Funciones Funciones Algebraicas Polinomicas Racionales e Irracionales, Diapositivas de Cálculo diferencial y integral

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DOCENTE CÁTEDRA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA

TEMA:

1. La función se puede entender como una relación de pares ordenados de

valores de dos conjuntos, Dominio y Codominio, y que mediante un Diagrama

de Conjuntos se puede indicar con flechas cómo se asocian los elementos.

𝑋: 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑥 → 𝐷

𝑓 𝑥

𝑌: 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑥 → 𝐶

𝑓 𝑥

X Y

a - 2

b - 1

c 0

d 1

e 3

f 5

x y

Pares Ordenados

a b c d e f : x

𝒇 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏

𝑋

𝑌

0 1 3 5 : y

.

.

.

Pares Ordenados

𝑌: 𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝑥

3. Una función 𝐲 = 𝒇(𝒙) es una relación entre un conjunto dado 𝒙 (llamado

DOMINIO ) y otro conjunto de elementos 𝐲 = 𝑓(𝑥) (llamado CODOMINIO ) de

forma que a cada elemento 𝒙 del dominio le corresponde un único elemento 𝒚

del codominio (elementos que conforman el conjunto de valores del recorrido,

rango, imagen o ámbito de la función 𝐲 = 𝑓(𝑥) ).

a b c d e f :

𝒇 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏

𝑋

𝑌

𝑅

a b c d e f :

𝒇 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏

𝑌

𝑋

𝑅

𝑓 𝑥

: 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) 𝑅

𝑓 𝑥

: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥)

FUNCIÓN INYECTIVA

Una función 𝑓: 𝑋 → 𝑌 es INYECTIVA si a todos

los elementos del conjunto 𝑋 (dominio) les

corresponden un elemento distinto en el

conjunto 𝑌 (codominio) de 𝑓.

FUNCIÓN SOBREINYECTIVA

Una función 𝑓: 𝑋 → 𝑌 es SOBREINYECTIVA si

todos los elementos del conjunto 𝑋 (dominio)

aplican a todos los elementos del conjunto 𝑌

(codominio) de 𝑓, es decir, cada elemento del

Codominio 𝑌 le corresponde por lo menos un

elemento del Dominio 𝑋

epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva

Hay tres formas para expresar una función :

1. Mediante una expresión algebraica

2. Mediante una tabla de valores

3. Mediante una gráfica.

X Y

𝐱 → 𝐕𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐈𝐧𝐝𝐞𝐩𝐞𝐧𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐲 = 𝒇 𝒙 → 𝐕𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐃𝐞𝐩𝐞𝐧𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞

𝟐

Expresión Algebraica

Tabla de Valores

Gráfica en el Plano ℝ

• Los tipos de funciones son:

Una función 𝒇 𝒙 polinomial, son de la forma:

Donde:

• 𝒙 : Es la variable independiente
• 𝒂

0

1

2

𝒏

son coeficientes

numéricos, ídem valores constantes.

• 𝒏 : grado máximo del polinomio.

𝒇 𝒙 = 𝒂

• 𝒂

𝒙 + 𝒂

𝒙

+... +𝒂

𝒙

Son unas de las más utilizadas en la mayoría de las ingenierías, puesto que sirven para

solucionar cualquier problema. Alguna de estas funciones se pueden ver expresadas como:

algebra de polinomios; productos notables y factorización; solución de ecuaciones polinomiales,

solución de sistemas de ecuaciones, entre otras.

Es la función polinomial de grado cero, es decir la potencia máxima en la variable 𝒙 es 𝒏 = 0.

Una función 𝒇 𝒙 constante tiene la forma:

Donde:

• 𝒂

0

: es un valor constante que pertenece a los ℝ.

• 𝒙 : Es la variable independiente de la función (única variable).
• 𝒏 = 𝟎 es el grado máximo del polinomio.

0

0

0

0

Recordemos que… 𝒙

0

= 1

Es la función polinomial de grado uno, es decir la potencia máxima en la variable 𝒙 es 𝑛 = 1.

Una función 𝒇 𝒙 constante tiene la forma:

Donde:

• 𝒂

0

1

: son valores constantes que pertenece a los ℝ.

• 𝒙 : Es la variable independiente de la función (única

variable).

• 𝒏 = 𝟏 es grado del polinomio.

y = 𝒂

0

0

1

𝟏

Recordemos que… 𝒙

1

= 𝒙

Ecuación General de la Recta

A𝒙 + B𝒚 + C = 0

Ecuación Explícita

1

0

• Funciones Lineales: Toda función lineal de una variable denota una recta.

Función Identidad

0

La FUNCIÓN IDENTIDAD es una función

lineal que denota la recta que pasa por el

origen (0,0), y tiene de pendiente 𝑚 = 1.

0

La FUNCIÓN AFÍN es una función lineal que

denota una recta que corta el eje 𝑦 en el

valor 𝑏, y tiene de pendiente 𝑚 =

∆𝑥

∆𝑦

Función Afín

En una sola variable: Rectas

2

1

2

1

2

1

2

1

Ecuación Cartesiana

En una sola variable: Rectas

Ecuaciones de la

Función Lineal

de una sola

variable

(La Recta)

La función polinomial 𝒇 𝒙 de segundo grado 𝒏 = 𝟐, denotará siempre una curva parabólica,

o lo que se conoce en lugares geométricos como una PARÁBOLA.

𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝑷𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂: 𝑽

𝟐

𝟎

𝟐

𝟎

𝒑: Distancia del Vértice al Foco = Distancia del Vértice a la Directriz

𝟐

Ecuación Canónica

Ecuación General Polinomial

LR es el segmento de recta comprendido por la

parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz

𝟐