MECANICA CLASICA UNIVERSIDAD NACIONAL, Apuntes de Mecánica Clásica

¡Descarga MECANICA CLASICA UNIVERSIDAD NACIONAL y más Apuntes en PDF de Mecánica Clásica solo en Docsity!

Mec´anica Anal´ıtica: Notas de Clase

Rodolfo Alexander Diaz Sanchez

Universidad Nacional de Colombia

Departamento de F´ısica

Bogot´a, Colombia

21 de enero de 2012

´Indice general

• 1. Elementos b´asicos de Mec´anica Newtoniana Introducci´on XIV
  • 1.1. Cinem´atica
  • 1.2. Din´amica: Leyes de Newton
  • 1.3. Trabajo y energ´ıa
  • 1.4. Torque y momento angular
  • 1.5. Din´amica de un sistema de part´ıculas
    • 1.5.1. Definici´on de centro de masa
    • 1.5.2. Sistemas de part´ıculas no aislados
    • 1.5.3. Momento angular y torque de un sistema de part´ıculas
    • 1.5.4. Trabajo y energ´ıa de un sistema de part´ıculas
    • 1.5.5. Conservaci´on de la energ´ıa de un sistema de part´ıculas
    • 1.5.6. Transformaci´on de la energ´ıa cin´etica al sistema-C a partir del sistema de laboratorio
  • 1.6. Ejercicios
• 2. Principio de D’Alembert y ecuaciones de Lagrange
  • 2.1. Ligaduras
  • 2.2. Principio de D’Alembert
  • 2.3. Coordenadas generalizadas y ecuaciones de Lagrange
    • 2.3.1. Energ´ıas cin´etica y potencial en coordenadas generalizadas
    • 2.3.2. Una simetr´ıa gauge o de calibraci´on para el Lagrangiano
  • 2.4. Ecuaciones de Lagrange para potenciales generalizados
  • 2.5. Ecuaciones de Lagrange con fuerzas disipativas
  • 2.6. Algunas caracter´ısticas de las cantidades generalizadas
  • 2.7. Relaci´on entre sistemas coordenados y sistemas de referencia
  • 2.8. Ejemplos de uso de la formulaci´on Lagrangiana
    • 2.8.1. Part´ıcula en el espacio
    • 2.8.2. M´aquina de Atwood
    • 2.8.3. Cuenta sobre un alambre
    • 2.8.4. Gauge electromagn´etico en la formulaci´on Lagrangiana
    • 2.8.5. Un sistema ligado de dos masas
    • 2.8.6. Aro sobre plano inclinado deslizante
    • 2.8.7. Un potencial generalizado para una fuerza central
    • 2.8.8. Part´ıcula inmersa en un flu´ıdo
  • 2.9. Ventajas del formalismo Lagrangiano
  • 2.10. Ejercicios
• 3. C´alculo variacional y multiplicadores de Lagrange ´INDICE GENERAL iii
  • 3.1. Algunos problemas pr´acticos de naturaleza variacional
    • 3.1.1. Minimizaci´on del tiempo de ca´ıda de una part´ıcula
    • 3.1.2. Minimizaci´on de una superficie de revoluci´on
  • 3.2. Aspectos fundamentales del c´alculo de variaciones
    • 3.2.1. C´alculo variacional en una dimensi´on
    • 3.2.2. C´alculo de variaciones multidimensional
  • 3.3. Soluci´on de los problemas de aplicaci´on planteados
    • 3.3.1. Minimizaci´on de la longitud de arco
    • 3.3.2. Minimizaci´on del tiempo de ca´ıda de una part´ıcula: la braquist´ocrona
    • 3.3.3. Minimizaci´on de una superficie de revoluci´on
  • 3.4. Ligaduras y multiplicadores de Lagrange (opcional)
    • 3.4.1. Generalizaci´on a un conjunto arbitrario de variables y de ligaduras
  • 3.5. Problemas variacionales con ligaduras (opcional)
  • 3.6. Ejercicios
• 4. Principio variacional de Hamilton y Ecs. de Lagrange
  • 4.1. Aplicaci´on del c´alculo de variaciones al principio de Hamilton
  • 4.2. Extensi´on del principio de Hamilton a algunos sistemas no hol´onomos
    • 4.2.1. Significado f´ısico de los multiplicadores de Lagrange: fuerzas de ligadura
    • 4.2.2. Formalismo de los multiplicadores para ligaduras hol´onomas
  • 4.3. Relaci´on entre el principio diferencial de D’Alembert y el Principio variacional de Hamilton
  • 4.4. Aplicaci´on del principio de Hamilton con coordenadas dependientes
    • 4.4.1. Bloque deslizante sobre una semiesfera
    • 4.4.2. Aro sobre plano inclinado con condici´on de rodadura
    • 4.4.3. Esfera en un hueco cil´ındrico
  • 4.5. Caracter´ısticas b´asicas de una formulaci´on variacional
  • 4.6. Principio variacional para Lagrangianos que contienen a ¨q (opcional)
  • 4.7. Ejercicios
• 5. Simetr´ıas y cantidades conservadas (Lagrange)
  • 5.1. Teoremas de conservaci´on y propiedades de simetr´ıa
    • 5.1.1. Momento lineal y coordenadas globales de traslaci´on
    • 5.1.2. Momento angular y coordenadas globales de rotaci´on
      • conservadas 5.1.3. Consideraciones generales sobre simetr´ıas asociadas a coordenadas c´ıclicas y cantidades
  • 5.2. Funci´on energ´ıa y conservaci´on de la energ´ıa
    • 5.2.1. Relaci´on entre energ´ıa y funci´on energ´ıa
    • 5.2.2. Funci´on energ´ıa con fuerzas disipativas
  • 5.3. Teorema de Noether para sistemas discretos (opcional)
    • 5.3.1. Comentarios sobre el teorema de Noether
  • 5.4. Ejemplos de aplicaci´on del teorema de Noether
