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C´alculo Diferencial e Integral - La recta real. Farith J. Brice˜no N.
Objetivos a cubrir C´odigo : MAT-CDI.
- Conjunto de loa n´umeros reales. Leyes de los n´umeros reales.
- Conectores l´ogicos. Proposiciones y demostraciones
- Resoluci´on de ecuaciones e inecuaciones.
- Valor absoluto. Resoluci´on de ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 : Traduzca las siguientes expresiones verbales a expresiones num´ericas
- La diferencia de un n´umero par y de un n´umero impar.
- La quinta parte de la edad de Pedro sumada con el triple de la edad de Luis.
- La edad de Pedro m´as la mitad de la edad de Luis es cien.
- El triple de la suma de un n´umero y diez es igual a doce.
Soluci´on : 1. Sean
x : un n´umero par cualquiera
y : un n´umero impar cualquiera
Es conocido que los n´umeros pares vienen expresados como x = 2n, con n ∈ Z, mientras que los n´umeros
impares se expresan como y = 2m + 1 ´o como y = 2m − 1, con m ∈ Z. Es de hacer notar que n no tiene
que ser igual a m.
Luego, la expresi´on
“La diferencia de un n´umero par y de un n´umero impar”
se escribe matem´aticamente como
2 n − (2m − 1) , con n, m ∈ Z,
que es equivalentemente a escribir
2 k + 1, donde k = n − m ∈ Z
- Sean
x : la edad de Pedro
y : la edad de Luis
Luego, la expresi´on
“La quinta parte de la edad de Pedro sumada con el triple de la edad de Luis”
se escribe matem´aticamente como x
- Sean
x : la edad de Pedro
y : la edad de Luis
Luego, la expresi´on
“La edad de Pedro m´as la mitad de la edad de Luis es cien”
se escribe matem´aticamente como
x +
y
- Sean
x : un n´umero cualquiera
Luego, la expresi´on
“El triple de la suma de un n´umero y diez es igual a doce”
se escribe matem´aticamente como
3 (x + 10) = 12.
F
Ejemplo 2 : Simbolizar las siguientes proposiciones
- “ 5 no es primo o no es impar”.
- “Si 2 + 3 < 6 entonces 2 < 3 ”.
- “ 4 es divisible por 2 si y solo si 4 es par”.
- “ 3 es primo y 5 es impar o primo”.
- “Francisco Sanchez es nadador o es tenista”.
Soluci´on : 1. Sean
p : 5 es un n´umero primo
q : 5 es un n´umero impar
Luego, la proposici´on
“5 no es primo o no es impar”
se simboliza por
p ∨ q.
- Sean
p : 2 + 3 < 6
q : 2 < 3
Luego, la proposici´on
“Si 2 + 3 < 6 entonces 2 < 3”
se simboliza por
p −→ q.
- Sean
p : 4 es divisible por 2
q : 4 es un n´umero par
Luego, la proposici´on
“4 es divisible por 2 si y solo si 4 es par”
Entonces, tenemos
a
2
ab y ab > b
2
por la propiedad transitiva de orden de los n´umeros reales
a
2
b
2 ,
con lo que concluimos que si a < 0, b < 0 y a < b, entonces a
2
b
2
. F
Ejemplo 4 : El n´umero
ab se llama la media geom´etrica de dos n´umeros positivos a y b. Pruebe que
a < b implica que a <
ab < b
Demostraci´on : Observemos que si
p : a > 0 q : b > 0 r : a < b w : a <
ab < b
entonces, simb´olicamente se tiene
p ∧ q ∧ r −→ w
as´ı, usando las hip´otesis son “p”, “q” y “r”, debemos demostrar la tesis “w”.
