¡Descarga Lectura de probabilidad y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Probabilidad solo en Docsity!
o
p 1 1
V^21 gz 1
p 2 1
V^22 gz 2 cte (3.77)
Esta es la ecuación de Bernoulli para un flujo estacionario incompresible y sin fricción
a lo largo de una línea de corriente.
La Ecuación (3.77) es una forma muy extendida de la ecuación de Bernoulli para el
flujo estacionario incompresible y sin fricción a lo largo de una línea de corriente.
Claramente, esta ecuación está relacionada con la ecuación de la energía en régimen
estacionario, Ecuación (3.66), que también corresponde al flujo en un tubo de corriente
(con una entrada y una salida). Dicha ecuación se puede escribir en la forma:
p 1 1 V^21
gz 1
p 2 2 V^22
gz 2 ( û 2 û 1 q ) ws w (3.78)
Esta relación es mucho más general que la ecuación de Bernoulli, ya que permite tener
en cuenta (1) la fricción, (2) la transferencia de calor, (3) el trabajo mecánico y (4) el
trabajo viscoso (otro efecto de la fricción).
La ecuación de Bernoulli (3.77) es una relación entre fuerzas obtenida a partir de
conservación de cantidad de movimiento. Las consideraciones que hay que tener en
cuenta en la Ecuación (3.77) son:
1. Flujo estacionario: una suposición muy común, aplicable a muchos flujos.
2. Flujo incompresible: aceptable si el número de Mach del flujo es inferior a 0.3.
3. Flujo sin fricción: muy restrictivo, las paredes sólidas introducen efectos de fric-
ción.
4. Flujo a lo largo de una línea de corriente: líneas de corriente distintas pueden
tener diferentes “constantes de Bernoulli” w 0 = p / r + V^2 /2 + gz , dependiendo de
las condiciones del flujo.
En la obtención de la ecuación de Bernoulli no se consideran tampoco transferencia
de calor o trabajo. La razón básica de estas restricciones es que en fluidos reales los
intercambios de calor y trabajo están ligados a efectos de fricción, lo que invalida la
hipótesis de flujo sin fricción. Esos efectos termodinámicos son tenidos en cuenta en
la ecuación de la energía de un flujo estacionario [Ecuación (3.66)]. De ahí nuestra
advertencia: hay que ser precavido con el uso incorrecto de la ecuación de Bernoulli.
La Figura 3.15 ilustra algunas limitaciones prácticas del uso de la ecuación de
Bernoulli en la forma (3.77). En el ensayo en túnel de la Figura 3.15 a la ecuación
de Bernoulli sólo es válida en el núcleo del flujo del túnel, pero no en las capas lími-
te de sus paredes ni en las capas límite o la estela del modelo, que son regiones donde
el efecto de la fricción es muy importante.
En la Figura 3.15 b , la ecuación de Bernoulli es válida aguas arriba y aguas abajo de
la hélice, pero con una constante w 0 = p / r + V^2 /2 + gz distinta debido al trabajo aportado
al fluido por la hélice. La ecuación de Bernoulli no es válida cerca de las palas de la
hélice ni en los torbellinos helicoidales, no mostrados en la figura (véase Figura 1.14),
que se desprenden del borde de las palas. Además, las constantes de Bernoulli son
mayores en el flujo que “atraviesa” el disco de la hélice que en el ambiente debido a
la energía cinética del flujo en la estela.
En la Figura 3.15 c , la Ecuación (3.77) es válida antes y después del fuego de la
chimenea, pero con constantes diferentes debido a la adición de calor. La ecuación de
Bernoulli no es válida en el propio fuego ni en las capas límite de la chimenea.
Relación entre la ecuación de Bernoulli y la ecuación de la energía en flujo estacionario
3.7. Flujo sin fricción: la ecuación de Bernoulli 185
186 Capítulo 3. Relaciones integrales para un volumen de control
Una interpretación visual muy útil de la ecuación de Bernoulli se obtiene representando
dos líneas del flujo. La línea de nivel de energía (LNE), también conocida como línea
de cargas o alturas totales , muestra la altura de la constante de Bernoulli h 0 = z + p / g
+ V^2 /(2 g ). En un flujo sin fricción y sin aplicación de calor o trabajo, la LNE es una
línea de nivel constante, Ecuación (3.77). La línea de altura motriz (LAM), también
conocida como línea de cargas o alturas piezométricas , indica el nivel correspondiente
a la altura geométrica más la de presión z + p / g , esto es, la LNE menos la altura de
velocidad V^2 /(2 g ). La LAM es la altura a la que subiría el líquido en un tubo piezo-
métrico (véase Problema P2.11) incorporado al flujo. En el flujo en un canal abierto,
la LAM es la superficie libre del agua.