    • 5.4.1. Invarianza ante traslaci´on temporal y conservaci´on de la energ´ıa
    • 5.4.2. Invarianza ante traslaci´on espacial y conservaci´on del momento lineal
    • 5.4.3. Invarianza ante rotaciones espaciales y la conservaci´on del momento angular
    • 5.4.4. Transformaciones de Galileo
  • 5.5. Ejercicios
• 6. Ecuaciones de Movimiento de Hamilton iv ´INDICE GENERAL
  • 6.1. Consideraciones generales
  • 6.2. Transformaciones de Legendre
  • 6.3. Generaci´on del Hamiltoniano y Ecuaciones de Hamilton
  • 6.4. Algoritmo matricial para la obtenci´on del Hamiltoniano
    • 6.4.1. Hamiltoniano para un cuerpo sometido a una fuerza central en coordenadas esf´ericas
    • 6.4.2. Hamiltoniano de una carga no relativista inmersa en un campo electromagn´etico
  • 6.5. Forma Simpl´ectica de las Ecuaciones de Hamilton
  • 6.6. Coordenadas c´ıclicas y teoremas de conservaci´on
  • 6.7. El Hamiltoniano en diferentes sistemas coordenados
    • 6.7.1. Hamiltoniano de un sistema masa resorte en diferentes sistemas coordenados
  • 6.8. Problemas de aplicaci´on de las ecuaciones de Hamilton
    • 6.8.1. Part´ıcula sobre superficie cil´ındrica
    • 6.8.2. Ejemplo de aplicaci´on del algoritmo matricial
    • 6.8.3. P´endulo sujeto a una recorrido parab´olico
  • 6.9. Procedimiento de Routh
    • 6.9.1. Part´ıcula sometida a un potencial central atractivo por el m´etodo de Routh
  • 6.10. Ecs. de Hamilton a partir de un principio variacional
  • 6.11. El principio de m´ınima acci´on (opcional)
    • 6.11.1. Algunas aplicaciones del principio de m´ınima acci´on
  • 6.12. Ejercicios
• 7. Transformaciones can´onicas
  • 7.1. Transf. Can´onicas y el principio de Hamilton modificado
  • 7.2. Funciones generadoras de una transformaci´on can´onica
  • 7.3. Ejemplos de transformaciones can´onicas
  • 7.4. Transformaciones can´onicas para el oscilador arm´onico
  • 7.5. Transf. Can´onicas con la forma simpl´ectica de las Ecs. de Hamilton
    • 7.5.1. Ejemplos de transformaciones can´onicas con m´etodo matricial
  • 7.6. M´etodo simpl´ectico para T.C’s dependientes del tiempo
  • 7.7. Ejemplos de transformaciones can´onicas
    • 7.7.1. Transformaci´on can´onica por conjugaci´on compleja
    • 7.7.2. Transformaci´on can´onica de rotaci´on
    • 7.7.3. Un sistema con dos grados de libertad
  • 7.8. Ejercicios
• 8. Corchetes de Poisson y otros invariantes can´onicos
  • 8.1. Corchetes de Poisson
  • 8.2. Propiedades de los corchetes de Poisson
  • 8.3. Corchetes de Lagrange
  • 8.4. Otros invariantes can´onicos
  • 8.5. Condic. simpl´ectica y funciones generatrices (opcional)
  • 8.6. Ecuaciones de movimiento con corchetes de Poisson
  • 8.7. Constantes de movimiento con corchetes de Poisson
  • 8.8. Constantes de mov. evaluadas por corchetes de Poisson
    • 8.8.1. Sistema con dos grados de libertad
    • 8.8.2. Otro sistema con dos grados de libertad
    • 8.8.3. Constante de movimiento del oscilador arm´onico
  • 8.9. Transf. Can´onicas infinitesimales y corchetes de Poisson
  • 8.10. Cambios activo y pasivo de una funci´on del sistema bajo una T.C.
  • 8.11. Cambio del Hamiltoniano bajo una transformaci´on can´onica
  • 8.12. Cantidades conservadas e invarianzas del Hamiltoniano ´INDICE GENERAL v
    • 8.12.1. El momento lineal total como generador de TCI’s que generan traslaciones
    • 8.12.2. El momento angular total como generador de TCI’s que generan rotaciones
  • 8.13. Construcci´on de TC’s finitas a partir de TCI’s
    • 8.13.1. Aplicaci´on del operador evoluci´on temporal en el movimiento uniformemente acelerado
    • 8.13.2. Aplicaci´on del operador evoluci´on temporal en el movimiento arm´onico simple
    • 8.13.3. Aplicaci´on del operador evoluci´on param´etrica para la generaci´on de rotaciones
  • 8.14. Propiedades de los corchetes de Poisson de los momentos angulares
    • 8.14.1. Ejemplos de aplicaci´on
  • 8.15. Ejercicios
• 9. Teor´ıa de Hamilton-Jacobi y variables acci´on-´angulo
  • 9.1. Ec. de Hamilton-Jacobi para la funci´on principal de Hamilton
    • 9.1.1. Interpretaci´on f´ısica de las soluciones de Hamilton-Jacobi
  • 9.2. Soluci´on del oscilador arm´onico por el m´etodo de Hamilton-Jacobi
    • 9.2.1. Oscilador arm´onico unidimensional con el m´etodo de Hamilton Jacobi
    • 9.2.2. Oscilador arm´onico bidimensional anisotr´opico
    • 9.2.3. Oscilador arm´onico bidimensional isotr´opico
  • 9.3. Ec. de H-J para la funci´on caracter´ıstica de Hamilton
  • 9.4. Paralelismo entre los dos formalismos de H-J
  • 9.5. Separaci´on de variables en la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi
    • 9.5.1. Coordenadas ignorables y separabilidad
    • 9.5.2. Condiciones m´as generales para la separabilidad
  • 9.6. Fuerzas centrales en el formalismo de Hamilton-Jacobi
    • 9.6.1. Problema bidimensional
    • 9.6.2. La din´amica de las fuerzas centrales como problema tridimensional
  • 9.7. Otros problemas de aplicaci´on con el formalismo de H-J
    • 9.7.1. Part´ıcula sometida a potencial arm´onico y campo magn´etico
    • 9.7.2. Part´ıcula bajo potencial conservativo en coordenadas elipsoidales
  • 9.8. Variables acci´on-´angulo para sistemas con un grado de libertad
    • 9.8.1. Formulaci´on general de la variables acci´on-´angulo en una dimensi´on
  • 9.9. Problemas de variables acci´on-´angulo con un grado de libertad
    • 9.9.1. El oscilador arm´onico unidimensional en variables acci´on-´angulo
    • 9.9.2. Part´ıcula en movimiento peri´odico en una dimensi´on bajo un potencial V (x) = F |x|
  • 9.10. Variables acci´on-´angulo para sistemas completamente separables
    • 9.10.1. Movimientos peri´odicos m´ultiples de libraci´on
    • 9.10.2. Movimientos cuasi peri´odicos m´ultiples de rotaci´on
    • 9.10.3. Movimientos peri´odicos simples y m´ultiples tipo libraci´on
    • 9.10.4. Variables acci´on-´angulo para sistemas degenerados
  • 9.11. Comentarios finales sobre las variables acci´on-´angulo
  • 9.12. El problema de Kepler en variables acci´on-´angulo
    • 9.12.1. Variables acci´on-´angulo teniendo en cuenta la degeneraci´on
  • 9.13. Ejercicios
• 10.Fuerzas centrales
  • 10.1. Reducci´on al problema de dos part´ıculas desacopladas
  • 10.2. Ecuaciones de movimiento y primeras integrales
  • 10.3. Problema unidimensional asociado y clasificaci´on de ´orbitas
  • 10.4. An´alisis de curvas de potencial efectivo
    • 10.4.1. Potencial efectivo para interacci´on kepleriana
    • 10.4.2. Potencial efectivo equivalente para dos cuerpos no interactuantes vi ´INDICE GENERAL
    • 10.4.3. Potencial atractivo proporcional al inverso del cubo de la distancia
    • 10.4.4. Potencial efectivo para fuerza restauradora lineal
    • 10.4.5. Consideraciones generales sobre curvas de potencial efectivo
  • 10.5. El teorema del virial
    • 10.5.1. Otras aplicaciones del teorema del virial
  • 10.6. Ecuaci´on de la ´orbita y potenciales integrables
  • 10.7. Condici´on para ´orbitas circulares estables e inestables
  • 10.8. Orbitas circulares perturbadas a primer orden .´
  • 10.9. Orbitas circulares perturbadas y condic. para ´´ orbitas cerradas
  • 10.10.Orbitas circulares perturbadas con variables ac.-ang. (Opcional) .´
  • 10.11.El problema de Kepler: Ley del inverso al cuadrado (atractiva)
  • 10.12.Soluci´on para la ´orbita en el problema de Kepler
    • 10.12.1.Clasificaci´on de las ´orbitas seg´un los valores de E y l
    • 10.12.2.Condici´on de circularidad
    • 10.12.3.Orbitas el´´ ıpticas
  • 10.13.Movimiento en el tiempo en el problema de Kepler
    • 10.13.1.Dependencia temporal en el caso parab´olico
    • 10.13.2.Dependencia temporal para el movimiento el´ıptico
    • 10.13.3.Tercera ley de Kepler
  • 10.14.Vector de Laplace-Runge-Lenz
  • 10.15.Parametrizaci´on de las ´orbitas keplerianas en el espacio
  • 10.16.Problema de Kepler en variables acci´on-´angulo revisado (opcional)
    • 10.16.1.Determinaci´on del Hamiltoniano en t´erminos de variables de acci´on
    • 10.16.2.Relaci´on entre variables acci´on-´angulo y variables orbitales
  • 10.17.Ejercicios
• 11.Colisiones y dispersi´on
  • 11.1. Colisiones y dispersiones generales
    • 11.1.1. Caso especial 1: reacci´on de captura
    • 11.1.2. Caso especial 2, blanco en reposo
  • 11.2. Dispersi´on en un campo de fuerzas centrales
    • 11.2.1. Dispersi´on de Rutherford
    • 11.2.2. Caracter´ısticas generales de la secci´on eficaz
  • 11.3. Dispersi´on vista por el laboratorio y el CM (blanco en reposo) - de masa 11.3.1. Relaci´on entre el ´angulo de dispersi´on medido por el laboratorio y el medido por el centro
    • 11.3.2. Caracterizaci´on del factor ρ de la colisi´on
    • 11.3.3. Secci´on eficaz en t´erminos de los dos ´angulos de dispersi´on
  • 11.4. Ejercicios
• 12.Interludio: Matrices, vectores y tensores
  • 12.1. Propiedades b´asicas de las matrices
    • 12.1.1. Determinantes y trazas de matrices
    • 12.1.2. Matrices rectangulares
  • 12.2. Interpretaci´on activa y pasiva de las transf. lineales
    • 12.2.1. Transformaciones de similaridad
  • 12.3. Problema de valores propios
    • 12.3.1. El problema de la degeneraci´on de valores propios
  • 12.4. Propiedades b´asicas de las matrices ortogonales
