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de 2009
MATEMATICA PARA LA INFORMATICA – ING. JUAN IGNACIO BAENA P.
LÓGICA SIMBÓLICA –LÓGICA PROPOSICIONAL.
1. INTRODUCCIÓN
Acá aprenderemos que la lógica simbólica moderna proporciona criterios más generales de validez y herramientas de uso sistemático para la aplicación de tales criterios, con lo cual se amplía la capacidad para decidir sobre validez de razonamientos deductivos. Antes de aplicar el criterio de validez de razonamientos provisto por la lógica simbólica, el razonamiento debe ser representado con símbolos de un alfabeto previamente establecido. Por esta razón, una parte de este escrito se dedica al uso de la lógica simbólica como sistema de representación de información. Sin embargo, tengamos siempre en cuenta que este uso es convencional, es decir, que deben convenirse previamente su alcance y limitaciones, puesto que ningún sistema simbólico logra capturar con absoluta precisión todos los matices y peculiaridades del lenguaje natural. Por ejemplo, es un hecho que los enunciados “Juan es pobre y generoso” y “Juan es pobre pero generoso” tienen significados diferentes en el lenguaje cotidiano. No obstante, se representan de igual forma en el lenguaje de la lógica proposicional. Como veremos, estas simplificaciones no afectan el valor práctico del criterio de decisión para validez de razonamientos deductivos. En español –y posiblemente esto es cierto en todos los lenguajes naturales– no siempre los enunciados tienen un significado inequívoco. Por ejemplo, la expresión “La vendedora entró colada por la puerta del estadio” tiene dos significados en nuestra región, según el uso del término “colada”. Uno de estos significados es que la vendedora entró al estadio eludiendo el pago; el otro, que la vendedora entró ese tipo de bebida a través de la puerta del estadio. Análogamente, la frase “Ayer vi a un señor con un telescopio” tiene dos significados posibles, como bien puede concluir el lector. El uso del condicional proporciona ejemplos adicionales de ambigüedad. Por ejemplo, con la expresión “Juan me explica el problema si tengo alguna duda”, se está indicando que es suficiente tener alguna duda, para contar con la ayuda de Juan, esto es, que tener alguna duda es condición suficiente para recibir la explicación de Juan. En cambio, en la afirmación “Juan me explica el problema, si tiene tiempo”, el contexto permite pensar que tener tiempo es condición necesaria para que Juan le explique el problema. A pesar de tener la misma estructura, el condicional está utilizado con diferente propósito. La lógica simbólica debe eliminar esta ambigüedad, y por esto es necesario convenir cuál de estos significados será el adoptado en el sistema de representación. La multiplicidad de significados y funciones gramaticales de una misma palabra, el empleo de expresiones idiomáticas, y la carga emocional de las frases, son algunos factores que deben considerarse en el análisis de los argumentos para decidir sobre su corrección o admisibilidad. Por esto un primer paso en el desarrollo de herramientas formales de análisis para validez de razonamientos deductivos es eliminar, en lo posible, las imprecisiones y ambigüedades propias del lenguaje natural. Con este propósito se construye un lenguaje formal, lo cual requiere:
- Especificar el alfabeto utilizado.
- Hacer explícitas las reglas para producir elementos del lenguaje y para decidir si una cadena específica es o no un elemento de ese lenguaje.
- Asignar significados inequívocos a los elementos del lenguaje. La lógica simbólica moderna es un lenguaje que satisface estos requerimientos. 2. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL. La lógica proposicional es un lenguaje formal que permite decidir sobre la validez o invalidez de los razonamientos deductivos, con base en la representación simbólica de las proposiciones que intervienen en el razonamiento y en las conexiones entre ellas.
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El alfabeto o conjunto de caracteres de la lógica proposicional, que representaremos con P, tiene símbolos de cuatro clases:
- Símbolos de variables proposicionales o átomos: p, q, r, s, ...,w (p 1 , p 2 , …, si se requiere). Estos símbolos se utilizan para representar proposiciones atómicas, es decir, proposiciones que no pueden descomponerse en otras más simples. Ejemplos: p: llueve, q: hace frío, r: hoy es martes.
- Símbolos de conectivos (u operadores) lógicos o proposicionales. Son los símbolos que se presentan en la tabla 1. Se utilizan en la representación de proposiciones compuestas, estableciendo una conexión entre los símbolos que representan las proposiciones atómicas que las componen. Por ejemplo, con los símbolos p y q como en el numeral 1, “llueve y hace frío” se representaría por p∧q. En la tercera columna de la tabla siguiente se indica cómo se lee cada conectivo, cuando aparece en una expresión de la lógica proposicional. Por ejemplo: ¬p se lee como “no p” o como “es falso que p” o “p es falso”. En la última de la derecha se da un ejemplo para cada caso. Tabla 1. Conectivos lógicos o proposicionales Símbolo Nombre usual En una fórmula se lee Ejemplo ¬ negación no, es falso que ¬p : no p ∨ disyunción o p∨q: p o q ∧ conjunción y p∧q : p y q ⇒ condicional si…entonces… p⇒q: si p entonces q ⇔ bicondicional …si y solo si… p⇔q: p si y solo si q
- Símbolos de puntuación. Son los paréntesis abierto “(“ y cerrado “)”. Se utilizan para agrupar, con fines sintácticos o de claridad, partes de una expresión del lenguaje. Por ejemplo, (p∨q) ⇒ r.
