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Formulario de Teoría Electromagnética Realizado por César Limones
19
e 1.60 10 C
2
0 v^ lim^ / v
q C m v
dq
dv
2
0
lim / s s
q C m s
dq
ds
2
0
lim / l l
q C m l
dq
dl
/
dq I C s A dt
8
c 3 10 m / s
densidad de flujo eléctrico o D E
intensidad de campo magmético
o
H B
7 4 10 / o H m
1 /
o o
c m s
2
1 / o o
F m c
(^1 ) 10 / 36
o F m
ˆ
ˆ
A
A
A Aa
A A
A a
A
cos AB A B AB
2 2 C A B 2 AB cos
ˆ sin n AB A B a AB
B A A B
A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )
A ( B C ) B A C ( ) C A B ( )
A ( B C ) triple vectorial
A ( B C ) triple escalar
, 0
, 0
A B si A B
A B si A B
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ 0
ˆ ˆ (^0)
ˆ ˆ (^0)
x y z
y z x
z x y
x x
y y
z z
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (^0)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1
x y y z x z
x x y y z z
a a a a a a
a a a a a a
x x y y z z
A a A a A a A
x y z
dl dx a dy a dz a
d A dx ax dy ay dx dy az dv dx dy dz
o o o
o o
z yx
z y x
y (^) x
z y x
V dxdydz
A dx dy a
A B A Bx x A By y A Bz z
ˆ ˆ ˆ x y z
x y z
x y z
a a a
A B A A A
B B B
Coordenadas Cilíndricas
0
0 2
r
z
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
r z
z r
z r
a a a
a a a
a a a
r r z z
r z z r
a a a a a a
a a a a a a
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (^0) ar ar a (^) a az az
r z
dl a dr a rd a dz
ˆ r d A r d dz a
dv r dr d dz
r r z z
A a A a A a A
ˆ ˆ cos
ˆ ˆ sin
ˆ ˆ (^) sin
ˆ ˆ cos
ˆ ˆ (^) cos ˆ
r x
x
r y
y
x z
a a
a a
a a
a a
a a a
cos sin
sin cos
x r
y r
A A A
A A A
1
cos
sin
x r
y r
z z
y tg x
para x:
cos
sin
x r x r x z
para y:
sin
cos
y r y r y z
para z:
0
0
1
z
r
z
z
z
Coordenadas esféricas
0
0
0 2
R
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ (^) sin sin
ˆ ˆ cos
ˆ ˆ (^) sin
ˆ ˆ (^0)
ˆ ˆ ˆ cos
ˆ ˆ ˆ (^) cos
R
R
R
R y
z R
z
z
r R
z
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
a a
a a a
a a a
R R
A a A a A a A
ˆ ˆ ˆ (^) sin dl a dRR a Rd a R d
2 dv R sin dR d d
sin cos
sin sin
cos
x R
y R
z R
ˆ ˆ cos ˆ sin z R a a a
Gradiente (escalar → vector)
ˆ n
dV V grad V a dn
dV ( V ) dl
x y z
V V V
V a a a x y z
r z
V V V
V a a a r r z
sin
R
V V V
V a a a R R R
Divergencia ( φ **campo *** ∪ v)
0
lim
s
v
A ds
A div A
v
x y z A A A A x y z
1 1 ( ) z r
A (^) A A rA r r r z
^
2 2
1 1 1 ( ) ( sin ) sin sin
R
A A R A A R R R R
^
teorema de la divergencia
v s
Adv A d s
Rotacional
0 max
1 lim ˆ n s c
rot A A a A dl s
(^)
x y z
x y z
a a a
A
x y z
A A A
ˆ ˆ ˆ
1
r z
r z
a a r a
A r r z
A rA A
2
ˆ ˆ ˆ (^) sin
1
sin
( sin )
R z
R
a a R a R
A R R
A RA R A
^
ˆ ˆ ˆ
z y^ x z y x x y z
A A^ A A A A A a a a
y z z x x y
^
ˆ ˆ ˆ
z r z r r z
A A A A A A a a a A z z r r
r r r
^
^ ^
ˆ ˆ
ˆ
1 1 1 ( sin ) ( ) sin sin
1 ( )
R R
R
A A A a A a A R
A a A R
R R R
R R
2 2 2 2 2 2 2 2
sin sin sin
V V V
V R
R R R R R
( ) teorema de Stokes
s c
A d s A d l
(^) A B (^) B (^) A (^) A (^) B
( f A ) f A A f
(^) f G (^) f (^) G (^) ( f ) G
indentidades nulas
0
0
V
A
Teorema de helmholtz (div y rot en todos ⋯ )
0
0
F solenoidal
F irrotacional
Capítulo 3
0
lim / intensidad de campo eléctrico q
F E V m q
F qE N
v
o
E
Div de un E electrostático esp. Libre.
