Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Apunte computacional de logica
Tipo: Apuntes
1 / 62
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Palabras clave: Proposici´on, operadores l´ogicos, conjunci´on, disyunci´on, implicaci´on
Introducci´on
Con el objetivo de construir un sistema que permita establecer la verdad de una afirmaci´on o sentencia, es necesario disponer de una representaci´on de la misma que evite las ambig¨uedades del lenguaje, permita identificar su estructura subyacente y relaci´on con otras afirmaciones. Para ello se presentar´a una forma de simbolizar las proposiciones que cumple con lo descrito anteriormente, adem´as, sobre esta representaci´on se construyen las reglas que establecen la interacci´on de la verdad de una afirmaci´on con el valor de verdad de otras afirmaciones.
Una proposici´on es una sentencia u oraci´on que se puede clasificar como verdadera o falsa. Por ejemplo:
Las proposiciones son objetos que aparecen en diferentes situaciones en ciencias de la computaci´on, por ejemplo, para expresar las caracter´ısticas de los datos a consultar dentro de una base de datos o para establecer las condiciones en las cuales un programa ejecuta una “acci´on” o para identificar la estructura de un argumento y poder definir si es v´alido o no. Por lo tanto, estudiar este objeto es fundamental para su aplicaci´on en diferentes contextos.
Para determinar el valor de verdad (Verdadero o Falso) de una proposici´on se emplea un sistema formal, denomi- nado c´alculo proposicional, que define las reglas para decidir si una proposici´on dada es verdadera o falsa a partir de la estructura que ella expone. En lo que sigue de la lectura se desarrollan los elementos b´asicos de este sistema.
Observe con detalle las siguientes proposiciones:
Tabla 1. S í mbolos de los conectores l ó gicos Conector Símbolo y ∧ o ∨ si ... entonces ... → ... si y solo si ... ≡
Fuente: elaboración propia
Ejemplo 2. Sea la proposici´on Ronald Antonio O’Sullivan tiene una edad mayor a 40 a˜nos y naci´o en Inglaterra, entonces las proposiciones que la componen son:
El conector l´ogico presente es la palabra y. Por lo tanto, la representaci´on de esta proposici´on es:
p ∧ q
Ejemplo 3. Sea la proposici´on El ´ultimo d´ıgito del resultado de la operaci´on 12132 − 15121 es 0 o 1 , entonces las proposiciones que la componen son:
El conector l´ogico presente es la palabra o. Por lo tanto, la representaci´on de esta proposici´on es:
p ∨ q
Ejemplo 4. Sea la proposici´on: si 215 > 100 entonces log 2 (100) < 15, las proposiciones que la componen son:
El conector l´ogico presente es si ... entonces. Por lo tanto, la representaci´on de esta proposici´on es:
r 1 → r 2
Ejemplo 5. Sea la proposici´on: Ximena no es feliz en su trabajo, la proposici´on que la compone es:
El operador l´ogico presente es no. Por lo tanto, la representaci´on de esta proposici´on es:
¬p
Las proposiciones compuestas pueden contener varios conectores, adem´as dada la riqueza de expresividad del lenguaje espa˜nol algunos conectores podr´ıan no estar presentes de forma expl´ıcita.
Ejemplo 6. Sea la proposici´on: si Ximena no es feliz con su trabajo entonces busca un nuevo empleo o un ascenso, las proposici´on que la componen son:
Los operadores l´ogicos presentes son la negaci´on, implicaci´on y disyunci´on. Por lo tanto, la representaci´on de esta proposici´on es: (¬p) → (q ∨ r)
Ejemplo 7. Sea la proposici´on: porque hoy es s´abado voy al cine, entonces las proposiciones que la componen son:
El conector l´ogico presente es la implicaci´on. Por lo tanto, la representaci´on de esta proposici´on es:
p → q
Ejemplo 8. Sea la proposici´on: para mantenerse seco Juan, es suficiente que ´el lleve un impermeable, entonces las proposiciones que la componen son:
El conector l´ogico presente es la implicaci´on. Dado que al analizar la oraci´on se observa que llevar un impermeable implica que se mantendr´a seco, la representaci´on de esta proposici´on es:
q → p
Ejemplo 9. Sea la proposici´on: es necesario que Daniela compre una boleta de loter´ıa para ganar la loter´ıa, entonces las proposiciones que la componen son:
El conector l´ogico presente es la implicaci´on. Dado que al analizar la oraci´on, se observa que ganar la loter´ıa implica haber comprado una boleta, la representaci´on de la proposici´on es:
t 2 → t 1
Tabla 3. Tabla de verdad del operador conjunci´on Valor de verdad p Valor de verdad de q Valor de verdad de p ∧ q T T T T F F F T F F F F
Fuente: elaboración propia
Una proposici´on de la forma p ∨ q (se lee: “p o q”) es verdadera si alguna de las proposiciones p o q es verdadera o ambas. La siguiente tabla resume el comportamiento de este operador:
Tabla 4. Tabla de verdad del operador disyunci ó n Valor de verdad p Valor de verdad de q Valor de verdad de p ∨ q T T T T F T F T T F F F
Fuente: elaboración propia
Ejemplo 15. Si r 1 es una proposici´on falsa, r 2 es una proposici´on verdadera, entonces, r 1 ∨ r 2 es una proposici´on verdadera.