- Símbolos de constantes lógicas. Son los símbolos V y F. Al concatenar los símbolos anteriores se obtienen expresiones conocidas como fórmulas o cadenas de la lógica proposicional. Por ejemplo: p, ¬p ∨ q, ((¬q⇒s)⇒q), y (¬¬r ⇔ (r ¬ ⇒ t)), son fórmulas. Pero no todas las fórmulas hacen parte de lo que llamaremos el lenguaje de la lógica proposicional, puesto que para hacerlo deben cumplir las condiciones que se presentan en la siguiente sección, en cuyo caso las llamaremos fórmulas bien formadas (fbf). Finalmente: llamaremos Lenguaje de la lógica proposicional, y lo denotaremos con L(P), al conjunto de todas las fórmulas bien formadas: L(P) = {A ⎜A es una fórmula bien formada}. 3. FÓRMULAS BIEN FORMADAS. SINTAXIS EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL El proceso de comprensión de una oración en lenguaje natural requiere del análisis sintáctico. Este análisis permite decidir si la frase está o no construida de acuerdo con las reglas gramaticales propias del lenguaje. Por ejemplo, “el llanero solitario canta una canción”, es una frase sintácticamente correcta, pero no lo es “una el solitario canción llanero canta”. Cada lenguaje, natural o artificial, requiere un criterio para decidir cuando una cadena de símbolos de su alfabeto pertenece al lenguaje, es decir, está bien construida. En el caso particular del lenguaje de la lógica proposicional ese criterio nos debe indicar que la cadena ((¬q⇒s)⇒q) está bien construida y pertenece al lenguaje de la lógica proposicional L(P), pero que (¬¬r ⇔ (r ¬ ⇒ t)) presenta por lo menos un error de sintaxis y por lo tanto no pertenece a dicho lenguaje. Definición 1 : Una fórmula bien formada(fbf) es cualquier cadena de símbolos de P, el alfabeto de la lógica proposicional, que resulta de aplicar estas reglas: F1. Todo átomo es una fbf. Esta regla establece, por ejemplo, que p, q, r, son fórmulas bien formadas.
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declarativa lleva implícita la afirmación de que su contenido es verdadero. Por ejemplo, decimos “el oxígeno es necesario para la vida” pero el significado es “es verdad que el oxígeno es necesario para la vida”. Igualmente, decimos “Juan sabe inglés y alemán”, con el significado “es verdad que Juan sabe inglés y también lo es que sabe alemán”. La situación es similar en lógica simbólica: si el átomo p simboliza una proposición, la notación p debe entenderse con el significado “p es verdadera”, o “es verdad que p”. Por ejemplo, si utilizamos el símbolo p para representar la proposición atómica “el oxígeno es necesario para la vida” la aparición de p en una fórmula debe entenderse como la afirmación “es verdad que el oxígeno es necesario para la vida”. En lo que sigue se describe la función de los conectivos lógicos, específicamente entre átomos. Posteriormente se generaliza su función para conectar fórmulas en general. 4.1Negación. Supongamos que el átomo p representa la afirmación p: Isabel es calculista. Entonces cualquiera de las afirmaciones “Isabel no es calculista”, “es falso que Isabel es calculista”, “es un hecho que Isabel no es calculista”, “no es el caso que Isabel es calculista” formas de negar la afirmación inicial, se representa con la fórmula ¬p. La fbf ¬p, que leeremos “no p” representa la negación de p. En el lenguaje natural corresponde a las expresiones que se enuncian, a partir de la proposición representada por p, como “no p”, “es falso que p”, “no es cierto que p”, “p es falsa” y otras equivalentes. Otros ejemplos: Si q representa la afirmación a=b, ¬q representa la afirmación a≠b; si r representa a∈A, ¬r representa a∉A. 4.2 Conjunción. Si p y q representan proposiciones atómicas, la cadena de símbolos p∧q (se lee “p y q”) representa la conjunción de tales proposiciones. Con esta fórmula se representan las expresiones que se enuncian, a partir de las proposiciones representadas por p y q, como “p y q”, “p pero q”, “p y también q”, “p y sin embargo q”, y otras equivalentes. Indica la ocurrencia simultánea de las dos proposiciones. Por ejemplo, si con p y q se representan las proposiciones “Pedro es alto” y “Pedro es delgado”, respectivamente, entonces con la cadena p∧q se representa cualquiera de las afirmaciones “Pedro es alto y delgado”, “Pedro es alto pero delgado”, “Pedro es alto y sin embargo es delgado”, “Pedro es alto aunque también es delgado”. El símbolo p∧q conlleva la afirmación de que las dos proposiciones, p y q, son verdaderas; tanto en el contexto de conjunción copulativa: “Juan es pobre y generoso”, como de conjunción adversativa: “Juan es pobre pero generoso”. No olvidemos que en el proceso de representación simbólica es necesario tener siempre presentes los significados convencionales. Por ejemplo: la proposición “Los números 2 y 7 son primos” es una proposición compuesta, de la forma p∧q, pero la proposición “Los estudiantes Diego y Andrés son primos” es una proposición atómica. 