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Docentes: Garelik Claudia – Martinez Ma. Pía – Fuentealba Jenny – Llorens Emiliana
Apunte teórico: Unidad 1
DISEÑO DE INTERIORES Y MOBILIARIO
MATEMÁTICA COMPOSITIVA
Contenidos Polígonos. Triángulos: definición, construcción, congruencia de triángulos, perímetro y área. Cuadriláteros: definición, clasificación, construcciones geométricas con regla y compás: mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo, recta paralela y recta perpendicular a una recta dada, perímetro y área, propiedades. Polígonos regulares. Representación, descripción y construcción de polígonos. Cálculo de perímetros y áreas. Incertezas y cifras significativas. Círculos. Curvas en el plano: espirales, elipses, circunferencias. Trazado, reproducción y construcción de estas curvas. Vectores: definición. Sistema de referencia. Vector determinado por dos puntos. Suma y resta de vectores. Vector opuesto. Multiplicación de un vector por un escalar. Coordenadas polares de un vector. Fuerzas-Interacciones: Concepto y clasificación de las fuerzas. Masa y Densidad. Centro de gravedad. Tipos de Fuerzas: Peso. Normal. Tensión. Elástica. Rozamiento.
APUNTE TEÓRICO UNIDAD 1
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POLÍGONOS
Recordemos que, en el apartado anterior, decíamos que “con segmentos
situados en rectas diferentes de un mismo plano, y conectados por sus extremos,
se construyen líneas quebradas o poligonales ”. Estas líneas pueden ser
abiertas si no coincide uno de los puntos extremos del segmento inicial con
alguno del segmento final, o cerradas en caso contrario. Cuando una línea
quebrada es cerrada y no se han cruzado entre sí los segmentos que la
componen, decimos que se ha formado un polígono.
En todo polígono se destacan los siguientes elementos: ● Lados: son los segmentos de la línea poligonal ● Vértices: puntos de concatenación de dichos segmentos ● Ángulos internos: los formados por dos segmentos consecutivos, orientados hacia la región interna del polígono ● Ángulos externos: los formados por un lado y la prolongación de otro contiguo hacia la región exterior. Generalmente se designa con la letra griega del ángulo interior adyacente acompañada de un subíndice. ● Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
De los elementos de un polígono, podemos medir : la longitud de sus lados, cuya suma total se denomina perímetro; la longitud de sus diagonales; la amplitud de sus ángulos, así como su suma total; la magnitud de su región interna, es decir, el área del polígono.
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TRIÁNGULOS
Un triángulo es el polígono de tres lados. Es el más elemental de todos los polígonos, lo que hace que tenga ciertas particularidades: ● No existen triángulos cóncavos. ● Es el único polígono convexo que no tiene diagonales. ● Es el único polígono en el que se puede hablar, sin equívocos, de lados opuestos a ángulos, y viceversa; por eso el lado 𝐵𝐶 opuesto al ángulo de vértice A , puede denotarse también como “a”, y así en los demás casos.
Clasificación de triángulos Disponemos de dos criterios para clasificar los triángulos.
a) Según las relaciones de medida entre los lados. Tenemos tres casos: Relación entre los lados Nombre del triángulo Los tres lados congruentes Equilátero Dos lados congruentes Isósceles Ningún par de lados congruentes Escaleno
b) Según la amplitud de sus ángulos. Tenemos también tres casos: Naturaleza de los ángulos Nombre del triángulo Los tres ángulos agudos Acutángulo Un ángulo recto Rectángulo Un ángulo obtuso Obtusángulo
Relación entre los lados y los ángulos en un triángulo ● Si en un triángulo dos lados son congruentes, los ángulos opuestos también lo son. ● Si en un triángulo dos lados no son congruentes, al lado mayor se opone el ángulo mayor. Propiedades recíprocas: ● Si en un triángulo dos ángulos son congruentes, los lados opuestos también lo son. ● Si en un triángulo dos ángulos no son congruentes, al ángulo mayor se opone el lado mayor.
