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Sucesiones y Sumatorias
SUCESIÓN
Es un Conjunto de términos ordenados: figuras, números, letras, o la combinación de ambos (alfanuméricas), etc. basada en una secuencia lógica llamada ley de formación. Esta secuencia es la que nos permite diferenciar un elemento de otro, a estos elementos se les denomina términos de la sucesión.
" n " términos
a 1 ,a 2 ,a 3 .......... ....., an
Donde : a1 = Primer término a2 = Segundo término a3 = Tercer término ................................... an = Enésimo término o último término
Ejemplo: a 1 , a 2 , a 3 , ... , an
5, 10, 17, .... , an
En este caso la ley de formación está dada por la ecuación: an = ( n + 1)^2 + 1
Es decir, si queremos hallar el 3°, 4° y 19° término, tenemos: 2
a 3 = 4 + 1 = 17
2
a 4 = 5 + 1 = 26
2
a 19 = 20 + 1 = 401
Serie : Se conoce con este nombre, a la suma indicada de los términos de una sucesión: Dada una sucesión numérica:
1 2 3 n " " m i n
a , a , a............... , a
n t é r o s
Se define como serie a la suma indicada de estos términos
Ejemplo : Para la suma de los 20 primeros términos de la sucesión anterior tenemos:
Suma = S = 2 + 5 + 10 + 17 + ... + 401
Clases de Sucesiones :
1. Sucesión Aritmética: Es aquella en la cual cada término se obtiene por diferencia o adición de un
valor constante o variable, al término anterior. Así: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , ... Sucesión dada
± b 1 , ± b 2 , ± b 3 , ± b 4 ,... Primera fila de razones
± c 1 ± c 2 ±c 3 Segunda fila de razones
" n " t é r m i n o s
S = a 1 + a 2 + a 3 +. .. .. .. .. .. .. .. +an 1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3
Í
Î
È +
1 n n
a a
S. n
Ejemplo: 5, 6, 9, 14, a 5 , ...
+ 1 +3 + 5 +b 4 , ... +2 +2 +
En este caso se usa la fórmula de la Sucesión Polinomial General, la cual es:
( )( )
+L
n 1 n 2
c
n 1
a n a 1 b 1 1
donde: a 1 = 5 ; b 1 = 1 ; y c 1 = 2.
= +^ (^ - )^ + (^ - )(^ - )^ +L 2!
2 1 2 1!
a 5 1 n^1 n n n
desarrollando se obtiene: an = n^2 – 2n + 6
La cual es la ley de formación, llamado también enésimo término, que es el que da origen a cada uno de los términos que componen la sucesión:
Por ejemplo, para hallar el 4º y 20º término se procede así:
a 4 = 4^2 – 2(4) + 6 fi a 4 = 14 a 20 = 20^2 – 2(20) + 6 fi a 20 = 366
∑ Si la Razón Aritmética es constante en la primera fila de razones, a la sucesión se le denomina
PROGRESIÓN ARITMÉTICA, sucesión lineal o sucesión aritmética de primer grado.
Así: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , ... donde
± r ± r ±r ±r ±r a 1 = 1º término r = razón aritmética = an – an- Ejemplo: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , ...... 7, 11, 15 , 19, 23 , ……
+4 +4 +4 +4 +4 an = a 1 + r(n - 1)
Por ejemplo, para hallar el 5º y 20º término se procede así:
a 5 = 7 + 4(5-1) a 20 = 7 + 4(20-1) a 5 = 23 a 20 = 83
La suma de los elementos de una Progresión Aritmética; se puede calcular por la fórmula:
Por ejemplo:
Para sumar los cinco (5) primeros términos: S(5) = 5 75 2
(^7 23) = ˙˚
˘ ÍÎ
È +
Para sumar los veinte (20) primeros términos: S(20) = 20 900 2
(^7 83) = ˙˚
˘ ÍÎ
È +
Ejemplo : S (^) (4 ) =3 (^45) 2 1
˙^ =
Í
Î
È
- S(11) = 3 6141
2 1
(^2111) = ˙
˙ ˚
˘ Í
Í Î
È
3. Sucesión Armónica o Progresión Armónica : Es una secesión numérica en la cual se cumple que
cada término a partir del segundo es media armónica del término que le precede y del término que continua. Sea la sucesión armónica: t 1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; t 5 ; …….