4.3 Disyunción. Si p y q representan proposiciones atómicas, la cadena de símbolos p∨q (se lee “p o q”) representa la disyunción de tales proposiciones. Corresponde a las expresiones del lenguaje natural que se enuncian, a partir de las proposiciones representadas por p y q, como “p o q”, “p o q o ambas”, “por lo menos una, de p y q”, y otras equivalentes. Indica que por lo menos una de las dos proposiciones es verdadera. Por ejemplo, si p y q representan las proposiciones “los funcionarios de la embajada saben inglés” y “los funcionarios de la embajada saben francés” respectivamente, entonces la cadena p∨q representa las afirmaciones “los funcionarios de la embajada saben inglés o francés”, “los funcionarios de la embajada saben por lo menos inglés o francés”, “los funcionarios de la embajada saben inglés o francés o los dos”. En el lenguaje cotidiano la disyunción tiene dos usos. Uno de estos es conocido como “o inclusivo”: lo uno, o lo otro, o ambos; el segundo es conocido como “o exclusivo”: lo uno, o lo otro, pero no ambos. El primer caso se presenta, por ejemplo, cuando decimos: Si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0, porque en este caso una de las opciones no elimina o excluye a la otra, ya que puede ser que ambos, a y b, sean 0.“Lleve con usted la cédula o el pasaporte”, es también un ejemplo de uso inclusivo de la disyunción. En contraste, “Llegaré el miércoles en la noche o el jueves en la mañana” y “Permítame ver su cédula o su pasaporte” ilustran usos de la disyunción en sentido exclusivo. En el primero de estos casos es evidente que una alternativa excluye a la otra, pero en el segundo la exclusión es convencional, pues aun cuando no se espera que el aludido muestre ambos documentos, la expresión no indica que no pueda hacerlo.
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El doble uso de la disyunción en el lenguaje usual, y la ambigüedad que de ello puede derivarse, son incompatibles con la unicidad de significados deseable en un lenguaje formal como lo es la lógica simbólica. Para eliminar la ambigüedad adoptamos esta convención: La disyunción “o” será usada siempre en el sentido inclusivo, es decir, el símbolo p ∨ q tiene siempre el significado “p, o q, o ambas”. El sentido exclusivo debe ser declarado explícitamente utilizando la forma “…o…, pero no ambos”, como en “x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B, pero no a ambos”. Algunas veces se usa la forma “o…, o...” para significar que la disyunción es exclusiva, como en “o x pertenece a A, o x pertenece a B”, pero esta práctica no es tan generalizada como para considerarla segura. Es más precisa la forma anterior. Tampoco la notación simbólica es única para la disyunción exclusiva, pero nosotros adoptaremos una de las más utilizadas: p ⊕ q (Tenga presente que ⊕ no es un conectivo proposicional; es un símbolo creado para denotar un vínculo que, como veremos a continuación, puede expresarse por intermedio de los conectivos proposicionales). La cadena de símbolos p ⊕ q indica que alguna de las dos, p o q, es verdadera, pero que las dos no son simultáneamente verdaderas. En forma simplificada: alguna de las dos pero no las dos. Veamos cómo utilizar los significados ya estudiados, para representar la disyunción exclusiva: “alguna de las dos” se representa como p∨q; “las dos”, como p∧q; “no las dos”, como ¬(p∧q). Finalmente, “alguna de las dos, pero no las dos”, como: (p∨q)∧¬(p∧q). Por esto adoptamos la siguiente definición para el “o exclusivo”: p ⊕ q ≡ (p∨q) ∧¬(p∧q). 