PARCIAL 1:
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRANTES:
ESTEBAN MEJIA MESA
LUIS VILLADIEGO GONZALES
ISAAC DIAZ LARA
PRESENTADO A:
INGENIERO LUIS GOMEZ MONGUA
UNIVERSIDAD DE SUCRE
FACULTAD DE INGENIERÍA
SINCELEJO – SUCRE
2022
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Solución de ecuaciones numéricas: Método de la bisección y ecuación de Manning, Exámenes de Métodos Numéricos
En este documento se presenta la solución de un problema que consiste en encontrar la solución de la ecuación de Manning para un flujo en un canal abierto rectangular, utilizando el método de la bisección. Se incluye el esquema de iteración, la verificación de la convergencia y el gráfico de la función. Además, se calculan los parámetros a y b de una ecuación termodinámica y se obtiene un polinomio de tercer grado para resolverla. Finalmente, se encuentra la masa del metano contenida en un tanque de 5 m3.
Qué aprenderás
- ¿Cómo se puede utilizar el método de la bisección para resolver la ecuación de Manning?
- ¿Cómo se puede obtener un polinomio de tercer grado para resolver una ecuación termodinámica?
- ¿Cómo se puede escribir la ecuación de Manning para un flujo en un canal abierto rectangular?
- ¿Cómo se puede encontrar la masa del metano contenida en un tanque de 5 m3?
- ¿Cómo se pueden calcular los parámetros a y b de una ecuación termodinámica?
Tipo: Exámenes
2020/2021
1 / 11
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PARCIAL 1:
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRANTES:
ESTEBAN MEJIA MESA
LUIS VILLADIEGO GONZALES
ISAAC DIAZ LARA
PRESENTADO A:
INGENIERO LUIS GOMEZ MONGUA
UNIVERSIDAD DE SUCRE
FACULTAD DE INGENIERÍA
SINCELEJO – SUCRE
La ecuación de Manning se puede escribir para un flujo en un canal abierto rectangular
como:
Q
n
donde Q = flujo [m3/s], S = pendiente [m/m], H = profundidad [m] y n = coeficiente de
rugosidad de Manning. Desarrolle un esquema de iteración para despejar H de esta
ecuación dado Q = 7, S = 0.0015, B = 30 y n = 0.5. Pruebe que su esquema converge para
todos los valores iniciales mayores que cero o iguales a cero.
SOLUCIÓN
Q
n
Reemplazando los valores tenemos:
3 0 H
5
3
0. 5 ( 3 0 + 2 H )
2
3
7 ( 0. 5 )( 3 0 + 2 H )
2 / 3
2 0 H
5
3
0.35( 3 0 + 2 H )
2 / 3
3 0 H
5
3
Paso 5. Si f → 𝑐 1], de lo contrario 𝑐 ] y volvemos al paso
Aplicando de modo iterativo los pasos 3, 4 y 5, con é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛: 0.1 se obtuvo, 𝑐
f ; entonces c esta entre [0,1]
SEGUIMOS ITERANDO [𝑐1,c2] = [ ,1]
C
|f 079544714 > é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛
f ;entonces c esta entre [0,
0.5]
SEGUIMOS ITERANDO [𝑐1,c3] = [ , 0.5]
C
4
|f = 2.30369224 > é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛
f ; entonces c esta entre [0.25,
0.5]
SEGUIMOS ITERANDO [𝑐4,c3] = , 0.5]
C
|f 247708087 > é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛
f ; entonces c esta entre [0.375, 0.5]
SEGUIMOS ITERANDO [𝑐5, c3] = [0.375, 0.5]
C
6
|f(c 6
)| = 0.616180625 > é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛
f ;entonces c esta entre [0.4375, 0.5]
SEGUIMOS ITERANDO [𝑐 , c3] = [0. , 0.5]
C
|f 276155615 > é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛
5
= 0. 25 +
- 5 − 0. 25
2
= 0. 375
7
= 0. 4375 +
- 5 − 0. 4375
2
= 0. 46875
f ;entonces c esta entre [0.46875, 0.5]
SEGUIMOS ITERANDO [𝑐7, c3] = [0.46875, 0.5]
C
|f 1002433248 > é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛
f ;entonces c esta entre [0.484375, 0.5]
SEGUIMOS ITERANDO [𝑐 , c3] = [0.46875, 0.5]
C
|f 010831183 > é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛
f ;entonces c esta entre [0.4921875, 0.5]
SEGUIMOS ITERANDO [𝑐 , c3] = [0. , 0.5]
C
|f 0.0342366139 > é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛
f
; entonces c esta entre
SEGUIMOS ITERANDO [𝑐
C
|f > é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛
f
; entonces c esta entre
SEGUIMOS ITERANDO [𝑐9, c11] = [0.