1 3
1 3 (^2) t t
2 t .t t
2 4
2 4 (^3) t t
2 t.t t
3 5
3 5
4 t t
2 t.t
t
En general :
“Fórmula de Recurrencia” Observación:
- Para poder construir una progresión armónica debemos tener, como mínimo 2 términos consecutivos cuales quiera de la progresión.
- Las inversas de los términos de una progresión armónica forman una progresión aritmética (la progresión armónica no deberá tener elemento nulo).
Ejemplo:
1. Si invertimos los términos la sucesión armónica: ;......
Obtendremos la sucesión aritmética: 4; 7; 10; 13; …….
4. Sucesión Combinada o mixta : Cuando en su Ley de Formación existen razones aritméticas y
geométricas. Así: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , ...
xk ±r xk ±r
Ejemplo 1, 2, 5, 10, 13, a 6 a 7 ...
x2 +3 x2 +3 x2 +
fi a 6 = 13 ( 2 ) fi a 6 = 26
fi a 7 = 26 + 3 fi a 7 = 29
también: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , ...
xb 1 , xb 2 , xb 3 , xb 4 , ...
±k ±k ±k
Ejemplo 1, 2, 8, 48, 384, a 5 ...
X2, x4, x6, x8, b 5
+2 +2 +2 +
n 1 n 1
n 1 n 1
t t
2 t .t
tn
b 5 = 8+2 fi b 5 = 10
a 5 = 384(10) fi a 5 = 3840
5. Sucesión Alternada : Cuando sus términos pertenecen a 2 o más sucesiones que se intercalan en una
sola. Así: ±c ±c ±c
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a6, a7, a 8 , ..., an
xk xk xk
Ejemplo: x2 x2 x2 x
2, 1, 4, 4, 8, 7 , 16, a 8 , a 9
+3 +3 +
a 8 = 7 + 3 fi a 8 = 10
a 9 = 16 (2) fi a 9 = 32
6. Sucesiones Literales: Sus términos están formados considerando:
∑ El orden de las letras del abecedario. ∑ Completando alguna palabra conocida o parte de ella. ∑ Iniciales de palabras conocidas y relacionadas entre sí, según un orden establecido.
Observación: Las letras CH y LL se consideran cuando por lo menos una de ellas aparece en la sucesión o en las alternativas.
Ejemplos:
1.- Hallar la letra que sigue en la siguiente sucesión: b, d, g, k,........
a) l b) n c) ñ d) o e) p
Resolución: Primero se observa si están las letras Ch y Ll tanto en la sucesión como en las alternativas al ver que están ausentes luego se elige el siguiente abecedario: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,....
b c d e f g h i j k l m n ñ o
+1 +2 +3 +
Rpta.-alternativa d
2.- Hallar la letra siguiente en la sucesión: b, d, g, j,........
a) l b) ll c) m d) n e) ñ
tn = (2n – 6) + k(n-1)(n-2)(n-3)
tn = (2n-6) + 2(n-1)(n-2)(n-3)
a 7 = (a 5 +a 6 ) fi a 7 = ( 8 + 13 ) fi a 7 = 21
Ejemplo: hallar el sexto término en la sucesión
2, 3, 5, 7, 11, .........
a) 12 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19
Resolución: Se observa que los números todos son primos, por lo que el siguiente primo es el trece (13)
Rpta.-alternativa b
8. Sucesión No Lineales: Son aquellas en que la razón no es constante, para resolver estos ejercicios
se tiene que encontrar primero una Ley de Formación que cumpla por lo menos con los dos primeros términos de la sucesión, luego los términos restantes estarán en función de una constante “K” y el número de términos “n”.
