FISICA_VOLUMEN_II_ONDAS_ELECTROMAGNETICA., Guías, Proyectos, Investigaciones de Electromagnetismo

¡Descarga FISICA_VOLUMEN_II_ONDAS_ELECTROMAGNETICA. y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Electromagnetismo solo en Docsity!

FÍSICA

VOLUMEN II

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

SOLUCIONARIO

Alonso – Finn

Por:

Prof. J.W. Flores S. V.H. Castañeda M.

DEDICATORIA

A mis queridos padres y hermanos.

W. Flores S.

A mi madre y hermanas

H. Castañeda M.

AGRADECIMIENTO

A todos los que hicieron posible esta publicación.

b) El campo magnético de la onda

La Ley de Ampere – Henry (forma diferencial)

B

E

t

i j k

xE rot E d / dx d / dy d / dz

Ex Ey Ez

dE dE dE dE dE dE

i j k

dy dz dz dx dx dy

 ÷  ÷

 ÷

d dB d(Bx,By,Bz)

rot E Eyk

dx dt dt

dEy dBz

rot E k k

dx dt

Calculando:

8 8

dE 2 10 2 10 dBz

0.5 sen (x ct)

dx c c dt

π × π

− = × − = −

8 8

t

z

0

B 0.5 sen (x ct) dt

c c

π × π ×

= × −

∫

8 8

8

0.5 2 10 10 x

cos (x ct) cos 2 10 t

c c 6 c

−

π ×   

= − = π × −

    ÷

8

8

z

10 x

B cos 2 10 t

6 c

−

= π × −

  ÷

Entonces el campo B de una onda e.m. está dado por:

B

x

B

y

8

8

z

10 x

B cos 2 10 t

6 c

−

= π × −

  ÷

Tesla

El estado de Polarización y la dirección de Propagación

El Campo Magnético está linealmente polarizada en el plano xz

y la dirección de propagación está en el eje x.

Finalmente la onda e.m. será:

c) La intensidad media ó flujo de Energía por unidad de área T =?

Por definición

I = vE (en un material cualquiera)

I = CE (en el vacío)

La Energìa Eléctrica 

0 2

E

C

E E

y

C

y

B

z

Z

X

Propagación

y

z

x

10/

B

z

a) La longitud de la onda

En general la ecuación de una onda es:

E = E

0

cos (Kx - wt) ……………………………… (1)

de E y

tenemos que: E y

= 0.5 cos [4π x 10

7

(t – x/c)]

7

y

x

E = 0.5 cos 4 10 t

c

π × −

  ÷

7

7

y

E = 0.5 cos x 4 10 t

c

 π × 

− ×

 ÷

Igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos:

7

K

c

π × π

λ

8

7 7

c 3 10

×

λ = =

× ×

mts.

λ = 15 mts. Longitud de la onda e.m.

El Estado de Polarización

Calculamos:

2 2 2 2 2 2

y z

E + E = (0.5) cos   +(0.5) sen  

{ }

2 2 2

= (0.5) sen   +cos  

2

x (1)

2 2 2

y z

E + E = (0.5)

Pero la ecuación de una circunferencia es:

2 2 2

y z

E + E = r

…………………………………………… (4)

Igualando (3) y (4) tenemos que r = 0.

Y satisface la ecuación (4) que es de una circunferencia por lo

tanto el campo eléctrico está circularmente polarizado y la

dirección de propagación está en el eje x.

b) El campo magnético de la onda de la Ley de Ampere – Henry

B

rot E

t

x y z

i j k

rot E / x / y / z

E E E

y y

z x x x

E E

E E E E

i j k

y z z x x y

 ÷  ÷

 ÷

y z

E

E (Bx,By,Bz)

rot E j k

x x t

y y z z

B E

E B

j j; y k k

x t x t

7

z 7

E 4 10 By

0.5 cos 4 10 (t x / c)

x c t

∂  π ×  ∂

− = − − π × − =

 ÷

7

7

y

dB (0.5) cos 4 10 (t x / c) dt

c

π ×

= − π × −

Integrando tenemos:

7

t

7

y

0

B cos 4 10 (t x / c) dt

c

− π × ×

= − π × −

∫

7

7

y 7

B sen 4 10 (t x / c)

c 4 10

× π ×

= − ×  π × − 

× π ×

7

y

B sen 4 10 (t x / c)

c

= − π × −

z

y

E

B Tesla

c

4

2

watts

I 3.32 10

m

−

= ×

3. Escribir las ecuaciones de los campos E y B que describen las

siguientes ondas electromagnéticas que se propagan según el

eje x: (a) Una onda polarizada linealmente cuyo plano de vibración

forma un ángulo de 45º con el plano XY. (b) Una onda polarizada

linealmente cuyo plano de vibración forma un ángulo de 120º con

el plano XY, (c) Una onda de polarización circular derecha (d) Una

onda con polarización elíptica derecha, con el eje mayor paralelo al

eje Y y de la longitud doble de la del eje menor.

Solución:

(a) Una onda polarizada linealmente cuyo plano de vibración

forma un ángulo de 45º con el plano XY.

Suponiendo que el eje X es perpendicularmente a la hoja del

papel entonces tenemos:

Plano de vibración forma un ángulo de 45º con el plano XY

De la fugura tenemos: E x

E

y

= E

0

sen (Kx-wt)

E

z

= E

0

sen (Kx-wt)

El vector del campo eléctrico

z

E = Eyj +E k

0 0

E = sen(kx − wt)j + E sen(kx −wt)k

0

E E sen(kx wt)j sen(Kx wt)k

Plano de

vibración

E

y

E

y

z E

z

45º

Por lo tanto E está linealmente polarizado, y como puede

verse el plano de vibración el cual contiene a E está a 45°

del plano XY.

Las componentes del Campo Magnético.

B

rot E

t

x y z

i j k

rot E / x / y / z

E E E

Ez Ey Ex Ez Ey Ex

i j k

y z z x x y

 ÷  ÷  ÷

( )

Ez Ey

j k By,Bz

x x t

Ez By Ey Bz

x t x t

dBy = K E 0

cos (kx - wt) dt

integrando tenemos:

t

y 0

0

B = K E cos(Kx −wt)dt

∫

0

K E sen(Kx wt)

w

  ÷

0

K

E sen(Kx wt)

w

E

E y

E

z

z

x

y

B

y

B

z

z

B

x

De la figura tenemos:

E

x

E

y

= -cos60º E 0

sen(Kx – wt) =

0

E sen(Kx wt)

E

z

= -cos30º E 0

sen(Kx – wt) =

0

E sen(Kx wt)

El vector del campo eléctrico

y z

E = E j +E k

0 0

E E sen(kx wt)j E sen(kx wt)k

0

E E sen(Kx wt)j sen(Kx wt)k

Por lo tanto E está linelamente polarizado y como puede

verde el plano de vibración el cual contiene a E está a 120º

del plano XY.

Los componentes del campo magnético:

B

rot E

t

x y z

i j k

rot E / x / y / z

E E E

y

E

y

E

z

z

E

x

Ez Ey Ex Ez Ey Ex

i j k

y z z x x y

 ÷  ÷

 ÷

( )

Ez Ey

j k By,Bz

x x t

Ez By Ey Bz

x t x t

0

dBy k E cos(kx wt)dt

Integrando tenemos:

t

0

0

By k E cos(kx wt)dt

∫

0

By k E sen(Kx wt)

2 w

 ÷

0

3 K

By E sen(Kx wt)

2 w

 ÷

z

By E Tesla

c

Por la otra parte tenemos:

z 0

dB K E cos(Kx wt)dt

Integrando tenemos:

t

z 0

0

B K E cos(Kx wt)dt

∫

0

K E sen(Kx wt)

2 w

 ÷

0

1 K

E sen(Kx wt)

2 w

 ÷

z y

B E Tesla

c

Por lo tanto los componentes del campo magnético

B

y

B

B

z

y

x

z

( )

