la elipse y sus formulas, Diapositivas de Cálculo

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LA ELIPSE

Ing. Ana Mariela Rincón

HISTORIA

 El astrónomo NICOLÁS COPÉRNICO (1473-1543), en

su obra sobre las revoluciones de las esferas celestes,

sostenía que todos los planetas, incluso la tierra,

giraban en órbitas circulares alrededor del sol,

provocando la teoría heliocéntrica, empujando a los

astrónomos a buscar un modelo matemático que

explicara los movimientos observados de los planetas

y el sol.

 El primero en hallarlo fue el astrónomo alemán

JOHANNES KEPLER (1571-1630), quien descubrió

que los planeta giraban alrededor del sol en ORBITAS

ELÍPTICAS, con el sol colocado no en su centro sino

en uno de los focos.

La Elipse es el

conjunto de puntos en

el plano R

2

cuya suma

de las distancias a dos

puntos fijos, llamados

FOCOS, es constante.

Elipse : { Pℇ R

2

/ d(PF

1

d(PF

2

) = 2a}

DEFINICIÓN

P(x,y)

X

Y

-X

-Y

F

1

F

2

C

d(PF

1

) d(PF

2

)

2a

P

1

(x,y)

P

2

(x,y)

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

-X X

Y

V

1

V

2

B

1

B

2

C = CENTRO (h,k)

-Y

L

1

R

1

R

2

L

2

V

1

, V

2

= VERTICES MAYORES

EJE MAYOR = Recta V 1

-V 2

=

2a

F 1

, F 2

= FOCOS

Eje Menor

Eje Mayor

F

1

F

2

LR= LADO RECTO = 2b

2

/a

L= Punto extremo izquierdo LR

R= Punto extremo derecho LR

B 1

, B 2

= VERTICES MENORES

EJE MENOR = Recta B

1

-B

2

=

2b

a= distancia del C al V

b=distancia del C al B

c=distancia del C a F

c

C(h,k

b

a

a

a>b , a

2

= b

2

+c

2

c

b a

(y–k)

2

+ (x–h)

2

a

2

b

2

X

-X

Y

ELIPSE VERTICAL con C(h,k)

F

2

V

1

V

2

B

2

R

2

L

1

R

1

L

2

k

h

B

1

C

F

1

2a

c

b

a

C = Centro = ( h, k)

V

1

,V

2

= Vertices mayors= (h, k+a)

F

1

,F

2

= Focos =(h, k + c )

B

1

B

2

= Vertices menores= (h + b, k)

L

1

,L

2

= ( h – b

2

/a, k+ c)

R

1

,R

2

= (h+ b

2

/a, k+c)

V

1

V

2

= Eje mayor = 2a

B

1

B

2

= Eje menor = 2b

LR = Lado Recto = 2b

2

/a

a>b ; a

2

= b

2

• c

2

c

b

a

-Y

2b

x

2

+ y

2

a

2

b

2

C = Centro = ( 0, 0)

V

1

,V

2

= (+ a , 0)

F

1

,F

2

= (+ c , 0)

B

1

B

2

= ( 0 , + b)

L

1

,L

2

= ( + c, b

2

/a)

R

1

,R

2

= (+ c , – b

2

/a)

V

1

V

2

= Eje mayor = 2a

B

1

B

2

= Eje menor = 2b

LR = Lado Recto = 2b

2

/a

a>b ; a

2

= b

2

• c

2

X

-X

Y

F

1

F

2

V

1

V

2

B

2

B

1

R

2

L

1

R

1

L

2

b

c

a

2b

C(0,0)

2a

ELIPSE HORIZONTAL con C(0,0)

b

c

a

-Y

ECUACIÓN

GENERAL

DE LA

ELIPSE

 ECUACIÓN GENERAL

Ax

2

+By

2

+Cx+Dy+E=

donde A≠B

M > 0 Elipse

CASOS: partiendo de la

Ec. General a la

Canónica

M = 0 Punto

M < 0 Conjunto Vacio

a) 16x

2

+ 9y

2

EJERCICIOS

Dada la Ecuación

General,

determinar los

elementos o

características y

la gráfica de la

Elipse.

b) x

2

+ 5y

2

+2x– 20y+ 31=

c) 6x

2

+9y

2

–24x–54y+51=

d) x

2

+3y

2

• x +6y+13/4= 0

y

2

• x

2

h=

k=

a=

b=

Elipse vertical

con C(0,0)

Ordeno

F

1

,F

2

= Focos =(0, + 2,6)

FORMULAS

C = Centro = ( 0, 0)

V

1

,V

2

= Vertices mayores= (0,+4)

a>b ; a

2

= b

2

• c

2

C = Centro = ( 0, 0)

V

1

,V

2

= Vertices mayores= (0,+a)

F

1

,F

2

= Focos =(0, + c )

B

1

B

2

= Vertices menores= (+ b,0)

L

1

,L

2

= ( – b

2

/a, + c)

R

1

,R

2

= (+b

2

/a, +c)

V

1

V

2

= Eje mayor = 2a

B

1

B

2

= Eje menor = 2b

LR = Lado Recto = 2b

2

/a

a>b ; a

2

= b

2

• c

2

c

2

= a

2

• b

2

c

2

c

2

c = 2,

B

1

B

2

= Vertices menores= (+ 3, 0)

L

1

,L

2

R

1

,R

2

V

1

V

2

= Eje mayor = 8

B

1

B

2

= Eje menor = 6

LR = Lado Recto = 18/

c

b

a

X

-X

Y

F

12

(0,-2.6)

V

1

(0,4)

V

2

(0,-4)

B

2

(-3,6)

L

1

(-2.25,2,6)

R

1

(2.25,2.6)

B

1

(3,0)

C(0,0)

F

1

(0,2.6)

c

b

a

ELIPSE VERTICAL con C (0,0)

c=2,

b=

a=

-Y

F

1

,F

2

= Focos =(0, + 2,6)

C = Centro = ( 0, 0)

V

1

,V

2

= Vertices mayores= (0,+4)

B

1

B

2

= Vertices menores= (+ 3, 0)

L

1

,L

2

V

1

V

2

= Eje mayor = 8

B

1

B

2

= Eje menor = 6

LR = Lado Recto = 18/

R

1

,R

2

R

2

(2.25,-2.6)

L

12

(-2.25,-2,6)

y

2

+ x

2

= 1

16 9