La Figura 3.16 muestra las líneas LNE y LAM para un flujo sin fricción en un
conducto. Los tubos piezométricos de las secciones 1 y 2 miden la carga de la presión
estática z + p / g y por tanto la LAM. Los tubos de pitot de presión de remanso miden
la altura total z + p / g + V^2 /(2 g ), que corresponde a la LNE. En este caso particular, la
LNE es constante y la LAM asciende debido a una disminución de la velocidad. En
condiciones más generales de flujo, la LNE disminuiría lentamente como consecuencia
de las pérdidas por fricción y descendería bruscamente por pérdidas localizadas (una
válvula u obstrucción) o debido a la extracción de trabajo (en una turbina). La LNE
sólo puede ascender si se comunica trabajo (como en una bomba o hélice). La LAM
sigue el comportamiento de la LNE respecto a pérdidas y trabajo motor y asciende o
desciende al disminuir o aumentar la velocidad, respectivamente.
Como se ha mencionado anteriormente, para los cálculos con la ecuación de Ber-
noulli no se necesitan factores de conversión si se utilizan unidades del SI o del sistema
británico consistentes, como se mostrará en los siguientes ejemplos.
En todos los problemas de tipo Bernoulli de este libro tomaremos el punto 1 aguas
arriba y el 2 aguas abajo.
Líneas de nivel de energía y de altura motriz
Figura 3.15. Ilustración de las zonas de validez o no validez de la ecuación de Bernoulli: ( a ) modelo en un túnel aerodinámico; ( b ) hélice; ( c ) chimenea.
188 Capítulo 3. Relaciones integrales para un volumen de control
superficie libre del depósito, donde la altura y la presión son conocidas, y el punto 2 en la salida de la tobera, donde también son conocidas la presión y la altura. Las dos incógni- tas son V 1 y V 2. La conservación de la masa es vital en este tipo de análisis. Si A 1 es la sección transversal del depósito y A 2 la de la tobera de salida, y tenemos un flujo aproximadamente unidimen- sional con densidad constante, la Ecuación (3.30) nos dice que
A 1 V 1 A 2 V 2 (1) La ecuación de Bernoulli (3.77) da
p 1 1 2 V
2 1 gz 1
p 2 1 2 V
2 2 gz 2
Pero como en ambas secciones 1 y 2 la presión es la atmosférica p 1 = p 2 = pa , los términos de presión se cancelan, quedando
V^22 V^21 2 g ( z 1 z 2 ) 2 gh (2)
Eliminando V 1 entre las Ecuaciones (1) y (2), obtenemos el resultado deseado:
V^22
2 gh 1 A^22 / A^21
Generalmente, el área de la tobera A 2 es mucho menor que el área del depósito A 1 , de modo que el cociente A 22 / A 12 es doblemente despreciable, y podemos utilizar esta aproximación fiable para la velocidad de salida: V 2 (2 gh )1/2^ Resp. (4)
Esta fórmula, descubierta por Evangelista Torricelli en 1644, indica que la velocidad de descarga es igual a la velocidad que alcanzaría una partícula cayendo libremente, sin fric- ción, de 1 a 2. En otras palabras, la energía potencial de la superficie libre se convierte íntegramente en energía cinética del chorro, lo cual es consistente con haber despreciado la fricción y con el hecho de que las fuerzas de presión no realizan trabajo. Nótese que la Ecua- ción (4) es independiente de la densidad del fluido, característica de los flujos producidos por la gravedad. Fuera de las capas límite de las paredes, todas las líneas que van de 1 a 2 se comportan de la misma forma, y podemos suponer que la constante de Bernoulli h 0 es la misma para todo el flujo central. Sin embargo, es probable que el flujo en la salida sea no uniforme, no unidimensional, de modo que la velocidad media es sólo aproximadamente igual al resultado de Torricelli. El ingeniero debe ajustar la fórmula incluyendo un coeficiente de descarga cd adimensional:
( V 2 )med
Q
A 2
cd (2 gh )1/2^ (5)
Como se verá en la Sección 6.12, el coeficiente de descarga de una tobera varía de 0.6 a 1.0, en función de las condiciones (adimensionales) del flujo y de la geometría de la misma.
Antes de seguir con más ejemplos, hagamos notar que la ecuación de Bernoulli
(3.77) no necesita un análisis de volúmenes de control, sino simplemente seleccionar
los puntos 1 y 2 a lo largo de una línea de corriente. El volumen de control fue utilizado
para obtener una ecuación diferencial (3.75), cuya forma integrada (3.77) es válida a
lo largo de líneas de corriente para flujo sin fricción ni adición de calor o trabajo, y
por ello no se necesita ningún volumen de control.
Una aplicación clásica de la ecuación de Bernoulli es el trasiego de fluido de un reci-
piente a otro mediante un sifón. La fuerza motriz es producida por la diferencia de pre-
sión hidrostática, sin utilizar ninguna bomba. Lo analizamos en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 3.
