Guía razonamiento cuantitativo, Guías, Proyectos, Investigaciones de Razonamiento

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Jaime Andrés Castaño & Celimo Alexander Peña

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS | ÁREA DE MATEMÁTICA 2022B

Notas de Campo

Científico Natural I

RAZONAMIENTO CUANTITATIVO

CONTENIDO

GUÍA 1. Conjuntos y elementos

GUÍA 2. Operaciones y conjuntos

GUÍA 3. Conjuntos de números naturales y enteros.

GUÍA 4. Conjunto de números racionales y reales

GUÍA 5. Cálculo con números reales

GUÍA 6. Porcentaje

GUÍA 7. Exponentes enteros y raíz cuadrada

GUÍA 8. Elementos de álgebra

GUÍA 9. Ecuaciones lineales

GUÍA 10. Ecuaciones cuadráticas

GUÍA 11. Relación de orden

GUÍA 12. Relaciones y funciones

GUÍA 13. Función lineal

Al estudiante

Las situaciones, acciones o eventos naturales de cualquier persona, requiere uso natural de

la matemática. Quizá, no te das cuenta que la empleas cuando vas de compras, remodelas

tu casa, cuentas elementos en un conjunto y así, un sin número de actividades diarias, que

dan cuenta que del uso de la matemática no lo puedes evitar.

Potenciar tu capacidad de pensamiento y competencias en matemáticas, te permite gozar

de habilidades que posibilitan la mejor solución de un problema, a partir del razonamiento,

organización, uso de algoritmos, así como de diversos procesos y herramientas que desde

el curso de razonamiento se te brindan.

La estigmatización de la matemática ha provocado un rechazo a su estudio, pero es

inevitable hacer uso de ella, cada vez más, vinculada a procesos de selección de personal

a partir de pruebas de competencias matemáticas, lectura de datos vinculados a facturación,

créditos, análisis de la solución de problemas, entre otros. Es así, que te invitamos a leer y

estudiar el curso con la mejor actitud para así, lograr ver cosas que quizá, desde la

temporada escolar de la secundaria, no lograbas ver.

Estudiar elementos mínimos de matemática, te hará como estudiante, un ser más

competente y reflexivo, analítico, con ideas para abordar y resolver problemas que, desde

tu práctica diaria, se te presentan.

Finalmente, el éxito del curso dependerá de tu trabajo autónomo, trabajo grupal

responsable, uso de los recursos tecnológicos informativos y recurso humano que brinda la

universidad para tu proceso formativo, como el caso de las monitorias o atención a

estudiante.

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MARCO CONCEPTUAL Y PRÁCTICO

Naturalmente el ser humano en su necesidad de organizar información, debe emplear

conjuntos, colecciones, agrupaciones, grupos de objetos y así, poder obtener información más

precisa y con restricciones o caracterizaciones para lograr una mejor compresión de la

situación. Es decir,

“Resolver un problema, implica extraer la información ya sea cualitativa o cuantitativa y proceder a

organizarla en el formato que sea necesario y si la ruta de solución lo requiere, identificar los tipos de

conjuntos a los cuales hace parte dichos datos”

Los siguientes conceptos, ejemplos y problemas, buscan que el lector comprenda y emplee la

noción y operaciones entre conjuntos, en la solución de problemas; así como, lograr identificar

el impacto de estos conceptos en problemas que se presentan en su vida cotidiana.

Conjunto y elemento.

Un conjunto tiene elementos y los elementos definen los conjuntos.

Los objetos en matemática tienen la particularidad de ser nombrados empleando los signos

del lenguaje natural. El nombrar un objeto matemático significa identificar dicho objeto a través

de nuestro lenguaje natural, así como los seres humanos tienen un nombre que los identifica.

Los conjuntos se nombrarán para así identificarlos y diferenciarlos; así como también, sus

elementos, serán nombrados cuando sea necesario según el problema.

Notación 1. La notación será útil en la compresión de la literatura a lo largo del curso.

1. Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas.
2. Los elementos se nombran con letra minúsculas.

Ejemplo 1. El conjunto de los productos de un supermercado se

puede nombrar con la letra 𝑆 y cualquiera de los elementos del

conjunto 𝑆 se puede nombrar con la letra 𝑝, donde 𝑝 denota

cualquier elemento del conjunto, es decir, 𝑝 es cualquier producto

del supermercado.