Ejemplo 16. La proposici´on El n´umero 30 es divisible por 7 o por 6 es verdadera, dado que la proposici´on El n´umero 30 es divisible por 6 es verdadera.
Una proposici´on de la forma p → q se lee como: “p entonces q”, a la proposici´on p se le denomina el antecedente y a la proposici´on q se denomina consecuente de la implicaci´on. Un uso de este tipo de expresiones es representar situaciones de causalidad: si el evento p se cumple entonces suceder´a el evento q.
El comportamiento de este operador, en t´erminos en como asigna la verdad, se describe en la tabla 5.
Tabla 5. Tabla de verdad del operador implicaci ó n Valor de verdad p Valor de verdad de q Valor de verdad de p → q T T T T F F F T T F F T
Fuente: elaboraci´on propia.
Observe que el ´unico caso donde la proposici´on p → q ser´a falsa es cuando su antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso.
Ejemplo 17. La proposici´on “Si 6 es un n´umero par entonces su cuadrado es divisible por el n´umero 4” es verdadera, dado que el antecendete “6 es un n´umero par ” es verdadera y el consecuente “el cuadrado de 6 es divisible por 4” es una proposici´on verdadera.
Ejemplo 18. La proposici´on “si el sol gira alrededor de la tierra entonces la luna gira alrededor de la tierra” es verdadera, dado que el antecedente “el sol gira alrededor de la tierra” es falso.
Ejemplo 19. La proposici´on “si el primer tel´efono movil se desarroll´o en 1973 entonces las personas no se comunicaban en 1972 ” es falsa, debido a que el antecedente es verdadero pero el consecuente es falso.
Lo invito a apropiarla tabla de verdad de este operador, debido a la dificultad que exponen algunos estudiantes para recordarla.
Una expresi´on booleana corresponde a una proposici´on at´omica o a una proposici´on construida con las proposicio- nes at´omicas y los operadores l´ogicos (¬, ∧, ∨, →, ≡). En la secci´on anterior se explor´o c´omo determinar el valor de verdad de una expresi´on booleana cuando est´a compuesta por un solo operador. Ahora, se abordar´a el caso de proposiciones m´as complejas y se definir´an relaciones entre proposiciones.
Suponga que conoce que el valor de verdad de la proposici´on at´omica p es falso (F), de la proposici´on q es verdadero (T), de la proposici´on r es F y se desea conocer el valor de verdad de la expresi´on E : q → (p ∨ (¬r)). Note que E contiene las expresiones booleanas ¬r, (p ∨ (¬r)) y q → (p ∨ (¬r)), como r es falso entonces ¬r es verdadero, como p es falso y ¬r es verdadero entonces p ∨ (¬r) es verdadera y por ´ultimo como q es verdadera y p ∨ (¬r) es verdadera, se sigue que q → (p ∨ (¬r)) es una proposici´on verdadera. La figura 1 presenta la forma de evaluar el valor de verdad de la expresi´on E.
Figura 1. Evaluación de una expresión booleana Fuente: elaboración propia
En general, para determinar el valor de verdad de una proposici´on compuesta Q, a partir de sus proposiciones at´omicas, es necesario ir calculando el valor de verdad de las expresiones contenidas en Q. Los siguientes ejemplos deben servir de gu´ıa para comprender el proceso de evaluaci´on de una expresi´on booleana compleja.
