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LEY DE SENOS
Ejemplos
1. De acuerdo con los datos de la figura calcule el valor aproximado de x.
Solución
A Se calcula la medida del tercer ángulo. 180 100 50 30
B Se calcula el valor aproximado de x aplicando la ley de senos.
12 x sen100 sen 12 sen30 x sen 6,09 x
C Se da respuesta al problema planteado.
El valor aproximado de xes (^) 6,09.
2. Desde un puesto de observación Pse detectan dos automóviles A y B con una distancia entre ellos de (^) 2850 m. Las visuales respectivas desde P hasta (^) AB forman ángulos de 60 en Ay 72 en B. Calcule la distancia aproximada entre el puesto de observación y el automóvil (^) B.
Solución
A Se dibuja una figura representativa de la situación.
B Se calcula la medida del tercer ángulo. 180 60 72 48
C Se calcula el valor aproximado de x aplicando la ley de senos.
2850 x sen48 sen 2850 sen60 x sen 3321 x
D Se da respuesta al problema planteado.
La distancia aproximada entre el puesto de observación y el automóvil Bes de 3321 m.
3. Los aviones Águila , Halcón y Colimbo realizan un espectáculo de vuelo en formación. La distancia entre el Águila y el Colimbo es la misma que entre el Halcón y el Colimbo , y entre ambas suman (^) 440 m. El ángulo que se forma con las dos visuales desde el Águila y desde el Halcón al Colimbo mide 98 . Calcule la distancia a la que viajan el Águila y el Halcón.
Solución
A Se dibuja una figura representativa de la situación, tomando en cuenta que si la distancia entre el Águila y el Colimbo es la misma que entre el Halcón y el Colimbo , y entre ambas suman (^) 440 m, entonces, cada una mide 220 m.
B Se forma un triángulo isósceles, por lo cual se puede calcular la medida de los dos ángulos que son congruentes.
180 ^98 ^ ^2 ^41
C Se calcula el valor aproximado de x aplicando la ley de senos.
220 x sen41 sen 220 sen98 x sen 332 x
5. Desde el barco Marino, que se encuentra anclado en un punto M, se observan dos torres de control en la playa: A y B. Si la distancia entre las dos torres es de 4,5 km y se conocen las medidas de los ángulos MAB 32 y MBA 38 , calcule la distancia aproximada desde el Marino hasta la torre A.
Solución
A Se dibuja una figura representativa de la situación.
B Se calcula la medida del tercer ángulo. 180 32 38 110
C Se calcula el valor aproximado de x aplicando la ley de senos.
4,5 x sen110 sen sen38 4,5 x sen 2,9 x
C Se da respuesta al problema planteado.
La distancia aproximada desde el Marino hasta la torre A es de 2,9 km.
Ejercicios
1. Dos edificios (^) Ay (^) Bestán a una distancia de (^) 684 m. Un topógrafo se ubica en un puesto de observación Ky desde ahí las visuales respectivas hasta AB^ forman ángulos de^68 en^ A y^47 en^ B. Calcule la distancia aproximada entre el topógrafo y cada edificio. 2. En el LPTse tiene que L 38 y T 83 . Si el lado opuesto al ángulo de (^38) mide (^) 16 cm, calcule el perímetro aproximado del triángulo. 3. Francisco, Gerardo y Daniel son tres investigadores que se encuentran ubicados alrededor del cráter de un volcán. Las distancias respectivas desde Francisco hasta Gerardo y desde Francisco hasta Daniel son de 26 m cada una. Si el ángulo que se forma con las dos visuales desde Gerardo y desde Daniel hasta Francisco mide 108 , calcule la distancia aproximada entre Gerardo y Daniel. 4. Un bote ubicado en el mar en un punto (^) D es observado por dos turistas en la playa, lo cuales se ubican, respectivamente, en los puntos (^) C y (^) K que se encuentran a una distancia de 280 m. Si DCK 40 y DKC 36 , calcule la distancia aproximada del bote al turista que lo observa desde el punto más cercano. 5. En un triángulo dos de sus ángulos miden 38 y 93 respectivamente; además el lado opuesto al ángulo menor mide (^) 8 cm. Calcule el perímetro aproximado del triángulo. 6. Un arqueólogo triangula un área de excavación colocando tres estacas en los puntos (^) A, (^) By (^) C. Si (^) A 55 , (^) C 45 y (^) AC 5 m, calcule el área aproximada de excavación.
B Se calcula la medida del tercer ángulo. 180 83 38 59
C Se aplica la ley de senos para encontrar el valor aproximado de (^) x.
16 x sen38 sen 16 sen83 x sen 25,8 x
D Se aplica la ley de senos para encontrar el valor aproximado de (^) y.
16 y sen38 sen 16 sen59 y sen 22,3 y
E Se calcula el perímetro aproximado del triángulo sumando las longitudes de sus tres lados.
16 25,8 22,3 64,
F Se da respuesta al problema planteado. El perímetro aproximado del triángulo es 64,1 cm.
A Se dibuja una figura representativa de la situación tomando en cuenta que se trata de un triángulo isósceles.
B Se calcula la medida de cada uno de los ángulos congruentes.
^180 ^108 ^ ^2 ^36
C Se aplica la ley de senos para encontrar el valor aproximado de x.
26 x sen36 sen 26 sen108 x sen 42 x
C Se da respuesta al problema planteado. La distancia aproximada entre Gerardo y Daniel es de (^) 42 m.
A Se dibuja una figura representativa de la situación, tomando en cuenta que la distancia del turista que se encuentra más cercano al bote corresponde al lado del triángulo que se opone al ángulo menor.
B Se calcula la medida del tercer ángulo. 180 40 36 104
C Se aplica la ley de senos para encontrar el valor aproximado de x.
280 x sen104 sen 280 sen36 x sen 169,6 x
C Se da respuesta al problema planteado.
La distancia aproximada del bote al turista que lo observa desde el punto más cercano es de 169,6 m.
A Se calcula la medida del tercer ángulo. 180 93 38 49
B Se dibuja una figura representativa de la situación sabiendo que el ángulo menor mide (^38) .
C Se aplica la ley de senos para encontrar el valor aproximado de x.
8 x sen38 sen 8 sen49 x sen 9,8 x
F Se calcula el área aproximada del triángulo aplicando la fórmula de Herón.
G Se da respuesta al problema planteado. El área aproximada de excavación es de 7, 4 m^2.