Partimos de la hip´otesis “r”, como
a < b (Hip´otesis “r”)
Multiplicamos, ambos lados de la desigualdad, por a,
↓ como a es positiva (Hip´otesis “p”) la desigualdad no cambia
(Propiedad de orden multiplicativa de los n´umeros reales)
a
2 < ab
Aplicamos ra´ız cuadrada a ambos lados de la desigualdad,
↓ la misma cambia pues la aplicaci´on
(·) mantiene
desigualdades (ver ejercicio 19)
|a| <
ab
Como a es positiva (Hip´otesis “p”), se tiene que |a| = a
a <
ab (Desigualdad I)
por otro lado, podemos hacer las mismas operaciones, pero esta vez multiplicando por b
a < b (Hip´otesis “r”)
Multiplicamos, ambos lados de la desigualdad, por b,
↓ como b es positiva (Hip´otesis “q”) la desigualdad no cambia
(Propiedad de orden multiplicativa de los n´umeros reales)
ab < b
2
Aplicamos ra´ız cuadrada a ambos lados de la desigualdad,
↓ la misma cambia pues la aplicaci´on
(·) mantiene
desigualdades (ver ejercicio 19)
√ ab < |b|
Como b es positiva (Hip´otesis “q”), se tiene que |b| = b
√ ab < b (Desigualdad II)
Entonces, tenemos
a <
ab y
ab < b
con lo que concluimos que si a > 0, b > 0 y a < b, entonces a <
ab < b. F
Ejemplo 5 : Demuestre que
|x| ≤ 2 implica que
x^2 + 2x + 7
x^2 + 1
Demostraci´on : Por propiedades de valor absoluto
x
2
x^2 + 1
∣x^2 + 2x + 7
|x^2 + 1|
como que x
2
- 1 es una expresi´on positiva, tenemos que
∣x^2 + 1
∣ (^) = x^2 + 1
as´ı, ∣ ∣ ∣ ∣
x
2
x^2 + 1
∣x^2 + 2x + 7
|x^2 + 1|
∣x^2 + 2x + 7
x^2 + 1
Por otro lado
x
2
aplicamos
a la desigualdad, como esta aplicaci´on cambia desigualdades (ver ejercicio 20), obtenemos
x
2
x^2 + 1
as´ı (^) ∣
∣ ∣ ∣
x
2
x^2 + 1
∣x^2 + 2x + 7
x^2 + 1
∣x^2 + 2x + 7
por desigualdad triangular
∣x^2 + 2x + 7
∣x^2
∣ (^) + | 2 x| + 7 = x^2 + 2 |x| + 7, es decir,
∣x^2 + 2x + 7
∣ (^) ≤ x^2 + 2 |x| + 7
del hecho que |x| ≤ 2 se concluye que
∣x^2 + 2x + 7
∣ (^) ≤ x^2 + 2 |x| + 7 ≤ 4 + 2 (2) + 7 = 15.
Luego ∣ ∣ ∣ ∣
x
2
x^2 + 1
∣x^2 + 2x + 7
∣ (^) ≤ 15 , es decir,
x
2
x^2 + 1
F
Ejemplo 6 : Hallar el conjunto soluci´on de
x
2
2 x
2
Soluci´on : Tenemos
x
2
2 x^2 + 1
x
2
2 x^2 + 1
x
2
2 x
2
2 x^2 + 1
4 x − 6 − x
2
2 x^2 + 1
Buscamos la ra´ıces de la expresi´on del numerador y la expresi´on del denominador
Ejemplo 9 : Hallar el conjunto soluci´on de
∣ ∣ ∣ ∣
2 − 3 x
1 + 2x
∣ ≤^4
Soluci´on : Tenemos, por definici´on de valor absoluto, que
∣ ∣ ∣ ∣
2 − 3 x
1 + 2x
∣ ≤^4 =⇒^ −^4 ≤^
2 − 3 x
1 + 2x
es decir, tenemos dos desigualdades a resolver
Desigualdad I Desigualdad II
2 − 3 x
1 + 2x
2 − 3 x
1 + 2x
2 − 3 x
1 + 2x
2 − 3 x
1 + 2x
2 − 3 x + 4 (1 + 2x)
1 + 2x
2 − 3 x − 4 (1 + 2x)
1 + 2x
6 + 5x
1 + 2x
− 2 − 11 x
1 + 2x
Ra´ıces : x = −
, x = −
Ra´ıces : x = −
, x = −
Estudiamos el signo Estudiamos el signo
(
−∞, −
6
5
) (
−
6
5
, −
1
2
) (
−
1
2
, ∞
)
5 x + 6 − + +
2 x + 1 − − +
(
−∞, −
1
2
) (
−
1
2
, −
2
11
) (
−
2
11
, ∞
)
− 11 x − 2 + + −
2 x + 1 − + +
− + −
sol 1 : x ∈
sol 2 : x ∈
Luego, la soluci´on final es
solF = sol 1
sol 2 =
F
Ejemplo 10 : Hallar el conjunto soluci´on de
| 2 x + 4| − |x − 1 | ≤ 4
Soluci´on : Por la definici´on de valor absoluto tenemos que la recta real se secciona en
(−∞, −2) [− 2 , 1) [1, ∞)
− (2x + 4) 2 x + 4 2 x + 4
− (x − 1) − (x − 1) x − 1
Caso I : Intervalo (−∞, −2).