2 2

0

E = E cos α + cos α + β β = π/

2

2

0

E E cos cos sen

= α + α − α  ÷

 ÷

( )

2

2

0

E E cos cos sen

= α + α − α

( )

2

0

E E cos 1 sen

= α + − α

( )

0

E E (1 cos 2 ) 1 sen

= + α + − α

0

E E 2 cos 2 sen

= + α − α

0

E E 2 1 sen

= + − α

0

E E 2 1 sen8 (t / P x / )

= + − π − λ

a) Para: t = 0 tenemos:

0

E E 2 1 sen8 ( x / )

= + − π − λ

y:x = 0, x = λ/4, x = λ/2, x = λ Tenemos

0

E E volt / m

b) Para t = P/4 tenemos:

0

2 1 x

E E 2 1 sen

= + − π −

 ÷

λ

 

y:x = 0, x = λ/4, x = λ/2, x = λ Tenemos

0

E E volt / m

El campo magnético B: (en módulo).

E

B

c

Para el caso (a) tenemos:

0

B E Tesla

2c

Para el caso (b) tenemos:

0

B E Tesla

2c

El ángulo que forma el vector eléctrico y el eje Y

El vector eléctrico es:

y x

E = E j +E k

0

E E cos 2 (t / P x / )j cos 2 (t / P x / )k

= π − λ + π − λ +

0

E E cos 2 (t / P x / )j cos 2 (t / P x / )k

= π − λ + π − λ

Para t = 0 tenemos:

0

E E cos 2 ( x / )j cos 2 (1 / 8 x / )k

= π − λ + π − λ

Para los siguientes valores de x:

0

x 0 E E j k tg 35.

= → = + → α = → α = °  ÷

 ÷

0

x / 4 E E 0j k 90

= λ → = + → α = °

 ÷

 ÷

0

x / 2 E E j k 35.

= λ → = − + → α = °

 ÷

 ÷

0

x E E j k 35.

= λ → = + → α = °  ÷

 ÷

E

y

= A cos w (t-x/c) j

E

z

= A sen w (t-x/c)

k

La Perturbación resultante sera:

E = E

y

+E

z

E(x,t) = E y

(x,t) + E z

(x,t)

E(x,t) = A cos w(t-x/c) j

+A sen w (t-x/c)

k

E(x,t) = A[cos w(t-x/c) j

• sen w (t-x/c)

k

]

Evaluando en el punto x = 0

E(0,t) = A[cos w(t) j

• sen w (t)

k

]

En los instantes:

t = 0  E(0,0) = A( j

k

t = τ/4  E(0, τ/4) = A( j

k

t = τ/2  E(0, τ/2) = A(- j

k

t = 3 τ/4  E(0,3 τ/4) = A(0 j

k

t = τ  E(0, τ) = A( j

k

Graficando el campo eléctrico en

las coordenadas x, y, z, tenemos:

z

E

y

A

A

z

E

y

y

z

E

-A

y

z

E

-A

z

y

E

A

E

z

E

E

y

x

E

z

y

E

z

E

y

El vector del campo E gira en la dirección de las agujas del reloj

cuya magnitud es A, tal como se dice tiene una polarización

circular a la derecha.

El campo magnético a medida que avanza la onda.

De las ecuaciones de Ampere – Henry, en la forma diferenciamos:

y y z z

E B

B E

y

x t x t

y

z

E

w B

A sen w(t x / c)

x c t

z

w

B A sen w(t x / c)dt

c

Integrando tenemos:

∫

t

z

0

w

B A sen w(t x / c)dt

c

 ÷

z

w 1

B A cos w(t x / c)

c w

z

A

B cos w(t x / c)

c

y

z

E

B Tesla

c

Por otra parte tenemos:

 ÷

y z

B

E w

A cos w(t x / c)

x c t

y

w

B A cos w(t x / c)dt

c

Integrando tenemos:

∫

t

y

0

w

B A cos w(t x / c)dt

c