Cuando el valor de verdad de una expresi´on E es siempre verdadero (T), para cualquier asignaci´on de las proposiciones at´omicas que la componen, se dice que E es una tautolog´ıa
Ejemplo 23. Construir la tabla de verdad de la expresi´on ¬(q ∨ t) ∧ x.
Tabla 7. Tabla de verdad de la expresi´on ¬(q ∨ t) ∧ x q t x ¬(q ∨ t) ∧ x T T T F T T F F T F T F T F F F F T T F F T F F F F T T F F F F
Fuente: elaboración propia
Observe las siguientes tablas de verdad (8 y 9) de las expresiones p → q y ¬p ∨ q:
Tabla 8. Tabla de verdad de la expresi´on p → q p q p → q T T T T F F F T T F F T
Fuente: elaboración propia
Tabla 9. Tabla de verdad de la expresi´on ¬p ∨ q p q ¬p ∨ q T T T T F F F T T F F T
Fuente: elaboración propia
Podr´a notar que para una asignaci´on de verdad de p y q el valor de verdad de las expresiones p → q y ¬p ∨ q es igual. En esta situaci´on se dice que las expresiones son equivalentes y se denota como:
(p → q) ≡ (¬p ∨ q)
De manera m´as formal:
Definici´on 1. Sea E y Q expresiones booleanas, con proposiciones at´omicas p 1 , p 2 ,... , pm. Si para cualquier asignaci´on de verdad de las proposiciones at´omicas el valor de verdad de las proposiciones E y Q es igual, entonces se dice que E es equivalente a Q y se denota por:
E ≡ Q
Ejemplo 24. Comprobar que ¬(¬(¬p)) es equivalente a ¬p.
En este caso construimos una tabla de verdad cuyas primeras columnas est´an asociadas a los valores de verdad de las proposiciones at´omicas y las ´ultimas columnas sean las proposiciones dadas, luego, en cada fila se hace una asignaci´on de verdad a las proposiciones at´omicas y se eval´ua cada proposici´on E y Q.
Las dos expresiones son equivalentes si las columnas de las proposiciones dadas son iguales.
Tabla 10. Comprobaci´on de la equivalencia de las expresiones ¬(¬(¬p)) y ¬p p ¬(¬(¬p)) ¬p T F F F T T
Fuente: elaboración propia
Ejemplo 25. Comprobar que ¬(p ∧ q) es equivalente a (¬p) ∨ (¬q).
En este caso se construye una tabla con 4 columnas, donde las dos primeras corresponden a los valores de verdad de las proposiciones at´omicas, que para este ejemplo son p y q; la tercera columna corresponde al valor de verdad de la proposici´on ¬(p ∧ q) y la cuarta al valor de verdad de (¬p) ∨ (¬q).
Cada fila de la columna se completa, realizando una asignaci´on de verdad a las proposiciones at´omicas y evaluando las proposiciones dadas.
Tabla 11. Comprobaci´on de la equivalencia de las expresiones ¬(p ∧ q) y (¬p) ∨ (¬q) p q ¬(p ∧ q) (¬p) ∨ (¬q) T T F F T F T T F T T T F F T T
Fuente: elaboración propia
En la siguiente secci´on se explora una aplicaci´on de lo desarrollado hasta ahora en la lectura, en los ejercicios al final podr´a encontrar otros usos.
Definici´on 2. Un argumento se dice v´alido si la expresi´on booleana que lo representa es una tautolog´ıa
Ejemplo 27. El argumento “Si estudio entonces aprendo. Estudio. Por lo tanto, aprendo” es v´alido, dado que al construir la tabla de verdad de su representaci´on booleana se obtiene:
Tabla 12. Tabla de verdad de la expresi´on ((p → q) ∧ p) → q p q ((p → q) ∧ p) → q T T T T F T F T T F F T
Fuente: elaboración propia
Lo que demuestra que es una tautología.
Ejemplo 28. El argumento “Si el lunes tengo clase entonces voy a la escuela. El lunes no tengo clase. Por lo tanto no voy a la escuela” no es v´alido, dado que al construir la tabla de verdad de la representaci´on booleana del argumento se obtiene:
Tabla 13. Tabla de verdad de la expresi´on ((p → q) ∧ ¬p) → ¬q p q ((p → q) ∧ ¬p) → ¬q T T T T F T F T F F F T
Fuente: elaboraci´on propia.
Lo que demuestra que no es una tautolog´ıa.