Ejemplo: ¿Qué número sigue en la sucesión? - 4; - 2; 0; 14; 52; ….
a) 126 b) 136 c) 154 d) 127 e) 129
Resolución: -4; - 2; 0; 14; 52; ….
+2 +2 +14 + 38
Los 3 primeros términos de la sucesión están formando una P.A. de razón 2, cuya fórmula general es: t (^) n = 2n – 6. Esta fórmula sólo cumple hasta n = 3, luego a dicha fórmula le agregamos un término que sea igual a cero (se anule) para los 3 primeros términos de la sucesión. Este será de la forma: k(n–1)(n–2)(n–3). Luego la “Ley de Formación” será.
Calcularemos “k” haciendo: n = 4
t 4 = (2 x 4 – 6) + k(4 – 1)(4 – 2)(4 – 3) 14 = 2 + k(3)(2)(1) 12 = 6k Æ k = 2
Luego:
Se pide: t 6 = (2x6–6) + 2(6-1)(6-2)(6-3) = 126
Rpta.-alternativa a
Nota: a) n! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ……n b) n! = n x (n-1) (n-2) (n-3)!
c) C 0 n = 1
d) C n n 1 =
e) Cnn = 1
SUMATORIAS
Proviene de SUMA primera operación fundamental. La notación usual es: S = sigma, usando límites superior e inferior para indicar donde empieza y termina.
Definición : Si n Œ Z +, a 1 , a 2 , ..., an son números reales entonces la suma de estos "n" números ak ( k Œ Z +^ ) se denota y se expresa por:
 = + + +
n k 1
a (^) k a 1 a 2 L an
Donde: k = 1 es el límite inferior k = n es el límite superior
Ejemplo: Â
=
8
3
k
K L
Donde: 3 es el límite inferior 8 es el límite superior K 2 =Ley de formación.
Propiedades : I. Número de términos de una sumatoria.
 ;^ tiene[^ (^ n-R)+^1 ]^ términos
=
n
kR
ak
Ejemplo
; tiene[ ( 15 - 3 ) 1 ] términos
15
3
Â^ +
k =
ak
Es decir, tiene 13 términos.
II.. ,
1 1
 Â
= =
n
k
n
k
c ak c ak c: constante.
7
1
7
1
3 3
 Â
= =
k k
k k
5 es constante.
III. Â
=
n
kr
c c ( n r 1 ),c: constante
Â
=
= - +
12
4
5 5 ( 12 4 1 ), k 5 es constante
IV. ( ( 1) ) ( 1)
n k k n R k R
a a - a a -
=
 -^ =^ -
es llamada la Propiedad “TELESCÓPICA"
Ejemplo: Â( )
=
8
3
k
k k
V. Â ( ) Â Â Â
= =
=
=
n
k 1
n
k 1
ck
n
k 1
bk
n
k 1
ak bk ck ak
Ejemplo: Â ( ) Â Â Â
= = = =
9 1
9 1
9 1
(^92) 1
3 2 3 k k k k
k k k k k k
VI. a a a, n 1
n
km 1
k
m
k 1
k
n
k 1
 k =^  +  " >
= = =+
Ejemplo
9
51
4 5
1
4 9
1
4
  Â
= = =+
k k k
k k k
VII. ( )
0
, h Z
n n h k k h k k h
a a
= =
 =^  Œ
Ejemplo: ( 3 )
123 3
3
12
0
3
 Â
= =
k k
k k
VIII. Â Â
=
=
n
k 1
k n 1
n 1
k 1
ak a a
Ejemplo: Â Â
=
=
8
1
2 2 81
1
k k
k k
Â
n
k
nn n
kk x x x nn
( 1 ) 1 2 2 3 3 4 L ( 1 )
Ejemplo : 168 3
(^7) k(k 1 ) 1 x 2 2 x 3 3 x 4 7 x 8 7 x 8 x 9 k 1
 + = + + + + =^ =
=
L
(^) Â (^ )
n
k
kk k xx x x x x nn n nn n n 1 4
( 1 )( 2 ) 123 2 34 3 45 L ( 1 )( 2 )^1 (^2 )(^3 )