Ejemplo 2. El conjunto de todas las redes sociales se puede

nombrar con la letra 𝑊, sus elementos, las redes sociales, pueden

identificarse con la letra 𝑟.

Observa que los nombres o letras empleadas, son arbitrarias y no tienen que guardar relación

con la naturaleza de los elementos del conjunto o con el conjunto mismo.

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Ejercicio 1. Nombre el conjunto cuyos elementos son las letras comunes a las palabras

Colombia y Universidad.

 Solución:

Nombrar los conjuntos es una tarea relativamente rápida. Todo se reduce a invocar una letra

mayúscula para resolver el problema. Otro problema a resolver, consiste en referirse a los

conjuntos. Hay dos forman comunes para hacerlo.

Conjuntos por extensión

Hace referencia a la manera como te puedes referir hacia un conjunto, expresando sus

elementos de forma explícita, relacionándolos y separados estos, por el signo de coma.

Observación 1. Cuando se escribe un conjunto, se emplea las llaves izquierda { y derecha }.

Además, cada vez que se abre una llave se debe cerrar.

Ejemplo 3. El conjunto de los números positivos menores de 7 se escribe por extensión:

Ejercicio 2. Escribe por extensión los siguientes conjuntos:

1. El conjunto cuyos elementos son letras comunes a las palabras Casa, Amores, Sarcasmo.

 Solución:

2. Escribe por extensión el conjunto cuyos elementos tienen relación

con los mostrados en la siguiente imagen.

 Solución:

Para introducir la otra forma de notación, revisa el siguiente ejercicio.

Ejercicio 3. Escribe, si es posible por extensión, el nombre de cada uno de los estudiantes de

ingeniería matriculados en la ciudad de Santiago de Cali. ¿A qué conclusión llegas respecto la

solución a este problema?

Conjunto por compresión

Hace referencia a la manera como te puedes referir hacia un conjunto, expresando sus

elementos a través de una o varias características que satisfacen los elementos.

Ahora si estarás en condiciones de describir por compresión el último ejercicio propuesto.

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5. Observa la siguiente imagen, respecto lo que

podrías encontrar en un supermercado:

a) ¿Cuántos productos hay?

b) ¿Es lo mismo el número de unidades que el

número de productos?

c) ¿Cuántas categorías se podría encontrar en

esta góndola?

Conjunto vacío

Es el conjunto que no tiene elementos. Su cardinal es cero y se simboliza

como ∅.

Ejemplo 7. El conjunto 𝐶 de mundiales de fútbol que ha ganado la

selección Colombia es un conjunto vacío. En otros términos, 𝐶 = ∅ y

Ejercicio 6. Lee cuidadosamente el siguiente conjunto e identifica su cardinal.

𝐻 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑒𝑟í𝑎 𝑐𝑜𝑛 15 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠}

 Solución

Conjuntos iguales

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Si dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales,

se escribe 𝐴 = 𝐵.

Ejemplo 8.

Los conjuntos 𝑀 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜} y 𝑁 = {𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜} son iguales. Es decir,

aunque estén escritos de forma distinta tienen los mismos elementos.

Ejercicio 7. Responde y justifica

1. ¿Se puede afirmar que 2 = { 2 }?

 Solución

2. ¿Son iguales los conjuntos 𝑀 = { 1 , 4 , 5 } y 𝑁 = { 1 , 2 , 4 , 5 }?

 Solución

3. ¿Son iguales los conjuntos 𝑋 =

con 𝑌 =

 Solución

4. ¿Son iguales los conjuntos 𝑇 = {𝑎, {𝑎}, 𝑏, {𝑐}, 𝑐} con 𝑊 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑎}?

 Solución

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Diagramas de Venn

Son formas geométricas empleadas para representar

conjuntos y los elementos que hacen parte de estos,

además de las operaciones que se pueden efectuar.

Pueden ser círculos o cualquier tipo de polígono o curva

cerrada que permita identificar los elementos de un

conjunto y visualizar sus propiedades.