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Construcción de un triángulo Para que tres segmentos puedan construir un triángulo es necesario que la longitud del segmento mayor sea menor que la suma de las longitudes de los otros dos segmentos.
Procedimiento : conocida las medidas de tres segmentos, con el compás se abarca la longitud de uno de los segmentos; se ubica este segmento 𝐴𝐵 en el plano. Desde el vértice A y con una abertura del compás equivalente a la medida del segundo segmento, se traza un arco. Se realiza la misma operación desde el vértice B , con una abertura del compás equivalente a la medida del tercer segmento. Desde el punto C en que se cortan los dos arcos se trazan los segmentos 𝐶𝐴 y 𝐶𝐵 y el ∆ 𝐴𝐵𝐶queda construido.
Líneas Notables de un Triángulo Hasta ahora hemos hablado de los lados, vértices y ángulos de un triángulo. Vamos a ampliar este conjunto de elementos con otros varios, vamos a construirlos y a estudiar sus propiedades.
a) Mediatrices de un triángulo Son las semirrectas que pasan por el punto medio de cada lado del triángulo y son perpendiculares a cada uno de ellos. Al efectuar la construcción de las tres mediatrices en un triángulo, se tiene una de las propiedades fundamentales de estas rectas: las tres se cortan en un mismo punto, denominado circuncentro (se lo suele expresar con la letra O ), que presenta la particularidad que equidista de los tres vértices, esto es debido a que pertenece a las mediatrices de los tres segmentos que determinan dicho triángulo. Con centro en el circuncentro, es decir en O , podemos trazar una circunferencia que contenga a los vértices del triángulo. Decimos que es la circunferencia circunscripta o que el triángulo está inscripto en ella.
b) Bisectrices de un triángulo Son las semirrectas que, a cada uno de los ángulos interiores de un triángulo, lo dividen en dos congruentes. Al efectuar la construcción de cada una de las tres bisectrices de un triángulo se tiene una de las propiedades fundamentales de éstas: que las tres se cortan en un mismo punto, denominado incentro. La particularidad que presenta el incentro es que equidista de los tres lados del triángulo. Con centro en el incentro podemos trazar una circunferencia inscripta en el triángulo. Dicha circunferencia es tangente a los lados del triángulo.
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Ahora bien, si la suma de las medidas de los ángulos 4̂, 3̂y 5̂ es de 180°, también lo será la de los ángulos1̂, 2̂y 3̂.
Esta propiedad es muy fecunda para llegar a otros resultados: ⮚ Cualquier ángulo interior es suplementario del ángulo suma de los otros dos. ⮚ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es ( n – 2) .180°.
Ángulos exteriores : Todo triángulo tiene, además de tres ángulos interiores, otros tres ángulos exteriores, cada uno suplementario a su ángulo interior adyacente. Por consiguiente, es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
⮚ La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es de 360°
COMPARACIÓN DE FIGURAS: EL CASO DE LOS TRIÁNGULOS
Para comparar figuras planas se puede adoptar dos criterios de comparación: su forma y tamaño (o magnitud de su región interior). La siguiente tabla refleja los posibles resultados de esta comparación:
Figuras Formas Tamaño Congruentes Igual Igual Semejantes Igual Diferente
La congruencia de triángulos De acuerdo con tales criterios, dos triángulos son congruentes si poseen igual forma y tamaño. Desde el punto de vista de sus elementos, la congruencia de dos triángulos significa que: hay tres pares de lados correspondientes y tres pares de ángulos correspondientes congruentes. Existen tres criterios que permiten determinar la congruencia entre dos triángulos, a través de la verificación de algunas condiciones entre pares de sus elementos.
En la figura se muestran dos situaciones de congruencia de triángulos, las cuales usando la notación quedan descritas así Δ ABC ≡Δ A’B’C’ y Δ MLS ≡Δ M’L’S’.
