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Duvan Andres Botero
Ejercicios de métodos numéricos
Ecuaciones no lineales
a) La velocidad de descarga al salir agua a través de una tubería de longitud L = 5,95 metros,
desde un tanque cilíndrico que tiene un nivel de agua, como se observa en la siguiente
figura.
Se puede modelar mediante la ecuación:
v =
2 gH
(
tanh
(
√
gHt
L
) )
Donde g es la gravedad correspondiente a 9,81m/s
2
. Si el tanque tiene una altura máxima de 7,
metros. Determine el nivel del agua que se debe obtener para alcanzar una velocidad de descarga de
4,18 m/s a los 3,7 segundos, luego de 15 iteraciones usando el método de la bisección.
Solución
Para ello se iguala primero la ecuación (1) a cero,
v −
2 gH
(
tanh
(
√
gHt
L
)
)
Ahora se procede a escribir en forma de función que depende de H, ya que es la variable que
relaciona el nivel del tanque.
f ( H ) = v −√ 2 gH
(
tanh
(
√
gHt
L
)
)
Se remplaza valores en la función anterior mediante los datos suministrados por el problema, como
lo son velocidad, gravedad y tiempo, ya que permitirán encontrar la raíz de la función, quedando
f ( H ) =4,18− √
2 ( 9,81 ) H
(
tanh
(
√
( 9,81) ( 3,7 ) H
)
)
Entonces ahora para aplicar el método de bisección primero se debe tener un intervalo establecido
donde los resultados sean de signo contrario, por lo tanto, se pretende usar la altura máxima
Hb=7,88 metros y la altura de vaciado completo Ha=0 metros.
f ( 0 )=4,18− √
(
tanh
(
√
)
)
f ( 7,88 )=4,18− √
(
tanh
(
√
) )
El intervalo es [0, 7,88] y se procede a realizar las interacciones del método de bisección. Entonces
la iteración 1 es:
Hr =
Ha + Hb
Remplazando en la ecuación (2) el valor de f(Hr) es:
f ( 3,94 )=4,18− √
(
tanh
(
√
)
)
Ahora teniendo en cuenta las condiciones,
{
Si f ( Hr )∗ f ( Ha ) < 0 → Ha
Si f
Hr
∗ f
Ha
0 → Hr
{
Si f ( Hr )∗ f ( Hb ) < 0 → Hb
Si f
Hr
∗ f
Hb
0 → Hr
Procediendo a la multiplicación,
f ( 0 )∗ f ( 3,94)=( 4,18) (−4,612) =−19,27< 0
f ( 7,88 )∗ f ( 3,94 )=(−8,25 ) (−4,612)=38,049> 0
Entonces el nuevo valor de Ha=0 y el de Hb=3,94. Ahora realizando la iteración 2 se tiene que,
Hr =
Ha + Hb
f ( 1,97 )=4,18−
√
(
tanh
(
√
) )
De nuevo realizando el calculo de las condiciones
f ( 0 )∗ f (1,97 )=( 4,18) (−2,037)=−8,51< 0
f ( 3,94 )∗ f ( 1,97)=(−4,612) (−2,037)=9,39> 0
El nuevo valor de Ha=0 y el de Hb=1,97. Además ya se puede calcular el error porcentual de la
siguiente manera:
Este resultado también se puede evidenciar en Geogebra donde se muestra que la raíz de la ecuación
2 esta aproximadamente en 0,89 metros , resultado similar al obtenido mediante el método de
bisección.
b) En la ingeniería, suele estudiarse el flujo de un fluido a través de ductos o tuberías como,
por ejemplo, el flujo del aire acondicionado, sistemas hidromecánicos o flujo vascular.
La resistencia del flujo en dichos conductos esta parametrizado por una cantidad adimensional
llamada el factor de fricción. Para flujos turbulentos, la ecuación de Colebrook permite determinar
dicho valor usando la ecuación:
f =
[
log
(
ε
3,7 D
2,51 μ
ρVD √ f
) ]
− 2
Donde ε es la aspereza de las paredes tubulares (en metros), D es el diámetro (m), ρ la densidad del
fluido (kg/m
3
), V es la velocidad (m/s) y μ es la viscosidad dinámica (N·s/m
2
). Determine el factor
de fricción bajo las siguientes condiciones:
3
N · s/m
2
m
- V = 40,8m/s
ε = 1,882 × 10
m.