| 2 x + 4| − |x − 1 | ≤ 4 nos queda − (2x + 4) − (1 − x) ≤ 4
resolviendo
− (2x + 4) − (1 − x) ≤ 4 =⇒ −x ≤ 9 =⇒ x ≥ 9
entonces
sol 1 = [− 9 , ∞)
(−∞, −2) = [− 9 , −2)
Caso II : Intervalo [− 2 , 1).
| 2 x + 4| − |x − 1 | ≤ 4 nos queda 2 x + 4 − (1 − x) ≤ 4
resolviendo
2 x + 4 − (1 − x) ≤ 4 =⇒ 3 x ≤ 1 =⇒ x ≤
entonces
sol 2 =
]
[− 2 , 1) =
[
Caso III : Intervalo [1, ∞).
| 2 x + 4| − |x − 1 | ≤ 4 nos queda 2 x + 4 − (x − 1) ≤ 4
resolviendo
2 x + 4 − (x − 1) ≤ 4 =⇒ x ≤ − 1
entonces
sol 3 = (−∞, −1]
[1, ∞) = ∅
Luego la soluci´on final es
solF = sol 1
sol 2
sol 3 = [− 9 , −2)
[
[
F
Ejercicios
- Coloque dentro del par´entesis una V si la proposici´on es verdadera o una F si es falsa
4 ∈ N ( ) 2. π ∈ Q ( )
- π = 3, 14 ( ) 4. 3 +
3 · 3
2 = 6
3 ( ) 12. (16 ÷ 8) ÷ 2 = 16 ÷ (8 ÷ 2) ( )
6
2 = 10
8 ( ) 14. 5 − (8 − 3) = − (−3 + 8) + 5 ( )
a^2 +
b^2 = a + b ( ) 16.
- h =
gt
2
; (g) 14.
h 1
h 2
d 1
d 2
; (d 1 ) 15.
v 1
v 2
d 2
d 1
; (v 2 ) 16.
v 1 P 1
T 1
v 2 P 2
T 2
; (T 2 )
- P = hdg ; (h) 18. P =
F d
t
; (d) 19. s =
(B + b) h
; (b) 20. v
2 f =^ v
2 0 + 2gd^ ; (d)
- V = IR ; (I) 22. va =
2 πN
T
; (T ) 23. Q = 0, 24 I
2 Rt ; (t) 24. Rt = R 0 (l − t) ; ()
- v =
d
t
; (t) 26. Ec =
mv
2
; (v) 27. P = 2 (b + h) ; (b) 28. d = v 0 t +
gt
2
; (v 0 )
29. A =
Dd
2
; (d) 30. V =
4 πR
3
; (R) 31. I =
E
R − Ri
; (Ri) 32.
F
F 1
F 2
; (F 2 )
- V = lah ; (l) 34. I =
CRt
100
; (t) 35. F =
9 c
5
(an − a 1 ) n
2
; (a 1 )
37. R =
ρ
s
; (s) 38. E =
kq
R^2
; (R) 39. y = mx + b ; (m) 40. T − m 2 a = m 1 a ; (a)
- an = a 1 + (n − 1) R ; (n) 42. S = S 0 (1 + 2α 4 t) ; ( 4 t) 43. E = mgh +
mv
2
; (m)
- xT =
N 1 x 1 + N 2 x 2
N 1 + N 2
; (x 2 ) 45. 4 Ec =
mv
2 2
2
mv
2 1
2
; (m) 46. LT = L 0 (1 + δ 4 t) ; (δ)
- F = ma ; (a) 48. v = v 0 [1 + 3α (T 2 − T 1 )] ; (T 2 ) 49. ω = i
2 t (R + Ri) ; (Ri)
F · (t 2 − t 1 ) = m (v 2 − v 1 ) ; (v 1 ) 51. m 2 c 2 (t − t 1 ) = m 1 c 1 (t − t 1 ) + C (t − t 1 ) ; (t 1 )
Calcular en cada caso el valor de la variable pedida a partir de los datos que se dan
b
2 − 4 ac = 49 ; b = 3 ; a = 1 ; c =? 2. C =
5 (F − 32)
; C = −35 ; F =?
- A = 3x + b ; A = −13 ; x = −5 ; b =? 4. B =
− 5 x − b
; B =
; b = 2 ; x =?
5. S =
anR − a 1
R − 1
; S = 121 ; an = 81 ; a 1 = 1 ; R =?
- V = πr
2 h ; V = 1256 ; pi = 3, 14 ; h = 10 ; r =?
- an = R
n− 1 a 1 ; an =
; R =
; n = 5 ; a 1 =?
- d = v 0 · t +
at
2
; d = 30 ; v 0 = 10 ; t = 2 ; a =?
- M = li +
0 , 5 N − F 1
F 2
· c ; M = 5 ; li = 4 ; F 1 = 10 ; F 2 = 15 ; c = 3 ; N =?
