INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
JULIO ROMERO Y MARTÍN MARTÍNEZ
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Integración por Sustitución Trigonométrica: Un Enfoque Práctico - Prof. Jork, Diapositivas de Cálculo
Un método efectivo para resolver integrales que involucran expresiones algebraicas específicas, utilizando la sustitución trigonométrica. Se explica paso a paso el proceso de sustitución, incluyendo la elección de la sustitución adecuada, la derivación de la nueva integral y la resolución de la integral resultante. Se incluyen ejemplos detallados que ilustran la aplicación de la técnica en diferentes casos, incluyendo integrales con expresiones de la forma a^2 - x^2, a^2 + x^2 y x^2 - a^2. Una herramienta valiosa para estudiantes de cálculo integral que buscan dominar esta técnica fundamental.
Tipo: Diapositivas
2023/2024
1 / 19
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INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
JULIO ROMERO Y MARTÍN MARTÍNEZ
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
A menudo es efectivo el método de sustitución
trigonométrica al trabajar con integrales que contienen en
sus integrando ciertas expresiones algebraicas tales como :
𝑎
− 𝑥
→ 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑎
- 𝑥
→ 𝑥 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑥
− 𝑎
→ 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐𝜃
Si la integral tiene entonces sustituir
Ejemplo 1. Resolver
𝑥
3
𝑑𝑥
1 −𝑥
2
Solución: Hacemos uso de la sustitución
1
− 𝑥
→ 𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛𝜃
La integral tiene entonces sustituir
De la sustitución se obtiene que:
2
Y el triángulo de referencia
Remplazando en la integral obtenemos que
3
𝑑𝑥
2
3
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
2
3
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
cos
2
𝜃
3
3
𝑑𝜃
2
𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = න( 1 − 𝑐𝑜𝑠
2
𝜃) 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃
2
3
3
𝜃
2
2
3
2
Ejemplo 2. Evalúe
25 −𝑥
2
𝑑𝑥
𝑥
Solución: Hacemos uso de la sustitución
5
− 𝑥
→ 𝑥 = 5 𝑠𝑒𝑛𝜃
La integral tiene entonces sustituir
De la sustitución se obtiene que:
2
Y el triángulo de referencia
Remplazando en la integral obtenemos que
2
𝑑𝑥
2
5 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
2
𝜃) 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
2
2
= 5 ln csc𝜃 −𝑐𝑜𝑡 𝜃 + 5 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐶
= 5 ln
2
2
- 𝐶
2
2
Ejemplo 4. Calcular
𝟗−𝟒𝒙
𝟐
𝒙
𝒅𝒙
Solución.
Por lo tanto, 2 𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑑𝑥 =
3
2
2
2
Del triángulo en referencia
− 1
2
2
- C
2
2
2
2
= 3 න cscθ 𝑑θ − 3 න𝑠𝑒𝑛θ 𝑑𝜃 = 3 ln csc𝜃 − cot𝜃 + 3 cos𝜃 + 𝐶
𝑐𝑜𝑡θ =
2
2
2
Ejemplo 5. Evalúe
𝑥
2
𝑑𝑥
2 𝑥−𝑥
2
Solución: Hacemos uso de la sustitución
2
2
2
− 1 − 𝑥
2
→ 1 − 𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛𝜃
La integral tiene entonces sustituir
De la sustitución se obtiene que:
2
Y el triángulo de referencia
Remplazando en la integral obtenemos que
2
2
2
2
− 1 − 𝑥
2
2
2
− 𝑠𝑒𝑛𝜃
2
2
2
1 − cos( 2 𝜃) 𝑑𝜃
= −
3
2
𝑠𝑒𝑛
− 1
1 − 𝑥
1
- 2 1 − ( 1 − 𝑥)
2 −
1
4
𝑠𝑒𝑛 2 𝑠𝑒𝑛
− 1
1 − 𝑥
1
- 𝐶
− 1
2
Ejemplo 6. Encontrar
𝑑𝑥
𝑥
2
4 +𝑥
2
Solución: Hacemos uso de la sustitución
2
- 𝑥
→ 𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛𝜃
La integral tiene entonces sustituir
De la sustitución se obtiene que:
2
𝜃 𝑑𝜃
2
Y el triángulo de referencia
Remplazando en la integral obtenemos que
න
𝑑𝑥
𝑥
2
4 + 𝑥
2
= න
2 sec
2
𝜃 𝑑𝜃
2 𝑡𝑎𝑛𝜃
2
4 + ( 2 𝑡𝑎𝑛𝜃)
2
= න
2 sec
2
𝜃 𝑑𝜃
4 tan
2
𝜃 4 ( 1 + tan
2
𝜃)
2 sec
2
4 tan
2
𝜃 4 (sec
2
𝜃)
sec
2
tan
2
𝜃 sec 𝜃
sec 𝜃 𝑑𝜃
tan
2
𝜃
c𝑜𝑠 𝜃
2
𝜃
c𝑜𝑠
2
𝜃
න 𝑠𝑒n
− 2
𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃
− 2
− 1
- 𝐶 = −
− 1
- 𝐶
2
− 1
2
Ejemplo 7. Calcular
𝟐
2
1
2
2
- 5 +
5
2
2
- 5 + 𝑥 −
5
2
𝟐
- 𝟓 = 𝟓 𝒔𝒆𝒄𝜃
Solución.
Del triángulo en referencia
𝟐
- 𝟓 𝒅𝒙 = න 𝟓secθ 5 sec
2
𝜃𝑑θ = 5 න sec
3
θ 𝑑𝜃
Pero fue demostrado que 𝒔𝒆𝒄
𝟑
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
Reemplazando en la integral anterior se tiene =
5
2
5
2
𝑥
2
- 5
5
𝑥
5
𝑥
2
- 5
5
𝑥
5
1
2
2
- 5 +
5
2
2
- 5 + 𝑥 −
5
2
Ejemplo 9. Evalúe
𝑑𝑥
𝑥 9 +4𝑥
2
Solución: Hacemos uso de la sustitución
2
2
La integral tiene entonces sustituir
De la sustitución se obtiene que:
2
𝜃 𝑑𝜃
2
Y el triángulo de referencia
Remplazando en la integral obtenemos que
න
𝑑𝑥
𝑥 9 + 4 𝑥
2
= න
3
2
sec
2
𝜃 𝑑𝜃
3
2
𝑡𝑎𝑛𝜃 9 + 4
3
2
𝑡𝑎𝑛𝜃
2
= න
sec
2
𝜃 𝑑𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃 9 ( 1 + tan
2
𝜃)
sec
2
𝜃 𝑑𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃 9 (sec
2
𝜃)
sec
2
𝜃 𝑑𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃 sec 𝜃
sec 𝜃 𝑑𝜃
න csc 𝜃 𝑑𝜃 =
2
2
Caso 3.
Sustitución de
la forma:
Paso para usar la sustitución: 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑥
− 𝑎
→ 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐𝜃
Si la integral tiene entonces sustituir
De la sustitución se obtiene que:
Y el triángulo de referencia, con base en la sustitución principal
2
− 𝑎
2
Ejemplo 11. Calcular
𝑑𝑥
𝑥
2
− 1
Solución: Hacemos uso de la sustitución
𝑥
− 1
→ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝜃
La integral tiene entonces sustituir
De la sustitución se obtiene que:
2
− 1
Y el triángulo de referencia
Remplazando en la integral obtenemos que
2
− 1
2
𝜃 − 1
= ln 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝐶
= ln 𝑥 + 𝑥
2
− 1 + 𝐶
2
− 1
Ejemplo 12. Calcular
𝑑𝑥
4 𝑥
2
− 9
3 / 2
2
− 9
2
− 9 = 3𝑡𝑎𝑛𝜃.
2
3 / 2
3 / 2 sec𝜃 tan𝜃 𝑑𝜃
3
2
2
2
2
− 9
entonce𝐬 4𝑥
2
− 9
3 Τ 2
= 27 𝑡𝑎𝑛
3
𝜃
Solución.
Del triángulo en referencia
1
18
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛
2 𝜃
1
18
𝑐𝑜𝑠𝜗
𝑠𝑒𝑛𝜃
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
1
18
𝑐𝑜𝑡𝜃^ 𝑐𝑠𝑐𝜃^ 𝑑𝜃^ =^ −^
1
18
2
− 9
2
− 9