    • 12.4.1. Matrices ortogonales y norma de vectores complejos (opcional)
    • 12.4.2. Transformaciones ortogonales propias e impropias ´INDICE GENERAL vii
  • 12.5. Vector asociado a una matriz antisim´etrica real 3 ×
  • 12.6. Propiedades de paridad de vectores y escalares
  • 12.7. Transformaciones ortogonales propias
    • 12.7.1. Matrices ortogonales reales propias en tres dimensiones
  • 12.8. Matriz adjunta
  • 12.9. Matrices unitarias y cambios de base (opcional)
  • 12.10.Matrices con espectro completo
  • 12.11.Matrices Herm´ıticas y sim´etricas reales
    • 12.11.1.Matrices reales sim´etricas
    • 12.11.2.Problema de valores propios de matrices herm´ıticas en tres dimensiones
    • 12.11.3.Matrices sim´etricas reales en R
  • 12.12.Matrices normales (opcional)
  • 12.13.Matrices positivas y definidas positivas
    • 12.13.1.Matrices sim´etricas reales que son positivas
  • 12.14.Problema de valores propios modificado para matrices positivas
    • 12.14.1.Diagonalizaci´on simult´anea de dos formas cuadr´aticas
  • 12.15.Interpretaci´on geom´etrica de la diagonalizaci´on de dos matrices
    • 12.15.1.Argumentaci´on por geometr´ıa anal´ıtica
    • 12.15.2.Argumentaci´on por geometr´ıa de Riemann
  • 12.16.Tensores cartesianos
  • 12.17.Los grupos O (3) y SO (3) y la definici´on de tensores cartesianos
  • 12.18.Tensores de SO (3)
  • 12.19.Tensores de O (3) y el concepto de pseudotensor
    • 12.19.1.Los tensores de Kronecker δij y de Levi-Civit´a εijk
  • 12.20.Diadas y afinores
  • 12.21.Contracci´on de tensores, reglas del cociente
  • 12.22.Ejercicios
• 13.Cinem´atica del cuerpo r´ıgido
  • 13.1. Coordenadas independientes de un cuerpo r´ıgido
  • 13.2. Asignaci´on de los grados de libertad de un cuerpo r´ıgido
  • 13.3. Transformaciones ortogonales
  • 13.4. Angulos de Euler .´
  • 13.5. Par´ametros de Cayley-Klein (Opcional)
  • 13.6. Teorema de Euler para el movimiento del cuerpo r´ıgido
  • 13.7. Rotaciones finitas
    • 13.7.1. Forma matricial de la f´ormula de rotaci´on
    • 13.7.2. Relaci´on entre la parametrizaci´on eje-´angulo (n, Φ) y los ´angulos de Euler
  • 13.8. Rotaciones infinitesimales
  • 13.9. Rotaciones finitas e infinitesimales en convenci´on quiral derecha
    • 13.9.1. Construcci´on de rotaciones finitas por integraci´on de rotaciones infinitesimales
  • 13.10.Velocidad angular en t´erminos de los ´angulos de Euler
  • 13.11.Raz´on de cambio de un vector visto por sistemas rotantes
    • 13.11.1.Raz´on de cambio por argumentos vectoriales
    • 13.11.2.Raz´on de cambio por argumentos algebr´aicos
    • 13.11.3.Segunda derivada en el sistema rotante
  • 13.12.Sistemas no inerciales rotantes
    • 13.12.1.La tierra como sistema rotante
    • 13.12.2.Superficie de un l´ıquido rotante
    • 13.12.3.Cuenta sobre un alambre (revisado)
    • 13.12.4.Deflexi´on de una masa en ca´ıda libre viii ´INDICE GENERAL
  • 13.13.Ejercicios
• 14.Ecuaciones de movimiento del cuerpo r´ıgido
  • 14.1. Momento ang. y energ´ıa cin´et. alrededor de un punto
    • 14.1.1. Momento angular, velocidad angular y tensor de inercia
  • 14.2. Tensor de inercia y momento de inercia
    • 14.2.1. Teorema de los ejes paralelos y de los ejes perpendiculares
  • 14.3. Compendio de propiedades del tensor de inercia
  • 14.4. Ecuaciones de Euler para el movimiento de un cuerpo r´ıgido
    • 14.4.1. Ecuaciones de Euler con el formalismo de Lagrange
  • 14.5. Precesi´on libre
    • 14.5.1. Construcci´on de Poinsot para la precesi´on libre
    • 14.5.2. Elipsoide de Binet y el momento angular
    • 14.5.3. Elipsoide de Binet, rotaci´on estacionaria y condiciones para la rotaci´on estable
    • 14.5.4. Soluci´on algebraica para la precesi´on libre con simetr´ıa axial
    • 14.5.5. Estabilidad de s´olidos irregulares con precesi´on libre por m´etodos algebr´aicos
  • 14.6. La peonza sim´etrica pesada con un punto fijo
    • 14.6.1. Planteamiento del Lagrangiano
    • 14.6.2. Reducci´on del problema a cuadraturas
    • 14.6.3. An´alisis cualitativo del movimiento
    • 14.6.4. An´alisis cuantitativo aproximado de la peonza r´apida
    • 14.6.5. Peonza con precesi´on regular
    • 14.6.6. Peonza inicialmente vertical
    • 14.6.7. Efectos de fricci´on, torques adicionales y aplicaciones de la peonza sim´etrica pesada
  • 14.7. Ejercicios
• 15.Oscilaciones
  • 15.1. Peque˜nas oscilaciones y equilibrio estable
  • 15.2. Soluci´on de las Ecs. de mov. como problema de valores propios
    • 15.2.1. Un ejemplo con dos grados de libertad
  • 15.3. Problema de valores propios con degeneraci´on
