentes tiempos y estímulos y se realizó el siguiente procedimiento para cada uno de ellos: ω = 𝑉𝑠 × 1000 𝑟𝑝𝑚 1.5 𝑉 ×^ 2π 1 𝑟𝑒𝑣 ×^ 1 𝑟𝑒𝑣 60 𝑠
𝑉𝑠×1000 𝑟𝑝𝑚×2π 1.5 𝑉×60𝑠 Modelo experimental Para el modelo experimental se utilizaron los datos proporcionados por el docente, como se dijo anteriormente, y se implementó el siguiente código en el software cómputo numérico Matlab para su simulación y de esta manera obtener la respuesta escalón e impulso del sistema. Fig. 6. Código modelo experimental. Polos y estabilidad Para la determinación de los polos y ceros del sistema se realizó el código de programación de Matlab descrito en la figura 7, en el cual se tuvo en cuenta la cantidad de estos detallados en la función de transferencia experimental. Fig. 7. Código polos y estabilidad. Modelo teórico Con base en los datos proporcionados por el manual de Quanser referente a los parámetros internacionales del motor abordado a lo largo del trabajo y los cálculos realizados previamente se procedió a realizar la programación en Matlab del modelo teórico como se muestra a continuación. Fig. 8.. Código modelo teórico. IV. RESULTADOS, ANÁLISIS Y DISCUSIÓN Función de transferencia
Fig. 15. Respuesta al impulso modelo teórico. Teniendo en cuenta las simulaciones realizadas en el sistema de cómputo número conocido como Matlab, se observa que los modelos teórico y experimental presentan una gran diferencia en cuanto al valor final de estabilización, ya que para el modelo experimental es 58.4 mientras que para el teórico es 19.2. Cabe resaltar que el modelo experimental presenta un comportamiento de un sistema sobreamortiguado determinado por la gráfica resultante, mientras que para el modelo teórico se presenta una respuesta oscilatoria (sistema subamortiguado). En este orden ideas, se realizaron los respectivos cálculos comparando polinomios entre la función de transferencia del modelo experimental y el teórico, con el fin de determinar mediante un despeje de ecuaciones, los valores acondicionados para la función de transferencia del sistema teórico y definir con precisión los valores necesarios para obtener un comportamiento similar entre los modelos. El procedimiento algebraico se detalla a continuación: Se iguala la ecuación teórica obtenida en su forma canónica y la ecuación experimental obtenida en el software MatLab también en su forma canónica. 1.055×10− 𝑆^2 +450𝑆+
𝑘𝑚 𝐿𝐽 𝑠^2 + (𝐿𝐵+𝑅𝐽)𝐿𝐽 𝑠+ 𝑅𝐵+𝑘𝑎𝑘𝑚 𝐿𝐽 Para el numerador: 𝑘𝑚 𝐽𝐿 = 1. 055 × 10 − Despejando JL: 𝐽𝐿 =
1.055×10− 𝐽𝐿 = 4. 93 × 10 − Despejando J: 𝐽 = 4.93×10− 𝐿 Tomando L del sistema internacional para motor Quanser: 𝐽 = 4.93×10− 0.82×10−
𝐽 = 6. 011 × 10
− 𝐾𝑔𝑚 2 Para el coeficiente de grado 1 en el denominador: 𝐿𝐵+𝑅𝐽 𝐽𝐿 = 450 Despejando RJ: 𝑅𝐽 = (450 × 𝐽𝐿) − 𝐿𝐵 Despejando R: 𝑅 = (450×𝐽𝐿)−𝐿𝐵𝐽 Tomando el valor de J hallado anteriormente: 𝑅 = (450×4.93× −7)−(0.82×10−3×3.84×10−5) 6.011×10− 𝑅 = 0. 369 Ω Para el coeficiente de menor grado en el denominador: 𝑅𝐵+𝐾𝑎𝐾𝑚 𝐽𝐿 = 1806 Despejando 𝐾𝑎𝐾𝑚: 𝐾𝑎𝐾𝑚 = (1806 × 𝐽𝐿) − 𝑅𝐵 Despejando 𝐾𝑎: 𝐾𝑎 = (1806×𝐽𝐿)−𝑅𝐵𝐾 𝑚 𝐾𝑎 = (1806×4.93× −7)−(0.369×3.84×10−5)
𝐾𝑎 = 0. 01685 𝑉𝑠/𝑟𝑎𝑑 La función de transferencia, dada por Matlab para el modelo teórico con los datos hallados previamente es: 1.055×10− 𝑆^2 +450.1𝑆+ Para la función de transferencia del modelo teórico acondicionado se tienen las nuevas gráficas que describen el sistema como respuesta escalón y respuesta impulso. Las figuras 16 y 17 ilustran dichas respuestas en ambos modelos. Fig. 16. Comparación respuesta al escalón modelo teórico acondicionado vs modelo experimental.
