¡Descarga Informe de laboratorio de carga y descarga de un Condensador y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Física Experimental solo en Docsity!
CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR
Laboratorio IV
A. Díaz
1
, J. Molina
1
, C. Noreña
1
y L. Rodríguez
1
Experimental III, Universidad Popular del Cesar, Apdo. Postal 200001, Valledupar,
Cesar, Colombia
2020 - 10 - 12
RESUMEN
En el presente laboratorio virtual se estudió y analizó el proceso de carga y descarga de
un condensador en un circuito de configuración RC. El montaje experimental fue
realizado en el Software Tinkercad, donde se tomaron datos para el voltaje en diferentes
intervalos de tiempo en el transcurso de la simulación, con el fin de determinar la
constante capacitiva τ. Esto fue posible mediante una regresión lineal a través del ajuste
de datos por mínimos cuadrados. El valor experimental de τ fue comparado con el valor
teórico, obteniéndose un error de 0 ,19%; resultado que refleja la buena realización de la
práctica y la metodología experimental. Por último, se calcularon los porcentajes que la
carga máxima del capacitor alcanza en intervalos de tiempos dados por múltiplos de τ.
1. INTRODUCCIÓN
Los circuitos eléctricos se caracterizan principalmente por permitir la circulación de
corriente eléctrica, estos facilitan el transporte de energía y lo hacen a través de la
combinación de diferentes elementos como la batería, interruptor, resistencia,
condensador, entre otros. En la vida cotidiana se utilizan cualquier cantidad de aparatos
que funcionan a partir de la configuración de circuitos eléctricos; las computadoras, los
teléfonos, los reproductores de música e incluso una pequeña linterna cuenta en su sistema
de funcionamiento con este tipo de arreglos eléctricos.
Una configuración sencilla es la de un circuito eléctrico compuesto por un resistor y un
capacitor combinados en serie y alimentados por una fuente, en estos, la corriente circula
en la misma dirección, pero puede variar en el tiempo y son denominados circuitos RC.
Los capacitores, por su propiedad de almacenar energía pueden cargarse al suministrar
una diferencia de potencial en el circuito y liberar esta energía en cualquier tiempo
requerido. El tiempo empleado para el proceso de carga y descarga del condensador es
determinado por una constante denominada constante capacitiva τ.
Los circuitos RC reciben especial atención gracias a sus distintas aplicaciones en
dispositivos en los que se requiere mantener cierta cantidad de energía almacenada,
ejemplos de estos son los semáforos intermitentes, donde se requiere que las diferentes
secuencias de iluminación se interrumpan y prosigan cada cierto tiempo de manera
reiterada, también se utiliza para las luces de emergencia de los automóviles, el flash de
las cámaras, entre otras aplicaciones.
En este trabajo, se estudia la carga y descarga de un capacitor en un circuito RC, para ello
se tiene por objetivos la obtención de las curvas experimentales de la diferencia de
potencial en el condensador en función del tiempo, además de determinar teórica y
experimentalmente la constante de tiempo “ τ ” del circuito, para determinar la rapidez con
la que se carga y/o descarga el capacitor.
2. JUSTIFICACIÓN TEÓRICA
Hasta el momento hemos estudiados circuitos de corriente directa cuya configuración se
ha basado de un único componente llamado resistor y su principal característica es que el
flujo de corriente que circula permanece constante. En esta práctica, se analizarán
circuitos que incluyen otro componente de mucha importancia en la electrónica, como
son los capacitores.
Un capacitor o condensador, es un dispositivo formado por dos placas conductoras
paralelas separadas entre sí, cuya función principal es almacenar energía en presencia de
un campo eléctrico. Para cargar un capacitor se conectan las placas conductoras a las
terminales de una batería (ver figura 1) formando un circuito, una vez conectadas, se
efectúa un movimiento de electrones entre las placas del capacitor adquiriendo cargas
opuestas y de igual magnitud. El proceso de carga termina cuando el capacitor alcanza el
mismo voltaje de la batería.
Figura 1. Capacitor de placas paralelas (tomado de RA Serway, JW Jewett. 7th)
Los circuitos cuya configuración está compuesta por un resistor y un capacitor en serie,
se denominan Circuitos R-C (ver figura 2 ); este tipo de circuitos se caracterizan porque
la corriente y el voltaje varían en el tiempo, debido a que durante su funcionamiento el
capacitor se carga gracias a la presencia de la corriente cuando el circuito es cerrado o se
Figura 3. Proceso de carga del capacitor (tomado de RA Serway, JW Jewett. 7th)
Luego de cierto instante de tiempo 𝑡, el capacitor se carga por completo debido a que las
cargas en movimiento a través de las espiras del circuito se almacenan en las placas
conductoras de este y en consecuencia la corriente a través del circuito decae hasta cero.