4.4. Condicional. Si p y q representan proposiciones atómicas, la fórmula p⇒q (se lee “si p entonces q” o, con menos frecuencia, “p implica q”), representa la relación entre p y q que se expresa en el lenguaje usual en cualquiera de estas formas: “si p entonces q”, “p sólo si q”, “q, si p”, “es necesario q para p”, “es suficiente p para q”, “no p a menos que q”, “no es posible que p y no q”, y las que les sean equivalentes. Por ejemplo, supongamos que los átomos p y q representan estas proposiciones atómicas,p: hoy es martes y q: mañana es miércoles. Entonces, la fórmula p ⇒ q representa las afirmaciones: Si hoy es martes, entonces mañana es miércoles. Hoy es martes, solo si mañana es miércoles. Mañana es miércoles, si hoy es martes. Es necesario que mañana sea miércoles para que hoy sea martes. Es suficiente que hoy sea martes, para que mañana sea miércoles: Hoy no es martes, a menos que mañana sea miércoles. No es posible que hoy sea martes y mañana no sea miércoles. En un enunciado condicional, la proposición que acompaña a “si” es llamada antecedente; la otra, muchas veces precedida de “entonces” es llamada consecuente. Esto significa que al escribir la proposición en la forma “si p entonces q”, “si p, q”, o en la forma “q, si p”, p es el antecedente y q el consecuente. En la proposición “si hoy es martes, entonces mañana es miércoles”, “hoy es martes” es el antecedente y “mañana es miércoles” es el consecuente. Es necesario reiterar que el condicional nada afirma sobre la verdad del antecedente o del consecuente por separado; solo afirma que si el antecedente es verdadero, el consecuente también lo es. En otras palabras: con el condicional p⇒q se afirma que no es posible que el antecedente sea verdadero y simultáneamente el consecuente sea falso. Esto se expresa mediante la siguiente definición: p⇒q ≡ ¬(p∧¬q). Ejemplo 4 Supongamos que los átomos p y q representan estas proposiciones: p: El entero n es divisible por 3 q: La suma de los dígitos del número n es múltiplo de 3. ¡Cada una de las 7 oraciones siguientes se representa simbólicamente como p⇒q!
- Si el entero n es divisible por 3 entonces la suma de los dígitos de n es múltiplo de 3.
- El entero n es divisible por 3 sólo si la suma de los dígitos de n es múltiplo de 3.
- La suma de los dígitos del número n es múltiplo de 3 si n es divisible por 3.
- Es necesario que la suma de los dígitos de n sea múltiplo de 3, para n sea divisible por 3.
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caracterizados por el concepto. Así, por ejemplo, la definición de número primo incluye en esta categoría a todos los enteros que tienen exactamente dos divisores positivos, dado que esta es condición suficiente para ser número primo. Entonces, n = 17 es primo porque tiene dos divisores positivos: 1 y 17. Análogamente, como los únicos divisores positivos de 23 son 1 y 23, entonces 23 es número primo. Adicionalmente, la definición excluye de la categoría de números primos al 1 y a los enteros que tienen más de dos divisores, porque tener exactamente dos divisores positivos es condición necesaria para ser primo. Por ejemplo, 9 no es primo porque tiene tres divisores que son 1, 3, y 9; 1 no es primo, porque tiene solo un divisor positivo: 1. Se menciona el hecho de que si A es condición suficiente y necesaria para B, entonces B es también condición suficiente y necesaria para A, dado que las dos condiciones se implican mutuamente. Para el caso de la definición de número primo, esto significa que tener exactamente dos divisores es condición suficiente y necesaria para que un número sea primo. Entonces, si un enunciado particular afirma que un entero p es primo, de inmediato sabemos que p es diferente de 1 y tiene sólo dos divisores positivos, que son 1 y p; igualmente, si un enunciado afirma que un número p distinto de 1 no es primo, de inmediato sabemos que tiene algún divisor d, que es distinto de 1 y de p mismo. En los ejercicios sobre técnicas de demostración se pide al estudiante probar este resultado: Si p es un número primo, y p no es divisor de a, entonces el máximo común divisor de p y a, es 1. En la demostración se utiliza el hecho de que por ser p un número primo, sus únicos divisores son 1 y p. En cuanto a la noción de palíndromo, la condición suficiente o de inclusión indica que “amor a Roma”, “20 02 2002” (20 de febrero de 2002), “A man a plan a canal Panama”, y el famoso “dábale arroz a la zorra el abad”, son palíndromos, porque se leen igualmente de izquierda a derecha, que de derecha a izquierda –se hace caso omiso de los espacios entre palabras. Por otra parte, la condición necesaria o de exclusión indica que cadenas como “2003”, “espíritu aventurero”, no son palíndromos. 4.5.2 El bicondicional y los teoremas. Muchos teoremas son resultados de la forma “H si y solo T”. Por ejemplo:
- El cuadrado de un entero es par si y solo si el entero es par.