E 0 El rot. Del^ E^ electrostático es nulo.
s o
q E d s
Ley de Gauss
0
c
E dl
2
R R R o
q
E a E a V m
R
^ E q puntual
aislada en el origen.
Coord.’=puntos fuente
Coord.= puntos campo
r ' OQ vector posicióncarga
r OP vector posición puntocampo
R QP vector distancia carga y campo
R r r '
QP OP OQ
r
r r a
r r
3
P
o
q r r
E V m
r r
E q punt. en posición
arbitraria.
Et E 1 E 2 En
1 2 (^12 2 ) 2 12
o
q q F q E a N R
Ley de Coulomb
3 ^ 1
n k k
o k k
q r r E V m
r r
E de sist de q
punt.
E para distribuciones de carga
2 '
v R o v
E a dv V m
R
2 ^ '
s R o s
E a ds V m
R
2 '
l R o L
E a dl V m
R
2 '
l o L
R
E dl V m
R
ˆ (^) /
2
l r
o
E a V m r
E debido a una q recta
infinita con densidad uniforme
ˆ ˆ (^) , 0
2
s z z z o
E a E a z
E plano de q ∞
ˆ ˆ , 0
2
s z z z
o
E a E a z
E plano de q ∞
Potencial eléctrico
E V
Trabajo
b
ab
a
W q E dl J
Potencial
b ab ab a b a
W V V V E dl V q
Potencial para una q puntual
4 o
q V V
R
1
1
(^4) '
n k
ok^ k
q V V
(^) r r
Dipolo Eléctrico
P Qd Momento dipolar eléctrico
P P
2 2 2
ˆ cos cos
R
o o o
P a Qd P
V V
R R R
3
( ˆ^ cos ˆsin )
R o
p
E a a
R
^ E dipolo esf.
3
R
o
pa
E
R
^ E dipolo en cilíndricas.
V’s para distribuciones continuas
'
v R o v
V a dv V
R
'
s R o s
V a ds V
R
'
l R o L
V a dl V
R
Condiciones en la frontera para conductores
0 t E Campo tangencial
s n o
E
Dieléctricos
P Qd^ Momento dipolar eléctrico
1 2
0
lim /
n r
k
k
v
P
P C m v
^
vector de polarización
2
R
o
P a
dV dv
R
2 '
R R o v
P a
V a dv V
R
potencial de P
2 ˆ / Ps n P a C m
densidad de carga
superficial de polarización
3 / Pv P C m
densidad de carga
volumétrica de polarización
Ruptura Dieléctrica = material, máx. →conductor
Rigidez dieléctrica= máx. valor sin dañar material
'
ˆ (^) ( ) ' total n
v
Q P a d s P dv
Densidad de flujo eléctrico y constante dieléctrica
2 / o D E P C m
densidad de flujo elect.