Considere el sifón mostrado en la Figura E3.22. Suponiendo que se cumplen las hipótesis que garantizan la validez de la ecuación de Bernoulli, ( a ) encuentre una expresión para la velocidad V 2 a la salida del tubo del sifón. ( b ) Si el tubo tiene 1 cm de diámetro y z 1 = 60 cm, z 2 = 2 25 cm, z 3 = 90 cm, y z 4 = 35 cm, estime el caudal en cm^3 /s.
Solución
- Consideraciones: Flujo sin fricción, estacionario, incompresible. Escribamos la ecuación de Bernoulli empezando por el punto donde la información se conoce (superficie z 1 ) hasta el punto donde se desea la información (salida del tubo, z 2 ).
p 1 V (^) 12 2
gz 1
p 2 V^22 2
gz 2
Observe que la velocidad es aproximadamente cero en z 1 , y la línea de corriente va de z 1 a z 2. Fíjese además que p 1 y p 2 son ambas la presión atmosférica, p = p atm y se cancelan. ( a ) Entonces, la velocidad de salida del tubo queda:
V 2 22 g ( z 1 z 2 ) (^) Resp. ( a )
Se puede ver que cuanto más abajo se sitúe la salida del tubo con respecto al nivel de la super- ficie del depósito, mayor será la velocidad de salida. El efecto sifón no se produce si la sa- lida está a un nivel igual o superior a la superficie del tanque. Aunque las cotas z 3 y z 4 no entran en el análisis, z 3 no debe ser demasiado grande, ya que la presión podría decrecer hasta alcanzar la presión de vapor del líquido. ( b ) Para los valores numéricos dados (sólo necesitamos z 1 y z 2 ), empleando unidades SI, se tiene:
Q V 2 A 2 (4.08 m/s)( /4)(0.01 m)^2 321 E 6 m^3 /s 321 cm^3 /s
V 2 2 2(9.81 m/s^2 ) 3 0.6 m ( 0.25) m 4 4.08 m/s
Resp. ( b )
- Comentarios: Observe que el resultado es independiente de la densidad del fluido. Como ejercicio, compruebe que para agua (998 kg/m 3 ), p 3 es 11,300 Pa por debajo de la presión atmosférica. En el Capítulo 6 se modificará este ejemplo para incluir efectos de fricción.
E3.
3.7. Flujo sin fricción: la ecuación de Bernoulli 189
Solución
Utilizamos las ecuaciones de Bernoulli y continuidad para hallar el valor de p 1 aguas arriba de la tobera, y entonces, mediante la ecuación de la cantidad de movimiento aplicada a un volumen de control, calculamos la fuerza según se muestra en la Figura E3.24.
E3.
El flujo entre 1 y 2 es un estrechamiento semejante al efecto venturi del Ejemplo 3.23, cuya expresión era p 1 p 2 12 ( V^22 V^21 ) (1)
Las velocidades se determinan a partir del caudal Q = 1.5 m^3 /min o 0.025 m 3 /s:
V 1
Q
A 1
0.025 m^3 /s ( /4)(0.1 m)^2
3.2 m/s
V 2
Q
A 2
0.025 m^3 /s ( /4)(0.03 m)^2
35.4 m/s
Pondremos p 2 = pa = 0 de presión manométrica. La expresión (1) queda:
620,000 kg/(m #^ s^2 ) 620,000 Pa manométrica
p 1 12 (1000 kg/m^3 ) 3 (35.4^2 3.2^2 )m^2 /s^2
El equilibrio de fuerzas en el volumen de control se muestra en la Figura E3.24 b :
a Fx^ FB^ p^1 A^1 donde la presión manométrica nula sobre todas las caras no da resultante. El flujo de cantidad de movimiento en dirección x es (^) m ⋅^ V 2 en la salida y (^2) m ⋅^ V 1 en la entrada. La relación (3.40) para un flujo estacionario nos proporciona:
o FB p 1 A 1 m ˙( V 2 V 1 )
FB p 1 A 1 m ˙( V 2 V 1 ) (2)
Sustituyendo con los valores numéricos dados, tenemos:
4872 N 805 (kg #^ m)/s^2 4067 N (915 lbf)
FB (620,000 N/m^2 )(0.00785 m^2 ) (25 kg/s) 3 (35.4 3.2)m/s 4
A 1
D^21
(0.1 m)^2 0.00785 m^2
m ˙^ Q (1000 kg/m^3 )(0.025 m^3 /s) 25 kg/s
Resp.
3.7. Flujo sin fricción: la ecuación de Bernoulli 191
192 Capítulo 3. Relaciones integrales para un volumen de control
Nótese de los ejemplos anteriores que la solución de cualquier problema con la
ecuación de Bernoulli casi siempre requiere considerar la ecuación de continuidad para
poder completar el análisis. La única excepción es cuando se conoce completamente
la distribución de velocidades por medio de un análisis previo, lo cual significa que la
ecuación de continuidad ya se ha utilizado para obtener esa información. Puntualizando,
la ecuación de continuidad es siempre esencial en el análisis de los flujos.
