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Ing. Industrial v p Vs 0 Fig.
FLUJOS VISCOSOS
RESISTENCIA DE LOS FLUIDOS EN GENERAL
Cuando un cuerpo sólido se mueve en un fluido se originan unas fuerzas que pueden ser normales al desplazamiento que es el empuje ascensional en el caso de un avión, y la resultante de estas fuerzas en la dirección del movimiento es el arrastre o resistencia. El origen de esta fuerza es la viscosidad auque también puede haber una resistencia debido a las presiones normales. En estos casos trabajaremos con fluidos reales donde 0. El fenómeno de la resistencia de un sólido al moverse en un fluido es el mismo que experimenta un fluido al moverse dentro de un sólido, como una tubería. PARADOJA DE D`ALEMBERT Si un cilindro circular en reposo es bañado por un fluido que se mueve con velocidad constante v de izquierda a derecha, el fluido es ideal (energía constantes en todos los puntos de una misma línea de corriente), e irrotacional (energía constantes en todos los puntos a pesar de que no estén en la misma línea de corriente). La configuración de corrientes es simétrica con respecto al cilindro. La velocidad en cada punto de la superficie del cilindro vs es:
vs 2 v sen
Si suponemos que la gravedad no juega ningún papel, aplicando la ecuación de Bernoulli entre un punto imperturbado O y un punto cualquiera s del cilindro tendremos:
v
v 22 s
p p s
^
De donde:
2 2 2
v
v v
p s p s p sen
2
v
v
sen
ps p p
Ing. Industrial y x 0 2 v^2 p 0 2 v^2 p Fig. Fig. A A Fig. Las fuerzas debido a la presión son normales a la superficie, los valores de
v ^2
p
se han representado en la siguiente figura: La simetría de la figura nos dice que: La resultante de todas las fuerzas que el fluido ejerce sobre el cilindro en la dirección normal al movimiento (empuje ascensional) es nula. La resultante de todas las fuerzas que el fluido ejerce sobre el cilindro en la dirección del movimiento (arrastre) es nula. Un cilindro se movería en un fluido sin experimentar resistencia alguna. Cuando en la realidad podemos ver que esto no es así. La explicación de la paradoja de D´alembert en los dos puntos siguientes: a) Aun en el caso de que macroscópicamente la configuración de la corriente fuera la observada en la figura, microscópicamente en las inmediaciones de un punto cualquiera del cilindro, A , reina la distribución de velocidades que se representa junto a la figura.
Ing. Industrial
v x
v x
t Fig. Una observación microscópica nos revele una distribución de velocidades de acuerdo al caso en una película muy fina ( capa limite ). Si el fluido fuera ideal la teoría hidrodinámica nos daría una distribución tipo a. Si los efectos de la viscosidad son apreciables, Reynolds bajos, tenemos una distribución tipo b , parabólica. Si los efectos de la viscosidad son despreciables, Reynolds altos, la distribución de velocidades es tipo d , logarítmico. El tipo c es un caso intermedio. La capa limite tiene un espesor muy pequeño, del orden de micras o milímetros. Fuera de la capa limite un liquido poco viscoso se comporta como un fluido ideal. RÉGIMEN LAMINAR Y TURBULENTO Esta clasificación se refiere a la corriente fluida estudiada a nivel microscópico y es fundamental en el estudio de los fluidos reales. El movimiento en régimen laminar es ordenado, estratificado, el fluido se mueve como clasificado en capas que no se mezclan entre si. Dentro de una tubería el fluido se desplazaría en tubos concéntricos en forma “telescópica”, el tubo exterior queda adherido a la pared del tubo, su velocidad es cero. La velocidad del tubo central es máxima. El movimiento en régimen turbulento es caótico. Las trayectorias de las partículas se entrecruzan formando pequeños remolino. La velocidad fluctúa en cada punto y como tiene tres componentes; vx, vy y vz; podemos representar en la figura siguiente la vx en
función del tiempo donde v x es la velocidad cuadrática media.
La disipación de energía es mucho mas intensa en el movimiento turbulento que en el laminar. Existirá en esfuerzo cortante que no estará regido por la ley de Newton propia del régimen laminar. Definiendo un esfuerzo cortante medio se enuncia la siguiente ley análoga y propia del régimen turbulento:
dy
d v
r
Donde:
= esfuerzo cortante medio,
r = viscosidad de “remolino”,
Ing. Industrial V Vmax 0.5 1.
v
v max
Fig. 0 V Fig.
v
v = valor medio temporal de la viscosidad en un punto cualquiera.
La distribución de velocidades en régimen laminar es parabólico como podemos ver en la figura siguiente: La distribución de velocidades en régimen turbulento en una tubería de sección circular es logarítmica. Como se ve la velocidad en toda la sección es mucho mas uniforme. Se pueden observar, en la figura siguiente, las velocidades medias temporales (uniformes) y las velocidades en cada instante (irregular). CAPA LIMITE LAMINAR Y TURBULENTA La figura siguiente representa una placa fija de borde de ataque afilado sumergida en una corriente uniforme en el infinito cuya velocidad en el infinito v es constante y paralela a la placa. A medida que el fluido circula por la placa mas capas del mismo van frenándose al igual que la primera capa que esta en contacto con la superficie. El espesor de la capa limite suele definirse como la distancia desde la pared al punto donde la velocidad difiere de la velocidad correspondiente en el infinito en un 1 por ciento. También se observa la zona de transición donde el flujo laminar comienza, a ser inestable y se desarrolla turbulencia dentro de la capa limite.