Usando el método del punto fijo, partiendo de f = 0,07 luego de 10 iteraciones.
Solución
Para aplicar el método del punto fijo se debe igualar la ecuación a cero y despejar la variable
independiente que en este caso es “f” en términos que se pueda escribir como f=g(f) y de esa
manera resolver el problema, por lo tanto,
g ( f )=
4 [
log
(
ε
3,7 D
2,51 μ
ρVD
f
)
]
− 2
Remplazando datos que ofrece el problema,
g ( f )=
[
log
(
− 6
− 3
− 5
(1,276)(40,8) ( 7,1∗ 10
− 3
)
f
)
]
− 2
Entonces se procede a realizar la iteración 1 para el valor inicial de f 0
=0,07 con i=0,
f
1
= g (
f
0
)
[
log
(
− 6
− 3
− 5
(1,276)(40,8)( 7,1∗ 10
− 3
)
)
]
− 2
Con un error porcentual de
E
1
|
f
1
− f
0
f
1
|
|
|
Con la iteración 2 para el valor f 1
=0,0234 con i=1,
f
2
= g (
f
1
)
[
log
(
− 6
− 3
− 5
(1,276)(40,8)( 7,1∗ 10
− 3
)
)
]
− 2
Con un error porcentual de
E
2
|
f
2
− f
1
f
2
|
|
|
Las demás iteraciones se realizan en Excel, bajo el mismo procedimiento expresado anteriormente y
que permite construir las 10 interacciones en total con sus respectivos errores porcentuales,
mostrando que:
Iteración f_i Error (%)
0 0,
1 0,0234 198,
2 0,0268 12,
3 0,0263 1,
4 0,0264 0,
5 0,0264 0,
6 0,0264 0,
7 0,0264 0,
8 0,0264 0,
9 0,0264 0,
10 0,0264 0,
En la tabla anterior se evidencia que el resultado luego de la interacción 4 tiende a tener las mismas
4 cifras decimales, salvo que aun así hay un pequeño error porcentual indicando que las otras no son
iguales, por tanto, se puede decir que el factor de fricción bajo las condiciones establecidas tiene
un valor aproximado de f=0,0264. Este resultado también se puede divisar gráficamente realizado
en Geogebra, como se muestra a continuación
La derivada,
f
'
− 4
− 8
− 11
2
− 14
3
− 4
Remplazando en la ecuación (5),
T
1
= T
0
f (
T
0
)
f
'
(
T
0
)
− 2
− 4
= 473 , 08 K
El procedimiento es algorítmico solamente es remplazar en la función, luego en la derivada y por
último en la expresión (5) para seguir obteniendo valores de temperatura hasta que se pueda
conseguir la temperatura deseada la cual es la raíz. Por ende, se realiza el procedimiento de la
siguiente manera,
- Iteración 2, con i=1 y T 1
=473,08K
T
2
= T
1
f (
T
1
)
f
'
(
T
1
)
− 5
− 4
= 473 , 51 K
- Iteración 3, con i=2 y T 1
=473,51K
T
3
= T
2
f (
T
2
)
f
'
(
T
2
)
− 9
− 4
=473,51 K
- Iteración 4, con i=3 y T 3
=473,51K
T
4
= T
3
f (
T
3
)
f
'
(
T
3
)
− 18
− 4
=473,51 K
- Iteración 5, con i=4 y T 4
=473,51K
T
4
= T
3
f (
T
3
)
f
'
(
T
3
)
− 18
− 4
=473,51 K
Todos los resultados anteriores son consignados en la siguiente tabla, además de establecer los
resultados de los errores porcentuales.
N° iteración Ti (K) f(Ti) f'(Ti) f(Ti)/f'(Ti) Error (%)
0 539,00 1,31E-02 1,99E-04 6,59E+
1 473,08 -8,63E-05 2,02E-04 -4,28E-01 13,
2 473,51 -2,25E-09 2,02E-04 -1,11E-05 0,
3 473,51 1,41E-18 2,02E-04 6,99E-15 2,35317E-
4 473,51 1,41E-18 2,02E-04 6,99E-15 0
Finalmente, el resultado de la temperatura para que el calor especifico sea de 1,05 Kj /kg K es de
T=473,51 K con un error porcentual que tiende a cero. Este resultado también se puede corroborar
gráficamente mediante el uso del software de Geogebra el cual muestra claramente que si el valor es
473,51 la función establecida tiende a cero lo cual fue establecido en el método usado.