En este capítulo se han analizado las cuatro ecuaciones básicas de la Mecánica de
Fluidos: conservación de (1) masa, (2) cantidad de movimiento, (3) momento cinético
y (4) energía. Las ecuaciones se formularon “a gran escala”, es decir, aplicándolas a
regiones completas del flujo. De este modo, un análisis típico incluye una aproxima-
ción del campo fluido en el interior de la región y proporciona resultados cuantitativos
algo burdos pero siempre instructivos. Sin embargo, las ecuaciones básicas aplicadas a
volúmenes de control son rigurosas y correctas y darán resultados exactos si se conoce
bien el campo fluido.
Hay dos aspectos principales en el análisis de volúmenes de control. El primero es la
selección de un volumen de control adecuado, ingenioso y manejable. La experiencia es
insustituible, aunque se pueden inferir las siguientes directrices: el volumen de control
debería cortar por donde se pide la información. También debería cortar por donde se
dispone de la máxima información. Si se utiliza la ecuación de cantidad de movimiento,
no debe estar limitado por paredes fijas a menos que sea absolutamente necesario, ya
que esto haría aparecer esfuerzos, fuerzas y momentos desconocidos que dificultarían
o imposibilitarían la obtención de la solución. Finalmente, se debe intentar trabajar en
un sistema de referencia en el cual el flujo sea estacionario o casi estacionario, ya que
la formulación correspondiente es mucho más sencilla.
El segundo aspecto a destacar es cómo puede reducirse el problema real a otro
que se pueda abordar con el análisis de volúmenes de control. Los 24 ejemplos de
este capítulo sólo dan una introducción para buscar las aproximaciones apropiadas. Es
necesario resolver muchos más ejemplos para llegar a tener la experiencia suficiente
para saber simplificar un problema sin pasarse. Mientras tanto, es bueno que el princi-
piante trabaje con la forma general de las ecuaciones y haga las simplificaciones que le
permitan llegar al resultado. Al comenzar con la forma general, uno puede plantearse
las siguientes cuestiones:
1. ¿Es el volumen de control indeformable o no acelerado?
2. ¿Es el flujo estacionario? ¿Podemos emplear un sistema de referencia estacio-
nario?
3. ¿Se puede despreciar la fricción?
4. ¿Es incompresible el fluido? En caso contrario, ¿se puede aplicar la ecuación de
los gases perfectos?
5. ¿Son despreciables las fuerzas gravitatorias y otras fuerzas volumétricas?
6. ¿Hay transferencia de calor, trabajo de partes móviles o trabajo de esfuerzos vis-
cosos?
7. Las entradas y salidas, ¿son aproximadamente unidimensionales?
8. ¿Es importante en el análisis la presión atmosférica? En algún punto de la superficie
de control, ¿la distribucion de presiones es hidrostática?
9. Las condiciones en el depósito, ¿cambian lo suficientemente despacio como para
suponer que la velocidad en él y su derivada temporal son despreciables?
De esta forma, aceptando o rechazando simplificaciones básicas como éstas, se puede,
por ejemplo, distinguir cuándo es aplicable la ecuación de Bernoulli y cuándo no.
Resumen
194 Capítulo 3. Relaciones integrales para un volumen de control
P3.9 En un laboratorio se dispone de un depósito que contiene agua salada de salinidad S y densidad r. El agua entra en el depósito a las condiciones ( S 1 , r 1 , A 1 , V 1 ) y se mezcla inmediatamente con el agua que ya está en él. El agua sale del depósito con una velocidad V 2 a través de un orificio de sección A 2. Si la sal es una propiedad “que se conserva” (ni se crea ni se destruye), use el teorema del transporte de Reynolds para encontrar una expresión para la velocidad de variación de la masa de sal M sal del depósito. P3.10 En la Figura P3.10 se presenta agua fluyendo a través de un conducto de 8 cm de diámetro que entra en una sección porosa. Esta sección permite una velocidad radial uniforme vp a través de las superficies de la pared duran- te una longitud de 1.2 m. Si la velocidad media en la entrada V 1 es 12 m/s, determine la velocidad en la salida V 2 si ( a ) vp = 15 cm/s hacia fuera del conducto o ( b ) vp = 10 cm/s hacia dentro del conducto. ( c ) ¿Cuál es el valor de vp que hace que V 2 = 9 m/s? p
P3.
P3.11 Una habitación contiene polvo con una concentración uniforme C = r polvo / r. La habitación se quiere limpiar introduciendo aire fresco con velocidad Vi a través de un conducto de área Ai sobre una pared y extrayendo el aire de la habitación a una velocidad Vo a través de conduc- to de área Ao sobre la pared opuesta. Obtenga una expre- sión para la velocidad instantánea de cambio de la masa de polvo de la habitación. P3.12 El flujo de la Figura P3.12 llena el depósito cilíndrico que se muestra. En el instante t = 0, la profundidad del agua del depósito es de 30 cm. Estime el tiempo requerido para llenar el resto del depósito.
