Análisis de estructuras, método de la rigidez
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Análisis de
Estructuras
Método de la rigidez
Edición Revisada
Brayan D. Novely
ɸ = −∫ 𝑴
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LIBRO ANALISIS MATRICIAL - NOVELYCIVILGEKKS.COM.pdf, Ejercicios de Análisis funcional
LIBRO ANALISIS MATRICIAL - NOVELYCIVILGEKKS.COM.pdf LIBRO ANALISIS MATRICIAL - NOVELYCIVILGEKKS.COM.pdf LIBRO ANALISIS MATRICIAL - NOVELYCIVILGEKKS.COM.pdf
Tipo: Ejercicios
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Análisis de
Estructuras
Método de la rigidez
Edición Revisada
Brayan D. Novely
Resolución de problemas
Análisis de estructuras
Método de la rigidez
Resolución de problemas
Brayan D. Novely Cabrales
Ingeniero Civil
Universidad de Pamplona
Especialista en Análisis y Diseño de estructuras,
Universidad del Norte, Colombia
Revisión técnica
Genner Villarreal Castro, Ph.D.
Profesor Extraordinario. Universidad Privada Antenor Orrego.
Ingeniero Civil. Universidad Nacional de Ingeniería Civil y
Arquitectura de Kiev-Ucrania.
Doctor (Ph.D) en Ingeniería Sismo-Resistente. Universidad Nacional
de Ingeniería Civil de Moscú-Rusia
Premio Nacional de Investigación en los años 2006, 2007 y 2008.
Asamblea Nacional de Rectores
Catalogación bibliográfica
Análisis de estructuras
Método de la rigidez Problemas Resueltos
Autor: Novely Cabrales, Brayan D. Derechos de autor reservado
Correo electrónico: bnovely@uninorte.edu.co bryannovely@gmail.com
Editor: INDEPENDIENTE Colombia, 2016
Área: Ingeniería Estructural
Formato: Carta 20.0 cm x 26.0 cm
Esta obra se realizó de forma libre y abierta con la intención de apoyar la formación y enseñanza académica en la disciplina de estructuras específicamente el análisis estructural a estudiantes de pregrado y postgrado. No está permitido el tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, con fines comerciales sin la autorización del autor.
TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS 2016
Impreso en Colombia
Prólogo
El análisis estructural está atribuido al cálculo de las fuerzas internas y desplazamientos que desarrollan los elementos de una estructura cuando ésta se ve sometida a la aplicación de cargas externas.
La finalidad del cálculo matricial consiste en agrupar toda la información necesaria en matrices que relacionan todas las variables como son las cargas, propiedades mecánicas de los miembros de la estructura y los desplazamientos desconocidos, que a su vez describen ecuaciones de equilibro en todos los nudos de la estructura, por lo tanto la solución puede ser de manera automática mediante el uso de programas o software de ordenadores que es la práctica habitual hoy en día.
En esta oportunidad se presenta el método de la rigidez o método de los desplazamientos para el análisis de estructuras bidimensionales, que consiste en la relación de una carga y el desplazamiento que esta produce asumiendo un comportamiento elástico y lineal del material para un estado de pequeñas deformaciones, o también se puede definir la rigidez como la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en el sentido y dirección de la carga.
El libro consta de 5 capítulos, bibliografía y un apéndice para el entendimiento de los ejercicios. En el primer capítulo se exponen los conceptos básicos sobre la matriz de rigidez local de los elementos dependiendo su tipo, sea armadura, viga, pórtico y elementos sometidos a esfuerzos de torsión, así como la matriz de rotación del sistema local al global en función del tipo de elemento.
En el segundo capítulo se desarrollan ejercicios de tipo cercha graficando su deformada. En el tercer capítulo se analizan vigas hiperestáticas sometidas a cargas externas presentando igualmente la deformada de estas. En el cuarto capítulo se calculan pórticos hiperestáticos y sometidos a diferentes tipos de cargas estáticas.
Índice de contenidoso
- CONCEPTOS GENERALES
- 1.1 Matriz de rigidez local
- 1.1.1 Elemento tipo cercha
- 1.1.2 Elemento tipo viga
- 1.1.3 Elemento tipo pórtico
- 1.1.4 Elemento sometido a torsión
- 1.2 Matriz de transformación de coordenadas
- 1.3 Matriz de rigidez global de los elementos
- CAPÍTULO
- CERCHAS
- 2.1 Ejercicio 1. Cercha sencilla con tres elementos
- 2.2 Ejercicio 2. Cercha con elementos en diagonal y voladizo
- 2.3 Ejercicio 3. Cercha con desplazamientos inducidos
- CAPÍTULO
- VIGAS
- Ejercicio 3.1. Viga de concreto en voladizo y con resorte elástico
- Ejercicio 3.2 Viga de concreto con luces continuas
- Ejercicio 3.3 Viga sobre base elástica
- CAPÍTULO
- PORTICOS PLANOS
- 4.1 Ejercicio 1. Pórtico inclinado con dos elementos y cargas puntuales.
- controlar derivas. 4.2 Ejercicio 2. Pórtico simple con asentamiento en la base y elemento resorte para
- 4.3 Ejercicio 3. Pórtico inclinado con apoyo móvil y carga puntual inclinada.