    • 15.3.1. Un ejemplo bidimensional con degeneraci´on
  • 15.4. Frecuencias de vibraci´on libre y coordenadas normales
  • 15.5. Vibraciones libres de una mol´ecula triat´omica
    • 15.5.1. Modos normales de frecuencia cero: traslaciones y rotaciones r´ıgidas
    • 15.5.2. Vectores propios de la ecuaci´on secular
    • 15.5.3. Modos normales y modos reales de la mol´ecula triat´omica
    • 15.5.4. An´alisis cualitativo de vibraciones transversales y longitudinales
  • 15.6. Modos normales puros y soluciones f´ısicas asociadas
  • 15.7. Vibraciones forzadas y amortiguadas
    • 15.7.1. Vibraciones forzadas
    • 15.7.2. Vibraciones amortiguadas
    • 15.7.3. Vibraciones amortiguadas forzadas
  • 15.8. Ejemplos de oscilaciones anarm´onicas (opcional)
    • 15.8.1. Ecuaciones del p´endulo amortiguado forzado de amplias oscilaciones
    • 15.8.2. Soluciones del p´endulo amortiguado forzado de amplias oscilaciones
  • 15.9. Ejercicios
• 16.Relatividad especial ´INDICE GENERAL ix
  • 16.1. Propiedades de las transformaciones de Lorentz puras
    • 16.1.1. Transformaciones de Lorentz puras y matrices ortogonales complejas
  • 16.2. Transformaciones de Lorentz restringidas
    • 16.2.1. Transformaciones de Lorentz restringidas: Boosts y rotaciones
    • 16.2.2. Composici´on de boosts
    • 16.2.3. Precesi´on de Thomas
  • 16.3. Transf. de Lorentz en espacios de Riemann
  • 16.4. El concepto de formulaci´on covariante en F´ısica
  • 16.5. Formulaciones covariantes en el espacio de Minkowski
    • 16.5.1. Cuadrivectores notables
  • 16.6. Fuerza y momento en relatividad especial
  • 16.7. Energ´ıa y relaci´on momento-energ´ıa en relatividad especial
  • 16.8. Formulaci´on Lagrangiana de la mec´anica relativista
  • 16.9. Formulaci´on no manifiestamente covariante
    • 16.9.1. Movimiento relativista bajo una fuerza constante (hiperb´olico)
    • 16.9.2. Oscilador arm´onico unidimensional relativista
    • 16.9.3. Movimiento de part´ıcula cargada en un campo magn´etico
  • 16.10.Formulaciones lagrangianas covariantes
  • 16.11.Ejercicios
• 17.Teor´ıa can´onica de perturbaciones
  • 17.1. Variaci´on de ctes para perturbaciones dependientes del tiempo
  • 17.2. Perturb. dependiente del tiempo en t´erminos de los par´ametros de mov.
  • 17.3. Variaci´on peri´odica y variaci´on secular de una perturbaci´on
  • 17.4. Ejemplos en teor´ıa de perturb. dependiente del tiempo
    • 17.4.1. Oscilador arm´onico como perturbaci´on de la part´ıcula libre
    • 17.4.2. P´endulo plano con amplitud finita
    • 17.4.3. Perturbaciones en el problema de Kepler acotado
  • 17.5. Perturbaciones indep. del tiempo: primer orden con un grado de libertad - tiempo 17.5.1. P´endulo plano con oscilaci´on finita usando m´etodo de perturbaci´on independiente del
  • 17.6. Perturb. indep. del tiempo: orden superior y varios grados de libertad
    • 17.6.1. Oscilador anarm´onico unidimensional
  • 17.7. Perturb. indep. del tiempo con degeneraci´on
  • 17.8. Aspectos cualitativos de la teor´ıa cl´asica de perturbaciones
  • 17.9. Invariantes adiab´aticos
    • 17.9.1. Invarianza adiab´atica del oscilador arm´onico
    • 17.9.2. Variaci´on asint´otica de J para el oscilador arm´onico (opcional)
      • cional) 17.9.3. Un invariante exacto del oscilador arm´onico con frecuencia dependiente del tiempo (op-
    • 17.9.4. Invariantes adiab´aticos de part´ıculas cargadas en campos electromagn´eticos
  • 17.10.Ejercicios
• 18.Formulaci´on Lagrangiana y Hamiltoniana para campos
  • 18.1. Ecuaci´on de continuidad
  • 18.2. Transici´on de un sistema discreto a un sistema cont´ınuo
  • 18.3. Formulaci´on lagrang. para una dimensi´on y una variable de campo
  • 18.4. Formulaci´on lagrang. para 3 dim. y varias variables de campo
  • 18.5. El tensor esfuerzo energ´ıa y teoremas de conservaci´on asociados
    • 18.5.1. Interpretaci´on f´ısica de T 0 μ: densidad de energ´ıa y vector de Poynting
  • 18.5.2. Interpretaci´on f´ısica de Tij : densidad de momento lineal y tensor de esfuerzos x ´INDICE GENERAL
  • 18.5.3. Energ´ıa y momento total del sistema
  • 18.5.4. Densidad de momento angular y momento angular total
• 18.6. Formulaci´on Hamiltoniana para medios cont´ınuos
  • 18.6.1. Propiedades b´asicas de H
  • 18.6.2. Densidades generalizadas y corchetes de Poisson
  • 18.6.3. Formulaci´on por corchetes de Poisson utilizando descomposici´on de Fourier
• 18.7. Ejemplos de teor´ıas de campos
  • 18.7.1. Un modelo juguete
• 18.8. Teor´ıa de campos relativista
• 18.9. Algunas teor´ıas de campos relativistas
  • 18.9.1. Campo escalar complejo
  • 18.9.2. Ecuaci´on de seno Gordon