P3.
P3.13 El recipiente cilíndrico de la Figura P3.13, de 20 cm de diámetro, tiene en su parte inferior una contracción cónica que finaliza en un orificio de 3 cm de diámetro. Contiene agua fresca en condiciones estándar a nivel del mar., Estime la velocidad media de salida por el orificio, sabiendo que el nivel del agua disminuye a razón de dh / dt ≈ −0.072 m/s.
P3.
P3.14 El depósito abierto de la Figura P3.14 contiene agua a 20 °C y se está rellenando a través de la sección 1. Supo- niendo flujo incompresible, obtenga una expresión analí- tica para el cambio de nivel del agua dh / dt en función de los flujos volumétricos ( Q 1 , Q 2 , Q 3 ) y el diámetro del de- pósito d. Hecho esto, si el nivel del agua h es constan- te, determine la velocidad de salida V 2 , dados los datos V 1 = 3 m/s y Q 3 = 0.01 m^3 /s.
P3.
P3.15 En la Figura P3.15 se presenta agua, considerada incom- presible, fluyendo de forma estacionaria en un conducto de sección circular. La velocidad en la entrada es cons- tante, u = U 0 , y la velocidad en la salida se aproxima por la de un flujo turbulento, u = u máx(1 – r / R )1/7. Determine la relación U 0 / u máx de este flujo.
P3.
P3.16 Un fluido incompresible pasa sobre una placa plana imper- meable como se muestra en la Figura P3.16, entrando con un perfil de velocidades uniforme u = U 0 y salien- do con un perfil polinómico:
donde
y u U 0 a
b
Calcule el caudal que atraviesa la superficie superior del volumen de control.
P3.
P3.17 El flujo compresible y estacionario entre dos placas para- lelas de la Figura P3.17 es uniforme, u = U 0 = 8 cm/s, mientras que aguas abajo el flujo pasa a tener el perfil laminar parabólico u = az ( z 0 – z ), donde a es constante. Si z 0 = 4 cm y el fluido es aceite SAE 30 a 20 °C, ¿cuál es el valor de u máx en cm/s?
máx
P3.
P3.18 Un fluido incompresible se mueve de forma estacionaria a través del conducto de sección rectangular de la Figura P3.18. El perfil de velocidades está dado aproximada- mente por
u u a 1
y^2 b^2
ba 1
z^2 h^2 máx b
( a ) ¿Satisface este perfil las condiciones de contorno correspondientes a un fluido viscoso? ( b ) Encuentre una expresión analítica para el caudal en la salida. ( c ) Si el gasto en la entrada es de 300 ft^3 /min, estime u máx en metros por segundo para b = h = 10 cm. P3.19 El agua de una tormenta fluye hasta caer sobre un lecho poroso que absorbe el agua a una velocidad vertical uni- forme de 8 mm/s, como se muestra en la Figura P3.19. El sistema tiene una anchura de 5 m. Determine la longitud L del lecho que se requiere para absorber completamente el agua de la tormenta.
P3.
P3.
P3.
P3.20 En la Figura P3.20 se presenta un flujo de aceite ( rr = 0.89) que entra a través de la sección 1 con un flujo de 250 N/h para lubricar un cojinete de empuje. El aceite fluye radialmente de forma estacionaria hacia el estrecho hueco que hay entre las dos placas. Calcule ( a ) el cau- dal de salida en mililitros por segundo y ( b ) la velocidad media de salida en centímetros por segundo. P3.21 Modifique el Problema P3.16 de la manera siguiente: Con- sidere una placa de longitud L = 125δ desde la entrada hasta la salida. La placa es porosa y aspira fluido desde la capa límite con velocidad uniforme de succión vp. ( a ) Calcu- le Q a través de la superficie superior si vp = 0.002 U 0. ( b ) Encuentre la relación vp / U 0 para la cual Q es cero. P3.22 La tobera convergente-divergente de la Figura P3. expande y acelera aire seco hasta hacerle alcanzar velo- cidades supersónicas en la salida, donde p 2 = 8 kPa y T 2 = 240 K. En la garganta, p 1 = 284 kPa, T 1 = 665 K y V 1 = 517 m/s. Suponiendo flujo estacionario y compresi- ble de un gas ideal, estime ( a ) el gasto másico en kilo- gramos por hora, ( b ) la velocidad V 2 y ( c ) el número de Mach.
Problemas 195
P3.