10. V 1 · P 1 · T 2 = V 2 · P 2 · T 1 ; V 1 = 80 ; V 2 = 66, 6 ; P 1 = 690 ; P 2 = 760 ; T 1 = 298 ; T 2 =?
- Traduzca las siguiente expresiones verbales a expresiones num´ericas
- El triple de un n´umero impar.
- La diferencia de un n´umero par y de un n´umero impar.
- La divisi´on por tres del doble de un n´umero m´as d´ecima parte.
- La edad de Pedro hace cuatro a˜nos.
- El cuadruplo de la edad de Pedro dentro de ocho a˜nos.
- El quintuplo de la mitad de la edad de Pedro.
- La tercera parte de la diferencia de las edades de Pedro y Luis.
- La mitad de la suma de la edad de Pedro dentro de cinco a˜nos y la de Luis hace ocho a˜nos.
- Al sumar doce de un n´umero el resultado es un tercio.
- La mitad de la edad de Pedro menos el doble de la edad de Luis es cien.
- La suma del triple de un n´umero y el cuadrado de otro n´umero es ochenta.
- La quinta parte de la edad de Pedro sumada con el triple de la edad de Luis.
- El doble de la edad de Luis dentro de quince a˜nos m´as diez ser´a ochenta.
- El n´umero de patas de conejos m´as el n´umero de patas de pollo es cien.
- La suma de los cuadrados de las mitades de dos n´umeros es siete.
- Un sombrero cost´o ocho veces m´as que un pa˜nuelo.
- Un n´umero m´as ocho.
- El quintuplo de un n´umero m´as la mitad de otro.
- Tres menos dos veces un n´umero.
- El producto de dos y un n´umero divido por nueve.
- La quinta parte de un n´umero disminuida en once.
- La resta de dos n´umeros consecutivos.
- La d´ecima parte de un n´umero m´as la sexta parte de otro.
- Tres veces la suma de cinco y un n´umero.
- El doble de la resta de dos n´umeros.
- La divisi´on por once de un n´umero menos su octava parte.
- La edad de Pedro dentro de once a˜nos.
- El triple de la edad de Pedro hace tres a˜nos.
- La mitad de la edad de Pedro.
- Cinco veces la suma de las edades de Luis y Pedro.
- La suma de la edad de Pedro hace seis a˜nos y la edad de Luis dentro de diez a˜nos.
- Cuatro veces un n´umero es igual a diez.
- Al restar diez de un n´umero el resultado es quince.
- La edad de Pedro m´as la mitad de la edad de Luis es cien.
- El triple de la suma de un n´umero y diez es igual a doce.
- La suma de las edades de Pedro hace cinco a˜nos y la de Luis dentro de ocho a˜nos es ciento cincuenta.
- La suma de dos impares consecutivos es nueve.
- El doble da la edad de Pedro de diez a˜nos ser´a cincuenta.
- La edad de Pedro hace doce a˜nos dividida por ocho.
- La suma de un n´umero y su mitad es treinta.
- La suma de un n´umero, su quinta parte y su novena parte es trece.
- (a) Representado la edad actual de Eduardo por x. Expresar cada una de las siguientes frases en t´erminos
de la edad actual de Eduardo
i. La edad de Eduardo dentro de tres a˜nos.
(j) “4 no es impar ni primo”.
(k) “Francisco Sanchez es nadador o es tenista”.
(l) “El prot´on tiene carga positiva o el prot´on tiene carga negativa”.
(m) “Si 2 es divisor de 8, entonces es par”.
(n) “O el mercurio es un metal o el mercurio es un buen conductor de electricidad”.
(o) “Si 9 es menor que 3, entonces 9 no es mayor que 5”.
(p) “Una pieza de lat´on contiene 65 de cobre y 35 de zinc”.
(q) “O el di´ametro de un ´atomo de helio es aproximadamente de 2.0A, o la longitud de onda de rayo
infrarrojo es de 7 − 8 × 10
− 5 cm”.
(r) “No es verdad que 4 no es par ni primo”.
(s) “Si el mercurio hierve a 630
◦ K entonces el punto de ebullici´on del mercurio es 375
◦ C”.
(t) “No es cierto que, 2 es primo y negativo”.
(u) “Los elementos Mg y Fe son elementos representativos”.
(v) “Las f´ormulas de algunos hidruros de elementos representativos del II per´ıodo son BeH 2 , BH 3 , CH 4 ,
NH 3 , H 2 O, HF”.