Prefacio

Estas notas de clase tienen como objetivo ser una gu´ıa para un curso de mec´anica anal´ıtica, en donde los principios de la mec´anica cl´asica se examinan a la luz de las formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana y las variantes que de ellas se derivan. Estas formulaciones ubican a la energ´ıa en el papel fundamental que las fuerzas tienen en la formulaci´on Newtoniana. Quiz´as el aspecto m´as atractivo de ´estas formulaciones consiste en su poder para enlazar las simetr´ıas de un sistema con las constantes de movimiento, y en la riqueza de estrategias para extraer informaci´on del sistema sin resolver expl´ıcitamente las ecuaciones de movimiento. Estos aspectos se enfatizan fuertemente a lo largo del texto, aunque en algunos casos se estudia la soluci´on completa de acuerdo con la conveniencia y la simplicidad de estas soluciones. Se ha pretendido enfatizar en aspectos que en opini´on del autor, han presentado fuerte dificultad en el desarrollo de las clases. A manera de ejemplo, la discusi´on del ´algebra matricial que precede al estudio de la cinem´atica del cuerpo r´ıgido es considerablemente extensa y detallada haciendo ´enfasis tanto en lo geom´etrico como en lo algebr´aico. Debe notarse sin embargo que el contenido de esta secci´on de ´algebra matricial va m´as all´a de las necesidades del curso presente, lo cual tiene como fin preparar al estudiante para trabajar no solo en los espacios euclidianos Rn^ sino tambi´en en los espacios unitarios Cn^ que juegan un papel fundamental en mec´anica cu´antica. Los cap´ıtulos que se incluyen son en opini´on del autor de gran importancia para la formaci´on general del F´ısico y constituyen el punto de partida de muchas ramas de la F´ısica. Es muy claro a lo largo de la lectura de las notas, que ´estas ´ultimas se han generado con una influencia considerable del cl´asico texto de Herbert Goldstein, especialmente de la segunda y tercera edici´on. No obstante, existen cambios de enfoque y/o presentaci´on de numerosas unidades tem´aticas, debidos a la influencia de otros autores (tales como Jos´e, Saletan, Cromer, Whittaker, Marion etc.), as´ı como de algunos abordajes propios del autor. A manera de ejemplo, los ´angulos de Euler se han introducido de manera que no solo quede claro el algoritmo de rotaci´on, sino la necesidad de dicho algoritmo. Se ha realizado un considerable esfuerzo por presentar de manera clara la filosof´ıa e implementaci´on del m´etodo de Hamilton-Jacobi. La mayor parte de herramientas matem´aticas necesarias se han aislado en cap´ıtulos independientes a fin de dar m´as flexibilidad al texto y con el fin de que el lector las capture en su esencia y no las asocie a problemas muy espec´ıficos de la F´ısica, lo cual dificulta en general la aplicaci´on de estas herramientas en otros escenarios de la F´ısica diferentes a los aprendidos. Algunas secciones se han indicado como opcionales, a fin de facilitar al lector una primera lectura, y al mismo tiempo, darle al texto la riqueza necesaria para ir m´as all´a de lo estrictamente b´asico, sugiriendo caminos que incentiven la curiosidad del lector. Para una adecuada comprensi´on de estas notas, el lector debe tener conocimientos a nivel introductorio sobre mec´anica newtoniana, as´ı como de ´algebra lineal y c´alculo diferencial e integral. En algunos pasajes aislados se asume un conocimiento b´asico de electricidad, magnetismo y ondas. El cap´ıtulo 1 es un repaso de la mec´anica cl´asica en la llamada “formulaci´on Newtoniana” en donde la fuerza es la cantidad din´amica central. El cap´ıtulo 2 nos presenta el principio de D’Alembert y las ecuaciones de Lagrange, enfatizando que estas formulaciones apuntan a resolver dos problemas importantes en la din´amica de sistemas cl´asicos: (a) excluir a las ligaduras de la formulaci´on debido a la dificultad que usualmente se presenta para obtenerlas y (b) trabajar solo con los grados de libertad independientes, evitando las coordenadas redundantes. El cap´ıtulo 3 es un suplemento matem´atico sobre el c´alculo variacional. A pesar de que este

xi

PREFACIO xiii

suficientemente simples para ilustrar los principios fundamentales. El material cubierto en estas notas est´a pensado para dos cursos cada uno de 16 semanas con una intensidad de 4 horas semanales. Complementado quiz´as, con una introducci´on a la teor´ıa del caos cl´asico. Por supuesto, los cap´ıtulos 3 y 12 relacionados con herramientas matem´aticas, podr´an tomarse a diferentes ritmos o grados de detalle, dependiendo del nivel de preparaci´on de los lectores en estos temas. Varias distribuciones en la presentaci´on de los temas son posibles. Si se toma el orden de cap´ıtulos en ´estas notas, un primer curso puede ser hasta el cap´ıtulo 11, siendo los cap´ıtulos remanentes para un segundo curso. Sin embargo, una vez estudiado el cap´ıtulo 6 es posible saltar directamente al cap´ıtulo 10 y continuar la secuencia de cap´ıtulos obviando algunas secciones (por ejemplo, la secci´on 10.16 en la que se trata el problema de Kepler con variables acci´on-´angulo), con excepci´on del cap´ıtulo 17, el cual depende fuertemente de la formulaci´on de Hamilton-Jacobi. Vale la pena resaltar que el material presente son notas de clase y no un libro de texto. Por esta raz´on aparecen algunos desarrollos en excesivo detalle, ya que fueron producto del ejercicio directo de preparaci´on para la clase. Espero que tales desarrollos no se conviertan en un distractor para el lector, quien puede obviar estos detalles de ser necesario. No obstante, considero que las notas en su presente forma est´an autocontenidas para ser usadas en una clase, o para autoaprendizaje. Quiero expresar mis agradecimientos a los estudiantes del Departamento de F´ısica de la Universidad Na- cional de Colombia, sede Bogot´a, por sus cont´ınuas contribuciones y observaciones sobre el texto y el curso en general. Al profesor Eduardo Brieva, quien fuera mi instructor de mec´anica anal´ıtica en mis a˜nos de estudiante, y a quien debo mi comprensi´on de buena parte del material aqu´ı presentado. A los profesores John Morales y William Herrera por las discusiones sobre varios temas que contribuyeron a madurar el presente texto. A toda mi familia por su constante apoyo cuando las vicisitudes parec´ıan oscurecer el camino. A mis hijos Iris Soraya y David Leandro, por ser siempre una fuerza motora de mi existencia.

Rodolfo Alexander Diaz Sanchez Facultad de Ciencias. Departamento de F´ısica Universidad Nacional de Colombia Bogot´a, Enero de 2012.

Introducci´on

En las formulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de la Mec´anica Cl´asica (as´ı como en sus formulaciones derivadas), existen varias estrategias que aportan un considerable valor agregado con respecto a la formulaci´on Newtoniana. En las presentes notas se ha procurado enfatizar reiteradamente en aquellos puntos que en opini´on del autor, constituyen los valores agregados m´as fuertes. Discutiremos brevemente dos aspectos que constituyen la motivaci´on de una formulaci´on Lagrangiana: (a) La eliminaci´on de las fuerzas de ligadura, de las ecuaciones de movimiento y (b) el uso del m´ınimo n´umero posible de coordenadas. Para comprender la motivaci´on del incizo (a) bastar´a que el lector examine con cuidado un problema como el de una part´ıcula que desliza sobre una trayectoria hiperb´olica, e intente encontrar el valor de la fuerza normal (fuerza de ligadura) que mantiene a la part´ıcula sobre la trayectoria en cuesti´on. Para el incizo (b) basta con decir que cuando un conjunto de N part´ıculas est´an ligadas (por ejemplo si las distancias entre ellas son constantes), el n´umero de coordenadas independientes es menor que 3N , pero en la formulaci´on Newtoniana tendremos que plantear las ecuaciones para las 3N coordenadas, obteniendo as´ı informaci´on redundante, para posteriormente incorporar la ligadura. Hay entonces un considerable ahorro al elaborar una formulaci´on en donde de entrada se trabaja solo sobre coordenadas independientes. Esta misma filosof´ıa se conserva en la formulaci´on Hamiltoniana. Otra ventaja de estas formulaciones consiste en que permitir´a un uso m´as sistem´atico de las simetr´ıas del sistema para extraer informaci´on total o parcial de ´este. De otra parte, aunque a trav´es del texto se estudian problemas f´ısicos espec´ıficos, es tambi´en com´un abordar temas introduciendo un “pensamiento f´ısico abstracto”, en el sentido de que ciertos aspectos estructurales nos dar´an informaci´on parcial del sistema, independiente de los detalles de ´este. A manera de ejemplo: para muchos sistemas f´ısicos se puede constru´ır una cantidad denominada Lagrangiano, y que depende de un conjunto de coordenadas generalizadas qi, velocidades generalizadas ˙qi y el tiempo