- El producto ab es 0 si y solo si a es 0 o b es 0. Estos enunciados establecen una relación mutua de suficiencia y necesidad entre dos propiedades. El primero asegura que es suficiente y necesario que un entero sea par, para que el cuadrado del entero sea par y asegura también que es suficiente y necesario que el cuadrado de un entero sea par para que el entero mismo sea par. Esta relación mutua de suficiencia y necesidad entre H y T explica por qué cuando uno trata de demostrar teoremas como éstos, debe desarrollar un argumentación que pruebe dos hechos: Uno de ellos, que H es suficiente para T (con lo cual quedará probado que T es necesario para H); el otro, que T es suficiente para H (con lo cual quedará probado que H es necesario para T). Con esto quedará establecida la validez del teorema propuesto. En la sección destinada a técnicas de demostración volveremos sobre el tema, y precisaremos las razones que justifican el procedimiento a seguir en la demostración de este tipo de teoremas. En este momento nos interesa solamente que conozca la relación entre esta clase de teoremas y el bicondicional. 5. REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA Los elementos desarrollados en la sección anterior permiten avanzar hacia uno de los propósitos más importantes de este capítulo: el uso del lenguaje de la lógica proposicional para representar simbólicamente enunciados en lenguaje natural. A continuación se presentan algunos ejemplos. Ejemplo 5 Representar, en el lenguaje de la lógica proposicional, la frase: “Si la sequía persiste no sólo se secarán los pastos sino que aumentarán los incendios forestales”
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Solución: Primero se identifican las proposiciones atómicas que intervienen en el enunciado. Son: “la sequía persiste”, “se secarán los pastos” y “aumentarán los incendios forestales”. A continuación se las representa con átomos: p: La sequía persiste. q: Se secarán los pastos. r: Aumentarán los incendios forestales. Escribamos el enunciado original en una forma que permita identificar más fácilmente los conectivos que contiene: “Si la sequía persiste entonces se secarán los pastos y aumentarán los incendios forestales”. El contexto, y la forma del enunciado original, indican que la representación correspondiente es p ⇒ (q ∧ r). Ejemplo 6 Representar la afirmación: Se sabe que si continúa la incertidumbre habrá un aumento en las tasas de interés y se sabe también que la devaluación será acelerada”. Utilizaremos los átomos p y q, con los significados siguientes: p: Continúa la incertidumbre q: Habrá alza en la tasa de interés r: La devaluación será acelerada. Entonces, la afirmación dada se representa como (p⇒q)∧r. Ejercicio 7 Con base en las mismas proposiciones del ejemplo anterior, ¿cuál debe ser el enunciado si la representación adecuada es p⇒(q∧r)? Ejercicio 8 Considere los enunciados: A: Juan regresa temprano, y va a misa o se queda en casa. B: Juan regresa temprano y va a misa, o se queda en casa. Determine cuál de las representaciones (p∧q)∨r, y p∧(q∨r), se corresponde con A y cuál con B. Es un hecho que los enunciados A y B no tienen el mismo significado. Posteriormente veremos que esto se corresponde con la no equivalencia de las fórmulas que los representan. Ejemplo 9 Representar el razonamiento siguiente, en el lenguaje de la lógica proposicional: Si es verdad que si llueve entonces los estudiantes se acuestan, entonces no estudian. Si los estudiantes aprueban el examen entonces, o estudian o el examen es trivial. Pero si el examen es trivial entonces los estudiantes son flojos. Y es un hecho que los estudiantes aprueban el examen y no son flojos. En consecuencia, llueve y los estudiantes no se acuestan. Solución: Inicialmente se simbolizan, mediante átomos, las proposiciones atómicas involucradas en el razonamiento. Al hacerlo se tienen en cuenta estos aspectos: Primero: Una proposición que es la negación de otra, se representa con una fórmula del tipo ¬p donde el átomo p representa la proposición atómica afirmativa. Por ejemplo, si el argumento contiene el enunciado “no llueve”, la representación será ¬p, donde p representa la proposición atómica “llueve” Segundo: Cuando se enuncia la proposición representada por un átomo, se incluyen el sujeto y el predicado, si existen, aun cuando en el texto original sean implícitos. Observe, por ejemplo, que en la lista siguiente el átomo r representa: “los estudiantes estudian”, y no simplemente: “estudian”. Con base en lo anterior, representaremos las proposiciones atómicas del ejemplo 2.9 así: p: Llueve. q: Los estudiantes se acuestan. r: Los estudiantes estudian. s: Los estudiantes aprueban el examen. t: El examen es trivial. v: Los estudiantes son flojos. Ahora representaremos simbólicamente cada premisa y la conclusión, utilizando los paréntesis para reflejar adecuadamente sus significados: P 1. Si es verdad que si llueve entonces los estudiantes se acuestan, entonces no estudian:
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Tabla 2. Las tablas de verdad de los conectivos proposicionales Con excepción del condicional, los valores asignados en la tabla anterior reflejan el uso y significado de los conectivos, estudiados en la sección 2.4. Por ejemplo, es natural asignar a p∨q el valor V si por lo menos uno de los átomos tiene asignado el valor V, como se observa en las tres primeras filas de la columna 5. Esto, porque las constantes V y F se han escogido teniendo presentes los significados de “verdadero” y “falso” respectivamente, y sabemos que una proposición compuesta representada por p∨q es verdadera (sin comillas), si por lo menos una de las proposiciones representadas por p o q es verdadera. De igual manera, está plenamente justificada la asignación de valores de verdad para ¬p y para p∧q. Sin embargo, el lector puede preguntarse: ¿con qué criterio se han asignado los valores V y F para el condicional, en la columna 6? ¿Por qué v(p⇒q)=V cuando v(p)=F, como se ve en las dos últimas filas de la columna 6? En la sección 2.7 daremos respuesta a estas preguntas. Ejemplo 10 Dada la fórmula C: (p⇒q)∧(¬q∨r),
- Establecer el número de interpretaciones posibles para la fórmula.
