Hormigón armado ingeniería civil, Apuntes de Ingeniería Civil

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0.10.1 EJERCICIOEJERCICIO 0101

Calcular la resistencia de la siguiente sección (usual en algunos tipos de pilotes)y determinar si fluyeCalcular la resistencia de la siguiente sección (usual en algunos tipos de pilotes)y determinar si fluye

el acero de tension. Resolver problema para dos casos. El primero ,supongase que la extrema enel acero de tension. Resolver problema para dos casos. El primero ,supongase que la extrema en compresión es un vértice del triangulo y que el plano de flexión es normal a la base. El segundocompresión es un vértice del triangulo y que el plano de flexión es normal a la base. El segundo

supongase que la fibra extrema en compresión es una base del triangulo y que el plano de flexión essupongase que la fibra extrema en compresión es una base del triangulo y que el plano de flexión es normal a la base.normal a la base.

SOLUCIÓN:SOLUCIÓN:

PRIMER CASO :PRIMER CASO : El vértice superior del triangulo esta en compresión.El vértice superior del triangulo esta en compresión.

De la figura:De la figura:

AsAs ==^22 (( 11 ,, 2929 ) =) =^22 ,, 5858 cmcm^22

AAss == 11 (( 11 ,, 2929 ) =) = 11 ,, 2929 cmcm^22

dd == 1515

√√ 33 −− 44 ≈≈ 2121 ,, 9898 cmcm

dd ^ == 88 cmcm

bb == 3030 cmcm

Por semejanza:Por semejanza: xx aa

== bb 1515

√√ 33

⇒⇒ xx == abab 1515

√√ 33

cmcm

Area de compresionArea de compresion

AreaArea == xx^ ∗∗aa 22

== aa

(^22) bb 3030

√√ 33

cmcm^22

Ademas se sabe queAdemas se sabe que aa == ββ 11 cc ParaPara ff cc == (^200200) cmcmkgkg 22 →→ ββ 11 == 00 ,, 8585 ⇒⇒ aa == 00 ,, 8585 cc

Por equilibrio entre tension y compresionPor equilibrio entre tension y compresion

AsAs.. ffyy = (= ( 00 ,, 8585 ff cc)) aa

(^22) bb 3030

√√ 33

++ AAss.. ffyy

Donde;Donde; εε ss == 00 ,, 003003 ∗∗

cc−−dd 

cc

22 ,, 5858 ∗∗ 42004200 == ((^00 ,,^8585 ∗∗^200200 )()(^00 ,,^8585 cc))

++ 11 ,, 2929 ∗∗[[ 20390002039000 ∗∗ 00 ,, 003003 ∗∗

cc −−dd 

cc

]]

7070 ,, 91309130 cc^33 −− 29452945 ,, 0707 cc −− 6312763127 ,, 4444 == 00

⇒⇒ cc ==^1111 ,, 050050 cmcm

aa (^) == 00 ,, 8585 cc (^) == 00 ,, 8585 (( 1111 ,, 050050 ))

⇒⇒ aa == 99 ,, 3939 cmcm

Recalculamos la deformación unitaria verdadera del acero enRecalculamos la deformación unitaria verdadera del acero en compresión:compresión:

εε ss == 00 ,, 003003 ∗∗

cc −−dd 

cc

⇒⇒ εε^ ss == 00 ,, 000828000828

ff ss == EEss ∗∗εε ss = (= ( 20390002039000 )()( 00 ,, 000828000828 ))

ff ss == 16881688 ,, 40274027 kgkg

cmcm^22

Como podemos verComo podemos ver ff ss << ffyy

AAss 22 ==

AAss.. ff ss

ffyy

==

⇒⇒ AAss 22 == 00 ,, 51865186 cmcm^22

AAss 11 == AAss −− AAss 22 == 22 ,, 5858 −− 00 ,, 51865186

⇒⇒ AAss 11 == 22 ,, 06140614 cmcm^22

Determinación del momento resistente nominalDeterminación del momento resistente nominal

MMnn 11 == AAss 11 .. ffyy((dd −− yy¯¯))

pero ¯pero ¯yy == 2233 aa

MMnn 11 = (= ( 22 ,, 06140614 )()( 42004200 )(()(( 1515

33 ((^99 ,,^3939 ))))

MMnn 11 == 136108136108 ,, 47184718 kgkg −−cmcm ≈≈ MMnn 11 == 13611361 kgkg −−mm

MMnn 22 == AAss 22 .. ffyy((dd −−dd ))

MMnn 22 = (= ( 00 ,, 0518605186 )()( 42004200 )(()(( 1515

MMnn 22 == 3045130451 ,, 77757775 kgkg −−cmcm ≈≈ MMnn 11 == 305305 kgkg −−mm

Por lo tanto la resistencia de la sección a la flexión sera igual a los dos efectosPor lo tanto la resistencia de la sección a la flexión sera igual a los dos efectos