- Escriba la negaci´on de las proposiciones dadas en el ejercicio 10
- Despeje x suponiendo que a, b y c son constantes positivas: a) a(bx − c) ≥ bc; b) a ≤ bx + c < 2 a.
- Despeje x suponiendo que a, b y c son constantes negativas: a) ax + b < c; b)
ax + b
c
≤ b.
- Demuestre que si m > 0, b ∈ R y x < y, entonces mx + b < my + b.
- Demuestre que si m < 0, b ∈ R y x < y, entonces mx + b > my + b.
- Demuestre que si a > 0, b > 0 y a < b, entonces a
2 < b
2 .
- Demuestre que si a < 0, b < 0 y a < b, entonces a
2
b
2 .
- Demuestre que si a < b, entonces a
3 < b
3 .
- Demuestre que si a > 0, b > 0 y a < b, entonces
a <
b.
- Demuestre que si a < b entonces
a
b
- Demuestre que si 0 < a < b entonces
a
b
- Demuestre que si a > 0, b > 0 y a < b, entonces
a
2
b
2
- Demuestre que si a < 0, b < 0 y a < b, entonces
a^2
b^2
- Demuestre que si a < b, entonces 3
a <
3
b.
- Demuestre que si a > 0, b > 0 y a < b, entonces a
4 < b
4 .
- Demuestre que si a < 0, b < 0 y a < b, entonces a
4
b
4 .
- El n´umero
(a + b) se llama el promedio o media aritm´etica de a y de b. Demuestre que la media
aritm´etica de dos n´umeros est´a entre los dos n´umeros, es decir, demuestre que
a < b implica que a <
a + b
< b
- El n´umero
ab se llama la media geom´etrica de dos n´umeros positivos a y b. Pruebe que
a < b implica que a <
ab < b
- Para dos n´umeros positivos a y b. Demuestre que
ab ≤
(a + b)
Esta es la versi´on m´as sencilla de una famosa desigualdad llamada desigualdad de la media aritm´etica
y la regla geom´etrica.
- Si − 6 ≤ x ≤ 3, demuestre que − 1 ≤ x
2 − 1 ≤ 35.
- Si 0 ≤ x ≤ 2, demuestre que − 4 ≤
x + 2
x − 3
- Si − 2 < x ≤ 0, demuestre que −
x + 1
4 − x
- Si 1 ≤ x ≤ 5, demuestre que − 1 ≤
x^2 + x
- Si − 4 ≤ x < 2, demuestre que 1 <
3 − x < 3.
- Marque con una X la opci´on correcta
Comportamiento de la desigualdad
Aplicaci´on
Mantiene
la desigualdad
Cambia
la desigualdad
m ( ) + b, m > 0
m ( ) + b, m < 0
2 para n´umeros positivos
2 para n´umeros negativos
3
4 para n´umeros positivos
4 para n´umeros negativos
√ ( )
3
2
para n´umeros positivos
2
para n´umeros negativos
Resolver las siguientes ecuaciones
5 x + 3 = 2x − 1 2.
3 x
a^2 − 4
a − 2
a + 2
3 z + 4
5 z + 8
3 z − 4
5 z + 8
2 x − 1 ≤ 5 x − 3 ≤ 9 − 3 x 32. x > 1 − x ≥ 3 + 2x 33. 1 − x ≥ 3 − 2 x ≥ x − 6
x^4 + 5x^3 + 5x^2 − 5 x − 6 ≥ 0
Realice el estudio de signos de las siguientes expresiones y grafique los respectivos conjuntos soluciones.
(x + 3)
2
- x
3 − 27 3. −x
2
4 − x
3 − 6 x
2
- 2 x
4
2
x
3
− 8 7. x
3 −
x
x + 5
x
2
x − 2
2 + x
2 + x
3 − x
x
1 + x
- 7 t − 9 t
2
- 8 x
3
(x − 2)
x
2 − 2 x − 15
x^2 − 3
2 x
x^2 − 9
x
x^2 + 6x + 9
x + 3
- x
4 − 16 16. 4 x
2
x^2 − 4 x + 3
(x + 3)
x^4 − 81
x
2 − x − 2
x
2 − 4 x + 3
x^2 − 4
3 − x
4 − x^2
x
x − 1
x + 7
x^2 − 1
x − 2
x + 1
x + 3
5 − x
x − 5
x + 5
2 x
2
x^2 − 25
x
3
2 − 12 x
x^2 − 3 x
3 x
2 − 10 x + 3
3 x^2 + 11x − 4
- Escribir la definici´on de valor absoluto para cada expresi´on dada y haga un esquema indicando como se
divide la recta real con cada expresi´on
- | 3 x − 4 | 2.