Ejemplo : 1260 4
(^7) ( 1 ) 1 23 2 34 3 45 789 7 8 910
1
 + = + + + + =^ = k =
k k xx xx xx L xx xx x
(^) Â
ÍÎ
È
m
k nkk r r n m r
Ejemplo : Hallar E = 32 ( 35 )
.......^7 11 ( 14 )
7 8 ( 11 )
7 5 ( 8 )
(^7) + + +
Solución: E = (^) ˙ ˚
˘ ÍÎ
È (^) -
1 5
1 8 5
n(n 1 )(n 2 )
S
1 2 2 3 an 1 an
...^1 a a
1 a a S 1 ∑
∑
∑
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Encuentre a b c x de la siguiente progresión aritmética: yx ; ab ; b 0; b 7; cc
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
RESOLUCIÓN De la progresión, se cumple: 2b0 = ab + b7 Æ b = 3 Luego: 60 = a3^ +37 ‡ a = 2 También: 2b7^ =^ b0^ +^ cc;^ 2b7^ =^30 +cc 2 (37) = 30 + cc^ ; 44 = cc C = 4
2ab = yx + b0; 2 ( 23 )= yx + 30
16 = yx^ ; y = 1; x = 6 a + b + c – x = 2 + 3 + 4 – 6 = 3 Rpta.- alternativa ( b )
4 (n 1 )(n 2 )
n(n 3 )
S
Í
Î
È
Â
= (n P)!
n!
P
P
K(K 1 )(K 2 )...( K P)
n 1
K 1
Á
Á
Ë
Ê
1 a n
a
r
S
( ) ( )
13
2 2 2 2 2
S
x
x x
S
S
sumadecuadrados sumandos
- ¿Qué número continúa? 1; 2; 4; 10; 34; 154; ____ a) 816 b) 924 c) 877 d) 874 e) 74 RESOLUCIÓN
1, 2, 4; 10; 34, 154; …
1 2 6 24 120 720
x2 x3 x4 x5 x
Luego: 154 + 720 = 874 Rpta.- alternativa ( d )
3. Calcule el valor de: S = 9 + 12 + 17 + 24 +...+ 177
a) 814 b) 910 c) 873 d) 913 e) 923 RESOLUCIÓN
Se pide el valor de S = 9 + 12 + 17 + 24 +...+ 177
Hallamos la forma general que relaciona a todos los sumandos de S, asociando a cada uno de ellos con un término de una sucesión notable (números cuadrados, cubos, triangulares, etc.).Por ejemplo, con los cuadrados:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 8 ) ( 2 8 ) ( 3 8 ) ( 4 8 ) ... ( 13 8 )
=^2 + +^2 + +^2 + +^2 + + +^2 +
S
S
Ordenamos la serie S así
Rpta.- alternativa ( e )
- Calcular:
S =
a)
b)
c)
d)
e)
RESOLUCIÓN
Se trata de dos series aritméticas: ( )
( )
( )
( )
Luego S
term
x
term
x
Rpta.- alternativa ( a )
Ejms.: ,etc 137
;^31 90
;^11 7
;^8 17
3
-) F. DECIMAL : es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.
Ejms.: ,etc 1000
24 ; 100
3 ; 10
11
III.- Por la razón de igualdad o desigualdad entre sus denominadores:
-) HOMOGÉNEAS : Cuando tienen el mismo denominador.
Ejms.: (^) ,etc 15 ;^17 15 ;^16 15 ;^7 15
3
-) HETEROGÉNEA : Cuando tienen denominadores diferentes.
Ejms.: , etc
IV.- Por los divisores de sus términos:
-) F. IRREDUCTIBLES : Son aquellas fracciones cuyos términos son primos entre sí (no se pueden simplificar).
Ejms.:
; ; ; , etc
-) F. REDUCTIBLES : Son aquellas fracciones cuyos términos tienen factores comunes (se pueden simplificar).