La carga en el capacitor es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada
a las terminales del circuito. Aplicando las Reglas de Kirchhoff (Regla de la Espira),
obtenemos
Donde 𝑞/𝐶 es la diferencia de potencial aplicada en el capacitor y 𝐼𝑅 es la diferencia de
potencial en el resistor. Cuando el condensador se carga por completo después de
transcurrir un tiempo 𝑡, la corriente a través del circuito es cero y la diferencia de potencial
aplicada se encuentra almacenada en el capacitor cuya carga 𝑄 es máxima. Teniendo en
cuenta esto, de la ecuación (3) se obtiene la carga máxima del capacitor que está dada por
la siguiente expresión.
A partir de la ecuación ( 3 ) podemos obtener las expresiones fisicomatemáticas de la carga
y la corriente en un instante de tiempo determinado. Despejando 𝐼 de la ecuación (3)
obtenemos
Recordemos que la corriente es la variación de la carga 𝑞 en el condensador en función
del tiempo, es decir, 𝐼 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡. Sustituyendo 𝐼 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡 en la expresión anterior
obtenemos
Reescribiendo obtenemos
Integrando para 𝑞 = 0 cuando 𝑡 = 0 , se tiene
𝑞
0
ln (
Reescribiendo la ecuación anterior se obtiene la siguiente expresión
𝑡
𝑅𝐶
Donde 𝑞(𝑡) es la carga almacenada en el capacitor cualquier instante de tiempo 𝑡.
Sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación (5), se obtiene la diferencia de potencial
almacenada entre las placas del condensador en un instante 𝑡:
𝑡
𝑅𝐶
La cantidad 𝑅𝐶 que aparece en las ecuaciones (5) y (6) tienes unidades de tiempo (𝑠) y
se denomina constante capacitiva del tiempo 𝜏 en el circuito. Este representa el tiempo
que le tomará a la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor inicial (aproximadamente
0.368), cuando esto ocurre, la carga del capacitor ha alcanzado un factor de
− 1
- 632 de su valor final 𝑄 = 𝐶𝑉, esto es alrededor del 63% de la carga máxima que puede
almacenar el capacitor. Puesto que 𝜏 = 𝑅𝐶 tiene unidades de tiempo, la combinación
𝑡/𝑅𝐶 no tiene dimensiones, como debe ser un exponente de 𝒆 en las ecuaciones (5) y (6).
De esta manera, vemos que la constante capacitiva 𝜏 en teoría, determina el tiempo en el
que se carga el capacitor. Ya que esta es la proporción general más directa que permite
saber que tanto crece el factor ( 1 − 𝑒
− 1
), es decir, representa el intervalo de tiempo en el
que la carga aumenta la cantidad ( 1 − 𝑒
− 1
) de su valor final. Asimismo, la constante 𝜏
mide la rapidez con la que se carga el capacitor al aplicar una diferencia de potencial en
el circuito. Así, cuando la constante 𝜏 es pequeña, el capacitor se carga más rápido;
cuando este es grande, el proceso de carga toma más tiempo.
Descarga de un Capacitor
Supongamos ahora que abrimos el interruptor en el circuito (ver figura 4), en el instante
𝑡 = 0 la diferencia de potencial en el capacitor es 𝑄/𝐶 y la corriente en el circuito es igual
a cero. Luego de transcurrir un tiempo 𝑡 el capacitor se descarga a través del resistor y su
carga disminuye finalmente a cero, puesto que no hay una fem en el circuito (𝜀 = 0 ).
(aproximadamente el 37%), esto corresponde a una pérdida del 63% de la carga del
capacitor.