P3.29 En la teoría elemental de flujos compresibles (Capítulo 9), el aire comprimido de un depósito saldrá por un orificio con un gasto másico m ⋅^^ ≈ C ρ, donde r es la densidad del aire en el depósito y C es una constante. Si r 0 es la den- sidad inicial en un depósito de volumen , obtenga una fórmula para el cambio de densidad r ( t ) cuando se abre el orificio. Aplique esta fórmula al siguiente caso: un depósito esférico de 50 cm de diámetro, con una pre- sión inicial de 300 kPa y una temperatura de 100 °C, y un orificio cuyo gasto másico inicial de salida es de 0.01 kg/s. Determine el tiempo requerido para que la den- sidad del depósito se reduzca al 50%. P3.30 Un chorro de agua estacionario y bidimensional de 4 cm de espesor y flujo en peso de 1960 N/s incide sobre una barrera formada por dos placas en ángulo, como se mues- tra en la Figura P3.30. La velocidad del agua y la presión son constantes en todas partes. El 30% del caudal pasa a través de la ranura. El resto se reparte simétricamente a lo largo de la barrera. Calcule la fuerza horizontal F nece- saria para sostener la barrera por unidad de profundidad perpendicular al papel.
P3.
P3.31 Un fuelle se puede modelar como un volumen deformable con forma de cuña como el de la Figura P3.31. La válvula de la izquierda está cerrada mientras se cierra el fuelle. Si la anchura del sistema es b , obtenga una expresión para
el flujo másico m ⋅^0 como función del ángulo u ( t ).
P3.32 En el conjunto de tuberías de la Figura P3.32 fluye agua a 20 °C de forma estacionaria, entrando por la sección 1 a 20 gal/min. La velocidad media en la sección 2 es 2.5 m/s. Parte del flujo se desvía a una ducha que con- tiene 100 orificios de 1 mm de diámetro cada uno. Supo- niendo que el flujo en la ducha es uniforme, estime la velocidad de salida en los chorros de la ducha.
Fuelle
P3.
P3.
P3.33 En algunos túneles de viento, la sección de ensayos está perforada para succionar el fluido y reducir el espesor de la capa límite viscosa. La pared de la sección de ensa- yos de la Figura P3.33 contiene 1200 orificios de 5 mm de diámetro por metro cuadrado de pared. La velocidad de succión por cada orificio es Vs = 8 m/s y la velocidad de entrada a la sección de ensayos es V 1 = 35 m/s. Supo- niendo un flujo de aire estacionario e incompresible a 20 °C, calcule ( a ) V 0 , ( b ) V 2 y ( c ) V (^) f , en metros por segundo.
P3.
P3.34 El motor cohete de la Figura P3.34 opera en régimen estacionario. Los productos de la combustión salen por la tobera comportándose aproximadamente como un gas perfecto con un peso molecular de 28. Para las condicio- nes antes dadas, calcule V 2 en pies por segundo.
Problemas 197
198 Capítulo 3. Relaciones integrales para un volumen de control
P3.
P3.35 En contraste con el motor cohete de combustible líqui- do de la Figura P3.34, el motor cohete de combustible sólido de la Figura P3.35 es autónomo y no tiene conduc- tos de entrada. Usando un análisis de volúmenes de con- trol, calcule, para las condiciones de la Figura P3.35, el ritmo al que disminuye la masa de propulsante suponiendo que el gas de la salida tiene un peso molecular de 28.
P3.
P3.36 La bomba de chorro de la Figura P3.36 inyecta agua a U 1 = 40 m/s a través de un conducto de 3 in y arrastra a un flujo de agua que tiene una velocidad U 2 = 3 m/s en la región anular alrededor del chorro. Los dos flujos se mezclan completamente aguas abajo, donde la velocidad U 3 es aproximadamente constante. Calcule U 3 en metros por segundo en un flujo estacionario e incompresible.
P3.
P3.37 Un cilindro sólido de acero de 4.5 cm de diámetro y 12 cm de longitud, con una masa de 1500 g, cae de forma con- céntrica por un conducto vertical de 5 cm de diámetro que
contiene aceite ( rr = 0.89). Suponiendo que el aceite es incompresible, estime la velocidad media del aceite en el hueco anular entre el cilindro y el conducto ( a ) relativa al conducto y ( b ) relativa al cilindro. P3.38 El fluido incompresible de la Figura P3.38 está siendo aplastado entre dos grandes discos circulares por el mo- vimiento uniforme con velocidad V 0 del disco superior. Suponiendo que el flujo de escape es radial y unidimen- sional, use el volumen de control mostrado para obtener una expresión para V ( r ).
P3.
P3.39 Una cuña divide una capa de agua a 20 °C, según se muestra en la Figura P3.39. Tanto la cuña como la capa de agua son muy anchas. Si la fuerza requerida para man- tener la cuña quieta es F = 124 N por metro de anchura,
¿cuál es el ángulo u de la cuña?
P3.
P3.40 El chorro de agua de la Figura P3.40 incide perpendicu- larmente sobre una placa plana. Despreciando los efec- tos de la gravedad y la fricción, calcule la fuerza F en newtons que se requiere para mantener quieta la placa.
P3.
200 Capítulo 3. Relaciones integrales para un volumen de control
P3.
P3.