Fig. 17. Comparación respuesta al impulso modelo teórico acondicionado vs modelo experimental. Con base en lo anterior, se observa que es posible estimar el modelo experimental con ciertas adecuaciones del modelo teórico en cuanto a los parámetros internacionales del motor Quanser, de tal manera que se logre tener un comportamiento similar de los modelos en lo que corresponde tanto a sus funciones de transferencia como a las gráficas resultantes en la respuesta escalón e impulso. Así pues, el valor final de estabilización que toman ambos casos es el del modelo experimental en ambas respuestas (escalón e impulso). Los parámetros acondicionados que permitieron dicho análisis son los siguientes: Tabla 3. Parámetros acondicionados. Parámetros Valor Unidades km 0.052 Nm/A R 0.369 Ω L (^) 0. 82 × 10−3^ H J (^) 6. 011 × 10−4^ Kg m^2 B (^) 3. 84 × 10−5^ Nms ka 0. 01685 Vs/rad Montaje y caracterización de un motor DC en la realidad: Medición: Existen ciertos parámetros en la medición que se pueden lograr con facilidad gracias a los equipos de laboratorio de electrónica como lo son los voltímetros y los medidor de inductancia estándares, por lo que parámetros como la resistencia R y la inductancia L pueden ser medidos con facilidad y de manera directa en un montaje real. En cuanto a la inercia del motor J y la fuerza electromotriz ka si es necesario realizar un cálculo algebraico (indirecto). Variación: En cuanto a la variabilidad de los parámetros, los que posiblemente puedan ser sometidos a cambios reales son la resistencia R y la inductancia L. Según el entorno: El parámetro variable según el entorno físico en donde se realiza el montaje es el coeficiente de fricción viscosa B, donde por condiciones del medio como la humedad, gravedad, presión atmosférica y factores climáticos este parámetro se ve alterado. V. CONCLUSIONES
- Se pudo observar y concluir que el motor de corriente continua Quanser presenta un comportamiento estable, ya que, al observar sus polos, se puede determinar que ambos son reales negativos. Además el motor, en respuesta a un escalón y a un impulso, se comporta como un sistema sobreamortiguado de segundo orden, donde tiende a estabilizarse lentamente en un valor determinado.
- Fue posible observar que los parámetros del motor DC Quanser, como lo son la resistencia terminal y la inductancia, pueden variar debido a un desgaste o a diferentes factores, así mismo, el parámetro calculado de la fricción viscosa también puede ser diferente dependiendo de las condiciones del entorno, adicionando a esto la alta complejidad que conlleva su medición.
- Los modelos teórico y experimental inicialmente presentaron comportamientos diferentes, tanto en su naturaleza de sistema de segundo orden como en el valor final de estabilización, por lo que fue necesario realizar diversos ajustes en lo que corresponde a los parámetros incidentes en la función de transferencia de la velocidad angular respecto a la tensión, a causa de las condiciones descritas anteriormente.
- La adecuación del modelo teórico con base en el modelo experimental permitió establecer los valores necesarios para modelar el sistema con similitud en ambas representaciones (teórico y experimental), con los cuales se identificó que un motor DC Quanser está determinado por un sistema de segundo orden sobreamortiguado con un comportamiento estable.
- La caracterización y montaje en la realidad de sistemas como el modelamiento de un motor DC es una tarea bastante compleja, sobretodo en la búsqueda y obtención de modelos teórico-experimental similares que sustenten su buena representación dinámica, lo cual amerita desafíos en el campo de la Ingeniería para resolver problemas en diversas especialidades. REFERENCIAS [1] MatLab. MathWorks, 1994. [2] J. Bautista Medina, Jcb-pi El Scaner Aéreo. Bogotá, 2013, Pp. 43 - 50.