3 / v D C m
densidad de vol. De qs libres
s
D d s Q C
ley de gauss general
e o P X E
e X susceptibilidad eléctrica, q tan factible mat→cond
2 1 / o e o r D X E E E C m
1 r e X Permitividad relativa
o r Permitividad absoluta
Condiciones en la frontera para campos electrostáticos
E 1 t E 2 t V / m Componentes tangenciales
a ˆ (^) n (^) 2 ( D 1 (^) D 2 ) s Componentes normales
2cond, cond y aisl. ↑=0 →2aisl
2 1 2
n n s
D D C m
1 t 1 1
E D
E D
Capacitancia y condensadores
1
12 2
V E dl
/
ab
Q
C F C V
V
Placas paralelas
o s C d
s=área, d=dist ÷placas
s
o
E
4
a b o
b a
r r C
r r
Capacitor Esferico
ln( ) b
a
C pF m
L r r
Capacitor cilíndrico
eq n C C
2
ln( )
L C b a
ra=r menor,rb= radio mayor, L=longitud
Capacitores en serie
1 2 3
Q Q Q
eq n C C
1 2 1 2
Q Q
V V
C C
1 2 1 2
total
V V V Q
C C
1 2 3
1 1 1 1
eq
V
C Q C C C
Capacitores en paralelo
Q 1 C V Q 1 , 2 C V 2
total 1 2 3 V V V V
total 1 2 Q Q Q
equi 1 2 3 C C C C
1
1
2
n
k k k
W Q V
^ Densidad de energía
2 1 1 2 1
Q
W CV QV
C
Para distribuciones de carga
1
e l l
W Vdl
Cápitulo 4
corriente de convección
2 J Nqu ^ A m /
densidad de corriente
I J s
s
I J ds A
2
v
J u A m
rel. ÷ dens. I de conv y vel. portador de
carga
Corriente de conducción
2 i i i^ / i
J N q u ^ A m
2
J E ^ A m /
forma puntual de la ley de ohm
R (^) S
^ R mat. Hmogen rect. secc.^ Transversal uniforme
1 S G S Siemens R
Conductancia
3 /
v J A m t
^
ecn de continuidad
J 0 La I estacionaria es solenoidal
j^0 ^
j
^ I^ A
( / ) 3
t v o
e C m
^
la dens vol de q decrece exp.
con temp
Disipacion de potencia
3 /
dP E J W m dv
^
v
P E Jdv W watts
ley de joule
2 P I R W
Ecn para densidad de corriente estacionaria
0 0
J J
(^)
forma diferencial
1 0 0 s c
J ds J d
forma integral
2 J 1 (^) n J (^) 2 n A m / ^
cond. en la front la comp normal J
1 1
2 2
t
t
J
J
cond en la front de la comp tang de J
Cápitulo 5 - Campos magnetoestaticos
v
V D E ^ ecns básicas modelo electorestatico
F (^) e qE N ^ fuerza eléctrica
F m qu B N ^ fuerza magnetica
F q E u B N
ecn de la fuerza de Lorentz
0
B 0 B J^ esp libre,rot medio no magnetico
s
B ds
no hay funtes de B
s s
B ds J s
0 c
B d I
en un medio no magnetico
Potencial magnetico vector A
B A T def parcial de pot magn vec A
A 0 cond de coulomb para la div de A
2 0 A J forma de operador ecn vect de Poisson
0 ´
4 v
J
A dv Wb m R
pot magn vec a partir de J
^
s s c
B ds A ds A d Wb
flujo
magnet Ley de Biot-Savart
0
4 c
I d A Wb m R
pot mag vec a partir I en circ cerra
0 ´^2
R c
I d a B T R
ley de biot savart a partir I circ.cerra
c ´
B d B T
0 0 2 3
R I d a I d R d B T R R
^ ^
0 2 2
IL
B d B a r L r
B alambre rect por el q circula I
Si r<<L 0 ˆ 2
I B a r
(^)
mismo caso
2 0 2 2 3/
z
Ib B a T z b
espira circular por la q circuila una I
Dipolo magnetico
2 0 3 ˆ 2cos ˆsin 4
R
Ib B a a R