Método de mínimos cuadrados:
Es un método estadístico para encontrar la relación lineal de una serie de mediciones al
calcular la recta de regresión lineal, permite hallar los valores de la pendiente e intercepto
de la recta, así como obtener sus errores a través de las siguientes expresiones:
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖 𝑖 𝑖
𝑖
2
𝑖
𝑖
𝑖
2
𝑖
2
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
𝑖
2
𝑖
𝑖
𝑖
2
𝜎√𝑛
√
𝑛
∑ 𝑥
𝑖
2
𝑖
−(
∑ 𝑥
𝑖
)
𝑖
2
∑ 𝑥
𝑖
2
𝑖
𝑛
∑ (𝑦
𝑖
−𝑚𝑥
𝑖
−𝑏)
2
𝑖
𝑛− 2
3. MATERIALES Y MÉTODO EXPERIMENTAL
Simulador virtual:
- Software Tinkercad : https://www.tinkercad.com/login
Para esta práctica, se realizó el diseño y la simulación del circuito RC para el estudio de
carga y descarga del condensador utilizando el software Tinkercad. En la figura 1, se
observa el montaje experimental propuesto, el cual consta de una resistencia eléctrica de
10 KΩ, un capacitor de 1000 μF, un interruptor, un voltímetro y una fuente de 5 V.
Figura 5. Montaje experimental para el estudio de carga y descarga de un condensador
(Realizado en Tinkercad).
Luego de realizado el montaje, se procedió a la toma de datos experimentales que
consistió en la medición de voltaje a través del condensador en intervalos de tiempo de 4
segundos para la carga. Una vez cargado el condensador completamente y la corriente ha
dejado de circular a través del circuito, se apaga la fuente y se abre el interruptor; así, el
condensador comienza a descargarse. De la misma manera, se fue midiendo el voltaje a
través del capacitor en intervalos de tiempo de 4 segundos hasta que la descarga sea
completa. Así, se tomaron los datos necesarios para calcular la constante de tiempo del
circuito (τ) y los porcentajes que la carga máxima del capacitor alcanza en tiempos dados
por múltiplos enteros de τ.
4. ANÁLISIS DE RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Las tablas 1 y 2, muestran los datos de carga y descarga en el capacitor en función del
tiempo. En cada intervalo de tiempo (4 segundos) se registra el voltaje a través del
condensador.
0 10 20 30 40 50 60 70
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
Puntos Experimentales
Curva de regresion
Voltaje (V)
Tiempo (s)
a)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
Puntos Experimentales
Curva de regresion
Voltaje (V)
Tiempo (s)
b)
Gráfico 1. Voltaje vs tiempo. a) carga del capacitor, b) descarga del capacitor (realizado en
Origin).
Cálculo de la constante de tiempo τ
De la ecuación ( 9 ), tenemos que la expresión fisicomatemática de voltaje en función del
tiempo para un capacitor en descarga es:
V
t
= εe
−
t
RC
De donde la cantidad RC es lo que se conoce como la constante de tiempo τ.
Para encontrar este valor, considérese conveniente sobrescribir la ecuación ( 9 ) de la
siguiente manera:
ln (
ε
V(t)
t
RC
Si representamos en un sistema cartesiano los valores de 𝐥𝐧 (
𝛆
𝐕
( 𝐭
)
) en el eje de las
ordenadas y 𝐭 en las abscisas, obtendremos una recta cuya pendiente nos permitirá
encontrar el valor de la constante de tiempo τ. Con esta linealización, el valor del
intercepto se asume que es igual a cero:
ln (
ε
V
t
RC
∙ t
En la tabla 3 , se registran los resultados obtenidos para la variable dependiente y los
cálculos necesarios para encontrar el valor de la pendiente y el intercepto (comprobar que
sea próximo o igual a cero) utilizando la teoría de mínimos cuadrados.
Tabla 3. Cálculos para la pendiente e intercepto.