P3.48 El pequeño barco de la Figura P3.48 es impulsado a velocidad V 0 por un chorro de aire comprimido que sale de un orificio de 3 cm de diámetro a una velocidad de Vs = 343 m/s. Las condiciones de salida del chorro son ps = 1 atm y Ts = 30 °C. La resistencia del aire se consi- dera despreciable y la resistencia del casco es kV 02 , donde k ≈ 19 N · s 2 /m 2. Estime la velocidad del barco V 0 en metros por segundo.
s s
P3.
P3.49 La tobera horizontal de la Figura P3.49 tiene D 1 = 12 in y D 2 = 6 in, con una presión en la entrada p 1 = 38 lb fin^2 absoluta y V 2 = 56 ft/s. Con agua a 20 °C, calcule la fuerza horizontal que proporcionan los tornillos de la bri- da de sujeción para mantener fija la tobera. P3.50 El motor a reacción de un banco de ensayos representado en la Figura P3.50 toma aire a 20 °C y 1 atm por la sec- ción 1, donde A 1 = 0.5 m^2 y V 1 = 250 m/s. La relación
aire combustible es 1:30. El aire abandona la sección 2 a la presión atmosférica y una temperatura superior, donde V 2 = 900 m/s y A 2 = 0.4 m^2. Calcule la reacción horizon- tal Rx en el banco que se requiere para mantener fijo el motor. P3.51 Un chorro líquido de velocidad Vc y área Ac incide sobre la paleta de 180° del rotor de una turbina que gira a velo- cidad Ω, como se muestra en la Figura P3.51. Obtenga una expresión para la potencia P producida por la tur- bina en ese instante como función de los parámetros del sistema. ¿A qué velocidad angular se produce la máxi- ma potencia? ¿Cómo cambiaría el análisis en el caso de disponer de muchas paletas en la turbina, de forma que el chorro siempre incidiera sobre una de ellas?
P3.
P3.52 La puerta vertical de un canal de agua está parcialmente abierta, como se muestra en la Figura P3.52. Suponiendo que no hay cambio en el nivel de agua y una distribu- ción de presión hidrostática, obtenga una expresión para la fuerza horizontal F (^) x sobre una de las mitades de la
compuerta como función de ( r , h , w , u , V 1 ). Aplique este
resultado al caso de agua a 20 °C, V 1 = 0.8 m/s, h = 2 m, w = 1.5 m y u = 50°.
EES
P3.
P3.
P3.
P3.53 Se considera el flujo incompresible a la entrada del con- ducto circular de la Figura P3.53. El flujo en la entrada es uniforme u 1 = U 0. El flujo en la sección 2 es el flujo completamente desarrollado en un conducto. Determine la fuerza de resistencia F sobre la pared en función de ( p 1 , p 2 , r , U 0 , R ) si el flujo en la sección 2 es
( a ) Laminar:
( b ) Turbulento: u 2 u máx a 1
r R
b
1/
u 2 u máx a 1
r^2 R^2
b
P3.
P3.54 El flujo en el conducto de sección variable de la Figura P3.54 tiene D 1 = 8 cm, D 2 = 5 cm y p 2 = 1 atm. Todos los fluidos se encuentran a 20 °C. Si V 1 = 5 m/s y la lectura del manómetro es h = 58 cm, estime la fuerza total que resisten las bridas. P3.55 El chorro de la Figura P3.55 incide sobre un álabe que se mueve hacia la derecha con velocidad constante Vc sobre un carro sin fricción. Calcule ( a ) la fuerza Fx que se requiere para sujetar el álabe al carro y ( b ) la poten- cia P que se le proporciona al carro. Determine también la velocidad del carro para la que ( c ) la fuerza F (^) x sea máxima y ( d ) la potencia P sea máxima.
P3.
P3.
P3.56 El agua de la Figura P3.56 fluye de forma estacionaria a 20 °C a través de la caja representada, entrando por la sección (1) a 2 m/s. Calcule ( a ) la fuerza horizontal y ( b ) la fuerza vertical que se requiere para mantener quieta la caja.
P3.
P3.57 En la Figura P3.57 se representa agua moviéndose a tra- vés de un conducto de 50 cm de alto y 1 m de acho. La compuerta BC cierra completamente el conducto cuando b = 90°. Suponiendo flujo unidimensional, ¿cuál es el ángulo b que hará que la fuerza del chorro de salida sobre la placa sea de 3 kN? P3.58 El depósito de agua de la P3.58 está colocado sobre un carro sin fricción y alimenta un chorro de 4 cm de diá- metro con una velocidad de 8 m/s que se deflecta 60° por medio de un álabe. Calcule la tensión en el cable.