Ejms.: , etc
MCD y MCM de Números Fraccionarios :
1.- MCD(
b
a
d
c
y
x
MCM (b,d,..., y)
MCD (a,c,..., x)
2.- MCM(
b
a
d
c
y
x
M C M a c x
M C D b d y
Ejm.: Encontrar el MCD y MCM de :
; ; y
Solución
M C D
M C D
M C M
MCM
MCM
MCD
PROPIEDADES Y OPERACIONES
FRACCIONES EQUIVALENTES : una fracción es equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, pero sus términos son diferentes. Es decir numerador y denominador son multiplicados y divididos por el mismo valor numérico k, donde k Œ z - {0}.
a
b
a k
b k
x x
ó
a
b
a k
b k
= b k
Ejemplo:
x
x ó
donde y
,...,x d
,c b
a (^) son
fracciones irreductibles.
Comparación :
-)
a
b
c
d
= Æ ad = bc Ejemplo: 2 ( 12 ) 3 ( 8 )
= Æ =
a
b
c
d
£ Æ ad £ bc , a>0,^ b>0, c>0 y^ d>
Ejemplo: 3 ( 4 ) 5 ( 7 )
£ Æ £ ,
HOMOGENIZAR : significa hacer que las fracciones tengan el mismo denominador.
Ejm : 6
9 2 x 3
3 x 3 2
(^3) = =
2 x 2
5 x 2
Adición :
Sustracción :
Multiplicación :
x
x
x
División :
x
x
x
Deducciones :
*)
3
2 =^
7
5
3
2
8
1
3
1
3
3
2
x
5
1
3
2
2
1
3
+^1 = + =
1
˜^ =
Á
Ë
Ê
4 4
Á
Ë
Ê
Á
Ë
Ê
x
x
4 4
Á
Ë
Ê
Á
Ë
Ê
x
x
x
Observación : Las proposiciones: De, del, de los , antepuesta a una fracción, usualmente indican una multiplicación; mientras que la proposición Por nos indica una división. Ejemplo:
Hallar los
de los
de 5 por 7 de 200
Solución: 200 150
x x x =
Ejemplos:
*) D.I.P. Mixto : Una fracción irreductible dará origen a un decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, algún otro factor diferente.
OBS.: La cantidad de cifras no periódicas del decimal inexacto periódico mixto está dado por la regla para el número de cifras decimales de un decimal exacto y el número de cifras de la parte periódica está dado por la regla del número de cifras de un decimal periódico puro.
Ejm : 0 , 3977272727272
= x = 3 x = ........
23 Æ 3 cifras no periódicas que son 397. 11 Æ 2 “nueves” genera 2 cifras periódicas que son 72.
Fracción Generatriz
abc ab
abccc abc
«
0 , ... 0 , cd
abcd ab
abcdcdcd ab
«
Ejemplo : 0,277777... = (^2)
2 Æ 1 cifra no periódica que es el 2. 3 2 Æ 1 “nueve” genera 1 cifra periódica que es el 7.
FRACCIÓN DECIMAL ILIMITADA
Presentan un número indefinido de cifras, pueden ser :.
*) Números Irracionales.