espir circ peque I dipol magnet
2 0 0 2 2
( )^ ˆ ˆ sin / 4 4
I b m a R A a Wb m R R
determinacion
del pot mag vec a partir del momento dipolar magnetico Donde: ˆ 2 ˆ ˆ^2 m a Iz b a ISz a mz A m momento dip
magnet
2 ^
ˆ
4
R
o
p a V V R
potencial electrico
0 3
ˆ (^) 2cos ˆsin 4
R
m B a a T R
B debido a dipol
magnetico Dipolo electrico Dipolo magnetico
p qd
E
o
n m a IS
B
0 1/
Magnetización y densidades de corriente equivalentes
1
0
lim
n v
k k
v
m
M
v
vector de magnetización
0 2
ˆ ´ 4
M a R d A dv R
J (^) ms M a ˆ (^) n (^) A m / ^ densid superfi de^ I^ eq de magnetiz
2 J (^) mv M A m^ /
densi de I equi de vol de magneti
Intensidad de campo magnetico y permeabilidad realtiva
0
/
B H M A m
intensidad de campo magnetico
2 H J A m /
c
H d I A
ley circ de ampere para Is estacionarias
M mH donde Xm susceptibilidad magnetica[Adimensional]
Xm factible mat → magnetize 2 B 0 (1 (^) m ) H 0 r H H Wb / m ^
1 H B A / m
0
r m
^ μr^ permeabilidad relativa del medio y^ μ
permeabilidad absoluta [H/m] Diamagnetico, si μr ≲ 1 χm num neg muy pequeño Paramagnetico , si μr ≳ 1 χm num pos muy pequeño Diamagnetico , si μr ≫ 1 χm num pos grande Condiciones en la frontera para magnetostaticos
B 1 (^) n B 2 (^) n T
1 1 n 2 2 n
H H
H 1 t H 2 t Jsn A m /
Jsn esn J en la sup de sep normal contor
a ˆ (^) n (^) 2 ( H 1 H 2 ) J (^) s A m / ^ frontera comp tang de H
H 1 t H 2 t camps magntstaticos
Inductancia e inductores
LI flujo ligado
12 N 2 12 L I 12 1 Wb ^ flujo ligado N num de vueltas
12 2 12 1 2 2 1 1
s
N L B ds H I I
inductancia mutua ÷2 circu
11 1 11 1 1 1 1 1
s
N
L B ds H I I
autoinductancia
2 0 ln 2
N h b L H I a
induct bobin N spirs enrollds juntas
2 L ´ n S H / m^ induct X^ u^ de^ ℓsolenoid larg, S secc tranvers
´ 0 0 ´ ln / 8 2
b L H m I a
L X U ℓ linea transm coaxial
0 1 ´ ´ ´ ln / 4
i e
d L L L H m a
(^)
line transmi de
alambr∥
12 0 12 1
ln 1 2
h w L H I d
(^)
induc mutua ÷espira
rectag conduct y alambr recto muy largo Energia magnetica
2 2 2 1 1 21 1 2 2 2
1 1
2 2
W L I L I I L I
W almacen 2 espir acopladas
(^12) 2 2
m W LI I J^ W almacenada en una inductancia
2
´ ´
1 1
2 2
m v v
B W H Bdv dv J
2 ^
2 W (^) m L H I
Fuerzas y pares magneticos
F (^) m qu B N
d F (^) m Id B N
m
c
F I d B N
0 2 1 12 (^12 2 ) 2 1 2 12
R
c c
d d a F I I N R
Ley
fuerza de ampere ÷2 circuitos
0 1 2 12
y
I I
F a N m d
F atraccion ÷2 alambres q circ
I ’s mismo sentido, separad x d
0 1 2 12
r
I I hw F a N m d d w
espira rectang. Fluye I2 ↻
T m B N m par experimentado por un circuito
F Wm N fuerza magnetic metd desplaz virtual
m z
W T N m
par alrededor eje metd despl virtual
CAPITULO 6 – Campos variables con el tiempo y ecns de maxwell
B
E
t
postulado fundamental de la indc elecmagn
c
E d
fem inducida en el circ de contorno c
d
V
dt
^ ley de Faraday inducc electro, lenz signo
Transformadores
1 2
2 1
i N
i N
condiciones de un tranformador ideal
1 1
2 2
v N
v N
rel de voltajes tranf ideal
2
1 1 2
efec^ L
N
R R
N
Transformac de resistencias tranf ideal
2 1 1 2
efec^ L
N
Z Z
N
Transformac de imped. tranf ideal
´ (^) c
u B d V
fem cinetica
ley de faraday
´ c s c
B
E d ds u B d V t
form
gral
´ (^) s
d d B ds V dt dt
otra forma
2
0
b B t
2 0 0
B b V
^ circ abierto gen
disco Faraday Ecns de maxwell
0
v
B E t
D H J t
D
B
0
c
c s
s
s
d E d t
D H d I ds t
D ds Q
B ds
Condiciones en la frontera electromagnetica
E 1 t E 2 t V / m cond compon tang de E
a ˆ (^) n (^) 2 ( H 1 H 2 ) J (^) s A m / ^ cond com tan H
2 1 2
n n s
D D C m
cond comp normal de D
B 1 n B 2 n T cond componente normal de B
Condiciones en la frontera entre dos medios sin perdidas
1 1 1 2 2 2
t t t t
D E E D
1 1 1 2 2 2
t t t t
B H H B
1 n 2 n 1 1 n 2 2 n
D D E E
1 n 2 n 1 1 n 2 2 n B B H H
*L.ey faraday *Ley circ ampere *Ley gauus *No q mang aislada
Condiciones front ÷ med dielectrico1 y conduct perfect2 var t
E 1 (^) t 0 a^ ˆ n (^) 2 H 1 J D 1 n s 1 B (^) n 0 medio 1
E 2 (^) t 0 H 2 (^) t 0 D 2 (^) n 0 B 2 (^) n 0 medio 2
Funciones de Potencial
B A T
A E V V m t
caso variable con el tiempo
0
V A t
condicion de lorentz de los potenciales
2 2 2
A A J t
ecn de onda para el pot vector A
2 2 2
V v V t
ecn de onda para el pot escalar V
Resolución de ecuaciones de onda
1 u p
velocidad de propagacion de la onda
'
v p
v
t R u V R t dv V R
pot esc V
retardado a partir de distribucion de carga
'
p
v
J t R u
A R t dv Wb m
R
pot
vec A distr de I
Fasores
0 i t ( ) I cos( t )^ I 0 =amplitud,^ ω= frec
ang=2πf[rad/seg] F=frecuencia [Hertz]ϕ=angulo de fase con coseno
0
i t ( ) I sin( t ')^ donde^ ϕ’ =^ ϕ+π/
j t s i t e I e
( ) 0 cos( ) (^)
j t s v t V t e V e
0 0 0
j s V V e V
0
j s I I e
1 R j L I (^) s Vs C
^
Electromagnetismo con dependencia armonica en el tiempo
Ecns de maxwell con dep arm en tiempo con fasores
E j H
H J j E
v E
H 0
Ecuaciones no homogeneas de helmholtz
(^2 2) v V k V
ecn d Helmholtz para un pot escal V
2 2
p p
f k
u u
numero de
onda
2 2 A k A J ecn d Helmholtz para un pot vec A
Forma fasorial del pot escalar y vector retardado
'
jkR v v
e V R dv V R
'
jkR
v
Je
A R dv Wb m
R
2 1
R kR
El Espectro electromagnético Ecns de maxwell en medio no conductores libres de fuentes
H
E
t
E
H
t
E (^0) H 0
2 2 2 2
p
E
E
u t
ecn de onda homogenea para E
2 2 2 2
p
H
H
u t
ecn de onda homogenea para H
2 2 2 2 2
s s s s 0
p
E E E k E
u
2 2 H (^) s k Hs 0 CÁPITULO 7 – ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS
2 2 / r r p p
f k rad m u u c
1 p
dz u dt k
Ondas planas medios sin perdidas 2 2 E k E 0 ecn vec homog Helmholtz^ E^ med simp no conduct
0
r
k
^ impedancia intrinseca de un
medio
0 0 0
^ impedancia en el aire
t kz ^ constante de fase
0
( , ) ˆ cos( )
x E z t a E t kz
onda plana superf ⊥ a z
y x
H a E z
^ mismo caso^ ↑
0 ( , ) ˆ cos( ) y
E
H z t a t kz
mismo caso ↑
Campos acoplados, efecto doppler
' (1 cos )
u
f f Hz
c
^ donde:
T’-T=d, c= vel del medio, f=frec transmitida, f’=frec persibida Ondra Transversal electromagnetica (TEM)
0 ( , ) ˆ
jk xx jk zz y E x z a E e
k k
k
H a E a E
^ H partir d onda plana
unifor Polarización de ondas planas
Si 20 10 E E elipticamente polarizada
Si 20 10 E E circularmente polarizada
(^1 )
1
tan (0, )
E t t E t
angulo instantaneo
Onda polarizada circularmente de mano derecha o positiva
10 20 ( ) ˆ^ ˆ
jkz jkz x y E z a E e a jE e
10 20 (0, ) ˆ cos ˆ sin x y E t a E t a E t
Si α= - ωt sera negativa
E z t ( , ) (^) a E ˆ (^) x 10 (^) a E ˆ y 20 (^) cos t onda pola linealm
Ondas planas en medios con perdidas
H j cE
c j^ ^ F^ / m
^ perimitividad compleja med con
perdidas
(^) c ' j '' (^) F / m
'' (^) S / m
'' tan '
c
tan perdidas de med con perdi
c = angulo de perdidas
si
o^ 1
buen conductor
si buen aislante
p J E E W^ m
pot media disipada
c c k numero de onda complejo
1 jk c j (^) c j m
const de
propagacion z e
factor de atenuacion, α const de atenuacion[Np/m]
j z e
factor de fase, β const de fase[rad/m]
Dielectricos con pequeñas perdidas Constante de propagacacion de un dielectrico con perdidas 2 '' 1 '' ' 1 2 ' 8 '
j j j
^
e Np m
2 1 '' ( ) ' 1 / 8 '
m rad m
^
1/ '' '' 1 1 ' ' ' 2 '
c j j
2 1 1 '' 1 / '^8 '
u p m s
(^) ^
(^1) Np (^) 8.96 dB
Buenos conductores
j (1 j ) f
f beta const de fase, alfa de atenuacion
c (1^ )^ ^1 ^ ^ c
j f j j
impedancia intrinseca
2 up m / s
velocidad de fase
p
u
m
f f
^ longitud de onda
m f
prof de penetracion
u g m s d d
vel de grupo en medios dispersivos
Dispersion normall si ug<up, anómala si ug>up, no hay si ug=up Flujo de potencia electromagnetica y vetor de poynting
Conserv energia 2 E H W ^ / m
vector de poynting
, ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) j t j t z t E z t H z t e E z e e H z e
2 0 2
0
1 ) ( , ) ˆ cos 2
T z av z c
E z z t dt a e T
densidad de pot
media transmitida por una onda plana uni en dir z 2 ˆ^0 ) 2
av z
E z a
1 ) * 2
av z e E H
*conjugado
av av ^ , s
total P R ds
Incid normal de ondas planas sobre planos de discontinuidad
i 0 r 0 t 0
E E E
0 0 0 1 2
t i r
E
E E
2 1 0 0 2 1
r i
E E
2 0 0 2 1
2 E t Ei
(^0 2 )
0 2 1
r
i
E
E
coeficiente de reflex inci normal
0 2
0 2 1
t
i
E
E
coefi. De transmision inci normal
1 incidencia normal
max
min
1
1
E S E
razon de onda estacionaria (sin
dimensiones)
1
S
S
magnitud del coef de reflex(sin dimension)
0 1 0 S
Incidencia normal sobre un buen conductor Γ= - 1 Τ=
1 1
( ) ˆ 2 sin
x io E z a j E z
0 (^1 )
1
( ) ˆ 2 cos i y
E
H z a z
Si 2 1 ( 0)existe una 1 E minima
Si 2 1
( 0)existe una
1 E maxima
