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UNIVERSIDAD EIA
C ´ALCULO EN VARIAS VARIABLES
L´IMITES CON POLARES
Profesor: Francisco Mej´ıa Salazar 2 de febrero de 2021
- Las coordenadas polares se constituyen en otra forma de referirnos a los puntos del plano. Al punto con coordenadas cartesianas (x, y) lo indicamos ahora usando los par´ametros r y θ:
x
y
θ
r
b (x, y)
Para estos par´ametros imponemos las restricciones, 0 ≤ r, 0 ≤ θ < 2 π. Las f´ormulas de transfor- maci´on son: x = r cos(θ), y = r sin(θ). r^2 = x^2 + y^2 , tan(θ) = y x
La f´ormula de transformaci´on r^2 = x^2 + y^2 , sugiere que las coordenadas polares se puedan usar para calcular algunos l´ımites de campos escalares. Apoy´andonos en la equivalencia,
(x, y) → (0, 0) ↔ r → 0
un l´ımite como el siguiente: l´ım (x,y)→(0,0)
x^7 /^3 x^2 + y^2
en coordenadas polares quedar´ıa,
l´ım r→ 0
(r cos(θ))^7 /^3 r^2
= l´ım r→ 0 r^1 /^3 (cos(θ))^7 /^3.
Para concluir que el l´ımite es cero, debemos, primero, eliminar la dependencia de la otra variable θ lo cual es sencillo gracias a que | cos(θ)| ≤ 1. Obtenemos, entonces,
|r^1 /^3 (cos(θ))^7 /^3 | ≤ |r^1 /^3 |. (∗)
gracias a que l´ım r→ 0 r^1 /^3 = 0, por teorema del s´andwich se concluye que el l´ımite existe y es cero.
- Una gran ventaja que presenta esta t´ecnica es que, en algunos casos, nos permite llevar los l´ımites a t´erminos de una variable lo cual nos abre la posibilidad de usar la regla de L’Hˆopital:
Calcular, en caso de existir: l´ım (x,y)→(0,0)
sin
x^2 + y^2
x^2 + y^2
Pasando a polares tenemos: l´ım r→ 0
sin(r^2 ) r^2
Habiendo transformado el l´ımite a un l´ımite de una funci´on de una variable, podemos usar la t´ecnicas que ya conocemos: el l´ımite l´ım x→ 0
sin(x) x = 1 es una de ellas o la regla de L’Hˆopital, la cual se puede
aplicar pues tenemos una indeterminaci´on de la forma
. Derivando tenemos:
l´ım r→ 0
sin(r^2 ) r^2
= l´ım r→ 0
cos(r^2 )2r 2 r
= l´ım r→ 0 cos(r^2 ) = 1.
- No sobra enfatizar que pasar al l´ımite sin haber quitado la dependencia de θ puede conducir a errores. Por ejemplo ya demostramos, usando trayectorias, que el siguiente l´ımite,
l´ım (x,y)→(0,0)
2 x^2 y x^4 + y^2
no existe. Se puede verificar que al hacer el reemplazo x = r cos(θ), y = r sin(θ) y simplificar, obtenemos: l´ım r→ 0
(^2 r^ cos^2 (θ) sin(θ) r^2 cos^4 (θ) + sin^2 (θ)
Obrando a la ligera, estar´ıamos tentados a decir que al hacer r → 0 se obtiene
sin^2 (θ)
= 0, lo cual NO es cierto. ¿D´onde est´a el error? Observemos que esa conclusi´on se saca para un determinado valor de θ. ¿Pero qu´e pasar´ıa si θ fuera, por ejemplo, π?
Es claro, entonces, que cuando subsista la dependencia de θ, debemos ensayar algo similar a lo que se hizo en (*).
- Considere la funci´on: f (x, y) =
sin
x^2 + y^2
(x^2 + y^2 )
- Obtenga algunos valores de f (x, y) para puntos (x, y) cercanos a (0, 0). Concluya que es muy probable que f (x, y) → 0 cuando (x, y) → (0, 0).
- Utilice coordenadas polares para demostrar que, en efecto, el l´ımite de la funci´on es 0.
- Calcule los siguientes l´ımites, en caso de existir:
a) l´ım (x,y)→(0,0)
arctan
x^2 + y^2
b) l´ım (x,y)→(0,0)
x^2 − y^2 x^2 + y^2 c)^ (x,yl´)ım→(0,0)
sin
x^2 + y^2
x^2 + y^2
- Determinar si las siguientes funciones son continuas en (0, 0):
f (x, y) =
x^3 y^3 x^2 + y^2 si (x, y) 6 = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) =
x^4 − y^4 x^4 + y^4 si (x, y) 6 = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) =
e
−
( 1 x^2 + y^2
)
si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)