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Los vértices que se corresponden en la congruencia, e indican los pares de ángulos y segmentos iguales, se indican con una tilde en cada caso, esto es
ΔABC≅ΔA’B’C’ ΔMLS≅ΔM’L’S’ A→A’ M→M’ B→B’ L→L’ C→C’ S→S’
De estas correspondencias, se deduce en cada caso las siguientes relaciones de igualdad entre pares de ángulos y segmentos. ΔABC≅ΔA’B’C’ ΔMLS≅ΔM’L’S’
Criterios de congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes si se verifica que entre ellos existen:
1. Tres pares de lados congruentes. ( L L L ) 2. Dos pares de lados congruentes y los ángulos correspondientes comprendidos entre ellos. ( L A L ) ' ' ' ' ' ' '
AB A B
BAC B A C
AC A C
3. Un lado congruente y los dos ángulos correspondientes que tienen como vértice los extremos de ese lado. (𝐴 𝐿 𝐴) ' ' ' ' ' ' ' '
CAB C A B AB A B ABC A B C
AB A B
BC B C
CA C A
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● Un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectos. ● Un rombo es un paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre sí. ● Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos congruentes entre sí. ● Un paralelogramo propiamente dicho es un paralelogramo que tiene lados y ángulos iguales dos a dos.
A partir de las definiciones para cada paralelogramo, se tienen varios criterios para clasificarlos: a) Según sus lados y ángulos ● Si posee 4 lados congruentes se trata de un rombo. ● Si posee 4 ángulos congruentes , es decir rectos , se trata de un rectángulo. ● Si posee ambas características ( los 4 lados congruentes y los 4 ángulos rectos ), se trata de un cuadrado. ● Si no posee ninguna de las cuatro características se trata de un paralelogramo propiamente dicho.
b) Según sus diagonales ● Si son perpendiculares, se trata de un rombo. ● Si son congruentes , se trata de un rectángulo. ● Si son perpendiculares y congruentes , se trata de un cuadrado. ● Si no son ni perpendiculares ni congruentes, se trata de un paralelogramo propiamente dicho.
2. Trapecios Un trapecio es un cuadrilátero que posee un solo par de lados paralelos, por esta razón son polígonos convexos. Los elementos del trapecio son sus lados , ángulos y diagonales. Cabe señalar que los dos lados paralelos reciben el nombre de base menor y base mayor , de acuerdo con su medida. Y la distancia que las separa se denomina altura del trapecio. La figura del trapecio es uno de los elementos arquitectónicos destacados en nuestras culturas americanas autóctonas. El frente de las pirámides tiene forma de trapecio, así como las ventanas y puertas de numerosos edificios, sobre todo a lo largo de la cordillera, de los valles y del altiplano andino.
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Pirámide Maya, Chichén Itzá, México.
Clasificación de los trapecios Los trapecios se clasifican en dos tipos, de acuerdo a un criterio que usa las relaciones de los ángulos que forman los lados no paralelos con la base mayor, llamados ángulos de las bases. Si ambos ángulos de la base son congruentes, el trapecio se denomina isósceles , y se tiene que los lados no paralelos son también congruentes. Si uno de los lados no paralelos forma un ángulo recto con la base mayor (y, por consiguiente, también con la base menor), se denomina trapecio rectángulo. En los demás casos se habla de trapecio, sin más.
El área del trapecio se obtiene con la siguiente fórmula:
𝐴 = 𝐵 + 𝑏 2. ℎ siendo B la medida de la base mayor, b la medida de la base menor y h su altura.
Veamos porque: en el trapecio ABCD hemos trazado la diagonal AD que divide la región interna en dos triángulos: ADC y ABD. El área del trapecio resulta ser la suma de las áreas de los dos triángulos, es decir:
𝐴𝐵. ℎ 2 +
Esta altura h es la misma para ambos triángulos y coincide con la altura del trapecio. Observemos que 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷son la base mayor y menor del trapecio, que designamos por B y b. De modo que queda probado que el área del trapecio es el producto de la semisuma de las medidas de las bases por la medida de su altura.
