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Limites polares calculo varias variables, Diapositivas de Cálculo Avanzado

Limites polares calculo varias variables

Tipo: Diapositivas

2020/2021

Subido el 09/03/2021

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julio-zamora-2 🇨🇴

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UNIVERSIDAD EIA
C´
ALCULO EN VARIAS VARIABLES
L´
IMITES CON POLARES
Profesor: Francisco Mej´ıa Salazar
2 de febrero de 2021
1. Las coordenadas polares se constituyen en otra forma de referirnos a los puntos del plano. Al punto
con coordenadas cartesianas (x, y) lo indicamos ahora usando los par´ametros ryθ:
x
y
θ
r
b
(x, y)
Para estos par´ametros imponemos las restricciones, 0 r, 0θ < 2π. Las ormulas de transfor-
maci´on son:
x=rcos(θ), y =rsin(θ). r2=x2+y2,tan(θ) = y
x.
La ormula de transformaci´on r2=x2+y2, sugiere que las coordenadas polares se puedan usar para
calcular algunos l´ımites de campos escalares. Apoy´andonos en la equivalencia,
(x, y)(0,0) r0
un l´ımite como el siguiente:
l´ım
(x,y)(0,0)
x7/3
x2+y2,
en coordenadas polares quedar´ıa,
l´ım
r0
(rcos(θ))7/3
r2= l´ım
r0r1/3(cos(θ))7/3.
Para concluir que el l´ımite es cero, debemos, primero, eliminar la dependencia de la otra variable θ
lo cual es sencillo gracias a que |cos(θ)| 1. Obtenemos, entonces,
|r1/3(cos(θ))7/3| |r1/3|.()
gracias a que ım
r0r1/3= 0, por teorema del andwich se concluye que el l´ımite existe y es cero.
2. Una gran ventaja que presenta esta ecnica es que, en algunos casos, nos permite llevar los l´ımites
a erminos de una variable lo cual nos abre la posibilidad de usar la regla de L’Hˆopital:
Calcular, en caso de existir:
l´ım
(x,y)(0,0)
sin x2+y2
x2+y2.
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UNIVERSIDAD EIA

C ´ALCULO EN VARIAS VARIABLES

L´IMITES CON POLARES

Profesor: Francisco Mej´ıa Salazar 2 de febrero de 2021

  1. Las coordenadas polares se constituyen en otra forma de referirnos a los puntos del plano. Al punto con coordenadas cartesianas (x, y) lo indicamos ahora usando los par´ametros r y θ:

x

y

θ

r

b (x, y)

Para estos par´ametros imponemos las restricciones, 0 ≤ r, 0 ≤ θ < 2 π. Las f´ormulas de transfor- maci´on son: x = r cos(θ), y = r sin(θ). r^2 = x^2 + y^2 , tan(θ) = y x

La f´ormula de transformaci´on r^2 = x^2 + y^2 , sugiere que las coordenadas polares se puedan usar para calcular algunos l´ımites de campos escalares. Apoy´andonos en la equivalencia,

(x, y) → (0, 0) ↔ r → 0

un l´ımite como el siguiente: l´ım (x,y)→(0,0)

x^7 /^3 x^2 + y^2

en coordenadas polares quedar´ıa,

l´ım r→ 0

(r cos(θ))^7 /^3 r^2

= l´ım r→ 0 r^1 /^3 (cos(θ))^7 /^3.

Para concluir que el l´ımite es cero, debemos, primero, eliminar la dependencia de la otra variable θ lo cual es sencillo gracias a que | cos(θ)| ≤ 1. Obtenemos, entonces,

|r^1 /^3 (cos(θ))^7 /^3 | ≤ |r^1 /^3 |. (∗)

gracias a que l´ım r→ 0 r^1 /^3 = 0, por teorema del s´andwich se concluye que el l´ımite existe y es cero.

  1. Una gran ventaja que presenta esta t´ecnica es que, en algunos casos, nos permite llevar los l´ımites a t´erminos de una variable lo cual nos abre la posibilidad de usar la regla de L’Hˆopital:

Calcular, en caso de existir: l´ım (x,y)→(0,0)

sin

x^2 + y^2

x^2 + y^2

Pasando a polares tenemos: l´ım r→ 0

sin(r^2 ) r^2

Habiendo transformado el l´ımite a un l´ımite de una funci´on de una variable, podemos usar la t´ecnicas que ya conocemos: el l´ımite l´ım x→ 0

sin(x) x = 1 es una de ellas o la regla de L’Hˆopital, la cual se puede

aplicar pues tenemos una indeterminaci´on de la forma

. Derivando tenemos:

l´ım r→ 0

sin(r^2 ) r^2

= l´ım r→ 0

cos(r^2 )2r 2 r

= l´ım r→ 0 cos(r^2 ) = 1.

  1. No sobra enfatizar que pasar al l´ımite sin haber quitado la dependencia de θ puede conducir a errores. Por ejemplo ya demostramos, usando trayectorias, que el siguiente l´ımite,

l´ım (x,y)→(0,0)

2 x^2 y x^4 + y^2

no existe. Se puede verificar que al hacer el reemplazo x = r cos(θ), y = r sin(θ) y simplificar, obtenemos: l´ım r→ 0

(^2 r^ cos^2 (θ) sin(θ) r^2 cos^4 (θ) + sin^2 (θ)

Obrando a la ligera, estar´ıamos tentados a decir que al hacer r → 0 se obtiene

sin^2 (θ)

= 0, lo cual NO es cierto. ¿D´onde est´a el error? Observemos que esa conclusi´on se saca para un determinado valor de θ. ¿Pero qu´e pasar´ıa si θ fuera, por ejemplo, π?

Es claro, entonces, que cuando subsista la dependencia de θ, debemos ensayar algo similar a lo que se hizo en (*).

  1. Considere la funci´on: f (x, y) =

sin

x^2 + y^2

(x^2 + y^2 )

  1. Obtenga algunos valores de f (x, y) para puntos (x, y) cercanos a (0, 0). Concluya que es muy probable que f (x, y) → 0 cuando (x, y) → (0, 0).
  2. Utilice coordenadas polares para demostrar que, en efecto, el l´ımite de la funci´on es 0.
  3. Calcule los siguientes l´ımites, en caso de existir:

a) l´ım (x,y)→(0,0)

arctan

x^2 + y^2

b) l´ım (x,y)→(0,0)

x^2 − y^2 x^2 + y^2 c)^ (x,yl´)ım→(0,0)

sin

x^2 + y^2

x^2 + y^2

  1. Determinar si las siguientes funciones son continuas en (0, 0):

f (x, y) =

x^3 y^3 x^2 + y^2 si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

f (x, y) =

x^4 − y^4 x^4 + y^4 si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

f (x, y) =

e

( 1 x^2 + y^2

)

si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)