Generalmente, se identifica el conjunto más grande en contexto, que será llamado conjunto

universal. Debe ser claro que un mismo problema puede tener asociados varios conjuntos

universales dependiendo de las necesidades del problema.

Ejemplo 9. El estudio de casos positivos para Covid-19, se puede considerar el conjunto

universal como la población del Valle del Cauca. Así mismo, para intereses más generales, se

puede cambiar el conjunto universal a Colombia. Para datos más globales, se considera el

universo como la población mundial para considerar los casos positivos a nivel global.

Ejemplo 10. El diagrama de Venn que representa el conjunto 𝑋

cuyos elementos son los derechos de cada uno de los

colombianos se presenta en la siguiente figura. El conjunto

universal se considera como la constitución política colombiana.

Ejemplo 11. El siguiente diagrama, muestra las iniciales de los

nombres de los integrantes de un grupo de trabajo de una

empresa de alto riesgo, en donde:

Alejandro(a), Benjamín(b), Carolina(c), Daniel(d), Ernesto(e),

Federico(f), Gloria(g), Héctor(h), Inés(i), Julia(j), Kevin(k),

Lucia(l), Mónica(m), Nora(n), Oscar(o), Pablo(p), Roberto(r),

Sara(s), Tomas(t), Ulises(u), Viviana(v), William(w).

En la figura se presentan mediante un diagrama de Venn,

agrupando los integrantes según su tipo de sangre y RH.

Ejercicio 8. Considera el conjunto universal 𝑈 =

𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 𝑦 20

Registra y organiza a través de un diagrama de Venn, el conjunto 𝑇 de los números naturales

pares entre el 10 y 18 , sin olvidar el universo 𝑈.

 Solución

Relación de pertenencia

El signo de la relación de pertenencia es ∈. Se emplea para indicar si un elemento hace parte

de un conjunto. En caso contrario se emplea el signo ∉, para expresar que el elemento no hace

parte del conjunto.

Ejercicio 10. Considera la situación de basuras y residuos a nivel mundial. Se puede identificar

dos conjuntos dentro del universo de los residuos, es decir, se puede clasificar en dos

conjuntos específicos de residuos. Responde:

a) Analiza cuál sería el par de conjuntos de residuos a identificar y

nombra cada uno de ellos.

b) Exhibe a través de la inclusión, la relación que existe entre cada

conjunto obtenido y el conjunto de todos los residuos sólidos.

Ejercicio 11.

1. Dado el conjunto 𝑋 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑑 𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑎 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑛𝑑𝑖𝑎𝑙}. Obtenga:

a) Un subconjunto unitario.

 Solución

b) Un subconjunto con tres elementos.

 Solución

c) Un subconjunto de cardinal 4 , cuyos elementos son las redes más populares en Colombia.

 Solución

Partes de un conjunto.

El conjunto partes de un conjunto, se obtiene cuando obtienes todos los subconjuntos posibles

del conjunto dado. Es decir, subconjuntos con todos los cardinales posibles.

Para consolidar esta idea, resuelve el siguiente ejercicio, lee y analiza la información dada para

dar solución al problema.

Ejercicio 12.

Lee con atención.

A) Considera en una papelería: Un lápiz, [𝑙], un borrador [𝑏] y un sacapuntas [𝑠]. El

conjunto 𝐴 = {𝑙, 𝑏, 𝑠}. Para pensar en las diversas formas de comprar estos elementos,

puedes formar subconjuntos del conjunto 𝐴, tomando elementos y agregarlos a otro

conjunto, por ejemplo, al tomar el elemento 𝑙 se obtiene un conjunto con este elemento,

es decir, {𝑙} ⊆ 𝐴 que puede corresponder a la compra de un lápiz. Puedes hacer lo

mismo con uno o más elementos. Ahora, obtén todos los posibles subconjuntos del

conjunto 𝐴. Describe cada uno de ellos.

B) Si tomas todos estos subconjuntos y los agregas a otro conjunto, obtienes lo que se

conoce como partes del conjunto. En este caso, obtienes 𝑃(𝐴), denominado el conjunto

partes de 𝑨.

 Responde respecto a lo realizado anteriormente:

a) ¿Cuántos elementos tiene este conjunto 𝑃(𝐴) anterior?

b) ¿Qué relación tiene el cardinal de 𝑃(𝐴) con el cardinal del conjunto 𝐴?