L = L (q 1 ,... , qn, q˙ 1 ,... , q˙n; t)

supongamos que un Lagrangiano es tal que aparece la velocidad generalizada ˙qk pero no aparece su coordenada generalizada asociada qk, cuando esto ocurre existe una cantidad que es constante de movimiento, denominada momento conjugado a qk

pk ≡

∂L

∂ q˙k = cte

esta caracter´ıstica solo depende de un aspecto estructural del Lagrangiano, no de los detalles del sistema, ni siquiera importa si el sistema es mec´anico, el´ectrico o de otra naturaleza. Otro aspecto que nos introduce en el pensamiento f´ısico abstracto es la introducci´on constante de canti- dades generalizadas. Las coordenadas generalizadas son simplemente las variables m´ınimas independientes de un sistema y no tienen que ser necesariamente variables de posici´on. As´ı mismo, ˙q no es necesariamente una velocidad lineal. Una densidad generalizada ρ (x, t) es cantidad de “carga generalizada” por unidad de volumen, donde la carga generalizada es cualquier cantidad f´ısica escalar tal como la carga el´ectrica, la masa, la energ´ıa, la probabilidad etc. A esta cantidad escalar se le puede asociar una propiedad de transporte a trav´es de una densidad de corriente generalizada, no importa si se transporta energ´ıa, masa, carga el´ectrica, pro- babilidad etc. La din´amica de estas densidades y densidades de corriente generalizada ser´an v´alidas para ´estos y muchos otros escenarios al tiempo. En particular, la formulaci´on de la ecuaci´on de continuidad adquirir´a un poder extraordinario con esta forma de pensamiento generalizado.

xiv

xvi INTRODUCCI ON´

Cap´ıtulo 1

Elementos b´asicos de Mec´anica Newtoniana

1.1. Cinem´atica

La cinem´atica trata de la descripci´on del movimiento de los cuerpos sin referencia a las causas de dicho movimiento. El tratamiento ser´a breve sin una discusi´on detallada de los conceptos. Para detalles, ver por ejemplo las referencias. [2, 3]. Asumiremos que tenemos una idea intuitivamente clara de los conceptos de espacio, tiempo y masa. El primer concepto que se construye es el de vector posici´on. Una part´ıcula puntual ocupa un punto espec´ıfico en el espacio, si elegimos un sistema de referencia, podemos trazar un vector desde el origen de dicho sistema hasta el punto donde se ubica la part´ıcula, y lo denominamos vector posici´on. La posici´on entendida como un punto geom´etrico en el espacio, no es un vector como tal (no tiene direcci´on, magnitud, ni sentido), lo cual se refleja en el hecho de que el vector posici´on depende del origen elegido para el sistema coordenado. Cuando una part´ıcula se desplaza desde un punto descrito por el vector posici´on r 0 hasta otro descrito por rf , podemos describir el movimiento de esta part´ıcula a trav´es del vector desplazamiento ∆r, como un vector que va desde r 0 hacia rf. Este vector indica la direcci´on del desplazamiento y la distancia recorrida (magnitud del vector).

∆r ≡ rf − r 0

vale la pena mencionar que ∆r s´ı es un vector como tal, lo cual se refleja en el hecho de que ∆r es independiente del origen elegido. Ahora definimos el vector velocidad, como el cambio de posici´on (o desplazamiento) por unidad de tiempo

v =

rf − r 0 tf − t 0

∆r ∆t

si queremos conocer el valor de la velocidad del m´ovil en forma mas detallada, partimos el intervalo anterior en intervalos mas finos, y definimos una velocidad para cada intervalo

v =

r (ti + ∆ti) − r (ti) ∆ti

∆ri ∆ti

la velocidad instant´anea se define como un paso al l´ımite

l´ım ∆ti→ 0

∆ri ∆ti = vinst

a partir de la definici´on de velocidad se obtiene

vi∆ti = ∆xi

1

1.3. TRABAJO Y ENERG´IA 3

A pesar de que las leyes de Newton me dan en principio una descripci´on completa de la evoluci´on de los sistemas, tienen el limitante de que requieren el conocimiento de las fuerzas en funci´on del tiempo, en la pr´actica es m´as usual que se conozca la fuerza en funci´on de la posici´on, lo cual nos lleva al concepto de trabajo.

1.3. Trabajo y energ´ıa

Si arrastramos un cuerpo con una fuerza aplicada F y queremos constru´ır un concepto f´ısico que dependa del desplazamiento del cuerpo, vemos que solo la componente de la fuerza paralela al desplazamiento contribuye a ´este. Tal hecho nos induce a constru´ır el concepto de trabajo instant´aneo de la forma

dW = F · dr

la fuerza es 100 % efectiva cuando es paralela al desplazamiento, 0 % efectiva cuando es perpendicular, y su contribuci´on es negativa cuando la proyecci´on de la fuerza sobre el desplazamiento tiene sentido opuesto a tal desplazamiento. En una trayectoria arbitraria el trabajo que realiza una fuerza F sobre un part´ıcula viene dada por una integral de l´ınea con l´ımites en los extremos A y B de la trayectoria