Ejms.:
Ejms: p = 3,1416 … e = 2,718281 …
Ejercicio sobre Fracciones Generatrices
Sabiendo que 1,7a =
+ , entonces el valor de a^2 -a es:
a) 2 b) 6 c) 12 d) 20 e) 0
RESOLUCIÓN
= 1,733333333…. = 1,73 luego a = 3
Entonces el valor de a^2 – a = 3^2 – 3 = 6 Rpta.- alternativa ( b )
DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA DEL FACTORIAL DE UN NÚMERO
N! = Aa. Bb^. C c^ …..Pp
Donde : A , B, C, …..P , son números primos y P £ N a , b , c, ……, p , son enteros positivos. Los exponentes correspondientes (a, b, c, ….p) a cada uno de sus factores primos ( A , B, C, ….P) , se pueden hallar dividiendo el número “N” entre cada número primo sucesivamente hasta obtener un cociente menor que el número primo. Se suman todos los cocientes obtenidos y el resultado es el exponente. Ejemplo: Descomponer canónicamente 14! 14! = 2ª^. 3 b. 5c. 7 d. 11e. 13f
Para obtener el exponente de 2 14 2 0 7 2 1 3 2 1 1
a = 7 + 3 + 1 = 11
Para obtener el exponente de 3 : 14 3 2 4 3 1 1 b = 4 + 1 = 5
Para obtener el exponente de 5 14 5 4 2 c = 2
Para obtener el exponente de 7 14 7 0 2 d = 2
Para obtener el exponente de 11
14 11 3 1 e = 1
Para obtener el exponente de 13
14 13 1 1 f = 1
Por consiguiente : 14! = 2^11. 3^5. 5^2. 7 2. 11. 13
INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER ( ∆ (N))
Si la descomposición Canónica de N es : N = A a. Bb. C c^ …….. Se denomina Indicador de un entero positivo, a la cantidad de números menores que el entero positivo que son Pesi (Primos entre sí) con él. ∆(N) = Aa-1. (A – 1)Bb-1. (B – 1)C c-1^ (C – 1) …….. Ejemplo : ¿Cuántos números no mayores que 35000 son primos relativos con él? Solución:
Antecedente - consecuente = R. A.
4° llave : D (desague)
Q 4 =
min
0 , 5 min
75 litros lit
- =- =- signo negativo por estar vaciando.
El Caudal Total será:
Q (^) T =
min
lit
min
lit
min
lit
min
lit
Q T =
min
lit
Aplicando una regla de tres simple tenemos:
420 ltos Æ 1 min
14910 ltos Æ x min
420x = 14910 x = 35, 5 min Rpta.- alternativa ( a )
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN Es el resultado que se obtiene al compararse dos cantidades homogéneas mediante una determinada operación.
n ) Si la comparación se realiza mediante una diferencia, la razón se denomina Razón Aritmética(R.A)
Es decir:
n ) Si la comparación se realiza mediante un división, la razón es denominada Razón Geométrica
Es decir:
En general: r (^) a = a - b r (^) g = a ∏ b donde :
r (^) a : Razón Aritmética r (^) g : Razón Geométrica
a : antecedente b : consecuente
PROPORCIÓN
Es la relación de igualdad que se establece entre dos razones homogéneas. n ) Si la relación de igualdad se establece entre dos razones aritméticas se llama Proporción Aritmética. n ) Si la relación de igualdad se establece entre 2 razones geométricas se llama Proporción Geométrica.
En general:
P. Aritmética : a - b = c - d P. Geométrica : a / b = c / d
Antecedente ∏ Consecuente = R. G
donde:
b y c : términos medios a y d : términos extremos.
a y c : antecedentes b y d : consecuentes.
CLASES DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA
P.A. Discreta :Aquella en la que sus 4 términos son números diferentes.
a - b = c - d
Cada término es cuarta diferencial de los demás. así: d :cuarta diferencial de a, b y c
- Cuarta diferencial : d = (b + c) – a
P.A. Continua :Aquella en la que sus términos medios son números iguales.
a - b = b – c
Cada término igual es media diferencial de los demás. Cada término diferente es tercera diferencial Entonces : b :media diferencial de a y c c :tercia diferencial de a y b
* Media diferencial o Aritmética: b
a c
*** Tercera o Tercia diferencial: c = 2b - a**
CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
P.G. Discreta :
Aquella en al que sus 4 términos son diferentes.
a
b
c
d
Cada término es cuarta proporcional de las demás. d :cuarta proporcional de a, b y c
*Cuarta proporcional: d
bc
a
P. G. Continúa:
Aquella en la que los términos medios son números iguales.
a
b
b
c
Cada término igual es media proporcional de los otros dos, cada término diferente es tercera proporcional de los demás. Luego : b :media proporcional de a y c c :tercera proporcional de a y b.
- Media Proporcional o Geométrica: b = ac