Cardinal de partes de un conjunto

El número de subconjuntos que se puede obtener de un conjunto con 𝑛 elementos se calcula

a través de la siguiente multiplicación, suponiendo que 𝐴 es un conjunto de cardinalidad 𝑛:

𝐶𝑎𝑟(𝐴) = 2 ⏟ × 2 × 2 × ⋯ × 2

𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

Ejercicio 13. Con base en lo anterior, responde:

a) Si un conjunto 𝐵 tiene cardinal 5 , ¿cuántos subconjuntos tiene el conjunto 𝑃(𝐵)?

 Solución

b) Si un conjunto 𝑋 tiene cardinal 1 , ¿cuántos subconjuntos tiene el conjunto 𝑃(𝑋)?

 Solución

c) Entre más grande sea el cardinal de un conjunto, ¿qué puedes decir sobre el número de

subconjuntos de este conjunto? Es decir, ¿cuál es su tendencia?

 Solución

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

Trabajo independiente y en espacio de monitoria

1. Determine el cardinal de los siguientes conjuntos:

a) ∅

b) {∅}

c) {∅,

d) {∗}

e)

f) { 1 , { 2 }, { 2 , 3 }, 4 , {{ 1 }, 9 , 7 }}

2. Escriba por extensión el conjunto cuyos elementos son el número máximo de caracteres

de un Tweet.

b) ¿Cómo puedes escribir el conjunto de muestras a partir del conjunto de colores?

c) Si el dueño lo llama a último momento y le dice que olvide el amarillo que solo considere

los otros cuatro colores. ¿Cuántas muestras quedaría?

d) Exhiba el conjunto de muestras que termino llevando el diseñador.

e) ¿Cuáles serían las repuestas c) y d) si el dueño en lugar de quitar el amarillo pide

considerar adicional el color violeta?

10. Observa los números organizados con un patrón en la siguiente tabla. Escribe el número

que hace falta donde está la variable 𝑋.

11. Una estilista organiza sus turnos de la semana teniendo en cuenta ciertos momentos de

descanso, hora de almuerzo y actividades familiares. Según las citas ya programadas para

esta semana, se tiene los siguientes turnos [zonas con color]

Hora Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

Según la información que se puede extraer de la tabla, se puede afirmar que:

a) El jueves tiene 6 horas disponibles para asignar citas.

b) El miércoles tienes menos horas de descanso que el día martes.

c) Para esta semana se va a ocupar más en horas de la mañana.

d) El día que más trabaja son los días viernes.

12. El área de un rectángulo se calcula como el producto de las longitudes del largo y del ancho.

Una zona cercana a un parque tiene forma rectangular de largo con longitud 16 𝑚𝑡𝑠 y ancho

de 9 𝑚𝑡𝑠. Se requiere restructurar la zona de tal forma que sea cuadrada, pero conservando

el área encerrada. En este caso, se debe:

a) Disminuir la base en 5 𝑚𝑡𝑠 y aumentar el ancho en 2 𝑚𝑡𝑠.

b) Disminuir la base en 4 𝑚𝑡𝑠 y aumentar la altura en 3 𝑚𝑡𝑠.

c) Aumentar el largo en 2 𝑚𝑡𝑠 y disminuir al ancho en 1 𝑚𝑡.

d) Aumentar el ancho en 6 𝑚𝑡𝑠 y disminuir el largo en 1 𝑚𝑡.

13. En una carreta de atletismo de 800 metros de unas olimpiadas, participan 8 atletas. Estime

el número de formas posibles como pueden llegar a la meta los 8 atletas, suponiendo que

ninguno de ellos tenga algún percance durante la carreta.

14. Un reloj marca las 12 : 07 𝑃𝑀. Una persona indica que se atrasó 20 minutos en llegar a su

punto de encuentro cuando mira la hora. Según lo anterior, la persona debía estar en su

sitio de encuentro a las:

a) 11 : 27 𝑃𝑀

b) 11 : 43 𝐴𝑀

c) 11 : 47 𝐴𝑀

d) 12 : 27 𝑃𝑀

15. En el conjunto de todos los polígonos, se encuentran los hexágonos. Estos tienen seis

lados. Una diagonal en un polígono, es un segmento que une dos vértices no consecutivos.

Con base en lo anterior, el número de diagonales de un hexágono es:

a) 6

b) 8

c) 9

d) 10

Signos claves de la guía.

 Relación de pertenencia ∈

 Relación de no pertenencia ∉

 Cardinal del conjunto 𝐶𝑎𝑟(𝐴)

 Relación de inclusión ⊆

 Relación de inclusión propia ⊂

 Relación de no inclusión ⊈

 Conjunto vacío, ∅

 Partes del conjunto 𝐴. 𝑃(𝐴)

Conceptos claves de la guía.

 Conjunto

 Conjunto por compresión

 Conjunto por extensión

 Conjunto vacío

 Conjunto unitario

 Conjuntos iguales

 Cardinal de un conjunto

 Cardinal de partes de un conjunto

 Conjunto partes de un conjunto

 Conjunto universal

 Elemento

 Relación de pertenencia

 Relación de inclusión

 Proposición

 Subconjunto

 Subconjunto propio

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2. Si se consideran los conjuntos 𝐴 = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } y el conjunto 𝐵 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟},

¿se puede afirmar que los conjuntos son iguales?

3. Observa las figuras y responde, organizando en un conjunto la información de la respuesta.

a) ¿Cuáles figuras son rojas?

b) ¿Cuáles figuras cumplen la propiedad de ser azules y cuadriláteros?

c) ¿Cuáles figuras satisfacen que son azules o rojos?

d) ¿Cuáles figuras son rojas que no son de otro color?

e) ¿Cuáles figuras son tales que tienen más de cuatro lados y son marrón?

f) ¿Qué figuras no son rojos o azules?

g) ¿Qué figuras no son rojos y azules?

4. Observa el siguiente diagrama de Venn. Relaciona cada zona referenciada con un número,

de acuerdo al enunciado en la tabla, que describe un conjunto de elementos particular.

Clave Zona

Sus elementos son comunes a los tres conjuntos

Sus elementos hacen parte de 𝐴 y de 𝐵 y no de 𝐶

Sus elementos son exclusivos de 𝐵

Sus elementos son comunes de 𝐵 y 𝐴.

Sus elementos no hacen parte de 𝐴, 𝐵 y 𝐶.

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MARCO CONCEPTUAL Y PRÁCTICO

Iniciamos con un ejemplo que permitirá resolver algunos problemas. Las operaciones que

sueles emplear al combinar conjuntos son la unión, intersección, diferencia y complemento. El

siguiente ejercicio, busca que cada uno logre identificar el tipo de operación a realizar a futuro.

Ejercicio 1. Responde las preguntas considerando los conjuntos siguientes.

a) Determine el conjunto cuyos elementos están en el conjunto 𝐴 o en el conjunto 𝐵.

 Solución

b) Determine el conjunto cuyos elementos están en el conjunto 𝐴 y están 𝐵.

 Solución

c) Determine el conjunto cuyos elementos son aquellos que están en 𝐴 pero no en el universo.

Solución

d) Determine el conjunto cuyos elementos están en el universo y que no están en 𝐵.

 Solución

e) Determine el conjunto cuyos elementos están en el conjunto 𝐴 que no están en 𝐵.

 Solución

f) Determine el conjunto cuyos elementos están en el conjunto 𝐵 que no están en 𝐴.

 Solución

g) Determine el conjunto cuyos elementos están en el universo, pero no están en algunos de

los dos conjuntos.

 Solución

h) Determine el conjunto cuyos elementos están en el conjunto 𝐴.

 Solución

i) Determine el conjunto cuyos elementos están solo

en el conjunto 𝐴.

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Intersección de conjuntos. Si 𝑀 y 𝑁 son conjuntos,

entonces se pueden intersectar ambos conjuntos para

obtener un nuevo conjunto, llamado la intersección de 𝑀

con 𝑁 y se escribe 𝑀 ∩ 𝑁. Los elementos del conjunto

intersección son aquellos comunes de los dos conjuntos. La

intersección se puede generalizar a tres o más conjuntos.

Ejemplo 2. Dados los conjuntos, interprete el resultado de 𝑃 ∩ 𝑉.