W =

∫ B

A

F · dr

n´otese que F es una de las fuerzas aplicadas sobre la part´ıcula, y no necesariamente corresponde a la fuerza resultante. Sin embargo, cuando la fuerza en cuesti´on es la resultante sobre la part´ıcula, la segunda ley de Newton conduce autom´aticamente al teorema fundamental del trabajo y la energ´ıa

∫ (^) B

A

F · dr =

mv^2 B −

mv A^2 (1.1)

la cual nos indica que sin importar la trayectoria seguida por la part´ıcula, el trabajo realizado por la fuerza resultante sobre ´esta equivale al cambio en la cantidad (1/2) mv^2 que denominamos la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula. Es indispensable tener claro que el teorema fundamental del trabajo y la energ´ıa solo es aplicable a la fuerza resultante sobre la part´ıcula y no a una de las fuerzas aplicadas. A priori se podr´ıa pensar que esta formulaci´on es est´eril cuando la queremos aplicar a una fuerza sobre una part´ıcula, dado que el c´alculo del trabajo requiere conocer la trayectoria de ´esta, lo cual presupone que de alguna forma el problema ya est´a resuelto. Sin embargo, hay tres razones por las cuales la formulaci´on es ´util a pesar de lo anterior

1. Con frecuencia, existen fuerzas de ligadura que obligan a la part´ıcula a seguir una trayectoria dada (e.g. p´endulo, monta˜na rusa), de modo que conocemos la trayectoria aunque no conozcamos el valor de la fuerza de ligadura, ni otras variables din´amicas del sistema (velocidad o aceleraci´on en funci´on de la posici´on o del tiempo).
2. Existen fuerzas para las cuales la evaluaci´on de la integral de l´ınea no requiere del conocimiento de la trayectoria sino solo de los puntos inicial y final. Esto nos lleva al concepto de Fuerza conservativa
3. En el caso de la fuerza resultante el teorema fundamental del trabajo y la energ´ıa nos permite encontrar el trabajo que dicha fuerza hace sobre la part´ıcula, conociendo ´unicamente las velocidades en los extremos de la trayectoria as´ı como la masa de la part´ıcula.

Definition 1 Una fuerza conservativa es aquella para la cual el trabajo asociado no depende de la trayectoria seguida por la part´ıcula sino solo de la posici´on final e inicial

∫ (^) B

A

F · dr = U (rA) − U (rB ) (1.2)

4 CAP´ITULO 1. ELEMENTOS B ASICOS DE MEC ´ ANICA NEWTONIANA´

la funci´on escalar U (r) se conoce como energ´ıa potencial. Por otro lado, si la fuerza resultante es conservativa, podemos combinar la definici´on de conservatividad con el teorema fundamental del trabajo y la energ´ıa y se obtiene

1 2 mv B^2 −

mv^2 A = U (rA) − U (rB ) ⇒ 1 2 mv A^2 + U (rA) =

mv^2 B + U (rB )

esto conduce al teorema de conservaci´on de la energ´ıa mec´anica. Es necesario enfatizar que la conser- vatividad requiere que la energ´ıa potencial definida en (1.2) dependa ´unicamente de la posici´on. Si la energ´ıa potencial es funci´on expl´ıcita del tiempo, entonces la suma de Ek + U todav´ıa me define la energ´ıa total del sistema, pero esta cantidad ya no se conserva en general. En otros casos la energ´ıa potencial puede depender de la velocidad, aceleraci´on etc. Finalmente, en algunos casos no existe ninguna funci´on escalar que pueda dar cuenta del trabajo realizado. En ninguno de estos casos se conserva la energ´ıa. Retomando la definici´on (1.2), vemos que a la energ´ıa potencial se le puede agregar una constante arbitraria sin alterar el contenido F´ısico de ´esta, ya que lo que es relevante f´ısicamente es el cambio en la energ´ıa potencial y no su valor en s´ı. Es f´acil demostrar que para que una fuerza sea conservativa, cada una de estas afirmaciones es condici´on necesaria y suficiente

F (r) = −∇U (r) ; ∇ × F (r) = 0 ;

∫ B

A

F (r) · dr = U (rA) − U (rB ) ;

F (r) · dr = 0

donde todas estas expresiones deben cumplirse para todo r ∈ R^3 o para toda trayectoria en R^3. Las dos primeras son condiciones en todo el espacio y las dos siguientes para toda trayectoria (general y cerrada respectivamente). En todas estas ecuaciones, se debe enfatizar que no debe haber dependencia temporal expl´ıcita. Las fuerzas conservativas mas importantes son las fuerzas constantes y las fuerzas centrales. Dentro de las no conservativas el rozamiento es la mas destacable. En el tratamiento de fuerzas centrales existe una cantidad que se conserva y que resulta muy ´util en el tratamiento de este tipo de fuerzas: el momento angular

1.4. Torque y momento angular

Si para una fuerza central elegimos el origen en el punto de convergencia de la fuerza, tenemos claramente que la cantidad r × F es nula. Llamemos a esta cantidad el torque de la part´ıcula relativo a el origen O, ya que es con respecto a este origen que se construye el vector posici´on r. Esta cantidad denotada por ~τ se puede escribir como la derivada temporal total de otra cantidad: el llamado momento angular y definido por L ≡ r × p veamos

d dt

(r × p) = dr dt

× p + r × dp dt

= mv × v + r × F ⇒ dL dt

= ~τ (1.3)

para una fuerza central con origen en el punto de convergencia, el torque es cero y el momento angular es una constante de movimiento. Aunque los conceptos de torque y momento angular de una part´ıcula surgen de manera natural en el caso de fuerzas centrales, son extensibles a cualquier tipo de fuerza y la relaci´on (1.3) es v´alida en general. En particular si no hay torque sobre la part´ıcula el momento angular se conserva, de la misma forma que el momento lineal se conserva ante la ausencia o anulaci´on de las fuerzas. Finalmente, es necesario insistir en la fuerte dependencia que el torque y el momento angular tienen con respecto al origen coordenado elegido, lo cual se manifiesta a trav´es de su dependencia del vector posici´on r. De esta forma hay tres cantidades cuya conservaci´on ser´a mas adelante extensible a sistemas de part´ıculas, la energ´ıa, el momento lineal y el momento angular