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C asos de Factoreo. Como resolverlos
El factoreo es un proceso mediante el cual transformamos a una suma o resta de monomios (polinomio) en un producto. Hay varios casos de factoreo o formas mediante las cuales podemos pasar de un polinomio a un producto. A continuación los detallaremos. Primer caso de factoreo o factor común : Es cuando observamos que todos los monomios tienen algo en común. Puede ser una letra o un número o ambas. Por ejemplo: 2 x³ + 4 x² + 6x Vemos en todos los términos que esta la x y el número 2 como divisor común, es decir, esta contenido en los tres números. Tomamos también la letra de menor exponente, ya que debe estar contenida en todos los términos. Por lo tanto sacamos como factor común al 2 y a la x. 2 x. ( x² + 2 x + 3 ) Los términos que quedan dentro del paréntesis resultan de dividir a cada término del polinomio inicial por 2 x. Los resultados quedan dentro del paréntesis.
Para aplicar factor común, todos deben tener algo en común. De lo contrario no se aplicará este caso. Factor común por grupos. En estos casos el polinomio debe tener un número par de términos como 4 o
- Ya que al formar grupos, cada grupo deberá tener la misma cantidad de términos. Por ejemplo: x³ + 3 x² + 2 x + 6 Vemos que no hay ningún factor común en los 4 términos. Entonces podemos separar a estos en dos grupos de dos términos. Los dos primeros por un lado y los otros dos por otro. Debemos aclarar que no siempre se toman los términos vecinos. En otros casos se tomarán en otro orden, el que mas nos convenga. (x³ + 3 x²) + (2 x + 6) Ahora sacaremos un factor común para cada grupo por separado. x². (x + 3) + 2. (x + 3) Observamos que ambos términos tienen algo en común que es (x+3). Por lo tanto lo sacaremos como factor común de toda la expresión. Ya que esto no es un producto, aún es una suma. Quedando: ( x + 3 ). ( x² + 2 ) Esta es la expresón final del factoreado ya que lo hemos transformado en un producto. Trinomio Cuadrado Perfecto : Este es el tercer caso de factoreo. Responde al siguiente modelo. a² + 2. a. b + b² La forma final de su factoreado es: ( a + b )² Son tres términos. Dos de ellos deben ser cuadrados perfectos y debemos reconocerlos. Ejemplo: x² + 12 x + 36 El primer y tercer término son cuadrados perfectos. Ya que de x² la base es x y de 36 la base es 6 (un número perfecto).
Ejemplo: x² – 25 El 25 es 5² entonces ponemos: x² – 5² = (x – 5). (x + 5) Otro ejemplo que a veces trae complicaciones: 4 x² – 36 Aquí al 4 lo debemos tener en cuenta a la hora de expresar la base. El 4 x² quedará como (2x)². (2 x)² – 6² = (2x – 6). (2x + 6) Suma o Resta de potencias de igual exponente : Dentro de este caso hay variantes, ya que podemos tener una suma o una resta y varían sus exponentes. Por ejemplo veremos con potenca 3. Sus forma y la factoreada son las siguientes. (a + b)³ = (a + b). (a² + a.b + b²) El procedimento es sencillo. Sumamos las bases y las multplicamos por el segundo término que se construye de la siguiente manera: Se pone a la primer base elevada a una potencia un grado inferior a la que aparece en el ejercicio. En este caso como el exponente es 3, ponemos a la primer base elevada al cuadrado por la segunda elevada a la cero. Como es elevada a la cero se transforma en 1, que no afecta nada a la operación por ser un elemento neutro. En el segundo término, bajamos el exponente de la primer base en otra unidad y aumentamos en uno a la segunda base. Y en el último bajamos de nuevo a la primera base a cero y aumentamos a la segunda base al cuadrado. Si hubieramos tenido al binomio elevado a la quinta en vez de al cubo obviamente el ejercicio quedaría más largo ya que empezaríamos elevando a la cuarta a la primer base y finalizaría elevada a la cuarta la segunda base. Ejemplo: x³ + 8 x³ + 2³ = (x + 2). (x².2° + x¹.2¹ + x°. 2²) x³ + 2³ = (x + 2). (x² + 2.x + 4) Si hubiera sido una resta hubieramos restado las bases en lugar de sumarlas en el primer término del producto. Y en el segundo término se usan signos alternados. Ejemplo: x³ – 2³ = (x – 2). ( x².2° – x¹.2¹ + x°. 2²) x³ – 2³ = (x – 2). ( x² – 2.x + 4)
Ejercicios de descomposición en factores de polinomios
2 xy − 2x − 3y +^6
3 25x² −^1
36x^6 − 49
x² − 2x + 1
x² − 6x + 9
x² − 20x + 100
x² + 10x +
x² + 14x + 49
La diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia 3 25x² − 1 es una diferencia de cuadrados (5x +1) · (5x − 1) 4 36x^6 −^49 La diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia (6x³ + 7) · (6x³ − 7) 5 x² − 2x + 1 Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado El cuadrado de x es x², el cuadrado de 1 es 1 y el doble del primero (x) por el segundo (1) es 2x (x − 1)² 6 x² − 6x + 9 El cuadrado de x es x², el cuadrado de 3 es 9 y el doble del primero (x) por el segundo (3) es 6x (x − 3)² 7 x² − 20x + 100
El cuadrado de x es x², el cuadrado de 10 es 100 y el doble del primero (x) por el segundo (10) es 20x (x − 10)² 8 x² + 10x + 25 El cuadrado de x es x², el cuadrado de 5 es 25 y el doble del primero (x) por el segundo (5) es 10x (x + 5)² 9 x² + 14x + 49 El cuadrado de x es x², el cuadrado de 7 es 49 y el doble del primero (x) por el segundo (7) es 14x (x + 7)² 10 x³ − 4x² + 4x Sacamos factor común x x · (x² − 4x + 4) Tenemos otro trinomio cuadrado perfecto El cuadrado de x es x², el cuadrado de 2 es 4 y el doble del primero (x) por el segundo (2) es 4x x · (x − 2)² 11 3x^7 − 27x Sacamos factor común 3 x
2x² − x −1 = 0 Resolvemos la ecuación de segundo grado ax² + bx + c = a · (x − x 1 ) · (x − x 2 ) 2x² − x − 1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2) TRABAJO PRÁCTICO N° T EMA: Factorización de polinomios. Hallar el factor común ( 1º caso de factoreo )
- a^3 - 2 a
- 54 a^3 b^6 + 108 a^6 b^3 - 243 a^8 b^9
- 2 a^2 x^3 - 4 a^2 x^2 - 2 a^2 x
- 2 m n – 2 m
- a^3 - 2 a
- 73 y^2 – 14 y + 7
- – 3 x^3 + 18 x^2 - 6 x
- 6 a^2 x^3 + 9 a b x^2 +3 a c x^2 Hallar factor común por grupos (2º caso de factoreo)
- 2 a x + 2 b x - a y + 5 a - b y + 5 b
- 16 a m x - 8 a m y + 2 x - y
- 15 m x + 6 m + x y – 2 x – 5 x^2 – 3 m y
5) 9 a^2 x – 3 a x^2 + 15 a – 5 x + 6 a m – 2 m x
Hallar el binomio al cuadrado Hallar el binomio al cubo
Problema n° 6) Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de
- a^2 x + b^2 x + a^2 + b
- 3/5 a^2 b x + 1/15 a^2 b y – 6 m x y – 2/3 m y
- 4 + 4 a + a (3º caso de factoreo: trinomio cuadrado perfecto)
- 9 a^2 m^2 + 12 a m^2 + 4 m
- 1 - 2 a + a
- (a - b)^2 + 4 (a - b) +
- 4m^2 - 4 m +
- 4 x^6 + 4/3 x^3 + 1/9 y
- 1/9 a^4 n^6 – 8/15 a^2 n x^4 m^2 + 0,64 m
- 9 m^2 q^4 + 1,8 m p^2 q^2 + 0,09 p
- x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + y (4º caso de factoreo: cuatrinomio cubo perfecto)
- a^6 + 3 a^4 + 3 a^2 +
- 64 m^6 + 96 m^4 n + 48 m^2 n^2 + 8 n
- x^3 - 15 x^2 + 75 x -
- 125 + 225 b^3 + 135 b^6 + 27 b
- 1/8 m^3 n^6 + 1/2 m^2 n^4 x^2 y + 2/3 m n^2 x^4 y^2 + 8/27 x^6 y
- x^3 y^3 - 3 x^2 y^2 + 3 x y -
- 1 - 3 a + 3 a^2 - a
- r^2 - x ( 5º caso de factoreo)
- 25 h^2 - r
- a^2 -
- h^2 - 9 b
- x^4 - y
- a^2 b^2 - m^2 n
- a^2 b^2 -
- (1 - a)^2 - (1 + a)
- 5 x^2 - 10 xy + 5 y Factorear las siguientes expresiones, combinando los diferentes casos de factoreo
- 3 x^2 + 3 x + 3/
- x^2 - 1 - y^2 + y^2 x 3) a^2 m - b^2 m - a^2 n + b^2 n
- 5)x^4 - 2 x^3 + x
- 3 x^2 + 3 x + 3/
- a) x^7 + a potencias de igual grado:
- b) a³ +
- d) x^5 + 1/ c) 27 + y³
- e) x³ - 1/
- f) a^4 - b^4 ·c
- g) x³ +
- h) a^10 - x
- i) x^6 - y
- j) x^6 + y
- k) a^7 - 128·x
- l) x^4 -