- CAPÍTULO
- TORSIÓN
- puntuales de torsión Ejercicio 5.1. Elemento prismático con cambios de sección sometido a momentos
- puntuales de torsión Ejercicio 5.2. Elemento prismático bien empotrado y sometido a momentos
- APÉNDICE A
- BIBLIOGRAFIA
Figura 1.1.1-b. Matriz de rigidez para un elemento tipo Cercha, solo consideración axial
Dónde: A : es el área de la sección transversal del elemento E : módulo de elasticidad del material L : longitud del elemento
Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto, la numeración de los grados de libertad (gdl) para el elemento y la matriz de rigidez local se representan de manera numérica (Figuras 1.1.1-c, 1.1.1-d).
Figura 1.1.1-c. Elemento tipo cercha con los gdl representados numéricamente
X1 Y1 X2 Y
0 0 X
0 0 0 0 Y
0 0 X
0 0 0 0 Y
1 2 3 4
[ k ] =
Figura 1.1.1-d. Matriz de rigidez de un elemento tipo cercha Representado por los grados de libertad numéricamente.
1.1.2 Elemento tipo viga
La matriz de rigidez de un elemento viga (figura 1.1.2-a) sin consideración de la rigidez axial será la presentada en la figura 1.1.2-b.
Figura 1.1.2-a. Elemento tipo viga
1 2 3 4
0 0 1
0 0 0 0 2
0 0 3
0 0 0 0 4
1 2 3 4
[ k ] =
Figura 1.1.2-b. Matriz de rigidez para un elemento tipo viga sin consideración axial ni aportes de cortante representada numéricamente
1.1.3 Elemento tipo pórtico
La matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico (figura 1.1.3-a) sin la consideración por aportes de cortante es la representada en la figura 1.1.3-b.
Figura 1.1.3-a. Elemento tipo pórtico.
1 2 3 4 1
2
3
4
[k] =
- (^) - -
Figura 1.1.3-b. Matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico sin la consideración de aportes de cortante
Al igual que en los elementos tipo cercha y vigas, Para facilitar las operaciones matriciales se trabajaran los grados de libertad en coordenadas locales del elemento como se aprecia en las figuras 1.1.3-c y 1.1.3-d.
Figura 1.1.3-c. Elemento tipo pórtico representado numéricamente
X 1 Z1 Y1 X 2 Z2 Y 0 0 0 0 X 1
0 0 Z
0 0 Y
0 0 0 0 X 2
0 0 Z
0 0 Y
[k] =
Figura 1.1.4-a. Efectos de un elemento de longitud L sometido a un momento de torsión Tx
Para establecer la matriz de rigidez de este elemento teniendo en cuenta solo los efectos torsionales, se plantean dos grados de libertad rotacionales (1 y 2) alrededor del eje longitudinal del elemento y en sus extremos que coincide con el eje global x del sistema de referencia.
Sabiendo que la rigidez torsional está dada por:
Dónde: L: es la longitud del elemento J: Momento polar de inercia G: Modulo de rigidez del material
Se obtiene la matriz de rigidez de un elemento para evaluar los efectos de torsión (ver figura 1.1.4-b).
Figura 1.1.4-b. Matriz de rigidez de un elemento para estudiar los efectos de torsión.
1.2 Matriz de transformación de coordenadas
La matriz de rigidez de toda la estructura será en las coordenadas globales establecidas X, Y y Z, por lo tanto es necesario rotar el sistema coordenado local de cada elemento al global. Para este fin, se dará uso de la matriz de transformación de coordenadas obtenida de la figura 1.2-a.
Figura 1.2-a. Rotación del sistema coordenado local a global
1 2
1
2
[ k ] =
-
𝑱𝑮 𝑳 𝑱𝑮 𝑳
-
𝑱𝑮 𝑳
𝑱𝑮 𝑳
Tx= Tx’cos Ɵ – Tz’sen Ɵ Tz= Tx’sen Ɵ + Tz’cos Ɵ
Se obtiene entones la matriz de rotación del sistema
Locales Matriz de rotación Globales
Matriz de rotación
Por lo tanto, la matriz de rotación con los 6 grados de libertad para un elemento tipo pórtico mostrado en la Figura 1.1.3-a. será:
Figura 1.2-b. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento tipo pórtico
Tx' cos Ɵ sen Ɵ 0 Tx
Tz' -sen Ɵ cos Ɵ 0 Tz
ɸ^0 0 1 ɸ
=
Tx1' cos Ɵ sen Ɵ 0 0 0 0 Tx Tz1' -sen Ɵ cos Ɵ 0 0 0 0 Tz
Tx2' 0 0 0 cos Ɵ sen Ɵ 0 Tx Tz2' 0 0 0 -sen Ɵ cos Ɵ 0 Tz
La matriz de rotación para un elemento tipo cercha será el presentado en la figura 1.2-c.
Figura 1.2-c. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento tipo cercha
Para los elementos tipo viga la matriz de rigidez local coincidirá siempre con la global ya que este tipo de elementos por lo general no tienen inclinación, es decir el ángulo será igual a 0 por lo tanto no será necesario aplicar la matriz de transformación de coordenadas.
1.3 Matriz de rigidez global d
e los elementos
La matriz de rigidez global de un elemento está dada por:
K (^) global= [T’][K* (^) local][T]*
Dónde:
[T]: es la matriz de rotación del sistema [T’]: es la transpuesta de T y [k (^) local ]: es la matriz de rigidez local del elemento en estudio.
Tx1' cos Ɵ sen Ɵ 0 0 Tx
Tz1' -sen Ɵ cos Ɵ 0 0 Tz
Tx2' 0 0 cos Ɵ sen Ɵ Tx
Tz2' 0 0 -sen Ɵ cos Ɵ Tz
**= ***