Método de Langrangee, Diapositivas de Investigación de Mercado

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Método de

Lagrange

( aplicado a un Problema de Programación No Lineal)

• El método de multiplicadores de Lagrange (el cual es generalizado por las condiciones de optimalidad de Karush -Kuhn-Tucker ) permite abordar la resolución de modelos de programación no lineal que consideran restricciones de igualdad.

• Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

Objetivos…

• *Visualizar algunas superficies cuadráticas y curvas de nivel para distintos valore de la variable z
• *Identificar a través de los simuladores,, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos.
• *Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de LaGrange
• *Aproximar loas soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante
• *Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional

En general las condiciones de Lagrange se aplican a un problema que tiene la siguiente estructura:

Ejemplo 1:

Consideremos el siguiente problema de Programación No Lineal restringido que nos permitirá ilustrar la aplicación del método de Lagrange.

Notar que el problema adopta la estructura estándar

previamente descrita y considera una única restricción de

igualdad. No se incluye en particular condiciones de no

negatividad, que en caso de estar presentes justificarían la

aplicación del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker.

En este contexto, un mínimo local para el problema

propuesto debe satisfacer las condiciones necesarias de

primer orden de Lagrange:

• Donde la resolución es trivial y corresponde a x1=2, x2=2 y λ1=-4. Notar que el multiplicador de Lagrange asociado a una restricción de igualdad es libre de signo, en consecuencia la solución propuesta satisface las condiciones necesarias de primer orden.
• Adicionalmente se cumplen las condiciones de segundo orden pues: