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I. OBJETIVOS
- Linealizar la función y los datos, realizar ajuste por mínimos cuadrados, calcular la pendiente, intercepto, punto de corte y entregar la ecuación de la recta.
- Estudiar el movimiento de un cuerpo con aceleración aproximadamente constante, determinar la velocidad y el valor aproximado de la aceleración debida a la gravedad
- Analizar y comprender los datos obtenidos mediante gráficas.
- Determinar el valor de la gravedad de acuerdo a los datos obtenidos en la práctica realizada. II. MARCO TEÓRICO El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.U.A), es el movimiento de un cuerpo cuya velocidad experimenta disminuciones o aumentos iguales en tiempos iguales. CONCEPTOS IMPORTANTES
Se entiende por velocidad media v , la relación que
existe entre la distancia recorrida por un cuerpo y el tiempo que tarda en hacerlo, es decir:
v =
x 2 − x 1
t 2 − t 1
∆ x
∆t
De la ecuación (1) se tiene que la velocidad en cada punto o velocidad instantánea se define como el límite de la posición con respecto al tiempo, cuando éste tiende a cero (infinitesimal), así:
v = v =
∆ x
∆ t
Pero, ésta es la definición de derivada de la posición ( x
) con respecto al tiempo ( t ), por lo tanto:
v =
dx
dt
Ahora bien, cuando la velocidad de un cuerpo no es constante se dice que el movimiento es acelerado y se define la aceleración media como el cociente del cambio de velocidad con respecto al tiempo, así:
a =
v 2 − v 1
t 2 − t 1
∆ v
∆ t
Luego, la aceleración instantánea se define como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Esto es:
a = a =
∆ a
∆ t
Es decir,
a =
dv
dt
De modo, que la aceleración se obtiene calculando la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Es importante notar, que la aceleración es una magnitud de tipo vectorial, por lo que su signo es muy importante. El signo de la aceleración se determina así:
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Ana Daniela Burbano Mosquera anadanibm@unicauca.edu.co
Diana Marcela Urrea Zúñiga dianamurrea@unicauca.edu.co
Universidad Del Cauca
Resumen— — En este informe se presenta una sencilla experiencia que permite comprender la aplicación del principio de movimiento uniformemente acelerado el cual consiste en lanzar un objeto desde diferentes alturas y determinar el tiempo de duración en caer a su punto final (caída libre) gracias a estas mediciones fue posible el cálculo del valor de la gravedad. Palabras clave — gravedad, movimiento uniformemente acelerado, caída libre.
● a > 0 (Positiva) cuando se incrementa la
velocidad del movimiento.
● a < 0 (Negativa) cuando disminuye su
velocidad (es decir que se retarda o "desacelera" el movimiento). En el caso en que no haya variación o cambio de la velocidad de un movimiento, su aceleración es nula, lo que indica que la velocidad permanece constante. El vector de la aceleración tiene la dirección del movimiento de la partícula, aunque su sentido varía según sea su signo (positivo: hacia adelante, negativo: hacia atrás). La relación entre la velocidad y la aceleración puede deducirse a partir de la ecuación (6) , así:
dv = adt
Integrando a ambos lados de la igualdad se obtiene:
Si t 0 = 0 entonces
v = v 0 + at (7)
Además, la velocidad está relacionada con la derivada de la posición con respecto al tiempo (ecuación (3)):
dx = vdt
Integrando a ambos lados de la igualdad se tiene: ACELERACIÓN GRAVITACIONAL Los cuerpos que están cerca de la superficie terrestre, experimentan una aceleración vertical dirigida hacia abajo, debido al campo gravitacional de la tierra. A esta aceleración se le denomina: Aceleración gravitacional o "gravedad". La aceleración gravitacional es representada por la
letra " g " y su valor medio es9.8 m / s^2.
El valor de la gravedad no es constante, debido a que presenta pequeñas variaciones dependiendo del lugar de la tierra donde se mida (ocasionado por la latitud, longitud y altitud), así presenta un mayor valor en los polos y su valor mínimo se obtiene en la Línea del Ecuador. Por lo cual, se considera siempre su valor medio para ejercicios teóricos. Cuando los cuerpos se mueven hacia abajo debido a la aceleración gravitacional, el movimiento se denomina CAÍDA LIBRE. Todo cuerpo en caída libre recorre una distancia o espacio, al que se le denomina "altura (
h )".^ Cuando^ un movimiento acelerado (M.U.A)^ se
debe a la aceleración gravitacional, las fórmulas cinemáticas, vistas anteriormente, son las mismas; sólo
que a = g y x = h , así:
g =
v 2 − v 1
t 2 − t 1
∆ v
∆ t
v = v 0 +¿ (10)
h =
g t
2
+ v 0 t (11)
Cuando un objeto es impulsado hacia arriba con una
velocidad inicial v 0 , este realiza un recorrido de subida
y otro de bajada. El punto más alto del recorrido
determina la altura ( h ) del movimiento. Se observa
que: ● Durante el movimiento de subida, el objeto partió
con una velocidad inicial ( V^ 0 ) y se desaceleró
hasta detenerse momentáneamente y quedarse quieto en el punto más alto, es decir, experimentó una aceleración negativa. ● En el movimiento de bajada, el objeto partió del reposo y se aceleró hasta llegar a alcanzar una
alrededor del círculo, lo alargamos hasta tomar toda el área de la pantalla de nuestro vídeo. Finalmente, en el cuadro que aparece en nuestro lado derecho damos la opción “search” para que el programa empiece a seguir el recorrido del objeto y nos entregue la gráfica y la tabla con los datos t(s), x (m). IV. RESULTADOS En la siguientes tabla se exponen los 11 datos de la alturas que tomó el programa del Tracker x (m) con sus respectivos tiempos , en los que fue lanzada la pelota y su respectivo tiempo promedio Tabla Inicial. 11 datos de 5 lanzamientos de la pelota a una altura de 1,5 m No de datos Tiempo(s) t1 t2 t3 t4 t5 Promedio 1 0 0 0 0 0 0 2 0, 3
No de datos Altura(m) x1 x2 x3 x4 x5 Prome dio 1 -3,38E- 04
-4,52E-
-4,52E-
6,01E-
-2,70E-
-5,03E-
1,16E-
3,78E-
-8,11E-
0,014 8,79E-
1,39E-
4,14E-
1,77E-
2,13E-
8 0,0175 6,51E-
2,45E-
2,68E-
10 0,0219 1,04E-
2,95E-
3,58E-
Tabla No 1. Datos de la altura con el promedio de tiempo. Altura (m) tiempo (s) -2,70E-04 0
1,16E-03 0,
3,78E-03 0,
8,79E-03 0,
1,39E-02 0,
1,77E-02 0,
2,13E-02 0,
2,45E-02 0,
2,68E-02 0,
2,95E-02 0,
3,58E-02 0,
Tabla No 1.1 Datos para el cálculo de la gravedad Tabla No 2. Mediciones de la altura con el promedio del tiempo al cuadrado. Altura (m)
T^2
(s^2 ) -2,70E-04 0 1,16E-03 0, 3,78E-03 0,
8,79E-03 0,
1,39E-02 0,
1,77E-02 0,
2,13E-02 0,
2,45E-02 0,
2,68E-02 0,
2,95E-02 0,
3,58E-02 0,
Tabla No 3. Mediciones de la altura y el promedio de tiempo cada una con la aplicación de logaritmo natural. Ln (x (m)) Ln (t (s)) Ln(0)no existe Ln(0)no existe -6,76 - -5,58 -2, -4,73 -2, -4,27 -2, -4,03 -1, -3,85 -1, -3,71 -1, -3,62 -1, -3,52 -1, -3,33 -1, Tabla No 3.1 Datos para el cálculo de la gravedad
Gráfica linealizada Valor de la aceleración gravitacional El resultado de error porcentual es un dato muy elevado ya que las condiciones en las que se realizó la práctica desde casa no son las mismas que se pueden obtener en un laboratorio.
g = 2 m
m =
y 2 − y 1
x 2 − x 1
m =
m =4,
g = 2 ( 4,76) E %=¿ ) * 100%
g =9,
m
s
2 E^ %=2.6^ %
Se puede analizar de acuerdo al error porcentual que los datos se acercan a la gravedad del valor teórico esto se puede considerar debido a que el tiempo fue alterado de los datos obtenidos originalmente, pero no podemos descartar que aún hay un error elevado que indica mal uso de los instrumentos. En la Gráfica No 4 realizada con los datos de la Tabla No 3 se observa que al aplicar logaritmo natural para Linealizar la función original las coordenadas se encuentran no colineales por lo tanto se aplicó ajuste por mínimos cuadrados para poder ajustar los valores dispersos y encontrar una nueva ecuación y con estos valores se calculó la gravedad, pero debido a que la función original fue linealizada debimos aplicar el siguiente procedimiento:
yf =
g t
2
ln yf =ln
g t
2
ln yf =ln
g + ln t
2
ln yf =ln
g + 2 lnt
ln yf =¿ 2 lnt + ln
g
b =ln
g
b
g
g = 2 ⅇ
b El error porcentual dio como resultado un valor bastante elevado que se puede considerar que es porque se alteraron los datos originales que ya analizamos y también indica unos valores elevados
Tabla de x (m) vs t^2
Gráfica de x ( m ) vs t^2
En la Gráfica realizada con los datos de la Tabla No
x(m)vs t^2 se observa que al elevar el tiempo al
cuadrado la función que anteriormente era una parábola se convierte en una función “lineal”, con estos datos se puede analizar la gravedad con la misma fórmula que anteriormente se despejó así: Y=mx+b Y=3,006 (x)-0, Tabla linealización
Segundo lanzamiento :
Tercer Lanzamiento :
Quinto lanzamiento VI. CONCLUSIONES
- Ya que el error en la medición fue muy elevado es posible concluir que todos los resultados basados en dichas mediciones son muy imprecisos
- Con el gráfico V vs t se pudo comprobar que la esfera describió un movimiento uniformemente acelerado debido a que la tendencia lineal de dichos gráficos nos indica que conforme transcurre el tiempo la velocidad aumenta en forma uniforme.
- La gravedad es una fuerza física que la tierra ejerce sobre todos los cuerpos hacia su centro.
- Entre más alto esté un cuerpo del piso más velocidad al caer, esto depende de la fuerza con la que esté atraído, es decir de la gravedad. VII. REFERENCIAS [1]. UNIVERSIDAD DEL CAUCA. Movimiento uniformemente acelerado (Archivo PDF). [Citado el 4 de octubre de 2019]. Disponible: Editorial Universidad del Cauca. [2]. UNIVERSIDAD DEL CAUCA. Teoria de errores (Archivo PDF). [Citado el 4 de octubre de 2019]. Disponible: Editorial Universidad del Cauca. [3]. UNIVERSIDAD DEL CAUCA. Medición de instrumentos (Archivo PDF). [Citado el 4 de octubre de 2019]. Disponible: Editorial Universidad del Cauca