En las siguientes lecturas aprender´a t´ecnicas m´as eficientes para determinar si un argumento es v´alido, dado que la presentada en esta secci´on no es efectiva si la cantidad de proposiciones at´omicas presentes es grande.
Los siguientes ejercicios tienen como objetivo que el estudiante afiance los conceptos presentados en la lectura, no se deben entregar al tutor del m´odulo.
a) p → ¬p b) p ∨ ¬p
c) p ∧ p d ) (p ∧ q) → q
Palabras clave: Sistema deductivo, axioma, teorema, regla de Leibniz, demostraci´on
Es posible realizar la sustituci´on simultanea de varias proposiciones at´omicas, por ejemplo, sustituir la proposici´on p por la expresi´on A y simult´aneamente la proposici´on q por la expresi´on Q en la expresi´on E, lo cual se denota por E[p, q := A, Q].
Ejemplo 4. Sea E : (p ∨ t) → s, entonces
E[t, s := p ≡ q, r → q] = (p ∨ (p ≡ q)) → (r → q)
Con el objetivo de tener una escritura liviana en cantidad de par´entesis se define un orden de precedencia entre los operadores de una expresi´on booleana.
Definici´on 2. Los operadores: sustituci´on textual, negaci´on, conjunci´on, disyunci´on, implicaci´on y equiva- lencia tienen el siguiente orden de precedencia:
Con lo cual la sustituci´on textual tiene la mayor precedencia, seguido de la negaci´on; la conjunci´on y la disyunci´on tiene el mismo orden de precedencia y es mayor a la implicaci´on. El ´ultimo de la lista es la equivalencia de expresiones booleanas.
Lo anterior permite reducir el uso de par´entesis en una expresi´on E. Por ejemplo la expresi´on:
(p ∨ q) → (¬t)
se puede escribir simplemente como: p ∨ q → ¬t
dado que la disyunci´on tiene mayor precedencia que la implicaci´on se puede omitir el par´entesis de (p ∨ q) y no altera el sentido de la expresi´on. Un ejemplo donde no es posible eliminar el par´entesis es:
(p ≡ q) → r
si se elimina se obtiene: p ≡ q → r
pero la implicaci´on tiene mayor precedencia que la equivalencia, con lo cual la expresi´on anterior se interpreta como p ≡ (q → r)
que es distinta a la original. Otro ejemplo donde no se puede eliminar el par´entesis es la expresi´on:
(s ∨ r) ∧ t
puesto que si se elimina el par´entesis se tiene: s ∨ r ∧ t
que es una expresi´on ambig¨ua, debido a que los operadores de conjunci´on y disyunci´on tienen el mismo nivel de precedencia y no se puede decidir cual operador se aplicar´ıa primero.
Ejemplo 5. La expresi´on ((¬p) ∧ s) → ¬(t ≡ s) se puede reescribir como:
¬p ∧ s → ¬(t ≡ s)
dado que la negaci´on es un operador de mayor precedencia que la conjunci´on y este tiene mayor precedencia que la implicaci´on. No se puede quitar el par´entesis de la sub-expresi´on ¬(t ≡ s) dado que si se hace se obtiene ¬t ≡ s lo que se interpreta como (¬t) ≡ s que es distinto a lo que se ten´ıa.
Para el desarrollo del sistema formal que se presentar´a m´as adelante es necesario agregar dentro de las expresiones booleanas, dos nuevas expresiones (constantes):
Estas se consideran expresiones booleanas, pero no contienen proposiciones at´omicas ni operadores l´ogicos. Adem´as son invariante bajo la acci´on de la operaci´on de sustituci´on, es decir:
true[p := A] = true
false[p := A] = false
para cualquier proposici´on at´omica p y expresi´on booleana A. En el caso de evaluar el valor de verdad de una expresi´on que contenga estas expresiones se asume que el valor de verdad de la expresi´on true es verdadero y de la expresi´on false es falso. Esto permite “introducir” dentro del sistema formal, que se aplica sobre expresiones booleanas a nivel sint´actico, un nivel sem´antico.
Ejemplo 6. Si el valor de verdad de la proposici´on p es falso y de la proposici´on r es verdadero entonces el valor de la expresi´on: ¬(true → p) ∧ (r ∨ false)
es verdadero. Para ello, observe la evaluaci´on de la expresi´on:
Figura 1. Evaluaci´on de la expresi´on ¬(true → p) ∧ (r ∨ false) Fuente: elaboraci´on propia.