- Determinar el valor de verdad de C, v(C), para dos de las posibles interpretaciones. Solución:
- El número de interpretaciones está dado por el total de combinaciones posibles de valores V y F, para los tres átomos p, q y r que intervienen en la fórmula. Como cada átomo puede tomar dos valores, el total de combinaciones coincide con el número de ternas (_, _, _) en las cuales cada _ puede tomar uno de los valores V o F. Este número es 2 3 =8, es decir, una fbf que contiene tres átomos, tiene 8 interpretaciones posibles. Una de estas es v(p)=V, v(q)=V y v(r)=V, que denotamos con la terna (V, V, V). Análogamente, la interpretación v(p)=V, v(q)=F y v(r)=V, se denota con la terna (V, F, V), etc.
- Encontraremos el valor de verdad de la fórmula C = (p⇒q)∧(¬q∨r), para las interpretaciones: I 1 = (V, V, F) e I 2 = (F, V, F). Los paréntesis en C= (p⇒q)∧(¬q∨r), indican que C es de la forma C=A∧B, con A:(p⇒q) y B:(¬q∨r). Entonces, v(C) depende de v(A) y v(B). Por esto, debemos calcular los valores de verdad de p⇒q y ¬q∨r para estas interpretaciones, según lo establecido en la tabla 1. Para la interpretación v(p)=V, v(q)=V y v(r)=F, tenemos v(p⇒q)=V. Para establecer v(¬q∨r) procedemos así:
- Como v(q)=V entonces v(¬q)=F y, puesto que v(r) es F, la disyunción ¬q∨r tiene valor F. Finalmente, v((p⇒q)∧(¬q∨r)) es F, para la interpretación I 1. Análogamente, para la interpretación I 2 = (F,F,V), es decir, v(p)=F, v(q)=F y v(q)=V, se obtiene v(p⇒q)=V, y v(¬q∨r)=V. En consecuencia, v(C)=V para esta interpretación. Observación 11 Cuando interesa establecer el valor de verdad para una interpretación en particular se escribe, directamente debajo de los átomos –y de sus negaciones si aparecen en la fórmula– sus valores de verdad, tal como se ve en la línea 1. A continuación, y de acuerdo con la sintaxis de la fórmula, se van determinando los valores de verdad de las subfórmulas (línea 2) hasta evaluar la fórmula completa (línea 3). Para I 1 =(V,V,F), tenemos: ((p ⇒ q) ∧ (¬q ∨ r)) línea 1. V V F F línea 2. V F línea 3. F Una tabla que muestra el valor de verdad de una fórmula para todas sus interpretaciones posibles, se llama tabla de verdad de la fórmula. Se construye listando las 2n interpretaciones posibles, donde n es el número de átomos en la fórmula. Luego se procede a establecer los valores de verdad de las subfórmulas, hasta obtener la evaluación de la fórmula completa. Como ejemplo, se muestra la tabla de verdad de la fórmula A: ((p⇒(q∨r))∧(p∧¬q))⇒r. P q r ¬q q ∨ r p ⇒ (q ∨ r) p ∧ ¬q qq (p ⇒ (q ∨ r)) ∧ (p ∧ ¬q) ¬q))) (((p ⇒ (q ∨ r)) ∧ (p ∧ ¬q)) ⇒ r ⇒ rrr)q)
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V F V V F F V V V F F V V F F V V F V V V V V V V V F F V F F V F V F V V F V F F F F V V F F F V F V F F V Tabla 3. Tabla de verdad de la fórmula ((p ⇒ (q ∨ r)) ∧ (p ∧ ¬q)) ⇒ r Observe que A tiene tres átomos y por lo tanto hay 2 3 = 8 interpretaciones, que deben disponerse ordenadamente como se ve en las tres primeras columnas. Además, hay algo notorio en esta tabla: la última columna de la derecha muestra que el valor de verdad de A es V, independientemente de cuál sea la interpretación. Fórmulas como esta, que son verdaderas para todas sus interpretaciones, se conocen con el nombre de tautologías, y constituyen el fundamento de las aplicaciones de la lógica simbólica al estudio de validez de razonamientos, como veremos oportunamente. Esta noción y otras relacionadas con los valores de verdad de una fórmula, se presentan en seguida. Se dice que una fórmula A es satisfacible, si existe alguna interpretación que la hace verdadera. Este es el caso de la fórmula A: ¬p∧q, que es verdadera para v(p)=F y v(q)=V. Una fórmula es una tautología, si v(A)=V para todas las interpretaciones posibles de A. La notación ├- A se usa para indicar que A es una tautología. Una fbf A es una contradicción, o es una fórmula insatisfacible, si v(A)=F para todas sus interpretaciones. Las contradicciones tienen la forma A∧¬A, para cada fbf A. Finalmente, una fbf es una contingencia, si v(A)=V para alguna interpretación, pero v(A)=F para alguna otra, como en el caso de p⇒(q∧r). Si una fórmula es satisfacible, llamaremos modelo para la fórmula a cualquier interpretación que la haga verdadera.