𝑉 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑣𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜}

Solución. Cada conjunto tiene personas, en el caso de 𝑃, los que tienen vivienda propia y los

de 𝑉, aquellos que tienen vehículo. El conjunto 𝑃 ∩ 𝑉, tiene como elementos, ciudadanos que

tienen tanto vivienda como vehículo propio, lo cual se podría ver reflejado en la base de datos

de algún departamento de cobranzas de la ciudad.

Ejercicio 3. Considere los conjuntos

𝑇 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 ℎ𝑢𝑚𝑖𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑦 𝑎𝑚𝑜𝑟}

Escriba por extensión el conjunto intersección 𝑇 ∩ 𝐿.

 Solución

Observación 1. Cuando dos conjuntos tienen intersección vacía, es decir, su intersección es

el conjunto vacío, se dice que los conjuntos son disjuntos.

Ejemplo 3. Los conjuntos 𝑇 = { 1 , 2 , 3 } y 𝑊 = { 4 , 5 , 6 } son disjuntos, pues 𝑇 ∩ 𝑊 = ∅.

Diferencia de conjuntos. Si 𝑀 y 𝑁 son conjuntos, entonces se pueden realizar la diferencia

entre 𝑀 y 𝑁, escribiendo 𝑀 − 𝑁 y cuyos elementos son aquellos que hacen parte del conjunto

𝑀 que no pertenecen al conjunto 𝑁. Análogamente, la diferencia 𝑁 − 𝑀 tiene como elementos,

aquellos que hacen parte del conjunto 𝑁 que no pertenecen al conjunto 𝑀.

De acuerdo a la definición de diferencia, el resultado de esta operación determina un conjunto

cuyos elementos son exclusivos de uno de los dos conjuntos, es decir, que no hace parte de

los dos conjuntos.

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Ejemplo 4. El conjunto universal 𝑈 tiene como elementos a los ciudadanos colombianos.

Considere los conjuntos; 𝑉 de deportistas de alto rendimiento que practican voleibol, y el

conjunto 𝐵 de deportista que practican ciclismo. Halle 𝑉 − 𝐵 y 𝐵 − 𝑉.

Solución. Para determinar el resultado de ambas diferencias, analiza muy bien lo siguiente:

1. El conjunto 𝑉 − 𝐵 tiene como elementos aquellos que juegan voleibol y que no practican

ciclismo , es decir, que solo practican únicamente voleibol.

𝑉 − 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ú𝑛𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑒𝑖𝑏𝑜𝑙}

2. El conjunto 𝐵 − 𝑉 tiene como elementos aquellos que practican ciclismos y que no practican

voleibol , es decir, que solo montan bicicleta.

𝐵 − 𝑉 = {𝑥: 𝑥 ú𝑛𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑏𝑖𝑐𝑖𝑐𝑙𝑒𝑡𝑎}

Es claro de los dos resultados anteriores, que puede haber deportistas que practiquen tanto

voleibol como el montar bicicleta, pero estos deportistas harán parte de la intersección.

Ejercicio 4. Si 𝑋 = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 } y 𝑌 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }, entonces (𝑋 ∩ 𝑌) − (𝑋 ∪ 𝑌 ) es:

a) 𝑋 b) { 2 , 4 , 6 } c) ∅ d) { 1 , 3 , 5 , 7 }

Complemento de un conjunto. Si 𝑀 ⊆ 𝑈, entonces el

complemento del conjunto 𝑀, denotado como 𝑀

𝑐

, es el

conjunto de todos los elementos que le hacen falta a 𝑀 para

ser igual a 𝑈.

Observación 2. Es frecuente encontrarse el complemento de 𝑀 escrito como 𝑀′.

Ejemplo 5. Dado el conjunto universal 𝑋 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑙𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎} y el

conjunto 𝑃 definido como 𝑃 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑎𝑙 𝑑í𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝐷𝐼𝐴𝑁}. Halle 𝑃

𝑐

Solución. El complemento del conjunto 𝑃, se define como aquel conjunto cuyos elementos no

están en 𝑃 y que completarían el conjunto universal 𝑋. En este caso, los morosos con la DIAN

corresponde al complemento de 𝑃, es decir, 𝑃

𝑐

𝑐