Problemas 201
P3.63 En el Ejemplo 3.10, la fuerza sobre la compuerta F es función de la profundidad del agua y de la velocidad. ( a ) Adimensionalice la fuerza dividiendo por ( rgbh 12 ) y grafíquela frente a h 2 / h 1 < 0. ( b ) En el gráfico aparece un segundo parámetro sin dimensiones que contiene a V 1. ¿Sabe su nombre? ( c ) ¿Para qué condición h 2 / h 1 es la fuerza máxima? ( d ) Para pequeños valores de V 1 , la fuerza llega a ser negativa (hacia la derecha), lo cual es totalmente irreal. ¿Puede explicar esto? P3.64 El chorro de agua a 20 °C de 6 cm de diámetro de la Figura P3.64 incide sobre una placa que contiene un orifi- cio de 4 cm de diámetro. Parte del chorro pasa a través del orificio y parte se deflecta. Determine la fuerza horizontal requerida para mantener la placa.
P3.
P3.65 La caja de la Figura P3.65 tiene tres orificios de 0.5 in en su lado derecho. Los caudales de agua a 20 °C que se muestran son estacionarios, pero los detalles del interior son desconocidos. Calcule la fuerza, de existir, que el flujo de agua causa sobre la caja.
P3.
P3.66 El depósito de la Figura P3.66 pesa 500 N vacío y con- tiene 600 l de agua a 20 °C. Los conductos 1 y 2 tienen un diámetro de 6 cm y un caudal de 300 m 3 /h cada uno. ¿Cuál sería la lectura de W en newtons?
P3.
P3.67 Una tolva está descargando grava, a un ritmo de 650 N/s, sobre una cinta transportadora en movimiento, como se muestra en la Figura P3.67. La grava se descarga al final de la cinta. Las ruedas de propulsión de la cinta tienen un diámetro de 80 cm y giran en sentido horario a 150 rpm. Estime la potencia requerida por esta cinta, despreciando la fricción del sistema y la resistencia del aire.
P3.
P3.68 El motor cohete de la Figura P3.68 tiene una salida super- sónica, por lo que la presión en la salida ps no tiene por qué ser pa. Demostrar que la fuerza requerida para man- tener el cohete en su banco de ensayos es F = r s AsVs^2 + As ( ps - pa ). ¿Es esta fuerza F lo que denominamos empuje del cohete?
P3.
P3.69 Una placa rectangular uniforme de 40 cm de longitud y 30 cm de anchura está sujeta en el aire mediante una bisagra que la soporta en su parte superior (los 30 cm de anchura). La placa es golpeada en su centro por un chorro de agua horizontal de 3 cm de diámetro con una
Problemas 203
204 Capítulo 3. Relaciones integrales para un volumen de control
velocidad de 8 m/s. Si la placa tiene una masa de 16 kg, estime el ángulo al que la placa queda en equilibrio con respecto a la vertical. P3.70 La draga de la Figura P3.70 está cargando arena ( rr = 2.6) sobre una barcaza. La arena sale del conducto de la dra- ga a 4 ft/s con un flujo de 850 lbf/s. Estime la tensión que este proceso de carga produce en la amarra.
P3.
P3.71 Suponga que en el motor a reacción del Problema P3.50 se coloca un deflector como el de la Figura P3.71. ¿Cuál se- rá ahora la reacción Rx sobre el banco? ¿Es esta reacción suficiente para servir de fuerza de frenada durante el ate- rrizaje de un avión?
P3.
*P3.72 El cilindro elíptico de la Figura P3.72 crea una estela ideal aguas abajo de la corriente uniforme. La presión en las sec- ciones de aguas arriba y abajo es aproximadamente igual y se trata de agua a 20 °C. Si U 0 = 4 m/s y L = 80 cm, estime la fuerza de resistencia por unidad de anchura que se ejerce sobre el cilindro. Calcule también el coeficiente de resistencia adimensional CD = 2 F /( rU 02 bL ).
P3.
P3.73 Una bomba en un depósito de agua a 20 °C dirige el chorro a 45 ft/s y 200 gal/min contra un álabe, como en la Figura P3.73. Calcule la fuerza F necesaria para mantener el carro estacionario si el chorro sigue ( a ) la senda A o ( b ) la senda B. El depósito contiene 550 gal de agua en ese instante.
P3.
P3.74 En la Figura P3.74 se representa un conducto de 6 cm de diámetro por el que fluye agua a 20 °C con un cau- dal de 300 gal/min. El flujo gira en la horizontal y sale radialmente por un conducto en forma de segmento circu- lar de 90° y 1 cm de espesor. Estime las fuerzas ( Fx , Fy , Fz ) requeridas para soportar los cambios de cantidad de movimiento del fluido, si se considera que el flujo radial es estacionario y uniforme.
P3.
*P3.75 Un chorro de líquido de densidad r y área A incide sobre un bloque y se parte en dos chorros, como se muestra en la Figura P3.75. Suponga que los tres chorros tienen la misma velocidad V. El chorro superior sale con un ángulo u y un área aA. El chorro inferior gira 90° hacia abajo. Despreciando el peso del fluido, ( a ) obtenga una expresión para las fuerzas ( Fx , Fy ) necesarias para retener el bloque. ( b ) Demuestre que Fy = 0 sólo si a ≥ 0.5. ( c ) Encuentre los valores de a y u para los cuales Fx y Fy son nulos.