7. FÓRMULAS LÓGICAMENTE EQUIVALENTES. Consideremos los enunciados siguientes: A. Juan desayuna con tostadas, y café o chocolate: p∧(q∨r). B. Juan desayuna con tostadas y café, o con tostadas y chocolate: (p∧q)∨(p∧r). En A se establece que Juan desayuna con tostadas, acompañadas de café o chocolate (¿“o” exclusivo?, ¿inclusivo?). Por tanto, el desayuno de Juan es tostadas y café, o tostadas y chocolate, precisamente lo que se establece en el enunciado B. Uno dice que A y B son enunciados equivalentes para indicar que tienen idéntico significado. Ahora bien: las tablas de verdad de las fórmulas A: p∧(q∨r) y B: (p∧q)∨(p∧r), que representan los enunciados A y B respectivamente, son iguales. Esto sugiere que podemos formalizar el concepto de equivalencia, mediante valores de verdad. Lo hacemos en la definición siguiente: p q r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) ( p ∧ q) ( p ∧ r ) ( p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F Tabla 4. Dos proposiciones lógicamente equivalentes Definición 12 Dos fórmulas A y B son lógicamente equivalentes, (o equivalentes) si y solo si tienen el mismo valor de verdad para cada posible interpretación común. El hecho de que A y B son lógicamente equivalentes se denotará en este libro con A ≡ B o con B ≡ A.
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que la negación del enunciado anterior es equivalente a “Juana sabe inglés pero no francés, o Juana sabe francés pero no inglés”? Recuerde que ahora usted cuenta con definiciones y criterios formales para responder en forma correcta preguntas como las anteriores. Definición 16 El condicional “si q entonces p”, se llama recíproco del condicional “si p entonces q”. De acuerdo con esta definición, el recíproco de “si m es divisor de n y de s entonces m es divisor de la suma n+s”, es el condicional “si m es divisor de la suma n+s, entonces m es divisor de n y de s”; el recíproco de “si una palabra es aguda entonces tiene acento en la última sílaba” es “si una palabra tiene acento en la última sílaba entonces es aguda”. Estos ejemplos le indican que el recíproco de un condicional verdadero puede ser falso, como en el primer caso (muestre un contraejemplo), o puede ser verdadero, como en el segundo caso. Definición 17 La fórmula B ⇒ A es la recíproca de la fórmula A ⇒ B. Ejercicio 18 Muestre que A ⇒ B y su recíproca B ⇒ A no son lógicamente equivalentes. Relacione este hecho con los ejemplos que acompañan a la definición 16. Ejercicio 19 Muestre que las fórmulas A ⇒ B y ¬A∨B, son lógicamente equivalentes. Observación 20 También la equivalencia anterior se corresponde con la igualdad de significados en expresiones del lenguaje natural. La lista siguiente presenta algunos ejemplos; a la izquierda en forma de condicional A ⇒ B, y a la derecha el enunciado equivalente en la forma ¬A∨B ( o B ∨ ¬A))
- Si miente entonces no podré creerle nunca más. No mienta, o no podré creerle nunca más.
- Si llega tarde perderá el cupo. No llegue tarde, o perderá el cupo.