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PROPIEDADES DE LOS LADOS Trapezoide Simétrico Trapecio Trapecio rectángulo^ Trapecio isósceles Paralelogramo Rectángulo Rombo Cuadrado
Un par de lados paralelos
Dos pares de lados paralelos
Dos pares de lados opuestos congruentes
Dos pares de lados consecutivos congruentes
Cuatro lados congruentes
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS
Un par de ángulos opuestos congruentes
Dos pares de ángulos opuestos congruentes
Un par de ángulos adyacentes congruentes
Dos pares de ángulos adyacentes congruentes
Cuatro ángulos congruentes
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PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES Trapezoide Simétrico Trapecio Trapecio Rectángulo^ Trapecio Isósceles Paralelogramo Rectángulo Rombo Cuadrado Las diagonales se cortan en un punto interior Una diagonal corta a la otra en su punto medio Cada diagonal corta a la otra en su punto medio Una diagonal es bisectriz de un par de ángulos opuestos
Cada diagonal es bisectriz de un par de ángulos opuestos
Las diagonales son perpendiculares
Las diagonales son congruentes Una diagonal divide al cuadrilátero en dos triángulos congruentes Cada diagonal divide al cuadrilátero en dos triángulos congruentes Las diagonales dividen al cuadrilátero en 4 triángulos congruentes
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Finalmente, podemos hablar de la apotema de un polígono regular, que es el segmento (que es perpendicular) trazado desde el centro al punto medio de cualquiera de los lados del polígono.
Al trazar los segmentos que van desde el centro a cada uno de los vértices del polígono obtenemos n triángulos isósceles congruentes. El
área de cada uno de estos viene dado por 𝑙.𝑎 2 , siendo l la medida de un
lado y a la de su apotema. El área total del polígono regular es: 𝑛. 𝑙.𝑎 2 , dicho de otra manera, el área total de
un polígono regular viene dada por el producto del semiperímetro por la apotema.
TESELADOS O MOSAICOS CON POLÍGONOS
REGULARES
Un diseñador encuentra ejemplos de geometría al seleccionar diseños de telas, suelos, papel para las paredes, etc. Con frecuencia, en diseño se emplea un concepto geométrico llamado teselado. Un teselado es un conjunto de polígonos dispuestos de forma que no se superponen unos con otros ni quedan separaciones entre ellos. En otras palabras, cubrir la superficie con mosaicos.
La condición para que las figuras se teselen es que la suma de los ángulos que concurren sea igual a 360°.
Los triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares son los únicos polígonos regulares que nos permiten rellenar el plano, lo que se denomina teselado regular. En el caso del triángulo equilátero, del cuadrado y del hexágono regular, estas medidas son, respectivamente, 60°, 90° y 120°. Esto significa que en cada vértice concurren 6 triángulos equiláteros, 4 cuadrados y 3 hexágonos, respectivamente.
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Además de los mosaicos regulares, también existen los mosaicos semirregulares , que son aquellos que se obtienen utilizando simultáneamente dos o más tipos de polígonos regulares para cubrir una superficie, ensamblándolos por sus vértices de modo que rodeen cada vértice en el mismo orden.
El conjunto de mosaicos regulares y mosaicos semirregulares se conoce como mosaicos homogéneos. En cada vértice de un mosaico homogéneo es preciso que la suma de los ángulos de los polígonos en contacto sea igual 360º.
Existen sólo 11 tipos de mosaicos homogéneos y todos son el resultado de diversas combinaciones de triángulos, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos. Ocho de ellos son semirregulares y los tres restantes son los mosaicos regulares mencionados previamente. Para precisar la composición de cada uno de estos mosaicos se suelen escribir los polígonos que intervienen en un vértice en el orden en que se presentan. Esta información se abrevia mediante un simple símbolo. Por ejemplo: 32 •4•3•4 significa que en cada vértice hallamos, por orden, dos triángulos, un cuadrado, un triángulo y un cuadrado.