∣x^2 − 5
∣3 + x^2
x
x^2 − 1
x + 1
8 − x^3
x
3 − 4 x
(5 − x)
3
x
2 − 4 x + 3
2 x^2 − 3 x
−x
4 − x^4
x
4
3 − x
x
4 − 1
3 x
x
4
2
(7 − x)
2
x + 3
2 − x
x
x − 1
x + 1
x
x − 1
x + 1
- Hallar y graficar el conjunto soluci´on en cada caso
∣ 3 x^2 − x − 10
∣x^3 − 2
x
2 − 4
x + 3
∣x^2 − 2
∣ (^) − x
x
- 2 − | 8 x + 3| = 5 6.
3 − 2 x
2 + x
6 − 5 x
3 + x
x
2
x + 2
- | 3 − 5 x| ≤ 5 − 3 x 10.
x + 1
x + 3
∣ ≥^
x
|x − 2 |
x
∣x^2 − x
∣ (^) < |x + 3|
- |x + 4| ≤ | 2 x − 6 | 14.
x + 1
x + 2
3 x − 9
2 x + 4
| 2 x − 3 | − x
x − 2
- | 5 x − 1 | = 2 18.
∣x − x^2
∣x^2 + x
x + 2
4 − x
7 x − 2
4 x − 5
∣x^2 − 3
2 x − 1
x + 1
∣x^4 + x^2 + 1
x^2 + 4
- |x − 4 | < 1 26.
2 − 3 x
1 + 2x
∣ ≤^4 .
x
2 + x
∣ <^1 28.^0 <^ |x^ −^5 |^ <^
- |x + 5| ≥ 2 30. | 2 x + 1| > 5 31. |x| > |x − 1 | 32.
6 x − 2
x − 6
x
x + 2
2 x − 3
x − 5
3 36. | 2 x − 5 | ≤ |x + 4|
- 1 ≤ |x| ≤ 4 38.
∣x^3 + 1
|x + 3|
| 6 − 5 x|
≤ 2 40. | 3 x − 6 | ≤ | 4 x + 3|
x − 1
2 − x
≥ 1 42. |x − 2 b| < x + b 43.
x − 1
2 − x
∣x^10 − x
x − 3
x + 5
∣ ≤^1 46.^ |x^ −^1 |^ <^ |x^ + 4|^47.^
| 2 x − 5 |
|x − 6 |
∣x^2 − 2 x − 4
− 2 x
2 − 4 x − 2
x^2 + x − 2
x
|x|
| 3 x + 2| − x
2 x + 5
∣x^2 + x + 1
5 x − 1
- | 2 x + 4| − |x − 1 | ≤ 4 54. |x − 3 | + 2 |x| < 5 55.
|x|
∣ 9 − x^2
| 3 x|
| 1 − 2 x| ≤ 2 + |x| 58. |x + 2| + |x − 2 | ≤ 12 59. |x + 2a| > | 2 x − a| , a > 0
Use la desigualdad tri´angular para demostrar cada desigualdad
(a) |a − b| ≤ |a| + |b| (b) |a − b| ≥ |a| − |b| (c) |a + b + c| ≤ |a| + |b| + |c|
- Suponga que |x − 2 | < 0. 01 y |y − 3 | < 0 .04. Demuestre que
|(x + y) − 5 | < 0. 05
Demuestre que las siguientes implicaciones son verdaderas
|x − 3 | < 0. 5 =⇒ | 5 x − 15 | < 2. 5 2. |x + 2| < 0. 3 =⇒ | 4 x + 8| < 1. 2
|x − 2 | < / 6 =⇒ | 6 x − 12 | < 4. |x + 4| < / 2 =⇒ | 2 x + 8| <
Encuentre δ (que dependa de ) de modo que las siguientes implicaciones sean verdaderas
|x − 5 | < δ =⇒ | 3 x − 15 | < 2. |x − 2 | < δ =⇒ | 4 x − 8 | <
|x + 6| < δ =⇒ | 6 x + 36| < 4. |x + 5| < δ =⇒ | 5 x + 25| <
Demuestre que si |x + 3| <
, entonces | 4 x + 13| < 3
- Use la desigualdad tri´angular y el hecho de que
0 < |a| < |b| implica que
|b|
|a|
para establecer la siguiente cadena de desigualdades
∣ ∣ ∣ ∣
x^2 + 3
|x| + 2
x^2 + 3
|x| + 2
- 2 , − 3 , 5; 36. 8.