C
Utilizando el método de la bisección con 11 iteraciones se obtuvo un valor que cumple con
la ecuación.
8
= 0. 46875 +
- 5 − 0. 46875
2
= 0. 484375
9
= 0. 484375 +
- 5 − 0. 484375
2
= 0. 4921875
10
= 0. 4921875 +
- 5 − 0. 4921875
2
= 0. 49609375
11
= 0. 4921875 +
- 49609375 − 0. 4921875
2
= 0. 494140625
12
= 0. 4921875 +
- 494140625 − 0. 4921875
2
= 0. 4931640625
| f
( c 12
)| = - 0.000413203≈ é𝑝𝑠𝑖𝑙
𝑜
𝑛
H=0. 4931640625
m
2) Datos:
R = 0,518 KJ/(Kg*°K)
P = 68000 KPa
T = - 40°C = 233,15 °K
Pc = 4600 KPa
Tc = 191 °K
Cálculo de los parámetros a y b:
Parámetro a:
a =
0,427∗ R
2
∗ Tc
2,
Pc
a =
2
2,
a =12,
Parámetro b:
b =
0,0866∗ R ∗ Tc
Pc
b =
b =0,
Posteriormente se reorganiza la siguiente ecuación con el fin de obtener un polinomio de
grado 3.
P =
RT
v − b
a
v ( v + b )
T
P =
RT ∗[ v
v + b
T ]− a ( v − b )
v − b [ v ∗( v + b )
T ]
P = RT ∗( v
2
T + vb
T )− av + ab ¿
( v − b )∗
v
2
√ T + vb √ T
P =
v
2
RT √ T + vRTb √ T − av + ab
v
3
T + v
2
b
T − v
2
b
T − v b
2
T
P ¿( v
¿ 3 √ T − v b
2
√ T )= v
2
RT √ T + vRTb √ T − av + ab ¿
Se distribuye P a cada termino:
v
3
P √ T − vP b
2
√ T = v
2
RT √ T + vRTb √ T − va + ab
Igualamos la ecuación cero:
v
3
P √ T − vP b
2
√ T − v
2
RT √ T − vRTb √ T + va + ab = 0
Se agrupan los términos de igual variable:
v
3
P √ T − v
2
RT √ T − vP b
2
√ T − vRTb √ T + va + ab = 0
Se multiplica toda la expresión por
P
T
P √ T
∗( v
¿ 3 P √ T − v
2
RT √ T − vP b
2
√ T − vRTb √ T + va + ab )= 0 ¿
v
3
v
2
RT
P
− v b
2
vRTb
P
va
P
T
ab
P
T
Se saca factor común:
v
3
RT
P
v
2
a
P
T
RTb
P
− b
2
v −
ab
P
T
Se reemplazan los valores de los parámetros a y b y el de los datos suministrados:
v
3
v
2
2
v −
Se obtiene el polinomio de tercer grado:
v
3
−0,0017761 v
2
+0,00000531699 v −0,0000000225274= 0
Para resolver este polinomio se utilizó el método de las raíces con el fin de poder hallar un
valor de v que cumpla con la ecuación, para esto se tomó como ayuda el programa Scilab: