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República Bolivariana de Venezuela I.U.P. “Santiago Mariño” Maturín-Edo. Monagas Prof. Williams Marín Asignatura: Lab. Física Guía #2- Análisis y Construcción de Gráficos: Las gráficas son una de las herramientas más útiles con las que cuenta cualquier profesional para darle explicación y encontrar la solución a determinados problemas, así pues como un Electrocardiograma en Medicina, un histograma en Demografía, un gráfico circular en economía, resultan ser herramientas verdaderamente útiles como ya se ha dicho antes. Así pues una correcta construcción y entendimiento de las gráficas es necesario en cualquier área en la cual se manejen datos estadísticos y matemáticos.
Partiendo de una tabla de datos:
La mejor forma de organizar una serie de datos numéricos es por medio de una tabla, esta puede ser horizontal o vertical y puede tener la cantidad de ítems que sean necesarios para su estudio y procesamiento, un ejemplo:
En el laboratorio se realizó el estudio de un movimiento horizontal cualquiera, tras realizar marcas en el mesón a intervalos regulares de 30cm cada uno, se dejó en libertad un carro y se tomó el tiempo que este tardaba en pasar por cada una de las marcas del mesón, la mejor forma de organizar estos datos es mediante la siguiente tabla:
Se puede notar que cuando el carro se encontraba a 30cm del punto de partida habían transcurrido 1.2 segundos del experimento, cuando recorrió 60cm ya habían transcurrido 2.2s y así sucesivamente. Pero esta tabla no nos brinda toda la información necesaria para deducir por ejemplo: ¿qué tipo de movimiento realizó el carro?, entonces en estos momentos es que la construcción de la gráfica x-t de dicho movimiento se hace indispensable.
Pasos para construir una gráfica:
- Identificar las variables : existen dos tipos de variables, a) Variable independiente: es aquella que no depende de ninguna de las otras variables ni es consecuencia de ellas, en todo caso en que la variable tiempo t este presente entonces, esta será considerada la variable independiente puesto que el tiempo no se puede manipular y transcurre independientemente de las demás variables y del fenómeno en sí. La variable Independiente siempre se ubica en el eje horizontal del sistema de coordenadas. b) Variable dependiente: Es aquella cuyo valor se ve afectado por la variable independiente, por ejemplo: la distancia recorrida por un carro, depende del tiempo que el carro lleve en movimiento y de la velocidad que este posea. La variable dependiente siempre se coloca en el eje vertical del sistema de coordenadas.
x(cm) t(s) 30 1. 60 2. 90 3. 120 4. 150 5. 180 6. 210 7.
Escoger una escala adecuada para los ejes: lo único que se debe saber acerca de esto que los espacios numéricos en la escala del eje deben ser constantes, es decir, si el primer centímetro de la escala corresponde al valor 2, todos los demás centímetros deben tener el mismo valor así pues la escala será: 2, 4, 6, 8, si el primer centímetro tiene como valor 15, entonces la escala debe ser: 15, 30, 45, 60, …en el ejemplo anterior la escala del eje vertical sería: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 y del eje horizontal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Ubicar los puntos en el sistema de coordenadas: Utilizar cada fila de la tabla como un par ordenado para ubicar los puntos en el plano:
Diagrama de dispersión x-t
- Agrega una línea de Tendencia: Luego de obtener el diagrama de dispersión (puntos dispersos en el plano) se procede a agregar una línea de tendencia para que así dicho diagrama pase a ser una GRÁFICA, para esto existe dos métodos, uno
1 2 3 4 5
30
60
90
120
150
180
210 𝑥(𝑐𝑚)
𝑡(𝑠)
1 2 3 4 5
30
60
90
120
150
180
210
𝑥(𝑐𝑚)
𝑡(𝑠)
Gráfica x-t
Note que luego de agregar la línea de tendencia deja de ser un diagrama de dispersión y se transforma en una gráfica, lista para ser analizada luego de ser comparada con el comportamiento grafico de todos los posibles casos referentes al fenómeno estudiado, en este caso: Movimiento.
b) Método de los mínimos cuadrados: Es un método estadístico diseñado para encontrar la mejor recta en un diagrama de dispersión con Tendencia Lineal por esta razón no sirve para otros tipos de diagramas de dispersión (al menos no antes de linealizar el diagrama, lo cual se explica más adelante).
Todos sabemos que una gráfica lineal corresponde a una función a fin o función lineal la cual matemáticamente tiene la siguiente forma:
𝑦 = 𝑚̂. 𝑥 + 𝑏̂
Donde:
Ya las variables vienen dadas por el experimento y se ubican en la tabla, así pues si podemos encontrar los valores de m y b , entonces tendríamos la ecuación de la recta más perfecta que podríamos graficar.
Entonces ya que tanto la variable dependiente como la independiente corresponden a una serie de datos (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … ) 𝑦 (𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 , … ) entonces los valores de m y b se pueden hallar por medio de las siguientes ecuaciones:
𝑛 ∑ 𝑥𝑖^2 − (∑ 𝑥𝑖)^2
1 2 3 4 5
30
60
90
120
150
180
210 𝑥(𝑐𝑚)
𝑡(𝑠)
Recuerde que x y y cambian dependiendo del experimento y la tabla de datos, en nuestro caso, serian t, x ya que son las variables independiente y dependiente del experimento. Para facilitar los cálculos e este caso, es preferible modificar la tabla de
datos agregando los términos que nos exigen las ecuaciones:
De aquí simplemente sustituimos en las fórmulas de los mínimos cuadrados recordando que n: es el número de filas de datos que tiene la tabla original , en el ejemplo n=7:
𝑛 ∑ 𝑡𝑖^2 − (∑ 𝑡𝑖)^2
7.156𝑠^2 − (30𝑠)^2
192𝑠^2
De tal manera que nuestra ecuación de la recta queda:
𝑦 = 𝑚̂. 𝑥 + 𝑏̂ ⇒ 𝑥 = 30,19 𝑐𝑚 ⁄. 𝑡 − 9,38𝑐𝑚𝑠 Esta ecuación se puede graficar en el mismo sistema de coordenadas del diagrama de dispersión resultando así la línea de tendencia que estadísticamente más se acerca a todos los puntos del diagrama de dispersión.
x(cm) t(s) t.x(s.cm) (^) 𝑡^2 (𝑠^2 ) 30 1,2 36 1, 60 2,2 132 4, 90 3,4 306 11, 120 4,6 552 21, 150 5,4 810 29, 180 6,0 1080 36 210 7,2 1512 51, ∑ 𝑥𝑖 = 840 ∑ 𝑡𝑖 = 30 ∑ 𝑡𝑖. 𝑥𝑖 = 4428 ∑ 𝑡𝑖^2 = 156
Armónica (^) 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝑥) (^) ó cos(𝑥) Parabólica (cuadrática) 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑥^2 Hiperbólica (^) 𝑥 𝑝𝑜𝑟 1 ⁄^ 𝑥
Entonces reescribimos la tabla de datos:
Tabla ln 𝑇- t (linealizada)
ln(𝑇) t(min) 3.61 20 3.24 40 3.0 60 2.81 80 2.58 100 2.4 120 2.2 140 Haciendo el diagrama de dispersión y agregando la línea de tendencia obtenemos:
Nota: la línea de tendencia se obtiene usando el método de los mínimos cuadrados en la tabla linealizada.
GRÁFICAS DE ALGUNOS FENÓMENOS FÍSICOS:
M.R.U M.R.U.A M.R.U.R M.A.S Enfriamiento de Newton
Gráfica x-t
Gráfica v-t
Gráfica a-t
Gráfica T-t