Ing. Industrial Cuando el número de Reynolds 2000 la corriente era necesariamente laminar. Si se producía alguna perturbación la turbulencia inicial quedaba amortiguada por la viscosidad. Por lo que Re = 2000 es el numero crítico inferior de Reynolds. RESISTENCIA DE SUPERFICIE: PERDIDAS EN CONDUCTOS CERRADOS O TUBERIAS Perdidas primarias y secundarias en las tuberías Perdidas primarias : son las perdidas de superficie en el contacto del fluido con la superficie del conducto (capa limite), rozamiento entre capas de fluido (régimen laminar) o de las partículas entre si (régimen turbulento). Perdidas secundarias : son las perdidas de forma que tienen lugar en las transiciones, codos, válvulas, accesorios, etc. Perdidas primarias Supongamos un tubo horizontal de diámetro constante por el que circula un fluido cuya velocidad media en la tubería es v. La energía en el punto 2 es igual a la energía en el punto 1 menos la energía perdida (perdida de carga) se cumple la ecuación de Bernoulli
g
v
z
g
p
H
g
v
z
g
p
r
2 2 2 2 12 2 1 1
z 1 = z 2 y v 1 = v 2 por lo que: 12 12 1 2
Hr Hrp
g
p p
Donde Hrp1- 2 perdidas entre 1 y 2. ECUACIÓN DE DARCY - WEISBACH La perdida de carga es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad media en la tubería y a la longitud de la tubería e inversamente proporcional al diámetro de las mismas:
D g
L
H rp
v
2
Donde: Hrp = perdida de carga primaria, = coeficiente de perdida de carga, L = longitud de la tubería, v 1 D 2 Fig.
Ing. Industrial k Fig. D = diámetro de la tubería, v = velocidad media del fluido. El coeficiente se obtiene de tablas o ábacos confeccionados para tal fin. Actualmente se utiliza el diagrama de Moody: Resuelve todos los problemas de perdidas de carga primarias en tuberías con cualquier diámetro, cualquier material de tubería y cualquier caudal. Puede emplearse en tuberías de sección no circular donde se reemplaza el diámetro por el radio hidráulico. Se usa para determinar el coeficiente el cual luego se lleva a la ecuación de Darcy – Weisbach. El factor Este factor es obviamente adimensional ya que:
D
L
y
2 g
v^2
Son adimensionales, depende la velocidad, del diámetro, de la densidad, de la viscosidad, y de la rugosidad k : Una tubería rugosa macroscópicamente presenta este aspecto, en la figura se ve que la rugosidad absoluta k tiene una dimensión lineal. De lo dicho se deduce:
f (v,D, , ,k )
El análisis dimensional demuestra que:
D
k
f ,
vD
Donde:
vD
= numero de Reynolds
D
k
= rugosidad relativa. Si Re es muy pequeño (régimen laminar), es solo función de Re. Si Re es muy grande (régimen turbulento), es función de Re y de la rugosidad relativa.
Ing. Industrial Reemplazando este valor obtenemos la ecuación que nos da la distribución de velocidades en la tubería:
4 L
p
v
2 2
R r
Ecuación de una parábola, la velocidad máxima tiene lugar en el eje del paraboloide, que es el eje de la tubería: 2 max
4 L
p
v R
En la práctica es mucho más fácil medir la velocidad media v :
R^2
Q
v
El caudal elemental entre dos tuberías concéntricas de radios r , r + dr será:
2 v 2 R^2 r^2
L
p
dQ dr dr
Integrando esta ecuación entre los límites O y R se tendrá el caudal total:
L
p R
Q
R r
L
p
R r r dr
L
p
R r
L
p
Q dQ dr
R R R
4 4 4 0 2 2 0 2 2 0
Sustituyendo el caudal Q en la velocidad media tenemos:
^
L
p R
L R
p R
R 8 8
Q
v
2 2 4 2
Comparando con 2 max
4 L
p
v R
Nos queda:
Ing. Industrial
v
v max
La velocidad media de la tubería es igual a la mitad de la velocidad máxima. Despejando p de:
L
p D
L
p R
v
2 2
Se obtiene la ecuación de Poiseuille:
D^2
32 L v
p
Multiplicando y dividiendo el segundo miembro por 2 vgtendremos:
g
D g
L
D
L
p
v
v
2 v g
2 v g
D
32 v^2
Pero como:
H rp
g
p
Es la perdida de carga primaria:
D g
L
H rp
v
Re
La ecuación de Poiseuille es valida para Re < 2000 , para valores superiores es valida solo si el flujo sigue siendo laminar. Comparando con la ecuación de Darcy – Weisbach se deduce el valor de :
Re
Calculo de en régimen turbulento y tuberías rugosas Si el número de Re es bajo:
f (Re)
Si el número de Re es elevado:
D
k
f
Si el valor es intermedio.