- Si es médico sabe primeros auxilios. Sabe primeros auxilios, o no es médico. La equivalencia del ejercicio 19 da respuesta a las preguntas que se formularon en la página 63, sobre los valores del condicional de la columna 6 en la tabla 2: sus valores se han escogido para que coincidan con los valores de la fórmula ¬p∨q. De alguna manera, podríamos decir que p⇒q es, “por definición”, equivalente a ¬p∨q. 8. EQUIVALENCIAS Y CÁLCULO PROPOSICIONAL. Una aplicación importante de la equivalencia lógica es la simplificación o manipulación de fórmulas, sin alterar su valor de verdad. Esto, porque la aplicación de cada equivalencia cambia la fórmula a la cual se aplica, por otra con la cual es lógicamente equivalente. Por ejemplo, se puede mostrar, aplicando algunas equivalencias de la tabla 6 (página siguiente) que ((p∨q) ∧ (p∨r) ∧ (¬(¬p∧q))) ≡ p, como veremos en un momento. El proceso de simplificación de fbf’s es tan similar al de simplificación algebraica que usted conoce, que a veces se le llama “método algebraico”. La simplificación es importante en sí misma porque produce fórmulas más sencillas, pero con igual significado. Además es importante porque genera habilidades en otra clase de cálculos, con el consiguiente beneficio en la capacidad para manipular símbolos no numéricos. En la tabla 6 se presentan las equivalencias más importantes para nuestros propósitos. Usted debe aprenderlas con su nombre y significado. Para esto es conveniente que idee términos propios para enunciar cada ley en forma tan descriptiva como le sea posible. Por ejemplo, usted puede aprender la ley del tercio excluido A∨¬A ≡ V describiéndola como la expresión de que “una fórmula es verdadera o es falsa y no hay una tercera alternativa, es decir, queda excluida cualquiera otra posibilidad”. Puede conceptualizar la ley de dominación V∨A≡V, como la expresión simbólica de que “cuando uno de los miembros de una disyunción es verdadero, la disyunción también lo es independientemente del otro”, o , alternativamente “verdadero o algo, es verdadero”, como a veces lo aprenden los estudiantes, etc. Por otra parte, conviene pensar que los símbolos V y F, de mucha utilidad en el proceso de simplificación, son formas simplificadas de denotar una tautología y una contradicción, respectivamente. Las dos leyes conmutativas encabezan la lista de equivalencias, con el propósito de que el lector las aplique
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en las equivalencias posteriores, cuando lo requiera. Por ejemplo, la ley 2 –tercio excluido– se ha expresado como A∨¬A≡V pero igualmente puede expresarse como ¬A∨A≡V. Observe que, con pocas excepciones, las equivalencias de la tabla 6 se han agrupado en parejas. Cada fórmula de la pareja se llama el dual de la otra. Por ejemplo, el dual de A∨¬A≡V es A∧¬A≡F. El dual de una fórmula A es la fórmula que se obtiene sustituyendo en ella cada aparición del conectivo ∧ por el conectivo ∨; cada aparición del conectivo ∨ por el conectivo ∧; cada aparición de la constante V, por F y cada aparición de la constante F por V. Por ejemplo, el dual de p∨(q∧(r∨V)) es p∧(q∨(r∧F)). Este hecho debe facilitar al lector el aprendizaje de las equivalencias, pues es suficiente aprender una y construir su dual, para obtener la otra equivalencia. Leyes Nombre
- A∨B≡B∨A 1’. A∧B≡B∧A Leyes conmutativas
- A∨¬A≡V 2’. A∧¬A≡F Ley del tercio excluido Ley de contradicción
- A∨F≡A 3’. A∧V≡A Leyes de identidad
- A∨V≡V 4’. A∧F≡F Leyes de dominación
- A∨A≡A 5’. A∧A≡A Leyes de idempotencia
- ¬(¬A)≡A Ley de doble negación
- (A∨B)∨C≡A∨(B∨C) 7’. (A∧B)∧C≡A∧(B∧C) Leyes asociativas
- (A∨B)∧(A∨C)≡A∨(B∧C) 8’. (A∧B)∨(A∧C)≡A∧(B∨C) Leyes distributivas 9 (A⇒B)≡(¬B⇒¬A) Ley de trasposición
- ¬(A∧B)≡¬A∨¬B 10’. ¬(A∨B)≡¬A∧¬B Leyes de De Morgan
- A ⇒ B ≡ ¬A∨B Def. de condicional Tabla 6. Algunas equivalencias importantes Ejemplo 21. Muestre que la expresión (p∨¬p)∧q puede reducirse a q, es decir, (p∨¬p)∧q ≡ q.
- (p∨¬p)∧q ≡ V∧q (Por la ley del tercio excluido, con A = p, p∨¬p ≡ V). Entonces se remplaza p∨¬p por su equivalente V.
- V∧q ≡ q (Por la ley de identidad para la conjunción, con A = q). Ejercicio 22 Establecer la equivalencia siguiente, transformando la fórmula de la izquierda en la de la derecha, mediante el uso de equivalencias conocidas (Método algebraico) ((p ∨q) ∧ (p∨r)) ∧ (¬(¬p∧q)) ≡p
- ((p∨q)∧(p∨r)) ∧ (¬(¬p∧q)) ≡ ((p∨q)∧(p∨r)) ∧(¬(¬p)∨¬q) L. de De Morgan 2 ≡ ((p∨q)∧(p∨r))∧(p∨¬q) L. doble negación. 3 ≡ (p∨(q∧r))∧(p∨¬q) L. distributiva 4 ≡ p∨((q∧r)∧¬q) L. distributiva 5 ≡ p∨((q∧¬q)∧r) L. conmutativa + L. asociativa 6 ≡ p∨(F∧r) L. de contradicción. 7 ≡ p∨F L. de dominación 8 ≡ p L. de identidad.