a^2 a− 1 si^ a^6 = 1;^36.^9.^
1 16 ;^36.^10.^
5 2 −
√ 17 2 ,
√ 17 2 +^
5 2 ;^36.^11.^ −^2 ,^ −1;^36.^12.^ ∅;
- 1 , −1; 36. 14. − 23 ; 36. 15. − 49 ; 36. 16. − 6; 37. 1. (^) a−abb+5 ; 37. 2. a
2 a− 1 ;^37.^3.^1 −^ b
(^2) ;
- a
(^2) +ab a+ab+1 ;^37.^5.^
− 3 b− 2 c 2 c− 3 b ;^37.^6.^2 a;^37.^7.^
b^2 c−abcd+b^3 d b^2 d−acd ;^37.^8.^
1 3 b;^37.^9.^ 0;^37.^10.^
11 a 2 b ;
- x =
n− 1 −
√ n^2 − 6 n+ 2 ,^ x^ =^
n−1+
√ n^2 − 6 n+ 2 ;^38.^1.^ x^ =^ −^1 , y^ = 2;^38.^2.^ x^ =^ −^6 , y^ =^ −3;
- x = − 2 , y = − 32 ; 38. 4. x = 4716 , y = − 1332 , z = − 52 ; 38. 5. x = − 3 , y = −4; 38. 6. x = 3, y = 1;
- x = 2719 , y = 2019 ; 38. 8. x = 3, y = 0, z = −1; 39. 1.
( −∞, (^43)
) ; 39. 2.
( −∞, − (^43)
) ; 39. 3. (−∞, 4) ;
( −
2 15 ,^ ∞
) ; 39. 5.
( −∞, −
11 4
] ; 39. 6. [0, ∞) ; 39. 7. R; 39. 8. [− 2 , 2] ; 39. 9. (−∞, −3) ∪ (− 3 , ∞) ;
- R; 39. 11. (−∞, −1) ∪ (0, 2) ; 39. 12. (−∞, −1) ∪ (0, 5) ; 39. 13. (−∞, −4] ∪ [− 2 , ∞) ;
( −∞, − (^52)
] ∪ [1, ∞) ; 39. 15. (−∞, −1] ∪
( 0 , (^54)
] ∪ (5, ∞) ; 39. 16. (−∞, −1) ∪ (0, ∞) ; 39. 17. (−∞, −3) ∪
[ − 35 , 5
) ;
- ∅; 39. 19. [− 11 , −2) ∪ (2, ∞) ; 39. 20. [2, ∞) ; 39. 21.
[ (^1) 2 ,^ ∞
) ∪ { 0 } ; 39. 22.
[ −
√ 6 , − 1
] ∪
[ 1 ,
√ 6
] ;
- (− 4 , −1) ; 39. 24.
( (^1) 2 ,^2
) − { 1 } ; 39. 25. (−∞, −5] ∪ [− 1 , 3] ; 39. 26. (−∞, −1) ; 39. 27.
[ − 32 , (^32)
] ;
- (2, 6) ; 39. 29.
( − 1 , 1 2
) ; 39. 30.
( −∞, −
√ 2
) ∪
(√ 2 , ∞
) ; 39. 31. x = 3 2
; 39. 32. ∅; 39. 33. [2, 3] ;
- (−∞, −3] ∪ [− 2 , −1] ∪ [1, ∞) ; 40. 1. Pos. R − {− 3 } , Neg. ∅; 40. 2. Pos. (3, ∞) , Neg. (−∞, 3) ; 40. 3. Neg. R;
- Pos.
( −∞, − (^32)
) ∪ (2, ∞) , Neg.
( − 32 , 2
) − { 0 } ; 40. 5. Pos. R; 40. 6. Pos. (6, ∞) , Neg. (−∞, 6) ;
- Pos. (− 1 , 0) ∪ (1, ∞) , Neg. (−∞, −1) ∪ (0, 1) ; 40. 8. Pos. (− 5 , −4) ∪ (3, ∞) ,
- Pos. (− 6 , −2) ∪ (2, ∞) , Neg. (−∞, −6) ∪ (− 2 , 2) ; 40. 10. Pos. (− 1 , 3) , Neg. (−∞, −1) ∪ (3, ∞) ;
- Pos.
( 0 ,
7 9
) , Neg. (−∞, 0) ∪
( (^7) 9 ,^ ∞
) ; 40. 12. Pos.
( −
1 2 ,^ ∞
) , Neg.
( −∞, −
1 2
) ;
- Pos.
( − 3 , −
√ 3
) ∪
(√ 3 , 2
) ∪ (5, ∞) , Neg. (−∞, −3) ∪
( −
√ 3 ,
√ 3
) ∪ (2, 5) ;
- Pos. (−∞, −9) ∪ (3, ∞) , Neg. (− 9 , 3) − { 3 } ; 40. 15. Pos. (−∞, −2) ∪ (2, ∞) , Neg. (− 2 , 2) ;
- Pos. (−∞, −6) ∪
( −
5 4 ,^ ∞
) , Neg.
