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Itnttegrracióon por
Partes
teorema Sean^ f y g Funciones^ continuas^ en^ [aib] y
derivables en Caib^ ) , entonces : q fflxlojtxldx =
fcxlglx
) - ffcxlglxldx
Demostración Como^ f y q son^ continuas^ en^ [^ aib]^ y
derivables en la, b)
, entonces tenemos^ que : D ( flxlglxl)^ = (^) Ácxlgcxlt fcxlgicx) Integrando a^ ambos^ lados^ : q ftp.A.glxl/dx=fftcx)gcxldxtffcxlgRxldxfcx)gcxl--ff'lx)gcxldXt fftxlgkxldx { (^) FCXIGYXIDX = flxlgcxl - f Álxlgcxldx N Ahora consideremos U =^ fcxl dv^ =^94 ×^1 DX du = flcxl
DX V =
gcxl Así , podemos^
reescribir (1) como :
Judv = (^) uv - jvdu } to^ to^ la una vaca^ vestida^ de^ uniforme
Nota :^ Para integrar por^ partes^ debemos
escoger
que funcione^ será (^) n (^) y
que función^ será^
dv.
Además, la^ función a^ la^ que es^ igual dv (^) siempre irá acompañada de^ dx^ o^ también^ puede ser^ que sólo sea (^) igual al^ dx^. Como n^ es^ la^ función (^) que se^ deriva^ y
dv es
la función (^) para integrar , se^ deben^ seleccionar^ de tal
forma que n^
sea la^ función más (^) fácil de derivar (^) y dv la^ función más^ fácil de integrar. El acrónimo^ ILATE^ nos^ sirve de^ guía para / escoger quien^ sera n
- Inversas (^) trigonométricas Ya más^ fácil^ de^ derivar Logarítmicas Algebraicas Trigonométricas | Exponenciales Ejemplos a (^). flncxldx = (^) uv - fvdu = (^) xlncxl -
fxlf
dx
a- Lncxl^ fdv -^ _^ fdx xlncxl - fdx
du =L^ dx^ v = X^ =^ xlncx)^ -^ x^ tc
×
= Xllnx^
f. f ricos lsxldx^ = ¥sencssxt^
Izfxsencsxldx
Integral (^) por (^) partes a- (^) x ' dv = los XIDX du - - LXDX^ V-^ _ serias
A)
f
Xsenlssxldx = -
xzcoscsxl coscsxldx U = (^) × dv^ _- ser (^) XIDX =^ - ¥ los ×)^ t tqsencssx ) +^ C du =^ dx V =^ -
coja
Retomando F^.
fx
' costsxldx = ¥ senlssx )^ - zzfifcoscsxltqtsenlsxtftc = ¥ senlbxlt ¥
x)^ -
¥ sencsxl tc 0bservacioni.Enlasintegraleseyfsfuenecesariointe.gr ar varias^ veces (^) por partes para resolver^ la^ integral. El (^) tipo de^ integrales como^ e^
y
F , donde^ ¥^ es^ una función (^) polinómica (^ existe^ un^ ±^ tal^ que la n-ésimo derivada de n^ sea^ cero)^ y dv^ es^ una^ función exponencial o trigonométrica
( sencaxtblocoscaxtbl)^ , se
pueden integrar de^ una^ manera^ más^ sencilla^ y se^ conoce com0integracioñporpartes-métodotabdarlwvid
jseácxldx
fsecw.seicxldx-fselxlftttankuldx-fse-xdxt-fse.ca/tan2xdx
ejemplos
.
partes Ht)
= lnlsecxttanxltfseccxttanxdx tc
(A) fsecxtañxdx = (^) secxtanx - fseixdx la
u =^ tanx^ de^
secxtanxdx note^ que esta^ integral es
la que buscamos^ resolver. dirsecxdx V^ =^ secx sustituimos (^) cal en la^ integral inicial^ : (2)
| secsdx (^) = (^) lnlsecxttanxltsecxtanx - fsecsxdx < fsecsdx = (^) Lnlsecxttanxltsecxtanxtc
fseidx
= { (^) lnlsecxttanxltzsecxtanxtc h (^). fl " senczxldx = sencsxl^
- E) éicoscsxldx U =^ sencssxl dv^ = éxdx^ Í du (^) =3 Slsixldx V =^ eI 2 121
LA (^) fe "
coslssxldx =
EZÍCOS Xltzzféxsencsxldxtc 2X -
U =^ los X)^ dv^ =^ l^ DX^
note (^) que esta^ es la (^) integral que^ buscamos du (^) =-3 SENALA^ v^ =^ eI resolver^ inicialmente. 2 Reemplazamos 121 en^ la^ integral^ inicial fésencsxldx =
EI sencsxl^
§ [^ EIIos^
x) t^ Izfésenlsxldxftc
§ "
sencsxl -
zqéxcoscssxl
- ¥ fésenlsxldxtc | ésenlsxldxtqfésencsxldx =
q
" [ senlsxl - zzcoscsxtftc
1¥ fésencxldx^
= { " tsenczxtzzcoscsxl )^ tc / éisenlsxldx^ =^ #e "
[sencsxl