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a) Sistema de coordenadas unidimensional o lineal (espacio ℝ^1 ) A cada punto del eje lineal le corresponde un número real y viceversa. El nombre de ese punto se llama abscisa del punto.
b) Sistema de coordenadas bidimensional o plano (espacio ℝ^2 ) Dos ejes que se cortan en forma perpendicular forman un sistema ortogonal o rectangular de coordenadas. Un punto del plano queda determinado por un par ordenado de números reales: 𝑥 1 es la abscisa e 𝑦 1 la ordenada. Al par ordenado (𝑥 1 , 𝑦 1 ) se lo llama coordenadas del punto.
c) Sistema de coordenadas tridimensional o espacio (espacio ℝ^3 )
Componentes de un vector determinado por dos puntos: gráfica y analíticamente Los puntos pueden hallarse en cualquier sistema de los mencionados anteriormente, nosotros analizaremos los puntos en el sistema de referencia bidimensional. Se llama componentes de un vector, situado en un sistema de coordenadas en el plano ℝ^2 , al punto que tiene como abscisas la diferencia de las abscisas y como ordenada la diferencia de las ordenadas de los puntos que conforman el extremo y el origen, en ese orden.
Gráficamente:
El vector de origen 𝐴(3,4) y extremos 𝐵(−2,3) está representado de la siguiente manera en el plano cartesiano:
El vector 𝑢⃗ = (5, −1) es un vector igual al vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗: tiene el mismo módulo, el mismo sentido y está en la misma dirección (se encuentran en rectas paralelas) pero está ubicado en otro lugar del plano (el origen o punto de aplicación del vector es el origen de coordenadas).
𝑦 1.^ P(𝑥^1 ,^ 𝑦^1 )
𝑦 1
𝑧 1
𝑥 1 y x
. P(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 )
z
Un punto del espacio está determinado por una terna ordenada (𝑥, 𝑦, 𝑧) de números reales.
𝐵(− 2 , 3 )
𝐴( 3 , 4 )
𝑢⃗ - 1
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Analíticamente: Dados los puntos 𝐴(3,4) y 𝐵(−2,3), determinar las componentes del vector: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Para hallar las componentes al punto extremo le restamos el punto origen: 𝐵 − 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Abscisa -2 - 3 = - 5 Entonces 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (-5,-1) Ordenada 3 - 4 = -
Es decir, si 𝑃 1 (𝑥 1 , 𝑦 1 ) y 𝑃 2 (𝑥 2 , 𝑦 2 ) son dos puntos del plano, el vector
𝑃⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗𝑃⃗⃗⃗ 2 = (𝑥 2 − 𝑥 1 , 𝑦 2 − 𝑦 1 )
¿Por qué se realiza de esta forma, es decir el extremo menos el origen?
…………………………………………………………………………………………………………………
Suma de vectores
Geométricamente:
La suma de dos vectores es la resultante de la poligonal de dos lados formada por los vectores dados. El vector suma 𝑎 + 𝑏⃗ tiene origen en el origen de 𝑎 y extremo en el extremo de 𝑏⃗.
También se puede sumar a través de la regla del paralelogramo. El vector 𝑎 + 𝑏⃗ tiene origen en el punto común y determina la diagonal del paralelogramo.
Analíticamente:
Para sumar vectores de forma analítica debemos conocer sus coordenadas cartesianas.
La adición se realiza entonces sumando componente a componente.
De esta forma, la suma de los vectores 𝑎 = (2,3) y 𝑏⃗ = (-1,2) será el vector
𝑢⃗ = (1,5) = (2,3) + (-1,2) = (2+(-1) , 3+5) = (1,5).
a + b
a^ b
a + b b
a