( − 6 , −
5 4
) ; 40. 17. Pos. (1, ∞) − { 3 } , Neg. (−∞, 1) − {− 3 } ;
- Pos. (−∞, −1) ∪ (1, 2) ∪ (3, ∞) , Neg. (− 1 , 1) ∪ (2, 3) ; 40. 19. Pos. (−∞, −2) ∪ (2, 8) , Neg. (− 2 , 2) ∪ (8, ∞) ;
- Pos. (1, ∞) , Neg. (−∞, 1) ; 40. 21. Pos. (− 5 , ∞) − { 5 } , Neg. (−∞, −5) ; 40. 22. Pos. (3, ∞) , Neg. (−∞, 3) − { 0 } ;
- x = − 53 , x = 2; 42. 2. ∅; 42. 3. x = 1 ±
√ 29 2 ,^ x^ =^
− 1 ±
√ 5 2 ;^42.^4.^ x^ = 1,^ x^ = 2;^42.^5.^ ∅;
( −∞, −
11 2
] ∪
[ −
5 6 ,^ ∞
) ; 42. 7. (−∞, −3) ∪
( − 3 ,
9 11
] ∪
[ (^5) 3 ,^ ∞
) ; 42. 8. (− 1 , 0) ; 42. 9. [− 1 , 1] ;
- (−∞, 0) ∪
[√ 3 , ∞
) ; 42. 11. (−∞, 0) ∪ { 2 } ; 42. 12. (− 1 , 3) ; 42. 13.
( −∞, (^23)
] ∪ [10, ∞) ; 42. 14.
( − 73 , − 2
) ;
- (−∞, −2) ∪ [13, ∞) ; 42. 16.
( −∞, 5 4
] ∪ (2, ∞) ; 42. 17. x = − 1 5
, x = 3 5
; 42. 18. ∅; 42. 19. x = −^1 ±
√ 5 2
;
- x = −2; 42. 21. x = 1, x = 117 ; 42. 22. ∅; 42. 23. x = − 4 , x = − 25 ; 42. 24. ∅; 42. 25. (3, 5) ;
( −∞, − (^65)
] ∪
[ − 112 , ∞
) ; 42. 27. (− 1 , ∞) ; 42. 28.
( (^9) 2.^
11 2
) − { 5 } ; 42. 29. (−∞, −7] ∪ [− 3 , ∞) ;
- (−∞, −3) ∪ (2, ∞) ; 42. 31.
( (^1) 2 ,^ ∞
) ; 42. 32.
( −∞, −
16 3
) ∪
( (^8) 7 ,^6
) ∪ (6, ∞) ; 42. 33. (0, 3) ;
( −∞, (^109)
) ∪ (2, ∞) ; 42. 35. (−∞, 4) ∪ (16, ∞) ; 42. 36.
[ (^1) 3 ,^9
] ; 42. 37. [− 4 , −1] ∪ [1, 4] ; 42. 38. ∅;
( −∞, 9 11
] ∪
[ (^5) 3
, ∞
) ; 42. 40. (−∞, −9] ∪
[ (^3) 7
, ∞
) ; 42. 41.
[ (^3) 2
, 2
) ∪ (2, ∞) ; 42. 42.
( b 2
, ∞
) ; 42. 43.
( −∞, 3 2
) ;
- ∅; 42. 45. [− 1 , ∞) ; 42. 46.
( −
3 2 ,^ ∞
) ; 42. 47.
[ (^23) 5 ,^6
) ∪ (6, 13] ; 42. 48. (−∞, −2) ∪ (0, 2) ∪ (4, ∞) ;
[ − 53 , 0
] ; 42. 50. R − { 0 } ; 42. 51. ;
( −∞, − (^52)
) ∪
[ − 76 , ∞
)
( −∞, (^15)
) ; 42. 53.
[ − 9 , (^13)
] ;
( − 23 , 2
) ; 42. 55. (−∞, −1) ∪ (1, ∞) ; 42. 56. R − {− 3 , 0 , 3 } ; 42. 57. [− 1 , 3] ; 42. 58. [− 6 , 6] ;
( −
a 3 ,^3 a
)
Bibliograf´ıa
- Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “C´alculo”. Novena Edici´on. PEARSON Prentice Hall.
- Stewart, J.: “C´alculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.
C´alculo Diferencial e Integral - La recta real. Farith Brice˜no
Ultima actualizac´^ ´ on: Septiembre 2010 e-mail : farith 72@hotmail.com