Factorización LU
- factoriza la siguiente matriz como el producto de dos matrices triangulares inferior L y superior
U.
A =
[
]
Solución
La solución se realiza de la siguiente manera, expresando la Matriz A tal que,
A = LU
De manera específica,
[
]
[
][
]
El objetivo es conseguir los coeficientes mediante el hecho de conseguir ceros en la diagonal
inferior y la diagonal superior de la matriz A. Por tanto, vamos a iniciar con la diagonal inferior,
para ellos vamos a tener en cuenta los siguientes cálculos,
Primera columna,
Por tanto se ha conseguido tanto la matriz L con los coeficientes como la matriz U superior con el
resultado de la matriz A 3
, lo que indica que el resultado es:
L =
[
1 ]
U =
[
]
Y se puede corroborar el resultado realizando la multiplicación de matrices como se encuentra
expresado a continuación.
[
]
[
1 ][
]
Métodos Iterativos de Sistemas de Ecuaciones Lineales:
a) El siguiente sistema de ecuaciones relacionado con las concentraciones en una serie de
reactores interconectados como una función de la cantidad de masa:
15 c
1
− 3 c
2
− c
3
− 3 c
1
2
− 6 c
3
− 4 c
1
− c
2
3
Aproximar la solución del sistema de ecuaciones usando el método de Jacobi luego de 10
iteraciones iniciando desde el vector nulo.
Solución
Para utilizar el método de Jacobi se debe ordenar las ecuaciones de manera que exista una diagonal
dominante con los coeficientes de mayor valor, con el fin de no iterar tantas veces, como en este
caso ya esta organizada de esa manera se procede ahora despejar en cada ecuación las variables
correspondientes,
c
1
2,465+ 3 c
2
3
c
2
2,709+ 3 c
1
3
c
3
1,977+ 4 c
1
2
Entonces si establece un valor inicial, tal que,
c
1
= c
2
= c
3
Se procede ahora a realizar las iteraciones. Entonces la iteración 1
c
1
c
2
c
3
La iteración 2 se realiza con los valores anteriores y se remplazan nuevamente en las ecuaciones
despejadas,
c
1
=0,1643 ; c
2
=0,1505 y c
3
c
1
c
2
c
3
Iteración 3
c
1
=0,2054 ; c
2
=0,2328 y c
3
c
1
c
2
c
3
Iteración 4
c
1
c
2
c
3
Iteración 9
c
1
=0,2379 ;c
2
=0,2792 y c
3
c
1
c
2
c
3
Iteración 10
c
1
=0,2380 ;c
2
=0,2792 y c
3
c
1
c
2
c
3
Luego de la 8 iteración se observa que los valores tienen ya una tendencia similar por tanto en la
última iteración se obtiene como resultado:
c
1
c 2
c
3
Valores o cantidades que satisfacen el sistema de ecuaciones lineales presentado.
b) Para el siguiente circuito eléctrico.
Al aplicar LCK en los nodos 1, 2 y 3 obteniendo el sistema GV = I con G la matriz de
conductancias simétricas.
7 V
1
− 3 V
2
− 4 V
3
− 3 V
1
+ 6 V
2
− 2 V
3
− 4 V
1
− 2 V
2
+ 11 V
3
Determinar cada uno de los voltajes usando el método de Gauss-Seidel luego 10 iteraciones
iniciando desde el vector
V =(1,2,3)
.
Solución
Al igual que el método anterior se debe revisar que el orden de las ecuaciones este condicionado
mediante la diagonal dominante, en este caso ya están organizadas. Entonces ahora se procede a
despejar cada variable en el orden de las ecuaciones.
V
1
− 11 + 3 V
2
+ 4 V
3
V
2
3 + 3 V
1
+ 2 V
3
V
3
25 + 4 V
1
+ 2 V
2
Entonces con el vector inicial
V
1
= 1 ; V
2
= 2 y V
3
Se procede ahora a realizar las iteraciones. Entonces La iteración 1 es, (recordar que el método de
Gauss-Seiedel alimenta las ecuaciones conforme se van obteniendo soluciones)
V
1
V
2
V
3
Se observa que el vector inicial es la solución que satisface el sistema de ecuaciones, si se remplaza
en cada una de las ecuaciones, son equivalentes por ende no hay que hacer mas iteraciones, ya que
los resultados serán el mismo.