MMnn == MMnn 11 ++ MMnn 22

MMnn == 13611361 ++ 305305

MMnn == 16661666 kgkg −−mm

Y el momento ultimo al que puede estar sometido la sección a la flexión es:Y el momento ultimo al que puede estar sometido la sección a la flexión es:

MMuu ≤≤ φφ MMnn

Para obtenerPara obtener φφ , necesitamos saber, necesitamos saber εεtt

εεtt

dd −−cc ==^

cc ⇒⇒^ εεtt^ ==^00 ,,^003003 ∗∗

dd −−cc

cc

εεtt == 00 ,, 003003 ∗∗

→→ εεtt == 00 ,, 002967002967

comocomo εεtt >> εεyy == 00 ,, 0021 0021 EL ACERO EN COMPRESIÓN FLUYEEL ACERO EN COMPRESIÓN FLUYE

Dado queDado que εεtt >> εεyy ⇒⇒ φφ == 00 ,, 9090

MMuu ≤≤ 00 ,, 9090 (( 16661666 ))

⇒⇒ MMuu == 15001500 kgkg −−mm

Para el segundo caso se hace de la misma manera.Para el segundo caso se hace de la misma manera.

⇒⇒ EL ACERO EN COMPRESION NO FLUYEEL ACERO EN COMPRESION NO FLUYE Hallando la cuantía de acero:Hallando la cuantía de acero:

Cuantía del acero en compresiónCuantía del acero en compresión

ρρcc == AA

ss ∗∗ 100100 ππ dd 44 22 ⇒⇒ ρρcc == 33 ,, 09 09%%

Cuantía del acero en tensionCuantía del acero en tension (^) ρρ tt ==^

AsAs ∗∗ 100100 ππ dd 44 22 ⇒⇒ ρρtt == 33 ,, 09 09%%

Indice de refuerzosIndice de refuerzos

ww ==^ ρρtt ∗∗^

ff yy 100100 ∗∗ ff cc ⇒⇒ ww == 00 ,, 628628

Cuantía básica o balanceadaCuantía básica o balanceada

ρρbb == 00 ,, 8585 ..

ff cc ∗∗ββ 11 ff yy ((^

61176117 ++ ff yy^ ))

⇒⇒ ρρbb == 00 ,, 021021

El refuerzo máximo para que la sección trabaje ductilmente es:El refuerzo máximo para que la sección trabaje ductilmente es:

ρρm´m´axax = (= ( 00 ,, 7575 ρρbb ++ ((

ρρcc ff yy

100100 ff yy

)))) ∗∗ 100100

⇒⇒ ρρm´m´axax == 44 ,, 59 59%%

Dado queDado que ρρm´m´axax ≥≥ ρρtt EL ACERO TRABAJA DUCTILMENTEEL ACERO TRABAJA DUCTILMENTE PRIMER EFECTO:PRIMER EFECTO: Acero en tension equilibrado por el concreto.Acero en tension equilibrado por el concreto.

Área del concreto en compresiónÁrea del concreto en compresión

AAcc == ππ

aa^22 22 →→^ AAcc^ ==^11 ,,^13491349 cc

22

Fuerza de compresión delFuerza de compresión del concretoconcreto CcCc == 00 ,, 8585 ff cc ∗∗ AAcc

CcCc == 00 ,, 8585 ∗∗ 200200 ∗∗ 11 ,, 13491349 cc^22

⇒⇒ CcCc == 192192 ,, 93319331 cc^22

TTss == AAstst ∗∗ ff ^ yy ⇒⇒ TTss == 00 kgkg

Resistencia nominalResistencia nominal

MMnn 11 == AAstst .. ff yy((dd −− yy¯¯))

yy ¯¯ == 44 aa 33 ππ ⇒⇒ (^) MMnn (^11) == 00 kgkg −−mm

SEGUNDO EFECTO:SEGUNDO EFECTO: Acero en tension equilibrado por el acero en compresiónAcero en tension equilibrado por el acero en compresión

MMnn 22 == AAss 22 .. ffyy((dd −−dd )) ⇒⇒ MMnn 22 == 12321232 kgkg −−mm

Por lo tanto la resistencia de la seccion a la flexion sera:Por lo tanto la resistencia de la seccion a la flexion sera:

MMnn^ == MMnn (^11) ++ MMnn 22

MMnn == 00 ++ 12321232 ⇒⇒ MMnn == 12321232 kgkg −−mm

Y el momento ultimo al que puede estar sometido la sección es:Y el momento ultimo al que puede estar sometido la sección es:

MMuu ≤≤ φφ MMnn

MMuu == 00 ,, 99 ∗∗ 12321232 kgkg..mm ⇒⇒ (^) MMuu == (^11091109) kgkg..mm

Por semejanza:Por semejanza:

εε ss

cc −−dd ^ ==^

cc ⇒⇒^ εε^

ss == 00 ,, 003003 ∗∗

ββ 11 ..dd 

aa

⇒⇒ 00 ,, 8585 ff ccbaba ++ EEss ∗∗ 00 ,, 003003 ∗∗

ββ 11 ..dd 

aa

AAss == AsAs.. ffyy

UsandoUsando EE (^) ss == 20000002000000 kgkg//cmcm^22

00 ,, 8585 (( 300300 )()( 2020 ))aa ++ 60006000 ∗∗

11 −− 00 ,,^836836 ∗∗^44

aa

51005100 aa^22

5598055980 aa

aa == −− 22 ,, 489489 cmyacmya == 1313 ,, 46574657 cmcm

∴∴ aa == 1313 ,, 46574657 cmcm

Hallamos:Hallamos: εε^ ss

εε ss == 00 ,, 003003 ∗∗

11 −− 00 ,,^836836 ∗∗^44

⇒⇒ εε ss == 00 ,, 002255002255

Dado queDado que εε ss >> εεyy ENTONCES EL ACERO EN COMPRESIÓN FLUYEENTONCES EL ACERO EN COMPRESIÓN FLUYE

ElEl titioo dede fafallllaa ququee prpresesenentatarara elel elelememenentoto dedepependndee dede lala dedefoformrmacacióiónn ununititarariaia nenetata dedell rerefufuererzozo exextrtrememaa en tracción (en tracción (εεyy).Luego al hallar la distancia al eje neutro).Luego al hallar la distancia al eje neutro cc y utilizando las relaciones de compatibili-y utilizando las relaciones de compatibili-

dad de deformaciones, se tiene:dad de deformaciones, se tiene: cc ==

aa ββ 11 ==^

⇒⇒ cc == 1616 ,, 10731073 cmcm

εεtt == 00 ,, 003003 ∗∗

ddtt −−cc

cc

⇒⇒ εεtt == 00 ,, 002587002587

con lo que se afirma que la sección en tracción corresponde a la zona de transición en donde 0con lo que se afirma que la sección en tracción corresponde a la zona de transición en donde 0 ,, 002002 == εεyy << εεtt << 00 ,,005 El esfuerzo del acero se determina con:005 El esfuerzo del acero se determina con:

ff ss == EEss ∗∗εε ss = (= ( 20000002000000 )) 00 ,, 002255002255

⇒⇒ ff ss == 45104510 kgkg//cmcm 22

AAss 22 ==

AAss.. ff ss

ffyy^ ==

⇒⇒ AAss 22 == 99 ,, 14881488 cmcm^22

PRIMER EFECTO:PRIMER EFECTO: Acero en tension equilibrado por el concreto.Acero en tension equilibrado por el concreto.

MMnn 11 = (= (^ AAss −−^ AAss 22 ))^ ffyy((dd −−^

aa 22

))

MMnn 11 = (= ( 2525 ,, 55 −− 99 ,, 14881488 )) 42004200 (( 2727 ,, 55 −− 1313 ,,^46574657 22

))

MMnn (^11) == 14261841426184 ,, 8686 kgkg −−cmcm ⇒⇒^ MMnn (^11) == 1426214262 kgkg −−mm

SEGUNDO EFECTO:SEGUNDO EFECTO: Acero en tension equilibrado por el acero en compresión.Acero en tension equilibrado por el acero en compresión.

MMnn 22 == AAss 22 .. ffyy((dd −−dd ))

MMnn 22 = (= ( 99 ,, 14881488 )()( 42004200 )()( 2727 ,, 55 −− 44 ))

MMnn 22 == 902990902990 ,, 6161 kgkg −−cmcm ⇒⇒ MMnn 11 == 90309030 kgkg −−mm

Por lo tanto la resistencia de la sección a la flexión sera igual a la suma de los dos efectosPor lo tanto la resistencia de la sección a la flexión sera igual a la suma de los dos efectos

MMnn == MMnn 11 ++ MMnn 22

MM nn (^) ==

++

MMnn ==^2329223292 kgkg −−mm

Y el momento ultimo al que puede estar sometida la sección es:Y el momento ultimo al que puede estar sometida la sección es:

MMuu ≤≤ φφ MMnn

Donde elDonde el φφ == 00 ,, 6565 ++ 00 ,, 2525 ((εεtt^ −−εεyy)) 00 ,, 005005 −−εεyy

Dado queDado que εεyy <<^ εεtt <<^00 ,, 005005

φφ (^) == 00 ,, 6565 ++ 00 ,, 2525 ((^00 ,,^002587002587 −−^00 ,,^002002 )) 00 ,, 005005 −− 00 ,, 002002

⇒⇒

φφ == 00 ,, 7070

MMuu ≤≤ 00 ,, 7070 (( 2329223292 ))

⇒⇒ MMuu == 1628016280 kgkg −−mm