𝑥 = t (s)
± 1 s
𝑦 = ln
ε
V(t)
𝑥 ∙ 𝑦 𝑥
2
(𝑦 − 𝑚𝑥 − 𝑏)
2
0,0 0,00000000 0,0000000 0,00 0,
4,0 0,41551544 1,66206178 16 1,92558E- 05
8,0 0,82098055 6,56784442 64 8,26756E- 05
12,0 1,21739582 14,6087499 144 2,25363E- 05
16,0 1,61646253 2 5,8634004 256 9,32267E- 06
20,0 2,01140913 40,2281826 400 7,62163E- 06
24,0 2,42814832 58,2755596 576 0,
28,0 2,81341072 78,7755001 784 5,20034E- 06
32,0 3,20892549 102,685616 1024 5,6645E- 05
36,0 3,61191841 130,029063 1296 2,80265E- 05
40 ,0 4,01738352 160,695341 1600 3,47557E- 07
44,0 4,41786109 194,385888 1936 7,61453E- 07
48,0 4,83332628 231,999661 2304 0,
52,0 5,21765946 271,318292 2704 6,73671E- 06
56,0 5,62128125 314,79175 3136 7,05609E- 08
60,0 6,02398774 361,439264 3600 4,89064E- 06
64,0 6,42409532 411,142101 4096 2,42868E- 06
68,0 6,81791457 463,618191 4624 2,89763E- 05
72,0 7,21973004 519,820563 5184 1,87328E- 05
76,0 7,62930193 579,826947 5776 2,00983E- 05
80,0 8,0164179 641,313432 6400 8,39341E- 05
84,0 8,431 0155 708,205302 7056 2,18593E- 05
88,0 - - 7744 77,
∑ 924 92,814141 5317,25271 52976 0,
Cálculo de incertidumbres
Utilizando las fórmulas ( 12 ), ( 13 ) y ( 14 ) para la incertidumbre de la pendiente e
intercepto tenemos:
s
2
2
s
2
= 0 , 00005181 s
− 1
∆𝑏 = ( 0 , 000051806 s
− 1
52976 s
2
23
Por lo tanto, el valor de la pendiente y del intercepto es (𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟗𝟎𝟏𝟔 ±
−𝟏
y (𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟑𝟔𝟔𝟔𝟔𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟒𝟖𝟔𝟑𝟏𝟐) respectivamente.
De la ecuación ( 15 ) se tiene que:
RC
Donde 𝑚 es la pendiente que hemos calculado y 𝝉 es la constante de tiempo del
circuito:
0 , 10019016 s
− 1
≈ 9 , 981 s
La incertidumbre de 𝝉 viene dada de la siguiente manera:
2
( 0 , 10019016 s
− 1
2
| ∙ 0 , 00005181 s
− 1
≈ 0 , 005 s
Luego, el valor de la constante de tiempo 𝝉 experimental es (𝟗, 𝟗𝟖𝟏 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟓)𝐬
Observe que, el valor encontrado de 𝝉 es muy cercano al valor generado por el software
Origin, para el ajuste exponencial de los puntos experimentales que se representaron en
la figura 1. Esto indica que el ajuste de datos realizado por mínimos cuadrados y la
obtención de datos experimentales en el simulador ha permitido conseguir resultados
consistentes.
Se tiene que la constante de tiempo 𝝉 teórica es:
τ = RC
Reemplazando los valores de R y C teórico tenemos:
τ = 10000Ω ∙ 1 ∙ 10
− 3
F
τ = 10 s
La incertidumbre del τ teórico viene dada de la siguiente manera:
∆τ = C∆R + R∆C
− 3
F
− 12
3
− 12
F
− 9
s
Luego, la constante de tiempo 𝝉 teórico es (𝟏𝟎 ± 𝟏 ∙ 𝟏𝟎
−𝟗
El error porcentual del valor encontrado de la constante de tiempo 𝝉 comparado con el
valor teórico es:
× 100% = 0 ,19%
Se puede observar que el error final se encuentra dentro del rango de errores admitidos
en la experimentación (≤5%), por lo que el valor de 𝝉 (𝟗, 𝟗𝟖𝟏 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟓)𝐬 ha de
considerarse un resultado significativo y que justifica la buena realización de la práctica.
A partir de la ecuación ( 5 ) podemos encontrar los porcentajes que la carga máxima del
capacitor alcanza en diferentes tiempos. Por ejemplo, en un intervalo de tiempo τ la
carga en el capacitor es:
= Cε
− 1
= 0 , 632 Cε
La carga en el capacitor es del 63,2% del valor máximo de Cε
Como C = 1 ∙ 10
− 3
F y ε = 5 V entonces:
− 3
C
De igual manera, podemos realizar los cálculos para diferentes intervalos de tiempo. La
tabla 4, muestra los porcentajes de carga en el capacitor en tiempos dados por múltiplos
enteros de τ y la carga neta almacenada en ese instante de tiempo. Es evidente que a
6. REFERENCIAS
Física Tomo II, R. A. Serway, 5ta edición. Editorial McGraw Hill.
Física para Ciencia e ingeniería, Tomo 2; Halliday – Resnick, Editorial CECSA.
Física; M. Alonzo, E. Finn; tomo 2 Editorial Addison Weslwy iberoamericana.
Sears, F. W., Zemansky, M. W., & y García, H. J. E. (2004). Física universitaria. Vol. 2.
Pearson Educación.
